Yves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 6 9 mars 11

Table des matières 1 Rappels et hypothèses 1 Forme différentielle 3 Forme intégrale faible 3 4 Forme discrétisée : éléments finis 4 4.1 Approximation du champ de déplacements......................... 4 4.1.1 Représentation élémentaire (ou locale) du champ de déplacements....... 4 4.1. Représentation globale du champ de déplacements................ 5 4. Partition des degrés de liberté................................ 5 4.3 Discrétisation de la forme intégrale faible......................... 6 4.4 Problèmes particuliers.................................... 8 4.4.1 Problème stationnaire................................ 8 4.4. Modes propres de vibration............................. 8 4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage............................ 8 4.6 Exemple de mise en équation................................ 1 4.6.1 Énoncé........................................ 1 4.6. Discrétisation..................................... 1 4.6.3 Partition des degrés de liberté............................ 1 4.6.4 Remarque....................................... 11 4.6.5 Matrices élémentaires................................ 11 4.6.6 Assemblage...................................... 11 4.6.7 Équation....................................... 1 5 Calculs élémentaires : éléments isoparamétriques 1 5.1 Élément isoparamétrique : définition............................ 1 5.1.1 Représentation de la géométrie........................... 1 5.1. Représentation du champ de déplacements.................... 13 5. Bibliothèque d éléments................................... 14 5..1 Élément à deux nœuds................................ 14 5.. Élément à trois nœuds................................ 15 5.3 Calcul des matrices élémentaires.............................. 17 5.3.1 Transformation des dérivées............................. 17 5.3. Transformation des longueurs............................ 17 5.3.3 Calcul des matrices.................................. 18 5.3.4 Intégration numérique................................ 18 5.4 Cas particulier : la section droite est constante...................... 19 5.4.1 Élément à deux nœuds................................ 19 5.4. Élément à trois nœuds équidistants......................... 6 Calcul des contraintes 6.1 Première méthode...................................... 1 6. Deuxième méthode...................................... 1 7 Exemples 7.1 Poutre soumise à une force répartie et à une force nodale................ 7. Modes propres d une poutre................................. 5 7..1 Énoncé........................................ 5 7.. Solution analytique.................................. 5

7..3 Modélisation 1.................................... 6 7..4 Modélisation.................................... 7 7..5 Modélisation 3.................................... 9 7.3 Poutre à section droite variable soumise à une variation de température........ 3 7.3.1 Énoncé........................................ 3 7.3. Solution analytique.................................. 3 7.3.3 Solution éléments finis................................ 31 7.4 Influence de la position du nœud milieu sur la performance d un élément isoparamétrique à trois nœuds.................................... 3 8 Problème élastostatique : énergie potentielle et méthode de Ritz 36 8.1 Calcul des variations..................................... 36 8. Énergie potentielle...................................... 37 8.3 Méthode de Ritz....................................... 38 8.4 Méthode de Ritz et éléments finis.............................. 39 8.5 Exemple............................................ 4 8.5.1 Solution analytique.................................. 4 8.5. Méthode de Ritz................................... 4 8.5.3 Éléments finis..................................... 41 A Programmes Maple 43 A.1 3n int : élément à 3 nœuds................................. 43 A. 3n mat : élément à 3 nœuds................................. 43 A.3 3n milieu : élément à 3 nœuds................................ 44 Références 47

Élasticité à une dimension 1 1 Rappels et hypothèses Considérons une poutre droite d axe x soumise à un effort normal N(x; t). u(x; t) est le déplacement suivant x de la section droite d abscisse x à l instant t. A est l aire de la section droite. E, α et ρ sont respectivement le module de Young, le coefficient de dilatation et la masse volumique du matériau. La poutre porte une force répartie d intensité linéique p x et subit une variation de température égale à T. Figure 1 Équilibre d un tronçon de poutre L équilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d abscisses x et x + dx s écrit : N(x; t) + N(x + dx; t) + p x dx = N(x; t) + N(x; t) + N x dx + p x dx = ρ A ü dx (1.1) où l on a posé : ü = u t Après simplification, on obtient l équation d équilibre : N x + p x = ρ A ü (1.) Le tronçon de poutre de longueur dx à l instant initial devient à l instant t le tronçon de poutre de longueur dx (1 + ε xx ) (figure ). Figure Transformation d un tronçon de poutre L allongement unitaire ε xx est : ε xx = u(x + dx) u(x) dx = u x (1.3)

Méthode des éléments finis Figure 3 Loi de comportement Cet allongement unitaire est dû à la contrainte normale σ xx (loi de Hooke) et à la variation de température (figure 3) : ε xx = u x = σ xx E + α T avec σ xx = N (1.4) A d où : σ xx = E (ε xx α T ) = E (ε xx ε th ) (1.5) avec ε th = α T. Forme différentielle Résoudre un problème d élasticité à une dimension consiste à chercher un champ de déplacements u(x; t) tel que : ρ A u t = x (A σ xx) + p x tel que x O < x < x E (.1) avec la relation cinématique : la loi de comportement (ou loi constitutive) : ε xx = u x (.) σ xx = E ε xx Eα T (.3) les conditions aux limites : u(x O ; t) = u O (t) ou ( Aσ xx ) x=xo = F O (t) u(x E ; t) = u E (t) ou (Aσ xx ) x=xe = F E (t) (.4) les conditions initiales à l instant t = t : La quantité : u(x; t ) = u t (x) et u(x; t ) = u t (x) (.5) r(u) = ρ A u t x (A σ xx) p (.6) est le résidu de l équation (.1). Ce résidu est nul si le champ de déplacements u(x; t) est solution de cette équation. Notations : u(x; t) = u(x; t) t, ü(x; t) = u(x; t) t

Élasticité à une dimension 3 3 Forme intégrale faible Pour résoudre l équation (.1) par la méthode des éléments finis, nous utilisons la méthode des résidus pondérés. Multiplions le résidu r(u) par une fonction arbitraire u (x) et intégrons sur toute la longueur de la poutre : xe xe ( W(u, u ) = u r dx = u ρ A ü ) x O x (Aσ xx) p dx = u (3.1) Intégrons par parties la quantité xe x O xe x O u x (Aσ xx) dx = x O u x (Aσ xx) dx : xe x O x (u Aσ xx ) dx En portant cette expression dans l équation (3.1), il vient : où l on a posé xe xe xe x O u x Aσ xx dx xe W(u, u ) = A u ρ ü dx + A ε xx σ xx dx u p dx x O x O x O (3.) (A u σ xx ) x=xe + (A u σ xx ) x=xo = u ε xx = u x. ε xx est le champ de déformations induit par le champ de déplacements u. De plus, en O et en E, imposons la condition u = si le déplacement est connu. La forme intégrale faible d un problème d élasticité s écrit finalement : avec Trouver u(x; t) tel que : xe xe xe W(u, u ) = A u ρ ü dx + EA ε xx (ε xx α T ) dx x O x O x O u p dx (A u σ xx ) x=xe + (A u σ xx ) x=xo = u les conditions aux limites : les conditions initiales : Remarques : ( u(x O ; t) = u O (t) et u (x O ) = ) ou ( Aσ xx ) x=xo = F O (t) ( u(x E ; t) = u E (t) et u (x E ) = ) ou (Aσ xx ) x=xe = F E (t) (3.3b) u(x; t ) = u t (x) et u(x; t ) = u t (x) (3.3c) Les fonctions u et u doivent être suffisamment régulières pour que les expressions ci-dessus aient un sens. Le champ de déplacements u(x; t) est dit cinématiquement admissible (CA). La fonction u est appelée champ de déplacements virtuels. La formulation intégrale (3.3) est l expression du principe des travaux virtuels. Dans l équation (3.1) la fonction u doit être dérivable deux fois et une fois dans l équation (3.3). Ces équations sont dites respectivement forme intégrale forte et forme intégrale faible de l équation différentielle (.1). Sous certaines conditions de régularité, les formulations (.1) et (3.3) sont équivalentes.

