FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront des d une variable réelle (i.e. l ensemble de départ est R) à valeurs dans R ou C. 1 Généralités 1.1 Ensemble de définition On rappelle qu une fonction (au contraire d une application) dont l ensemble de départ est R n est pas forcément définie sur R en entier. Définition 1.1 Ensemble de définition Soit f : R R une fonction. On appelle ensemble de définition de f l ensemble des R pour lesquels f() est défini. Eemple 1.1 L ensemble de définition de est R +. Eercice 1.1 Déterminer le domaine de définition de» +1 3. 1.2 Représentation graphique Rappel Représentation graphique La représentation graphique d une courbe dans un repère orthonormé est l ensemble des points de coordonnées (, f()) où décrit l ensemble de définition. Représentation graphique d une bijection réciproque Soit f une fonction bijective. Les représentations graphiques de f et f 1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice. En effet, si on pose y = f(), les points de coordonnées (, f()) et (y, f 1 (y)) sont symétriques par rapport à la première bissectrice. http://laurentb.garcin.free.fr 1

Fonctions associées La fonction de référence est représentée en trait pointillé tandis que la fonction associée est représentée en trait continu. Représentation graphique de f() + a Représentation graphique de f( + a) Translation de vecteur a j Translation de vecteur a ı Représentation graphique de λf() Représentation graphique de f(λ) Dilatation verticale d un facteur λ Dilatation horizontale d un facteur 1 λ Représentation graphique de a f() Représentation graphique de f(a ) Symétrie d ae y = a 2 Symétrie d ae = a 2 http://laurentb.garcin.free.fr 2

1.3 Parité et périodicité Définition 1.2 Parité Soit f une fonction. On dit que f est paire si le domaine de définition D f de f est symétrique par rapport à : D f, D f ; D f, f( ) = f(). On dit que f est impaire si le domaine de définition D f de f est symétrique par rapport à : D f, D f ; D f, f( ) = f(). Remarque. Si f est une fonction impaire définie en, alors f() =. Attention! Une fonction peut n être ni paire ni impaire! Remarque. Il n y a évidemment pas besoin de vérifier la condition sur le domaine de définition s il est égal à R. Eemple 1.2 La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires. Pour n Z, la fonction n a la parité de n. Interprétation graphique La représentation graphique d une fonction paire est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. La représentation graphique d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine. Définition 1.3 Périodicité Soit f une fonction et T un réel strictement positif. On dit que f est T-périodique si le domaine de définition D f de f est «T-périodique» : D f, + T D f ; D f, f( + T) = f(). Remarque. Il n y a évidemment pas besoin de vérifier la condition sur le domaine de définition s il est égal à R. Remarque. Si f est T-périodique, f( + nt) = f() pour tout n Z. Par conséquent, f est également nt-périodique pour tout n N. Eemple 1.3 Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques. La fonction tan est π-périodique. Interprétation graphique La représentation d une fonction T-périodique dans une repère (O, ı, j) est invariante par translation de vecteur T ı. http://laurentb.garcin.free.fr 3

Remarque. On a également invariance par translation de vecteur nt ı pour tout n Z. 1.4 Opérations sur les fonctions Définition 1.4 Somme et produit Soient f et g deu fonctions. On définit alors f + g : f() + g() et fg : f()g(). Rappel Composée On appelle composée des fonctions f et g la fonction g f : g(f()). Eemple 1.4 La fonction ln Ä 1 + 2 + 1 ä est la composée de la fonction 2 + 1 suivie de la fonction puis de la fonction ln(1 + ). 1.5 Monotonie Définition 1.5 Monotonie Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I si On dit que f est décroissante sur I si On dit que f est strictement croissante sur I si On dit que f est strictement décroissante sur I si (, y) I 2, y = f() f(y) (, y) I 2, y = f() f(y) (, y) I 2, < y = f() < f(y) (, y) I 2, < y = f() > f(y) On dit que f est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante. On dit que f est strictement monotone sur I si elle y est strictement croissante ou décroissante. Attention! Une fonction peut n être ni croissante ni décroissante! Remarque. Du point de vue du vocabulaire, on dit que «f est monotone sur un intervalle I». On ne dira JAMAIS «f() est monotone pour tout I». Cela signifierait qu un réel est monotone. Remarque. Une fonction constante est croissante et décroissante au sens large. La réciproque est d ailleurs vraie : si une fonction est croissante et décroissante, alors elle est constante. http://laurentb.garcin.free.fr 4

