Métodes à deux ases our le roblèe de tourées de véicule avec cotraites d accessibilité MAHDI SOUID, SAÏD HANAFI ET FREDERIC SEMET Laboratoire d Autoatique, de Mécaique et d Iforatique Idustrielles et Huaies UMR 8530 UNIVERSITE DE VALENCIENNES ET DU HAINAUT CAMBRESIS LE MONT HOUY 5933, VALENCIENNES CEDEX 9, FRANCE éé Le roblèe de tourées de véicules ossède de obreuses alicatios das des doaies tels que la logistique, la laificatio des réseaux de distributio et leur gestio. Das cet article, o traite le roblèe de tourées de véicules avec cotraites d'accessibilité. O roose ue stratégie de résolutio euristique à deux ases. La reière ase corresod à la résolutio d'u roblèe de localisatio à l'aide d'ue étode de séaratio-évaluatio. La secode ase corresod à la résolutio de roblèes de routage. Des tests sot faits afi de coarer trois aroces basées sur des odélisatios différetes du roblèe de localisatio. é Tourées de véicules, localisatio, euristique, relaxatio Lagragiee, Séaratio-évaluatio. Les Problèes de Tourées de Véicules (PTV) cosistet à affecter des coades de cliets à des véicules et à costruire la tourée de caque véicule à travers les sites de livraiso de ces coades e satisfaisat certaies cotraites et e otiisat u obectif doé. La versio de base des PTV est le roblèe de tourées de véicules avec cotraites de caacité (PTVC). Das ce cas, tous les cliets sot cous à l avace et caque cliet est desservi e u seul assage. Les véicules sot idetiques et basés das u seul déôt, et seules les cotraites de caacité our les véicules sot iosées. L obectif cosiste à iiiser le coût total de la desserte des cliets. Le PTVC est u roblèe NP-difficile []. La résolutio exacte se restreit à des istaces de taille relativeet réduite. Vu que les roblèes de trasort osés das la ratique sot, e gééral, de taille iortate différetes euristiques ot été déveloées our la résolutio du PTVC erettat ue résolutio arocée e u tes raisoable. Le cas articulier d ue seule tourée ous raèe au roblèe du voyageur de coerce (PVC) [5]. Das cet article, ous ous itéressos à u roblèe de localisatio et trasort aelé roblèe de tourées de véicule avec des cotraites d accessibilité (PTVA). Le PTVA est défii sur u grae G=(V,E) où V est l eseble des soets rerésetat le déôt et les cliets : V={0,,,} et E l eseble des arêtes. Pour toute arête (i,) E, o défiit égaleet u coût c. L eseble de cliets est desservi à l aide d u caio et d ue reorque qui foret u trairoutier. L eseble V est artitioé e deux sous-esebles : l eseble des soets {,,} corresod aux clietsreorque qui sot accessibles ar le trai-routier et le caio seul. L eseble des soets {+,,} corresod aux cliets-caio qui e sot accessibles que ar le caio seul. O suose que les quatités coteues das le trai-routier suffiset our desservir tous les cliets. L existece de la cotraite d accessibilité a coe coséquece que la tourée du véicule est as u sile cycle ou circuit, coe c est le cas our le PVC. La tourée du trai-routier (Figure ) est coosée d u tour ricial réalisé ar le trai-routier et de sous-tours effectués ar le caio seul [3][4]. Le trairoutier débute so tour ricial e artat du déôt e directio d u reier cliet accessible qui est doc écessaireet u cliet-reorque. Ue fois la arcadise livrée, deux cas de figures se résetet : soit o décroce la reorque our effectuer u ou lusieurs sous-tours avec le caio seul, soit o se délace vers u autre cliet accessible ar le trai routier. Plusieurs sous-tours euvet doc être accolis à artir d u cliet-reorque situé sur le tour ricial. U tel cliet est aelé racie. U sous-tour eut iclure des cliets-caio et des cliets-reorque. La quatité totale livrée sur u sous-tour e eut déasser la caacité du caio. La ultilicité des sous-tours corresod à des cargeets successifs, das le caio, de arcadises stocées das la reorque. Suite à la réalisatio de sous-tours, la reorque est raccrocée au caio et le trai-routier se dirige vers le cliet suivat du tour ricial qui s acève au déôt. Sous-Tour Tour ricial Déôt Cliet-Reorque Cliet-caio Cliet-reorque racie Figure. Scéa d ue solutio du PTVA L'obectif du PTVA cosiste à iiiser le coût total de la tourée du trai-routier. Le coût total est la soe des coûts du tour ricial et des sous-tours. De obreuses euristiques utilisées our le PTVC fot artie d ue classe aelée ar Cristofides [3] : étodes à deux ases. La résolutio du PTVC avec ue étode à deux ases cosiste à décooser la résolutio e deux étaes : ue étae de groueet de cliets e routes réalisables et ue étae de costructio des routes. L ordre d exécutio de ceux