4 Méthode des éléments finis 4 Forme discrétisée : éléments finis La solution analytique de l équation (3.3) est en général inaccessible. On est donc conduit à chercher une solution approchée par une méthode numérique : la méthode des éléments finis. Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Galerkin : le champ de déplacements cherché u(x; t) et les fonctions test u appartiennent au même espace E u de dimension finie. 4.1 Approximation du champ de déplacements La poutre est décomposée en tronçons (les éléments) reliés entre eux en des points appelés nœuds. Cette opération s appelle maillage. 4.1.1 Représentation élémentaire (ou locale) du champ de déplacements Le champ de déplacement u e (x; t) dans élément (e) a pour expression : u e 1 (t) où : u e (x; t) = [. N1 e(x) N i e(x) N n e e(x)] u e i (t) = [N e (x)] {u e (t)} (4.1). un e e(t) n e est le nombre de nœuds de l élément. les fonctions Ni e (x) sont les fonctions d interpolation élémentaires (ou fonctions de forme). la matrice [N e (x)] est la matrice d interpolation élémentaire. le vecteur {u e (t)} regroupe les déplacements des nœuds de l élément (e). Exemple : élément à deux nœuds : Fonctions d interpolation : Champ de déplacements dans un élément à deux nœuds :

Élasticité à une dimension 5 4.1. Représentation globale du champ de déplacements Le champ de déplacements u(x; t) a pour expression sur l ensemble de la poutre : u 1 (t) où : u(x; t) = [ N 1 (x)... N i (x)... N n (x) ]. u i (t) = [N(x)] {U(t)} (4.). u n (t) n est le nombre de nœuds du maillage. les fonctions N i (x) sont les fonctions d interpolation (ou fonctions de forme). [N(x)] est la matrice d interpolation. {U(t)} est le vecteur des déplacements nodaux. Les fonctions d interpolation vérifient les relations : Ni e (x j ) = δ ij N i (x j ) = δ ij i, j où x j est l abscisse du nœud j n e n Ni e = 1, N i = 1 i=1 i=1 Exemple : poutre discrétisée en n nœuds, n 1 éléments : (4.3) Fonctions d interpolation sur le domaine : Champ de déplacements sur le domaine : 4. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté ([1], [1], [13]) en : déplacements inconnus {U L }. déplacements imposés et différents de : {U P }.

6 Méthode des éléments finis déplacements nuls : {U S } = {}. Il vient : {U L } =? {U {U} = {U P } = {}, {U L } } = {U P } = {} {U P } = {} {US } = {} Cette partition induit une partition de la matrice d interpolation : (4.4) [N] = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] (4.5) d où l expression de u et u : u = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {U L } {U P }, u = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {UL } {} {} {} (4.6) Remarque : u représente une variation quelconque de u : δu = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {δu L } {δu P } = {} = u où {δu L } = {UL} (4.7) {} 4.3 Discrétisation de la forme intégrale faible De l expression du champ de déplacements sur le domaine : u(x; t) = [N] {U(t)} (4.8) on déduit : où la matrice [B] est égale à : [B] = ü = u = [N] {Ü} (4.9) t ε xx = u = [B] {U} (4.1) x [ N1 x N i x N ] n x (4.11) u = [N] {U } = {U } T [N] T, ε xx = [B] {U } = {U } T [B] T (4.1) En portant ces expressions dans l équation (3.3a), il vient : W({U}, {U }) = {U } T ( [M] {Ü} + [K] {U} {F } ) (4.13) où : xe [M] = ρ A [N] T [N] dx x O xe [K] = EA [B] T [B] dx x O xe xe {F } = [N] T p dx + [B] T EA α T dx + {F nod } x O x O {F nod } T = { } (A σ xx ) x=xo... (A σ xx ) x=xe (4.14)

Élasticité à une dimension 7 [M] est la matrice masse (kg). [K] est la matrice rigidité (N/m). {F } est le vecteur force (N). {U} est le vecteur des déplacements nodaux (m). {Ü} est le vecteur des accélérations nodales (m/s ). Le vecteur {F nod } ne contient que deux composantes non nulles : F O (t) et F E (t). Ces forces sont connues si le déplacement associé est inconnu. Dans le cas contraire ces forces sont des réactions d appui. Remarques : les matrices [M] et [K] sont par construction symétriques. dans l equation (4.13), il convient d ajouter éventuellement la contribution de l amortissement : {U } T [C] { U} (4.15) où [C] est la matrice d amortissement (kg/s) et { U} le vecteur des vitesses nodales (m/s). La partition des degrés de liberté ( 4.) induit une partition de [M], [C], [K] et {F } : [M LL ] [M LP ] [M LS ] [K LL ] [K LP ] [K LS ] [M] = [M P L ] [M P P ] [M P S ], [K] = [K P L ] [K P P ] [K P S ] (4.16) [M SL ] [M SP ] [M SS ] [K SL ] [K SP ] [K SS ] [C LL ] [C LP ] [C LS ] {F L } [C] = [C P L ] [C P P ] [C P S ], {F } = {F P } [C SL ] [C SP ] [C SS ] {F S } (4.17) La forme discrétisée d un problème d élasticité s écrit finalement : Trouver {U L (t)} tel que : W({U L }, {U L}) ={U L} T ( [[MLL ] [M LP ] ] { } {ÜL} + [ [C LL ] [C LP ] ] { { U L } {ÜP } { U P } } + [ [K LL ] [K LP ] ] { {U L } {U P } ) {F L } = {UL} } (4.18) avec les conditions initiales {U L (t )} = {U L, }, { U L (t )} = { U L, } Les déplacements nodaux inconnus {U L (t)} sont donc les solutions de l équation : avec les conditions initiales : [M LL ]{ÜL} + [C LL ]{ U L } + [K LL ]{U L } = {F L } [M LP ]{ÜP } [C LP ]{ U P } [K LP ]{U P } (4.19a) {U L (t )} = {U L, }, { U L (t )} = { U L, } (4.19b) Remarque : par construction, les matrices [K LL ] et [M LL ] sont symétriques.

8 Méthode des éléments finis 4.4 Problèmes particuliers 4.4.1 Problème stationnaire Dans un problème stationnaire, l équation (4.19) se réduit à : [K LL ] {U L } = {F L } [K LP ] {U P } = { F L } (4.) Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [K LL ] n est pas singulière (det [K LL ] ) et les déplacements inconnus sont égaux à : {U L } = [K LL ] 1 { F L } (4.1) Remarque : les réactions d appui {R} sont les composantes (P ) et (S) du vecteur {F nod }. Les déplacements étant connus, elles sont égales à : [ ] { } { } [KP {R} = L ] [K P P ] {UL } {FP } (4.) [K SL ] [K SP ] {U P } {F S } En pratique, cette méthode est peu utilisée : les blocs de matrices [K P L ], [K P P ], [K SL ], [K SP ], {F P } et {F S } ne sont pas assemblés. 4.4. Modes propres de vibration Les modes propres de vibration de la poutre sont les solutions de l équation : En posant : où {ŨL} est indépendant du temps, il vient : [M LL ] {ÜL} + [K LL ] {U L } = {} (4.3) {U L (t)} = {ŨL} sin ω t (4.4) [K LL ]{ŨL} = ω [M LL ]{ŨL} (4.5) où ω est une pulsation propre de la poutre et {ŨL} le vecteur propre associé. Les pulsations propres sont les solution de l équation : 4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage det ( [K LL ] ω [M LL ] ) = (4.6) Dans la pratique, [M], [K] et {F } sont construits élément par élément. Cette opération s appelle assemblage. De l expression du champ de déplacements dans l élément (e) : u e (x; t) = [N e (x)] {u e (t)} (4.7) on déduit : ε e xx = [B e ] {u e } avec [B e ] = [ B e 1 B e i B e n e ] ü e = [N e ] {ü e } (4.8), B e i = N e i x (4.9) u e = [N e ] {u e } = {u e } T [N e ] T, ε e xx = [B e ] {u e } = {u e } T [B e ] T (4.3)

Élasticité à une dimension 9 En reportant ces expressions dans l équation (3.3a), il vient : W({U}, {U }) = e {u e } T ( [m e ] {ü e } + [k e ] {u e } {f e } ) {U } T {F nod } (4.31) où : [m e ] = ρ A [N e ] T [N e ] dx L e [k e ] = EA [B e ] T [B e ] dx L e {f e } = [N e ] T p dx + [B e ] T E A α T dx L e L e Dans ces formules, L e représente la longueur de l élément (e). (4.3) Exemple : soit un élément de longueur L et de section droite constante (aire A). Cet élément porte une force uniformément répartie d intensité linéique p. La masse volumique du matériau est égale à ρ. Les matrices élémentaires sont égales à : L équation (3.3a) s écrit : [N e ] = 1 [ ] L x x, [B e ] = 1 [ ] 1 1 L L [m e ] = ρ A L [ ] [ ] L x [L ] ρ AL 1 x x dx = L x 6 1 [k e ] = EA L [ ] [ ] 1 [ 1 ] EA 1 1 1 dx = L 1 L 1 1 {f e } = 1 L { } L x p dx = p L { 1 L x 1} W({U}, {U }) = {U } T ( e ) ( ) [M e ] {Ü} + [Ke ] {U} {F e } {F nod } (4.33) Dans les matrices [M e ] et [K e ] et dans le vecteur {F e }, obtenus par expansion respectivement de [m e ], [k e ] et {f e }, les seuls termes non nuls sont les termes associés aux degrés de liberté de l élément (e). Par exemple, pour l élément (i j), le terme {u e } T [k e ] {u e } est égal à : {u e } T [k e ] {u e } = [ u i u ] [ ] { } k 11 k 1 ui j k 1 k u j......... u 1.............. = [ u 1... u i... u j... u ]... k 11... k 1... u i n............ (4.34)..... k 1... k... u j....................... = {U } T [K e ] {U} u n On en déduit : [M] = e [M e ], [K] = e [K e ], {F } = e {F e }