Remarque. Si f est croissante sur I, alors Si f est décroissante sur I, alors Si f est strictement croissante sur I, alors Si f est strictement décroissante sur I, alors (, y) I 2, f() < f(y) = < y (, y) I 2, f() < f(y) = > y (, y) I 2, f() f(y) = y (, y) I 2, f() f(y) = y Les deu derniers points ne sont plus valables lorsque f est croissante ou décroissante au sens large. Par eemple, si f est une fonction constante sur I, on a f() f(y) et f() f(y) pour tout (, y) I 2 mais on ne peut jamais en déduire que y ou y. Proposition 1.1 Stricte monotonie et injectivité Une fonction strictement monotone est injective. Remarque. La réciproque est vraie à condition de considérer une fonction continue sur un intervalle. Proposition 1.2 Somme de fonctions monotones La somme de deu fonctions croissantes est croissante. La somme de deu fonctions décroissantes est décroissante. La somme de d une fonction croissante et d une fonction strictement croissante est strictement croissante. La somme de d une fonction décroissante et d une fonction strictement décroissante est strictement décroissante. Remarque. A fortiori, la somme de deu fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) est strictement croissante (resp. strictement décroissante). Eemple 1.5 La fonction + 3 + 5 est strictement croissante sur R. Proposition 1.3 Composition de fonctions monotones La composée de deu fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deu fonctions monotones de sens de variation opposés est décroissante. La composée de deu fonctions strictement monotones de même sens de variation est strictement croissante. La composée de deu fonctions strictement monotones de sens de variation opposés est strictement décroissante. Eemple 1.6 La fonction ln(1 + 1 + 2 ) est strictement croissante sur R + et strictement décroissante sur R. http://laurentb.garcin.free.fr 5

Attention! Un produit de fonctions monotones n est pas forcément monotone. Par eemple, et 3 sont croissantes sur R mais leur produit 4 n est ni croissant ni décroissant sur R. Néanmoins, si f et g sont des fonctions croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors leur produit est croissant (resp. décroissant). De même, si f et g sont des fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) et strictement positives, alors leur produit est strictement croissant (resp. strictement décroissant). 1.6 Fonctions majorées, minorées, bornées Définition 1.6 Soit f une fonction définie sur une partie A de R. On dit que f est majorée sur A si f(a) est majoré i.e. si M R, A, f() M On dit que f est minorée sur A si f(a) est minoré i.e. si m R, A, f() m On dit que f est bornée sur A si f est majorée et minorée sur A ou encore si f(a) est bornée i.e. (m, M) R 2, A, m f() M Remarque. On dit alors que M est un majorant de f sur A et que m est un minorant de f sur A. Remarque. Si on ne précise pas la partie A sur laquelle la fonction est majorée/minorée/bornée, c est que l on fait implicitement référence à tout l ensemble de définition. Eemple 1.7 La fonction 2 est minorée sur R mais elle n y est pas majorée. Les fonctions sin et cos sont bornées sur R. Interprétation graphique Une fonction est majorée si sa représentation graphique est située au-dessous d une droite horizontale. Une fonction est minorée si sa représentation graphique est située au-dessus d une droite horizontale. Une fonction est bornée si sa représentation graphique est située entre deu droites horizontales. Proposition 1.4 Soit f une fonction définie sur une partie A de R. Alors f est bornée sur A si et seulement si f est majorée sur A. Eemple 1.8 Soit f : sin sin 2 cos. On souhaite monter que f est bornée sur R. Pour tout R, f() 2 cos. Or pour tout R, sin 1 et 2 cos 2 cos 1. Par conséquent, pour tout R, f() 1 et f est donc bornée sur R. http://laurentb.garcin.free.fr 6