1 Méthode des éléments finis Remarques : la partition des degrés de liberté ( 4.) est effectuée avant la phase d assemblage. dans le logiciel RDM seuls les blocs [K LL ], [K LP ], [M LL ], [M LP ] et {F L } sont assemblés. 4.6 Exemple de mise en équation 4.6.1 Énoncé Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du matériau de la poutre représentée sur la figure 4. Figure 4 Exemple de mise en équation L aire de la section droite est égale à A entre et L et à A entre L et L. Elle est soumise à : une force uniformément répartie d intensité linéique p entre les abscisses et L. un déplacement imposé : u( L; t) = a sin ω t. Les conditions initiales sont : u t (x) =, u t (x) =. 4.6. Discrétisation La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds : (1 ), ( 3) et (3 4). Les variables nodales sont donc : u 1 (t) = u {U(t)} = (t) =? u 3 (t) =? u 4 (t) = a sin ω t 4.6.3 Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus : { } u (t) =? {U L } =, {U u 3 (t) =? P } = {u 4 (t) = a sin ω t}, {U S } = {u 1 (t) = } d où : u {U L } (t) =? {U} = {U P } = u 3 (t) =? u {U S } 4 (t) = a sin ω t u 1 (t) =

Élasticité à une dimension 11 On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u 1 u {DDL} = 1 u 3 u 4 3 4.6.4 Remarque La figure 5 représente la forme de la solution cherchée u(x; t) et des fonctions test u = δu. Figure 5 Forme de la solution cherchée et fonctions test 4.6.5 Matrices élémentaires Les matrices élémentaires sont : élément 1 : [k 1 ] = 4 EA L [ 1 ] 1 1 1 { } u1 {ddl 1 } = u 1, [m 1 ] = ρ A L 6 [ ] 1 1, {f 1 } = p L 4 { } 1 1 élément 3 : {ddl 3 } = { } u 1 u 3 [k 3 ] = [k 1 ], [m 3 ] = [m 1 ], {f 3 } = {f 1 } élément 3 4 : [k 3 4 ] = EA L {ddl 3 4 } = [ 1 ] 1 1 1 { } u3 u 4 3, [m 3 4 ] = ρ A L 6 [ ] 1 1 4.6.6 Assemblage L assemblage des matrices élémentaires conduit à la relation : ρ A L 6 [ 4 1 1 4 1 ] ü ü 3 a ω + EA L sin ωt [ 8 4 4 5 1 ] u u 3 = p L 4 a sin ωt { } 1 Remarque : seuls les blocs [K LL ], [K LP ], [M LL ], [M LP ] et {F L } sont assemblés.

1 Méthode des éléments finis 4.6.7 Équation Les déplacements inconnus u et u 3 sont les solutions de l équation : ρ A L 6 = p L 4 avec les conditions initiales : { } u (t ) = u 3 (t ) [ ] } 4 1 {ü + EA [ ] { } 8 4 u 1 4 ü 3 L 4 5 u 3 { } + ρ A L { } 1 6 a ω + EA sin ωt L { } u (t ) = u 3 (t ) { } { a sin ωt 5 Calculs élémentaires : éléments isoparamétriques 5.1 Élément isoparamétrique : définition À chaque élément réel, on associe un élément de référence. } Figure 6 Élément isoparamétrique 5.1.1 Représentation de la géométrie La transformation géométrique qui fait passer de l élément de référence à l élément réel possède les propriétés suivantes : elle est de la forme : où : x(ξ) = n N i (ξ) x i (5.1) i=1 n est le nombre de nœuds de l élément réel. ξ est la coordonnée d un point de l élément de référence. x(ξ) est la coordonnée du point de l élément réel. les fonctions N i (ξ) sont les fonctions d interpolation (ou fonctions de forme). les x i sont les abscisses des nœuds de l élément. Le jacobien de la transformation est égal à : x 1 J(ξ) = x ξ = n i=1 [ N i ξ x N1 i = ξ N i ξ N n ξ ]. x i. x n (5.)

Élasticité à une dimension 13 elle est nodale : un nœud de l élément de référence devient un nœud de l élément réel (les deux éléments possèdent donc le même nombre de nœuds) : x i = x(ξ i ) = n N j (ξ i ) x j, i = 1,..., n (5.3) j=1 où ξ i est l abscisse du i e nœud de l élément de référence. On en déduit : N j (ξ i ) = { si i j 1 si i = j (5.4) Remarque : si les nœuds de l élément de référence sont espacés régulièrement entre 1 et +1, on a : ξ i = 1 + i 1 (5.5) n 1 elle est bijective : le jacobien ne doit pas changer de signe sur l élément. Nous imposerons la condition : J(ξ) > (5.6) On appelle qualité du jacobien la quantité : Remarques : q J = longueur de l élément de référence longueur de l élément réel min(j(ξ)) ( q J 1) (5.7) La qualité est maximale est 1 : dans ce cas, le jacobien est constant dans l élément. Dans la pratique, pour évaluer q J, on se contente de calculer J(ξ) aux nœuds de l éléments. D autres définitions sont possibles, par exemple : q J = min(j(ξ)) max(j(ξ)) ( q J 1) (5.8) 5.1. Représentation du champ de déplacements Les fonctions N i (ξ) qui définissent la transformation géométrique sont les fonctions d interpolation pour le champ de déplacements (élément isoparamétrique) : où u i est le déplacement du nœud i. u(ξ) = n N i (ξ) u i (5.9) i=1 Critère de complétude : pour que la solution éléments finis converge vers la solution exacte quand la taille des éléments tend vers zéro, l élément doit pouvoir représenter un champ de déplacements qui correspond à des déformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Considérons donc le champ de déplacements : u(x) = a + b x (5.1) d où les valeurs nodales : u i = a + b x i, i = 1,..., n (5.11)

14 Méthode des éléments finis Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique (équation 5.9) : n n u(ξ) = N i (ξ) u i = N i (ξ) (a + b x i ) = a i=1 i=1 En utilisant la relation (5.1), il vient : n N i (ξ) + b i=1 n N i (ξ) x i (5.1) i=1 n u(x) = a N i (ξ) + b x (5.13) i=1 On retrouve le champ de déplacements (5.1) si : n N i (ξ) = 1 (5.14) Cette condition est vérifiée par les éléments décrits ci-dessous. 5. Bibliothèque d éléments 5..1 Élément à deux nœuds. i=1 Figure 7 Élément à deux nœuds Les coordonnées nodales sont x 1 et x avec L = x x 1. Soient u 1 et u les déplacements nodaux. La transformation géométrique est de la forme : x(ξ) = a + b ξ = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ] et {A} = { } a b (5.15) [P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation. La transformation est nodale d où : { } { } x1 x( 1) = = x(1) On en déduit x [ 1 1 1 1 ] { a b d où l expression de la matrice d interpolation : } { } = [C] {A} d où {A} = [C] 1 x1 x { } x(ξ) = [P (ξ)] [C] 1 x1 x (5.16) (5.17) [N(ξ)] = [ N 1 (ξ) N (ξ) ] = [P (ξ)] [C] 1 (5.18) avec : [ 1 ξ [N(ξ)] = ] 1 + ξ, [ ] [ Ni 1 = ξ ] 1 (5.19)

Élasticité à une dimension 15 L élément est isoparamétrique : Figure 8 Élément à deux nœuds : fonctions d interpolation représentation de la géométrie : x(ξ) = [N] { x1 x } = 1 ξ x 1 + 1 + ξ x = x 1 + x + ξ L (5.) Le jacobien de la transformation est égal à : J = i=1 N i ξ x i = x x 1 = L (5.1) et est constant dans l élément. représentation du champ de déplacements : { } u1 u(ξ) = [N] u = 1 ξ u 1 + 1 + ξ u (5.) 5.. Élément à trois nœuds. Figure 9 Élément à trois nœuds Les coordonnées nodales sont x 1, x et x 3 avec L = x 3 x 1. Soient u 1, u et u 3 les déplacements nodaux. La transformation géométrique est de la forme : a x(ξ) = a + b ξ + c ξ = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ξ ] et {A} = b c (5.3) [P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation. La transformation est nodale : x 1 x( 1) 1 1 1 a x = x() = 1 b = [C] {A} x(1) 1 1 1 c d où {A} = [C] 1 x 3 x 1 x x 3 (5.4)

16 Méthode des éléments finis On en déduit x(ξ) = [P (ξ)] [C] 1 d où l expression de la matrice d interpolation (programme 3n int) : x 1 x x 3 (5.5) [N(ξ)] = [ N 1 (ξ) N (ξ) N 3 (ξ) ] = [P (ξ)] [C] 1 (5.6) avec : [ ξ(ξ 1) [N(ξ)] = ] 1 ξ ξ(ξ + 1), [ ] [ Ni ξ 1 = ξ ξ ] ξ + 1 (5.7) L élément est isoparamétrique : Figure 1 Élément à trois nœuds : fonctions d interpolation représentation de la géométrie : x(ξ) = [N] x 1 x x 3 = ξ (ξ 1) x 1 + (1 ξ ) x + ξ (ξ + 1) x 3 (5.8) Cette expression se réduit à : x(ξ) = x + ξ L si le nœud est situé au milieu de l élément. représentation du champ de déplacements : u 1 ξ (ξ 1) u(ξ) = [N] u = Le jacobien de la transformation est égal à : u 3 u 1 + (1 ξ ) u + ξ (ξ + 1) u 3 (5.9) J(ξ) = x(ξ) ξ = 3 i=1 N i ξ x i = x 3 x 1 + ξ (x 1 + x 3 x ) = L + ξ (x 1 + x 3 x ) (5.3) et se réduit à L/ si le nœud est au milieu de l élément. La qualité du jacobien est égale à : ( q J = min 1 + L (x 1 + x 3 x ), 1 ) L (x 1 + x 3 x ) (5.31) Elle est maximale (q J = 1) si le nœud est au milieu de l élément. Remarque : la condition J(ξ) > impose certaines conditions à la position du nœud. Considérons l élément réel de longueur L et de coordonnées : x 1 = L/, x, x 3 = L/.

Élasticité à une dimension 17 Le point de coordonnée ξ dans l élément de référence devient dans l élément réel le point de coordonnée : x(ξ) = 1 ξ L + (1 ξ ) x et le jacobien de la transformation est égal à : J(ξ) = 1 L ξ x Figure 11 Transformation géométrique x(ξ) et jacobien de la transformation J(ξ) Pour que le déterminant du jacobien reste positif quand ξ varie de 1 à +1, la quantité x doit rester comprise entre les valeurs L/4 et L/4. Si x est en dehors de cet intervalle, la transformation géométrique n est pas bijective : à certaines valeurs de l abscisse x correspondent deux valeurs de ξ (figure 11). 5.3 Calcul des matrices élémentaires 5.3.1 Transformation des dérivées La dérivée d une fonction f(x) par rapport à ξ est égale à : f ξ = f x x ξ = J f x On en déduit l expression de la dérivée de f(x) par rapport à x : f x = 1 f J ξ (5.3) (5.33) 5.3. Transformation des longueurs L élément de longueur dξ à l abscisse ξ dans l élément de référence devient l élément de longueur dx à l abscisse x(ξ) dans l élément réel (figure 1) : dx = x dξ = J(ξ) dξ ξ

18 Méthode des éléments finis Remarque : la longueur de l élément est égale à : 5.3.3 Calcul des matrices La matrice de rigidité est égale à : où : De même : [ k ] = [m] = {f th } = L Figure 1 Transformation des longueurs L = E A [B] T [B] dx = 1 1 1 1 J(ξ) dξ [B] = [B 1 B i B n ] avec B i = N i x = 1 N i J ξ L {f(p)} = L 5.3.4 Intégration numérique ρ A [N] T [N] dx = L 1 p [N] T dx = E A α T [B] T dx = 1 1 E A(ξ) [B(ξ)] T [B(ξ)] J(ξ) dξ (5.34) (5.35) ρ A(ξ) [N(ξ)] T [N(ξ)] J(ξ) dξ (5.36) 1 1 1 p(ξ) [N(ξ)] T J(ξ) dξ (5.37) E A α T [B(ξ)] T J(ξ) dξ (5.38) Ces intégrales sont évaluées numériquement par la méthode de Gauss [3, 9, 1, 13] : 1 1 npi f(ξ) dξ w i f(ξ i ) (5.39) où npi, w i et ξ i sont respectivement le nombre de points d intégration, le poids et l abscisse du i e point d intégration. npi ξ i w i 1 ( ±.57735691896576 ± ) 1/3 1 3 4 i=1 (.88888888888888889 (8/9) ±.7745966694148338 ± ) 3/5.55555555555555556 (5/9) 3 ( ) 6/5 ±.339981435848566 ± 1.651451548654614 7 + 1 6 6/5 3 + ( ) 6/5 ±.861136311594558 ± 1.34785484513745386 7 1 6 6/5 Table 1 Points d intégration et coefficients de pondération pour la méthode de Gauss

Élasticité à une dimension 19 Remarque : un polynôme de degré inférieur ou égal à npi 1 est intégré exactement par la méthode de Gauss à npi points. Il vient pour les matrices élémentaires : npi [ k ] E A(ξ i ) [B(ξ i )] T [B(ξ i )] J(ξ i ) w i i=1 npi [m] ρ A(ξ i ) [N(ξ i )] T [N(ξ i )] J(ξ i ) w i i=1 npi {f(p)} p(ξ i ) [N(ξ i )] T J(ξ i ) w i i=1 npi {f th } = {f( T )} E A(ξ i ) α T (ξ i ) [B(ξ i )] T J(ξ i ) w i i=1 (5.4) 5.4 Cas particulier : la section droite est constante 5.4.1 Élément à deux nœuds Jacobien de la transformation : Matrice [B] : Matrice de rigidité : Matrice de masse : [B] = [k] = [ N1 x [m] = 1 1 1 1 J = x ξ = i=1 ] N = 1 [ N1 x J ξ N i ξ x i = L E A [B] T [B] J dξ = EA L ρ A [N] T [N] J dξ = ρ A L 6 ] N = 1 [ 1 1] ξ L [ 1 ] 1 1 1 [ ] 1 1 Vecteur force dû à une force uniformément répartie d intensité linéique p : {f} = 1 1 [N] T p J dξ = pl Vecteur force dû à une force répartie dont l intensité linéique varie linéairement entre les valeurs p 1 et p : {f} = L { } p1 + p 6 p 1 + p { } 1 1 Vecteur force dû à une force ponctuelle d intensité P située à l abscisse x P : {f} = P { } b, a = x L a P x 1, b = x x P Vecteur force dû à une variation de température T constante : { } 1 {f th } = E A α T 1

Méthode des éléments finis 5.4. Élément à trois nœuds équidistants (programme 3n mat) Jacobien de la transformation : Matrice [B] : [B] = [ N1 x Matrice de rigidité : Matrice de masse : N x [k] = [m] = J = x ξ = ] N 3 = 1 [ N1 x J ξ 1 1 1 1 3 i=1 N ξ N i ξ x i = L EA [B] T [B] J dξ = EA 3 L ρ A [N] T [N] J dξ = ρ A L 3 ] N 3 = 1 [ ] ξ 1 4 ξ ξ + 1 ξ L 7 8 1 8 16 8 1 8 7 4 1 16 1 4 Vecteur force dû à une force uniformément répartie d intensité linéique p : 1 {f} = [N] T p J dξ = pl 1 4 1 6 1 Vecteur force dû à une force répartie dont l intensité linéique varie linéairement entre les valeurs p 1 et p 3 : {f} = L p 1 p 1 + p 3 6 Vecteur force dû à une force ponctuelle d intensité P située à l abscisse x P : {f} = P b (L a) L 4 a b, a = x P x 1, b = x 3 x P a (L b) Vecteur force dû à une variation de température T constante : 1 {f th } = E A α T 1 6 Calcul des contraintes L approximation du champ de déplacements dans un élément est donnée sous forme paramétrique : p 3 où : x(ξ) = n N i (ξ) x i, u(ξ) = i=1 n N i (ξ) u i = [N] {u} (6.1) i=1 n est le nombre de nœuds de l élément.