Proposition 1.5 Une somme de fonctions majorées est majorée. Une somme de fonctions minorées est minorée. Une somme et un produit de fonctions bornées sont bornés. Définition 1.7 Maimum, minimum Soit f une fonction définie sur A. On dit que f admet un maimum sur A s il eiste a A tel que f() f(a) pour tout A. Le réel M = f(a) est alors appelé le maimum de f sur A et on note M = ma f. On a en fait M = ma f(a). A On dit que f admet un minimum sur A s il eiste b A tel que f() f(b) pour tout A. Le réel m = f(b) est alors appelé le minimum de f sur A et on note m = min f. On a en fait m = min f(a). A Remarque. Un maimum ou un minimum est nécessairement une valeur atteinte par la fonction. Remarque. Une fonction admettant un maimum (resp. un minimum) est nécessairement majorée (resp. minorée). Eemple 1.9 La fonction sin admet un minimum et un maimum sur R valant respectivement 1 et 1 car sin ( π 2 ) = 1 et sin ( π 2 ) = 1 et car pour tout R, 1 sin 1. Eemple 1.1 La fonction eponentielle n admet clairement pas de maimum car elle n est pas majorée. Elle n admet pas non plus de minimum. Soit en effet b R. Alors pour tout < b, e < e b donc l eponentielle ne peut admettre de minimum en b. Ceci étant vrai quelque soit b R, l eponentielle n admet pas de minimum. Attention! Une fonction majorée (resp. minorée) n admet pas forcément de maimum (resp. de minimum) comme le montre l eemple de la fonction eponentielle. 2 Continuité Définition 2.1 Continuité Soient f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est continue en a I si a f() = f(a). On dit que f est continue sur I si f est continue en tout a I. Théorème 2.1 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur intervalle [a, b]. Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il eiste [a, b] tel que y = f(). Si de plus, f est strictement monotone sur [a, b], ce réel est unique. http://laurentb.garcin.free.fr 7

Corollaire 2.1 Théorème de la bijection monotone Soit I un intervalle de R et f une fonction continue et strictement monotone sur l intervalle I. Alors (i) f réalise une bijection de I sur l intervalle J = f(i) ; (ii) l application réciproque f 1 : J I est une bijection continue et strictement monotone sur J de même sens de variation que f. De plus, si I = [a, b], on a si f est croissante, f(i) = [f(a), f(b)] ; si f est décroissante, f(i) = [f(b), f(a)]. On a des résultats analogues si I est un intervalle ouvert ou semi ouvert (a et b pouvant être égau respectivement à et + ) avec éventuellement des ites. Par eemple, si f est une application continue et strictement croissante sur I =]a, b], f réalise une bijection de I sur f(i) =] f, f(b)]. a + 3 Dérivation 3.1 Tau de variation et dérivée Définition 3.1 Tau de variation Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a I. On appelle tau de variation de f en a la fonction I \ {a} R τ a f : f() f(a). a Définition 3.2 Dérivabilité et nombre dérivé Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a I. On dit que f est dérivable en a si son tau de variation en a admet une ite finie en a. Dans ce cas, on note cette ite f (a) et on l appelle nombre dérivé de f en a ou, plus simplement, dérivée de f en a. Eemple 3.1 On en déduit les ites usuelles suivantes. e 1 sin sh arcsin ln(1 + ) = 1 = 1 tan = 1 = 1 = 1 th = 1 arctan = 1 = 1 Définition 3.3 Dérivabilité sur un intervalle Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur l intervalle I si f est dérivable en tout point de I. L application f : f () est appelée fonction dérivée de f ou, plus simplement, dérivée de f. http://laurentb.garcin.free.fr 8

Remarque. On ne dira JAMAIS que f() est dérivable pour tout A. Cela signifierait qu un réel est dérivable. Proposition 3.1 Dérivabilité et continuité Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I. Définition 3.4 Tangente Soit f une fonction dérivable en a. La droite passant par le point de la courbe représentative de f d abscisse a et de coefficient directeur f (a) s appelle la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. Elle admet pour équation y = f(a) + f (a)( a). Remarque. En particulier, si f (a) =, la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point d abscisse a. Interprétation géométrique τ a f() est la pente de la sécante passant par les ponts d abscisse a et. Quand tend vers a, la sécante tend vers la tangente au point d abscisse a. f (a) est donc la pente de la tangente. 3.2 Dérivation et opérations Proposition 3.2 Opérations arithmétiques Soient f et g deu fonctions dérivables sur A. Combinaison linéaire Pour tout (λ, µ) R 2, λf + µg est dérivable sur A et (λf + µg) = λf + µg. Produit fg est dérivable sur A et (fg) = f g + fg. Quotient Si g ne s annule pas sur A, alors f g est dérivable sur A et Å f g ã = f g fg g 2. http://laurentb.garcin.free.fr 9