Élasticité à une dimension 1 les N i (ξ) sont les fonctions d interpolation élémentaires. {u} est le vecteur déplacement élémentaire. les x i sont les coordonnées nodales. Soit L la longueur de l élément. 6.1 Première méthode Les contraintes sont calculées avec la formule : avec : [B] = [ N1 x... N i x... N ] n x σ xx = E u = E [B] {u} (6.) x, N i x = 1 N i J ξ Le champ de contraintes est alors donné sous forme paramétrique :, J = x ξ = n i=1 N i ξ x i Élément à deux nœuds : x(ξ) = x 1 + x + L ξ, σ xx(ξ) = E u x = E L [ ] { } u 1 1 1 u (6.3) Élément à trois nœuds équidistants : x(ξ) = x 1 + x + L ξ, σ xx(ξ) = E L [ ] ξ 1 4 ξ ξ + 1 u 1 u u 3 (6.4) Cette méthode donne le résultat exact pour un champ de contraintes constant (élément à deux nœuds) ou linéaire (élément à trois nœuds). Il est préférable d utiliser la méthode présentée au paragraphe suivant. 6. Deuxième méthode L équilibre de l élément s écrit (3.3a) : xn xn xn W(u, u ) = A u ρ ü dx + A ε xx σ xx dx x 1 x 1 x 1 u p dx (6.5) + (A u σ xx ) x=x1 (A u σ xx ) x=xn = u De l expression du champ de déplacements dans l élément : u(x; t) = [N] {u(t)}, u (x) = {u } T [N] T on déduit : {u } T ( [ m ] {ü} + [ k ] {u} {f} {f nod }) = {u } (6.6)

Méthode des éléments finis avec : [ m ] = [ k ] = xn x 1 ρ A [N] T [N] dx (6.7) xn x 1 EA [B] T [B] dx (6.8) xn où N x (x) est l effort normal dans l élément. L équilibre de l élément s écrit finalement : xn {f} = [N] T p dx + [B] T EA α T dx (6.9) x 1 x 1 A(x 1 ) σ xx (x 1 ) N x (x 1 ) {f nod } =. =. (6.1) A(x n ) σ xx (x n ) N x (x n ) {f nod } = [ m ] {ü} + [ k ]{u} {f} (6.11) Remarque : cette méthode permet également le calcul des actions de liaison : si le déplacement du i e nœud de l élément est prescrit, f nod,i est la contribution de l élément à l action de liaison. Cas particulier : problème stationnaire Si le problème est stationnaire, la relation ci-dessus se réduit à : {f nod } = [ k ]{u} {f} (6.1) Si la section droite est constante, cette formule donne la valeur exacte de l effort normal aux deux extrémités de l élément. L intégration de l équation d équilibre : donne l effort normal N x (x), puis la contrainte σ xx (x) : dn x dx + p = (6.13) x N x (x) = N x (x 1 ) p dx, σ xx (x) = N x(x) x 1 A (6.14) 7 Exemples 7.1 Poutre soumise à une force répartie et à une force nodale La poutre de longueur 3 L représentée sur la figure a une section droite constante d aire A. Soit E le module de Young du matériau.

Élasticité à une dimension 3 Les sections x = et x = 3 L sont encastrées. La poutre est soumise entre L et 3 L à une force répartie dont l intensité linéique varie entre p et. La section d abscisse L porte une force d intensité pl. La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds de longueur L. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus : { } { } { } u =? u u1 = {UL } u {U L } =, {U u S } = d où {U} = = 3 =? 3 u 4 = {U S } u 1 = u 4 = On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u 1 u {DDL} = 1 u 3 u 4 Étude élémentaire Les matrices élémentaires sont : {ddl 1 } = [k 1 ] = [k 3 ] = [k 3 4 ] = EA L { } u1 u 1, {ddl 3 } = [ 1 ] 1 1 1 { } u 1 u 3, {f 3 4 } = pl 6, {ddl 3 4 } = Étude globale : assemblage et calcul des déplacements inconnus { } 1 { } u3 u 4 L assemblage conduit à la relation : [K LL ] {U L } = {F L } EA L [ ] { 1 u 1 u 3 } = { } pl + pl 6 { } = pl 3 { } 3 1 On en déduit : u = 7 pl 9 EA, u 3 = 5 pl 9 EA Champ de déplacements et contraintes dans les éléments ( 6) Pour chaque élément, l origine de l axe est l origine de l élément. élément 1 :

4 Méthode des éléments finis champ de déplacements : contraintes : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 ξ u 1 + 1 + ξ u = (1 + ξ) 7 pl 18 EA méthode 1 : N(x) = E L [ 1 méthode : { } N1 = [k N 1 ] réaction d appui au nœud 1 : élément 3 : champ de déplacements : { u1 u } { } 1 ] u1 = 7 pl u 9 d où N(x) = N 1 = 7 pl 9 F 1 = N 1 = 7 pl 9 N 1 = N = 7 pl 9 contraintes : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 ξ u + 1 + ξ u 3 = (6 ξ) pl 9 EA méthode 1 : méthode : { } N = [k N 3 ] 3 élément 3 4 : N = EA L [ 1 1 ] { u u 3 } { u u 3 d où N(x) = N = } = pl 9 pl 9 N = N 3 = pl 9 champ de déplacements : contraintes : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 ξ u 3 + 1 + ξ u 4 = (1 ξ) 5 pl 18 EA méthode 1 : N = EA L [ 1 1 ] { u3 u 4 } = 5 pl 9 méthode : { } N3 = [k 3 4 ] N 4 { u3 u 4 } pl 6 { } 1 d où N 3 = pl 9 N 4 = 13 pl 18 N(x) = N 3 px + px L = pl 9 px + px L

Élasticité à une dimension 5 réaction d appui au nœud 4 : F 4 = N 4 = Remarque : l équilibre de la poutre est vérifié : F 1 + F + F 3 + F 4 + pl Représentations graphiques = 7 pl 9 13 pl 18 + pl + + 13 pl 18 + pl = Le champ de déplacements et l effort normal sont représentés sur la figure (13). Figure 13 Champ de déplacements et effort normal 7. Modes propres d une poutre 7..1 Énoncé Considérons la poutre de longueur L représentée sur la figure (14). La section x = est encastrée. Figure 14 Exemple Soit A l aire de la section droite. E et ρ sont respectivement le module de Young et la masse volumique du matériau. Calculer les modes propres de vibration en utilisant les modélisations suivantes : La poutre est représentée par un élément à deux nœuds. La poutre est discrétisée en deux éléments à deux nœuds de même longueur. La poutre est représentée par un élément à trois nœuds équidistants. 7.. Solution analytique L équation d équilibre s écrit : ρ A ü ( EA u ) = x x

6 Méthode des éléments finis avec les conditions aux limites : u(x = ; t) =, σ xx (x = L; t) = soit La recherche de la solution harmonique u (x = L; t) = x u(x; t) = u(x) sin ω t conduit à l équation E d u dx + ω ρ u = avec u(x = ) = et u (x = L) = x qui admet comme solutions les fonctions : ρ u n (x) = a sin ω n E x avec ω n = ( n 1) π E ρ L n = 1,... soit u n (x) = a sin ( n 1) π x L Les deux plus petites pulsations propres sont donc égales à : ω 1 = π E ρl = 1.578 E ρl, ω = 3 π E ρl = 4.714 E ρl On a de plus : u 1 (x = L/) = a =.771 a, u 1(x = L) = a u (x = L/) = a =.771 a, u (x = L) = a 7..3 Modélisation 1 La poutre est représentée par un élément à deux nœuds. Partition des degrés de liberté {DDL} = { } u1 u 1 Matrices élémentaires Les matrices élémentaires sont : [k 1 ] = EA L [ 1 ] 1 1 1, [m 1 ] = ρ A L 6 [ ] 1 1

Élasticité à une dimension 7 Étude globale : assemblage L assemblage conduit à l équation : Résolution ρ A L 6 [] {ü } + EA L [1] {u } = {} La solution harmonique cherchée est de la forme u = a sin ω t d où : ρ A L 6 ω a sin ω t + EA L a sin ω t = La pulsation propre est égale à : ω 1 = 1.731 E ρ L (erreur = 1.7 %) Le vecteur propre associé est : { }. 1 Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 + ξ 7..4 Modélisation La poutre est discrétisée en deux éléments (1 ) et ( 3) de longueur L. Partition des degrés de liberté Matrices élémentaires { } u1 {ddl 1 } = u 1 [k 1 ] = [k 3 ] = EA [ ] 1 1 L 1 1 Étude globale : assemblage u 1 {DDL} = u 1 u 3, {ddl 3 } = { } u 1 u 3, [m 1 ] = [m 3 ] = ρ A L 1 [ ] 1 1 L assemblage conduit à l équation : [ ] } ρ A L 4 1 {ü + EA 1 1 L ü 3 [ 1 1 1 ] { } u = u 3 { }

8 Méthode des éléments finis Résolution On cherche la solution harmonique { } u (t) = u 3 (t) { a a 3 } sin ω t Les amplitudes a et a 3 sont donc les solutions de l équation aux valeurs propres : [ ] { } EA 1 a, = ω ρ A L [ ] { } 4 1 a (K L 1 1 1 1 LL ] {U L } = ω [M LL ] {U L }) Les modes propres sont : Mode 1 : a 3 La pulsation propre est égal à : E ω 1 = 1.6114 ρ L (erreur =.59 %) Le vecteur propre associé est :.771 1 Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : élément 1 : élément 3 : Mode : x(ξ) = 1 + ξ 4 x(ξ) = 3 + ξ 4 a 3 L, u(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 ξ.771 + 1 + ξ.771 =.3536 (1 + ξ) La pulsation propre est égal à : ω = 5.693 E ρ L (erreur = 19.46%) Le vecteur propre est associé :.771 1 Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : élément 1 : élément 3 : x(ξ) = 1 + ξ 4 x(ξ) = 3 + ξ 4 L, u(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = 1 ξ.771 + 1 + ξ =.8536 +.1464 ξ.771 =.3536 (1 + ξ) =.1464 +.8536 ξ

Élasticité à une dimension 9 7..5 Modélisation 3 La poutre est représentée par un élément à trois nœuds équidistants (1 3). Partition des degrés de liberté u 1 {DDL} = u 1 u 3 Matrices élémentaires La matrice de rigidité et la matrice masse sont : [k 1 3 ] = EA 7 8 1 8 16 8, [m 1 3 ] = ρ A L 3 L 3 1 8 7 4 1 16 1 4 Étude globale : assemblage L assemblage conduit à l équation : [ ] } ρ A L 16 {ü 3 4 Résolution ü 3 + EA 3 L [ 16 8 8 7 ] { } u = u 3 { } On cherche la solution harmonique { } u (t) = u 3 (t) { a a 3 } sin ω t Il vient : Les modes propres sont : EA 3 L [ 16 8 8 7 ] { } a a 3 = ω ρ A L 3 [ ] { } 16 a 4 a 3 Mode 1 : La pulsation propre est égal à : E ω 1 = 1.5767 ρ L (erreur =.38 %) Le vecteur propre associé est :.768 1

3 Méthode des éléments finis Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : Mode : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = (1 ξ ).768 + ξ (ξ + 1) =.768 +.5 ξ.68 ξ La pulsation propre est égal à : E ω = 5.678 ρ L (erreur =.38 %) Le vecteur propre associé est :.468. 1 Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : x(ξ) = 1 + ξ L, u(ξ) = (1 ξ ).468 + ξ (ξ + 1) =.468 +.5 ξ +.968 ξ 7.3 Poutre à section droite variable soumise à une variation de température 7.3.1 Énoncé La poutre de longueur L représentée sur la figure ci-dessous est encastrée à ses deux extrémités. Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau. La section droite est un carré plein dont le côté varie linéairement entre c et c. La poutre est soumise à une variation de température T constante. Étudier le champ de déplacements u(x) et le champ de contraintes σ xx (x) dans la poutre. 7.3. Solution analytique Le champ de déplacements u(x) et le champ de contraintes σ xx sont les solutions de : ( ) u ( x (A σ xx) =, σ xx = E x α T avec A(x) = c 1 + x ) L

Élasticité à une dimension 31 avec les conditions aux limites : u(x = ) = u(x = L) =. On en déduit : A σ xx = N où la constante N est l effort normal dans la poutre. Le champ de déplacements u(x) est la solution de l équation : On obtient : u x = α T + N EA = α T + N L E c (L + x) avec u(x = ) = u(x = L) = u(x) = α T Le déplacement au milieu de la poutre est : (x L + ) L L + x et N = α T E c u(x = L/) = 1 6 α T L =.1667 α T L Le déplacement est maximal pour x max = L ( 1) =.414 L : La contrainte normale dans la poutre est égale à : d où 7.3.3 Solution éléments finis Posons : u(x max ) = α T L ( 3) =.1716 α T L. σ xx = N A = E α T L (L + x) σ xx (x = ) = E α T, σ xx (x = L) = 1 E α T u(x =.5 L) = C 1 α T L, x max = C L, u(x max ) = C 3 α T L. N = C 4 α T E c Les contraintes sur un élément sont évaluées à l aide de la formule : {f nod } = [ k ]{u} {f} La poutre est discrétisée en éléments à nœuds : Les matrices de rigidité et les forces élémentaires sont évaluées par intégration numérique avec points de Gauss. Nombre Nombre d éléments de nœuds C 1 C C 3 C 4 3 -.167.5 -.167 -.9-3.6 % *.71 % -6.35 % -4.61 % 4 5 -.165.5 -.165 -.4-1. %.71% -3.85 % -1. % 8 9 -.1663.375 -.17 -.6 -.4 % -9.46 % -.93 % -.3 % 1 13 -.1665.4167 -.1714 -.3 -.1 %.6 % -.1 % -.13 % Solution analytique -.1667.414 -.1716 -.

3 Méthode des éléments finis * Erreur par rapport à la solution analytique. La poutre est discrétisée en éléments à 3 nœuds équidistants : Les matrices de rigidité et les forces élémentaires sont évaluées par intégration numérique avec respectivement 3 et points de Gauss. Nombre Nombre d éléments de nœuds C 1 C C 3 C 4 1 3 -.156.5 -.156 -.1-6.3 %.71 % -8.97 % -1.4 % 5 -.1665.498 -.1749 -. -.1 % -1.6 % 1.9 % -.1 % 4 9 -.1667.418 -.1718 -.. %.97 %.1 % -.1 % Solution analytique -.1667.414 -.1716 -. Remarque : dans RDM-Ossatures, la matrice de rigidité est calculée à l aide du théorème de Castigliano ; on obtient (avec un seul élément de poutre) : C 1 =.1667 ( %), C =.4 (1.4 %) C 3 =.1715 (.6 %), C 4 =. ( %) 7.4 Influence de la position du nœud milieu sur la performance d un élément isoparamétrique à trois nœuds La poutre représentée ci-dessous, de longueur L et de section droite constante, est encastrée à ses deux extrémités. Soient A l aire de la section et E le module de Young du matériau. Elle est soumise sur toute sa longueur à une force uniformément répartie d intensité linéique p. Solution analytique : Le champ de déplacements est solution de l équation : d u dx + p ( EA = avec u ± L ) = La solution exacte de cette équation est : u(x) = (1 4 ) x p L L 8 EA Le déplacement est maximal pour x = et vaut p L 8 EA.

Élasticité à une dimension 33 La contrainte normale suivant x est égale à : Discrétisation : σ xx (x) = E u x = p x A d où σ xx( L/) = p L A et σ xx(l/) = p L A Le mur est représenté par un élément isoparamétrique à trois nœuds : Représentation de la géométrie : x(ξ) = [ ] x 1 = L/ N 1 N N 3 x x 3 = L/ d où avec N 1 (ξ) = ξ (1 ξ)/ N (ξ) = 1 ξ N 3 (ξ) = ξ (1 + ξ)/ Le jacobien de la transformation est égal à : x(ξ) = ξ L + (1 ξ ) x J = x(ξ) ξ = 3 i=1 N i (ξ) ξ x i = L ( 1 4 ξ x ) L Représentation du champ de déplacements : u(ξ) = [ ] u 1 = N 1 N N 3 u = (1 ξ ) u u 3 = Le déplacement est donc maximal dans l élément pour ξ =, c est à dire pour x = x quel que soit la valeur de x. Résolution (programme 3n milieu) : Calcul du déplacement inconnu u : Compte-tenu des conditions aux limites, le déplacement u est solution de l équation : K u = F avec K = En utilisant les relations il vient : K = 8 EA L 1 1 ξ 1 4 ξ x L L/ L/ N x = 1 J EA N x N ξ dξ, F = et 1 N L/ x dx et F = p N dx L/ dx = J dξ, 1 p (1 ξ ) L ( 1 4 ξ x L ) dξ = p L 3 Remarque : la force nodale F est indépendante de x (les termes de degré impair n apportent aucune contribution à F ). Le déplacement de la section d abscisse x est égal à C p L 8 EA où le coefficient C dépend de x et du nombre de points de Gauss npi utilisés pour calculer le coefficient K :

34 Méthode des éléments finis Céléments x q J C finis analytique npi = npi = 3 npi = 4 npi = 5 K exact 1 1 1 = = = =.987.976.5 L.8.99 = = = -.3 % -1.41 %.947.94.9.1 L.6.96 = = -1.35 % -.8 % -6.4 %.88.784.774.773.15 L.4.95 = -7.37 % -17.47 % -18.53 % -18.63 %.787.616.58.574.57. L..84-6.35 % -6.67 % -3.71 % -31.6 % -31.9 % Erreur par rapport à la solution analytique. Remarques : Dans la table ci-dessus, q J représente la qualité du jacobien (5.7) : q J = longueur de l élément de référence longueur de l élément réel min (J) = 1 4 x L si x =, le modèle donne la solution exacte. C analytique = 1 4 x L (voir solution analytique) La meilleure solution est obtenue avec npi =. Figure 15 Champ de déplacements u(x) Calcul de la contrainte normale dans la poutre : La matrice de rigidité est évaluée avec deux points de Gauss : ξ G1 = ξ G = 1, w G1 = w G = 1 3 Posons α = 4 x 3 L. Il vient : K = 16 EA 3 L (1 α ) d où u = p L 8 EA (1 α ) Méthode 1 : la contrainte σ xx est évaluée à l aide de la loi de comportement : σ xx (ξ) = E u(x) x = E [ ] N {U} x