Proposition 3.3 Composition On suppose que f est dérivable sur I ; g est dérivable sur J ; f(i) J. Alors g f est dérivable sur I et (g f) = (g f)f. Eemple 3.2 Considérons la fonction f : ln(1 + 2 1). On remarque que f est la composée de g : 2 1 suivie de h : 1 + puis de i : ln. Justifions d abord la dérivabilité : g : 2 1 est dérivable sur ]1, + [ à valeurs dans R + ; h : 1 + est dérivable sur R + à valeurs dans ]1, + [ ; i : ln est dérivable sur ]1, + [. Par conséquent, f est dérivable sur ]1, + [. On démontre de la même manière que f est dérivable sur ], 1[ (ou on invoque la parité de f). Procédons maintenant au calcul de la dérivée : pour tout ], 1[ ]1, + [ f () = (i h g) () = i (h(g()))(h g) () = i (h(g()))h (g())g () 1 = 1 + 2 1 1 2 2 1 (2) = 2 1 + 2 1 Eercice 3.1 Montrer que la dérivée d une fonction dérivable paire (resp. impaire) est impaire (resp. paire). Attention! Il faut TOUJOURS justifier la dérivabilité d une fonctio AVANT de calculer sa dérivée. Il ne faut d ailleurs surtout pas se fier à l epression de la dérivée pour en déduire a posteriori l ensemble sur lequel la fonction est dérivable. Par eemple, ln est dérivable de dérivée 1. La fonction 1 est définie sur R mais pourtant ln n est pas dérivable sur R (elle n y est même pas définie). Théorème 3.1 Dérivabilité de la bijection réciproque Si f est dérivable sur I et si f ne s annule pas sur I, alors f induit une bijection de I sur J = f(i) ; f 1 est dérivable sur J et ( f 1) = 1 f f 1. Remarque. On retrouve facilement l epression de (f 1 ) en dérivant l identité f f 1 = Id (on dérive le membre de gauche comme une composée). http://laurentb.garcin.free.fr 1

Interprétation géométrique La pente de la tangente au point (a, f(a)) de la courbe représentative de f est l inverse de la pente de la tangente au point (f(a), a) de la courbe représentative de f 1. Si la première pente est nulle, la seconde est infinie : autrement dit, f 1 n est pas dérivable en f(a). 3.3 Dérivation et monotonie Proposition 3.4 Caractérisation de la constance et de la monotonie Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f est constante sur I si et seulement si f = sur I. f est croissante sur I si et seulement si f sur I. f est décroissante sur I si et seulement si f sur I. Attention! Il est essentiel que I soit un intervalle. Considérons par eemple la fonction f : 1. f est dérivable ssur R de dérivée négative sur R. Pourtant, f n est pas décroissante sur R. En effet, 1 1 mais f( 1) f(1). Le problème est que R, n est pas un intervalle. Néanmoins, f est décroissante sur chacun des intervalles R + et R pris séparément. Proposition 3.5 Stricte monotonie Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f > sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f < sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Attention! Les réciproques sont fausses. La fonction 3 est strictement croissante sur R mais sa dérivée n y est pas strictement positive puisqu elle s annule en. La proposition suivante est plus précise que la précédente. Proposition 3.6 Stricte monotonie Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On suppose que f ne s annule qu en un nombre fini de points de I. Si f sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f sur I, alors f est strictement décroissante sur I. http://laurentb.garcin.free.fr 11

3.4 Tableau de variations Établir un tableau de variations consiste à placer dans un tableau le signe de la dérivée ainsi que les variations de la fonction qui en découlent. On place également les ites éventuelles de la fonction dans ce tableau. Méthode Déterminer le signe d une dérivée On essaiera toujours de FACTORISER l epression de la dérivée afin de pouvoir déterminer aisément son signe. Il est en effet beacoup plus simple de déterminer le signe d un produit que d une somme. Remarque. On n est pas toujours obligé de déterminer la dérivée afin de déterminer le sens de variation. Par eemple f : ln(1 + e ) est clairement croissante en tant que composée de deu fonctions croissantes. Eemple 3.3 Soit f : ln. f est dérivable sur R + comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, pour tout R +, f () = 1 ln. On en déduit le tableau de variations suivant. 2 e + f () + f() 1 e Méthode Établir des majorations et des minorations Un tableau de variations permet de majorer ou minorer facilement des fonctions ou d en déterminer un maimum ou un minimum. Eemple 3.4 L étude précédente de la fonction f : ln que celui-ci est atteint en e. montre que cette fonction admet pour maimum 1 e sur R + et Méthode Établir des inégalités par étude de fonction Pour établir une inégalité du type f() g(), on peut étudier la fonction f g ou g f. http://laurentb.garcin.free.fr 12

Eemple 3.5 Montrons que pour tout R +, sin et que pour tout R, sin. Introduisons la fonction f : sin. f est dérivable sur R et pour tout R, f () = cos 1. Ainsi f est décroissante sur R. Puisque f() =, f() i.e. sin pour tout R + et f() i.e. sin pour tout R. Ceci se visualise mieu à l aide du tableau de variations. + f () + f() Eercice 3.2 Montrer que pour tout ] 1, + [, ln(1 + ). Eemple 3.6 On peut être amené à dériver plus d une fois. Montrons par eemple que e 1 + + 2 2 pour tout R et que e 1 + + 2 2 pour tout d R +. Posons f : e 1 2 2. f est dérivable sur R et f () = e 1 pour tout R. f est elle-même dérivable sur R et f () = e 1 pour tout R. On en déduit que f sur R et que f sur R +. Ainsi f est décroissante sur R et croissante sur R +. Puisque f () =, f est positive sur R. Ainsi f est croissante sur R. Puisque f() =, f sur R et f sur R + et on a bien les inégalités voulues. La situation est résumée par le tableau de variations suivant. f () + + f () f() + + + http://laurentb.garcin.free.fr 13

Méthode Résolution d équation ou d inéquations Pour résoudre des équations du type f() = g() ou du moins en donner le nombre de solutions, on peut étudier la fonction f g. De même, pour résoudre des inéquations du type f() g(). Eemple 3.7 On désire déterminer le nombre de solutions de l équation 5 5 + 1 =. On pose f() = 5 5 1 pour R. f est dérivable sur R et f () = 5 4 5 = 5( 2 1)( 2 + 1). On en déduit le tableau de variations suivant. α 1 β 1 γ + f () + + 5 + f() 3 On déduit du tableau de variations que l équation f() = admet eactement trois solutions α, β et γ respectivement dans les intervalles ], 1[, ] 1, 1[ et ]1, + [. On utilise en fait trois fois le théorème des valeurs intermédiaires : f est continue et strictement monotone sur ], 1], f = et f( 1) > donc l équation f() = admet une unique solution α ], 1[. f est continue et strictement monotone sur [ 1, 1], f( 1) > et f(1) > donc l équation f() = admet une unique solution β ] 1, 1[. f est continue et strictement monotone sur [1, + [, f(1) < et + f = + donc l équation f() = admet une unique solution γ ]1, + [. On peut également déduire du tableau de variations que l ensemble des solutions de l inéquation f() est ], α] [β, γ]. De même, l ensemble des solutions de l inéquation f() > est ]α, β[ ]γ, + [. 3.5 Dérivées successives Définition 3.5 Dérivées successives Soient f une fonction et n N. Si f est n fois dérivable, on note f (n) sa dérivée n ème. En particulier, f () = f. Remarque. Pour tout n N, ( f (n)) = f (n+1). Eercice 3.3 Soient f une fonction et n N. Montrer que si f est une fonction paire, alors f (n) a la parité de n et que si f est une fonction impaire, f (n) a une parité opposée à celle de n. http://laurentb.garcin.free.fr 14

Eercice 3.4 Soit n N. Déterminer les dérivées successives de n et 1 n. Définition 3.6 Fonctions de classe C n Soient f : I R et n N. On dit que f est de classe C n si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. On dit que f est de classe C si f est indéfiniment dérivable sur I. On note C n (I, R) ou C n (I) (resp. C (I, R) ou C (I)) l ensemble des fonctions de classe C n (resp. C ) sur I. Remarque. C (I) est l ensemble des fonctions continues sur I. Remarque. Si f est de classe C, les dérivées successives de f sont toutes continues puisque dérivables. Attention! Une fonction dérivable n est pas nécessairement de classe C 1. En effet, la fonction f : 2 sin 1 prolongée par continuité en par f() = est dérivable en mais sa dérivée 2 sin 1 cos 1 n admet pas de ite en. Remarque. Si n p, alors C p (I) C n (I). C (I) = C n (I). n N C (I) C 1 (I) C 2 (I) C n (I) C (I). Proposition 3.7 Opérations arithmétiques Soit n N { }. Soient f et g deu fonctions de classe C n sur un intervalle I. Combinaison linéaire Pour tout (λ, µ) R 2, λf + µg est de classe C n sur I et (λf + µg) (n) = λf (n) + µg (n) (pour n N). Produit fg est de classe C (n) sur I. Quotient Si g ne s annule pas sur I, alors f g est de classe Cn sur I. Remarque. On verra ultérieurement la formule donnant la dérivée n ème d un produit. 4 Étude de fonctions Ensemble de définition On recherche tout simplement la plus grande partie de R sur laquelle f est définie. Restriction du domaine d étude On essaie de tirer parti de certaines propriétés de la fonction f afin de restreindre le domaine d étude. http://laurentb.garcin.free.fr 15