Élasticité à une dimension 35 qui se réduit ici à : On obtient pour K : σ xx = E 1 J N ξ u = E L 4 ξ 4 ξ x L 1 u = K p L A x nœud 1 nœud 3.5 -.5.5 L.411 -.617.1 L.338 -.789.15 L.75-1.1.5 L.19-1.967 Remarque : évaluons σ xx aux deux points de Gauss G 1 et G. Il vient : x G1 = x ( 3 1 ) = L ( 3 (1 α), σ G1 = σ xx 1 ) = p L 3 3 A (1 α) = p A x G1 ( ) 1 x G = x 3 = L ( ) 1 3 (1 + α), σ G = σ xx = p L 3 3 A (1 + α) = p A x G La droite qui passe par les valeurs calculées aux deux points de Gauss a pour équation : σ xx (x) = p A x Elle est indépendante de x et représente dans ce cas particulier la solution exacte. Méthode : On utilise la relation : {f nod } = [ k ] {u} {f}. Il vient : avec : { K1 K 3 N 1 = K 1 u F 1, N 3 = K 3 u F 3 = ± EA L 4 ( 3 α ) 3 (1 α ), { F1 F 3 = ± p L 6 (1 ± 3 α) N 1 et N 3 sont les efforts normaux aux nœuds 1 et 3. On obtient : L effort normal dans l élément est égal à : N 1 = N 3 = p L N(x) = A σ xx (x) = N 1 x L/ p dx = p x Le champ de contraintes obtenu avec cette méthode est exact. Il est indépendant de la position du nœud (il est également indépendant du nombre de points d intégration utilisés pour calculer la matrice de rigidité). Figure 16 Contrainte normale σ xx

36 Méthode des éléments finis 8 Problème élastostatique : énergie potentielle et méthode de Ritz Les méthodes variationnelles sont illustrées sur l exemple suivant : la poutre d axe x et de longueur L représentée sur la figure ci-dessous est encastrée à son origine. Soient A et E respectivement l aire de la section droite et le module de Young du matériau. La poutre est soumise à une force répartie d intensité linéique p(x) et à une force F appliquée sur la section libre. La forme intégrale faible (3.3) se réduit à : W(u, u ) = L 8.1 Calcul des variations L EA ε xx ε xx dx u p dx u (L) F = u (8.1) Le problème fondamental du calcul des variations consiste à chercher la fonction u(x) qui rend stationnaire la fonctionnelle (ou fonction de fonctions ) : J (u) = b a F ( x, u, u ) x,..., n u x n dx (8.) ce qui s écrit : δj = δu (8.3) Les principales propriétés de l opérateur variation δ sont ([, 9, 14]) : δ (u) = δ(δu) = ( ) u δ = (δu) x x δf (u, u F,...) = x u δu + δ(f + G) = δf + δg ( F ) δ u x ( ) u + x où F (u, u u,...) et G(u,,...) sont deux fonctionnelles de u(x) x x δ(f G) = δf G + F δg δ(f n ) = n F n 1 δf δ(c F ) = c δf où c est une constante δ F dx = δf dx (8.4)

Élasticité à une dimension 37 8. Énergie potentielle Considérons la fonctionnelle : E pot (u) = E def (u) W ext (u) (8.5) où : u est un champ de déplacements cinématiquement admissible (en particulier δu() = ). E def (u) est l énergie de déformation : E def (u) = 1 L EA W ext (u) est travail des forces appliquées pour le déplacement u(x) : W ext (u) = E pot (u) est l énergie potentielle du système pour le déplacement u(x). L ( ) u dx (8.6) x u p dx + u(l) F (8.7) Figure 17 Champ de déplacements cinématiquement admissible et variation δu de u(x) La condition de stationnarité (8.3) s écrit : δe pot = δe def δw ext = δu (8.8) soit : δe pot (u) = = L L EA u x δ A σ xx (δu) x ( ) u dx x dx L L δu p dx δu(l) F δu p dx δu(l) F = δu (8.9) Cette équation est identique à (8.1) si on choisit {u } = {δu}. La seconde variation de E pot (u) est égale à : δ E pot = δ (δ E pot ) = L ( ) u car δ (u) = et δ = (δ u) =. x x On en déduit : ( EA δ ( )) u L dx = EA (δε xx ) dx = δ E def (8.1) x δ E pot > δu (8.11)

38 Méthode des éléments finis Évaluons la quantité E pot (u exact + δu) : E pot (u exact + δu) = E pot (u exact ) + δe pot (u) u=uexact + 1 δ E pot u=uexact = E pot (u exact ) + 1 δ E pot u=uexact E pot (u exact ) (8.1) Le champ de déplacements u exact + δu étant cinématiquement admissible, on en déduit : On peut donc énoncer le théorème suivant : E pot (u exact ) E pot (u CA ) u CA (8.13) Parmi l ensemble des champs de déplacements cinématiquement admissibles, le champ de déplacements exact est celui qui minimise l énergie potentielle. Remarques : la première variation de l énergie potentielle peut s écrire après intégration par parties : L ( ) δe pot = x (A σ xx) + p δu dx + (A σ xx (L) F ) δu(l) = δu (8.14) ce qui conduit sous certaines conditions de régularité à l équation d équilibre de la poutre : et à la condition aux limites : E pot (u CA ) E pot (u exact ) = 1 L x (A σ xx) + p = (8.15) A σ xx (L) = F (8.16) EA ( ε CA ε exact ) dx = 1 L A E ( σ CA σ exact ) dx (8.17) où les déformations et les contraintes sont évaluées avec les champs de déplacements u CA et u exact. 8.3 Méthode de Ritz On cherche une solution approchée de la forme : avec n u(x) = c k P k (x) = [P (x)] {C} (8.18) k=1 c 1 [P (x)] = [ P 1 (x) P k (x) P n (x) ]., {C} = c ḳ. (8.19) où : c n

Élasticité à une dimension 39 les fonctions P k (x) sont cinématiquement admissibles. les coefficients c k sont des constantes à déterminer. On en déduit : ε xx = u [ x = [P (x)] {C} où [P P1 (x)] = x P k x ] P n x (8.) En portant ces relations dans E pot (u), on obtient l expression discrétisée de l énergie potentielle : avec : [K] = E pot (c 1,, c k,, c n ) = 1 {C}T [K] {C} {C} T {F } (8.1) L EA [P (x)] T [P (x)] dx, {F } = Remarque : par construction, la matrice [K] est symétrique. La condition de stationnarité de l énergie potentielle s écrit : d où δe pot = n k=1 E pot c 1 =,, L [P (x)] T p(x) dx (8.) E pot c k δc k = δc k (8.3) E pot c k =,, Les coefficients c k sont donc les solutions de l équation : E pot c n = (8.4) [K] {C} = {F } (8.5) Soient { C} la solution de cette équation et ũ le champ de déplacements associé. Il vient pour l énergie de déformation, le travail des forces extérieures et l énergie potentielle : E def (ũ) = 1 { C} T {F }, W ext (ũ) = { C} T {F }, E pot (ũ) = E def (ũ) (8.6) 8.4 Méthode de Ritz et éléments finis Si on choisit comme fonctions P k (x) les fonctions d interpolation associées aux déplacements inconnus, le champ déplacements est approché par : u(x) = [N L ] {U L } (dans l exemple choisi, il n y a pas de déplacements connus non nuls) L énergie potentielle s écrit : E pot (U L ) = 1 {U L} T [K LL ] {U L } {U L } T {F L } (8.7) et la condition de stationnarité de l énergie potentielle conduit à l équation : [K LL ] {U L } = {F L } (8.8)

4 Méthode des éléments finis 8.5 Exemple La poutre d axe x et de longueur L représentée sur la figure ci-contre est encastrée à son origine. Soient A et E respectivement l aire de la section droite et le module de Young du matériau. La poutre est soumise sur toute sa longueur à une force répartie d intensité linéique p(x) = p (1 x/l). 8.5.1 Solution analytique L effort normal N(x) est solution de l équation : d où : dn ( x ) dx = p = p L 1 avec N(L) = N(x) = p L ( x L x + L ) Le champ de déplacements est solution de l équation (loi de comportement) : d où : On en déduit : du dx = ε xx = σ xx E = N EA u(x) = avec u() = p x 6 EA L (x 3 L x + 3 L ) le déplacement du point d abscisse L : u(l) = p L 6 EA = C p L u EA l énergie de déformation et l énergie potentielle : E def = 1 L EA ( ) u dx = p L3 x 4 EA, W ext = E pot = E def W ext = E def = C p L3 EA la contrainte à l origine et à l extrémité de la poutre : L u p dx = E def σ xx (x = ) = p L A = C p L σ A, σ xx (x = L) = = C σl p L A 8.5. Méthode de Ritz Cherchons la solution sous la forme : n ( ) k π x u(x) = c k sin L k=1 soit ( x ) P k (x) = sin a k L avec a k = k π

Élasticité à une dimension 41 Il vient : On obtient : K ij = F i = L = EA L L ( ) ( ) Pi Pj EA dx x x a i a j (a i a j ) (a i cos a j sin a i a j cos a i sin a j ) si i <> j a i si i = j P i p ( 1 x L ) dx = p L a i (a i sin a i ) Nombre d inconnues C u C C σ C σl 1.1875 -.169.95 1.51 %* 13.4% -41.9 %.1619 -.353.349 -.95 -.84 % 5.89 % -3.19 % 3.167 -.47.48.4.19 % 1.18 % -18.34 % 4.1666 -.485.48 -.7 -.3 %.6 %) -14.4 % 5.1667 -.49.443.17. %.3 % -11.43 % 1 = -.499.471 -.7.4 % -5.74 % = -.5.484.4.1 % -3. % Solution analytique.1667 -.5.5. * 1 C C exact C exact 8.5.3 Éléments finis Pour cet exemple, la méthode des éléments finis donne la valeur exacte des déplacements nodaux. Il en va de même pour les contraintes nodales évaluées dans chaque élément avec la formule {f nod } = [ k ]{u} {f}. la poutre est discrétisée en éléments à nœuds : Nombre d éléments Nombre d inconnues C 1 1 -.13889 (44.44 %) -.171 (13.19 %) 4 4 -.4143 (3.43 %) 6 6 -.4616 (1.53 %) 8 8 -.4784 (.87 %) 1 1 -.4861 (.55 %) -.4965 (.14 %) 5 5 -.4994 (. %) Solution analytique -.5

4 Méthode des éléments finis la poutre est discrétisée en éléments à 3 nœuds équidistants : Nombre d éléments Nombre d inconnues C 1 -.436 (.78 %) 4 -.4957 (.17 %) 3 6 -.4991 (.3 %) 4 8 -.4997 (.1 %) Solution analytique -.5 Remarques : pour toutes les discrétisations, on obtient la valeur exacte : du déplacement u(l). des contraintes σ xx () et σ xx (L) évaluées avec la relation : {f nod } = [k] {u} {f}. Energie potentielle 14 Erreur en % 1 1 8 6 4 Eléments à nœuds Eléments à 3 nœuds 4 6 8 1 Nombre d'inconnues

Élasticité à une dimension 43 A Programmes Maple Les programmes suivants sont dans le fichier map elas 1d.txt. A.1 3n int : élément à 3 nœuds # élément à 3 nœuds # fonctions d interpolation restart: with(linalg): x:=xi->a+a1*xi+a*xi*xi; solve(x1=x(-1),x=x(),x3=x(1),a,a1,a):assign(%): N:=grad(x(xi),[x1,x,x3]): N:=map(factor,N); dn:=map(diff,n,xi); plot([n[1],n[],n[3]],xi=-1..1,legend=[n1,n,n3], color=[red,blue,green],thickness=, title="elément à 3 nœuds : fonctions d interpolation"); A. 3n mat : élément à 3 nœuds # élément à 3 nœuds # calcul des matrices élémentaires restart:with(linalg): # représentation de la géométrie et jacobien x:=(1+xi)*l/;j:=l/; # fonctions d interpolation N:=vector([xi*(-1+xi)/,-(-1+xi)*(xi+1),xi*(xi+1)/]); dn:=vector([-1/+xi,-*xi,xi+1/]); # matrice de rigidité B:=scalarmul(dN,1/J); k:=matrix(3,3,(i,j)->int(b[i]*b[j]*e*a*j,xi=-1..1),shape=symmetric); # matrice de masse m:=matrix(3,3,(i,j)->int(n[i]*n[j]*rho*a*j,xi=-1..1),shape=symmetric); # vecteur force px:=pxi*(1-xi)/+pxj*(1+xi)/; f:=vector(3,i->int(n[i]*px*j,xi=-1..1)):f:=simplify(f); f:=jacobian(f,[pxi,pxj]);

44 Méthode des éléments finis A.3 3n milieu : élément à 3 nœuds # influence de la position du nœud milieu # sur la performance d un élément à 3 nœuds restart:with(linalg):with(plots): # fonctions d interpolation N:=[-xi*(1-xi)/,1-xi*xi,xi*(1+xi)/]; dn:=[(*xi-1)/,-*xi,(*xi+1)/]; # transformation géométrique et jacobien x:=-n[1]*l/+n[]*x+n[3]*l/:x:=simplify(%); J:=diff(x,xi); # matrice [B] B:=simplify([seq(dN[i]/J,i=1..3)]); # calcul de la matrice de rigidité # par intégration numérique avec points de Gauss G1:=-sqrt(3)/3;G:=-G1; Kij:=(i,j)->subs(xi=G1,E*A*B[i]*B[j]*J)+subs(xi=G,E*A*B[i]*B[j]*J); K:=simplify(matrix(3,3,Kij)); Fi:=i->subs(xi=G1,p*N[i]*J)+subs(xi=G,p*N[i]*J); F:=simplify(vector(3,Fi)); # calcul du déplacement du nœud U:=simplify(F[]/K[,]); # champ de déplacements u:=n[]*u; # calcul des efforts normaux aux nœuds par la méthode N1:=-simplify(K[1,]*U-F[1]); N3:=simplify(K[3,]*U-F[3]); # calcul des efforts normaux par la méthode 1 Nx:=A*E*B[]*U; # représentations graphiques L:=1;A:=1;E:=1;p:=1;

Élasticité à une dimension 45 eq:=x=.15*l; # champ de déplacements plotuexact:=plot([subs(x=,x),subs(x=,u),xi=-1..1], title="champ de déplacements u(x)",color=green,thickness=): plotu:=plot([subs(eq,x),subs(eq,u),xi=-1..1],color=blue,thickness=): plotx:=plot([subs(eq,xi=,x),xi,xi=..p*l*l/8/e/a],color=red): display(plotuexact,plotu,plotx); # efforts normaux plotnexact:=plot([subs(x=,x),subs(x=,nx),xi=-1..1], title="effort normal N(x)",color=green,thickness=): plotn:=plot([subs(eq,x),subs(eq,nx),xi=-1..1],color=blue,thickness=): plotg1:=plot([subs(eq,xi=g1,x),xi,xi=...5],color=red): plotg:=plot([subs(eq,xi=g,x),xi,xi=..-.5],color=red): display(plotnexact,plotn,plotg1,plotg);

Élasticité à une dimension 47 Références [1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, 1986. [] K.-J. Bathe Finite element procedures in engineering analysis, Prentice Hall, 1996. [3] J.-L. Batoz et G. Dhatt Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides élastiques, Hermès, 199. [4], Modélisation des structures par éléments finis, Volume. Poutres et plaques, Hermès, 199. [5] L. Chevalier Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Cours, exercices et problèmes corrigés, Ellipses, 4. [6] R. D. Cook, D. S. Malkus et M. E. Plesha Concepts and applications of finite element analysis, 3 éd., Wiley, 1989. [7] M. A. Crisfield Finite elements and solution procedures for structural analysis, Pineridge Press, 1986. [8] G. Dhatt et G. Touzot Une présentation de la méthode des éléments finis, Maloine, 1984. [9] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrançois Méthode des éléments finis, Hermès, 5. [1] F. Frey et J. Jirousek Traité du génie civil, Volume 6. Méthode des éléments finis, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1. [11] R. H. Gallagher Introduction aux éléments finis, Pluralis, 1976. [1] T. J. Hughes The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis, Dover,. [13] J.-F. Imbert Analyse des structures par éléments finis, 3 éd., Cépaduès, 1995. [14] A. Le Pourhiet Résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Une première approche, Cépaduès, 1988. [15] R. H. MacNeal Finite elements. Their design and performance, Dekker, 1994. [16] N. Ottosen et H. Petersson Introduction to the finite element method, Prentice Hall, 199. [17] A. Portela et A. Charafi Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach, Springer,. [18] B. Szabó et I. Babuška Finite element analysis, Wiley, 1991. [19] P. Thomas Éléments finis pour l ingénieur. Grands principes et petites recettes, Tec & Doc (Collection EDF R&D), 6. [] C. Wielgoz Cours et exercices de résistance des matériaux : élasticité, plasticité, éléments finis, Ellipses, 1999. [1] O. C. Zienkiewicz et R. L. Taylor La méthode des éléments finis. Formulation de base et problèmes linéaires, AFNOR, 1989. [], The finite element method, Volume 1. The basis, Butterworth-Heinemann,. [3], The finite element method, Volume. Solid mechanics, Butterworth-Heinemann,.