Méthode Restriction du domaine d étude Si f est paire ou impaire, on n étudie f que sur R +. Le comportement de f sur R est obtenu par symétrie. Si f est périodique ï de période T, on n étudie f que sur un intervalle de longueur T, habituellement [, T] ou T 2, T ò. C est souvent le cas si f fait intervenir des fonctions trigonométriques. On obtient 2 le comportement de f sur R par périodicité. Si f est paire ou impaire et périodique de période T, on étudie f sur l intervalle ï on obtient le comportement de f sur T 2, T 2 comportement de f sur R par symétrie. ï, T ò. Par parité, 2 ò. Comme cet intervalle est de longueur T, on en déduit le Variations De manière générale, on calcule la dérivée de f et on utilise le signe de f pour en déduire le sens de variation de f. On rappelle qu on peut également déterminer directement le sens de variation en identifiant f comme somme de fonctions de même sens de variation ou comme composée de fonctions monotones. Limites au bornes de l ensemble de définition On détermine les ites de f au bornes de l ensemble de définition. On verra plus loin comment lever les éventuelles formes indéterminées. Limite d un polynôme à l infini La ite d un polynôme à l infini est égale à la ite de son terme non nul de plus haut degré. De plus, + n = + et Si a n, a n n + a n 1 n 1 + + a = a n n ± ± n = { + si n est pair si n est impair. Limite à l infini d une faction rationnelle On appelle fraction rationnelle tout quotient de polynômes. Soient P et Q deu polynômes. On a trois possibilités de ites à l infini suivant les degrés de P et Q. P() Si deg P < deg Q, alors ± Q() =. Si deg P > deg Q, alors dominants de P et Q. Si deg P = deg Q, alors P() ± Q() = ±. Le signe de la ite dépend des signes des coefficients P() ± Q() = a, où a et b sont les coefficients dominants respectifs de P et Q. b Attention! La proposition précédente n est valable que pour des ites A L INFINI! http://laurentb.garcin.free.fr 16

Méthode Limite à l infini d une fraction rationnelle On peut également retenir la proposition précédente de la manière suivante : pour déterminer la ite à l infini d une fraction rationnelle, il suffit de remplacer le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré. a n n + a n 1 n 1 + + a a n n ± b p p + b p 1 p 1 = + + b ± b p p Eemple 4.1 Limite à l infini de fractions rationnelles + 2 3 + 2 5 + 1 4 4 5 3 + 2 2 + 3 = 4 4 2 3 + 5 2 2 + 3 3 3 + 2 + 6 2 2 3 5 2 + + 1 3 3 2 2 5 + 7 = + 2 3 = + 2 3 3 3 = 2 3 4 4 = 1 2 = 4 4 3 3 = + 4 3 = Tableau de variations On regroupe les informations sur le sens de variation dans un tableau de variations. Attention! On n oublie pas de vérifier que les ites sont cohérentes avec les variations. Il est par eemple impossible d avoir une fonction f croissante sur ]a, b[ avec f = + ou f =. a+ b Branches infinies L étude des branches infinies consiste à préciser l allure de la courbe représentative C f de f quand ou f() tend vers l infini. On a plusieurs cas possibles. Limite infinie en un point a R C f admet la droite d équation = a comme asymptote verticale. Limite finie l à l infini C f admet la droite d équation y = l comme asymptote horizontale. Limite infinie à l infini Dans ce cas, on calcule la ite l de f() quand tend vers l infini. On a à nouveau plusieurs cas possibles. 1. Si l =, alors C f admet une branche parabolique de direction (O). 2. Si l = ±, alors C f admet une branche parabolique de direction (Oy). 3. Si l R, alors on calcule la ite c de f() l quand tend vers l infini. On a deu cas possibles. (a) Si c = ±, alors C f admet une branche parabolique de direction la droite d équation y = l. (b) Si c R, alors C f admet comme asymptote oblique la droite d équation y = l + c. Le programme stipule que vous n avez à connaître que les asymptotes horizontales et verticales. http://laurentb.garcin.free.fr 17

Les 6 types de branches infinies a l Asymptote verticale d équation = a Asymptote horizontale d équation y = l Asymptote oblique d équation y = a + b Branche parabolique de direction (Oy) Branche parabolique de direction (O) Branche parabolique de direction y = a Tracé de la courbe On place les asymptotes et les tangentes horizontales puis on trace le graphe. On complète éventuellement le graphe par les symétries repérées lors de la réduction http://laurentb.garcin.free.fr 18

Eemple 4.2 Etude de la fonction f : sin 2 + 2 sin L ensemble de définition de f est clairement R. f est 2π-périodique et impaire. On peut donc l étudier sur [, π]. f est clairement dérivable et pour tout R, On en déduit le tableau de variations suivant. f () = 2 cos(2) + 2 cos = 4 cos 3 2 cos 2 π 3 π f () + f() 3 3 2 On remarque qu on a en particulier des tangentes horizontales au points d abscisses et π. On en déduit le tracé suivant. Etude sur [, π/2] Prolongement par parité Prolongement par périodicité 3π 2π π π 2π 3π On peut par eemple déduire de l étude que f admet un maimum et un minimum sur R valant respectivement 3 3 2 et 3 3 2. http://laurentb.garcin.free.fr 19

Eemple 4.3 Étude de f : 3 2 4 L ensemble de définition de f est clairement D f = R \ { 2, 2}. f est impaire (on vérifie en particulier que son domaine de définition est symétrique par rapport à ). On peut se contenter d étudier f sur R + \ {2}. f est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonction dérivables dont le dénominateur ne s annule pas. De plus, pour tout D f f () = 2 ( 2 12) ( 2 4) 2 Comme on a une epression factorisée de f, on obtient facilement le tableau de variations. 2 2 3 + f () + f() + 3 3 + On voit par eemple que la courbe représentative de f admet une asympote verticale d équation = 2 (et donc également une asymptote d équation = 2 par parité). On peut également constater que f admet un minimum sur ]2, + [ et que celui-ci vaut 3 3. 1 Etude sur R + Prolongement par parité 8 6 4 2 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 http://laurentb.garcin.free.fr 2

5 Fonctions à valeurs complees Dans ce paragraphe, on traite de fonctions de R dans C. Définition 5.1 Parties réelle et imaginaire Soit f une fonction à valeurs complees. On appelle partie réelle de f la fonctions Re(f) : Re(f()). On appelle partie imaginaire de f la fonction Im(f) : Im(f()). On a donc f = Re(f) + i Im(f). Définition 5.2 Dérivabilité des fonctions à valeurs complees Soit f une fonction à valeurs complees. On dit que f est dérivable si Re(f) et Im(f) le sont. On pose alors f = Re(f) + i Im(f). Eemple 5.1 e i est dérivable sur R et sa dérivée est ie i. Proposition 5.1 Opérations arithmétiques Soient f et g deu fonctions à valeurs complees dérivables sur A. Combinaison linéaire Pour tout (λ, µ) C 2, λf + µg est dérivable sur A et (λf + µg) = λf + µg. Produit fg est dérivable sur A et (fg) = f g + fg. Quotient Si g ne s annule pas sur A, alors f g est dérivable sur A et Å f g ã = f g fg g 2. Remarque. Ce sont eactement les mêmes propriétés que pour les fonctions à valeurs réelles. Proposition 5.2 Soit ϕ une fonction à valeurs complees dérivable sur A. Alors ep ϕ est dérivable sur A et (ep ϕ) = (ep ϕ)ϕ. Remarque. On a bien entendu des résultats plus générau pour les composées de fonctions de R dans R par des fonctions de R dans C mais ceu-ci seront traités plus loin. Eemple 5.2 Pour α C, e α est dérivable et sa dérivée est αe α. http://laurentb.garcin.free.fr 21