deux étaes, eret de distiguer deux tyes de étodes à deux ases : routage d abord groueet e secod [][], groueet d abord routage e secod [6]. La étode de résolutio à deux ases adatée das cet article est de tye groueet d abord routage e secod. Elle cosiste à résoudre, e reier, u roblèe de localisatio et u roblèe d élaboratio de tourées esuite. La reière ase cosiste à déterier les cliets résets sur le tour ricial et à grouer les cliets restat e classes. Trois odèles de localisatio sot roosés suivat le tye de groueet effectué. O distigue u reier odèle avec groueet de cliets e sous-tours. Les groues obteus corresodet alors à des sous-tours réalisables resectat la cotraite de caacité du caio. U secod odèle, agrégatio du reier ar relaxatio des cotraites de caacité, et u troisièe odèle, agrégatio du secod odèle ar relaxatio des coûts d ouverture des sous tours, cosistet à effectuer des groueets autour des cliets-reorques. La deuxièe ase cosiste à résoudre u roblèe de routage our caque classe. Ue euristique de ost-otiisatio est esuite aliquée. Elle cosiste à rocéder à des délaceets ou à des écages de cliets etre sous-tours [4]. La suite de cet article s orgaise coe suit. Das la sectio, ous détaillos la reière ase de résolutio du PTVA à travers la descritio des trois odèles de localisatio et de leurs résolutios. Das la sectio 3, ous résetos les résolutios des roblèes de routage associés à caque odèle. Das la sectio 4, os aroces sot coarées sur la base des résultats obteus sur différetes istaces tests. Efi, les coclusios sot forulées das la sectio 5.! " # $ %&$ # ' ( ) ' $ * $ $ ' " ' # " La reière ase de résolutio du PTVA cosiste à localiser les cliets-reorque résets sur le tour ricial et à artitioer les cliets restat e groues. A. Modèles de localisatio ) Modèle de localisatio avec regroueet e sous-tour Das cette reière odélisatio, les groues forés resectet la cotraite de caacité du caio, c'est-à-dire que le volue distribué das caque groueet e déasse as la carge du caio. La foctio obectif du odèle de localisatio fait iterveir les coûts suivats : Le coût c i de laceet d u cliet-reorque i sur le tour ricial est estié ar le coût d u aller-retour du déôt au cliet-reorque, c est-à-dire c = c + c. Le coût c i d ouverture du èe sous-tour à artir de la racie i est aroxié ar le coût d u aller retour de la racie i à u oit gere g i déterié suite à l alicatio d ue euristique de balayage [8], c'est-àdire = c c. Le coût c i i, g + i gi, i i 3 c d isertio d u cliet das le èe soustour issu de la racie i est aroxié coe le coût i0 0i d isertio du cliet etre la racie i et le oit gere g i. 3 Il s exrie ar : = c + c c c, g i i, g i Das la suite, otos ar le obre axial de sous-tours ouverts. Les variables biaires utilisées das le reier odèle de localisatio (L) sot défiies our i=,, ; =,, et =,, : x = si est desservi deuis i lors du arcours du èe sous-tour, 0 sio. y i = si i est sur le tour ricial, 0 sio. z i = si le èe sous-tours issu du cliet-reorque i est ouvert, 0 sio. O obtiet le odèle suivat (L) : Mi i + x i = = = y = i = i x q x = 3 ci yi + ci zi + c i= = i= = i= = Sous les cotraites : = Q z i i =,..., () = +,..., () i =,...,; =,..., (3) zi y i i =,...,; =,..., (4) x = 0 ou i =,...,; =,..., ; =,..., (5) y i = 0 ou i =,..., (6) z i = 0 ou i =,...,; =,..., (7) La cotraite () sigifie que caque cliet-reorque est affecté soit au tour ricial soit à exacteet u des sous tours. La cotraite () sécifie que caque cliet-caio est affecté à exacteet u seul sous tour. La cotraite (3) idique que la quatité des bies livrée, lors du arcours d u sous tour, e doit as déasser la carge du caio. La cotraite (4) traduit qu u sous tour existe que si le cliet reorque duquel il est issu est racie. ) Modèle de localisatio avec distictio de sous-tours D u oit de vue odélisatio, la différece etre ce deuxièe odèle de localisatio (L) et le odèle (L) se situe au iveau de la cotraite de caacité (3) qui deviet [4] : = = q x Q zi i =,..., (8) = Das le odèle (L), caque groueet corresod à u sous-tour, le groueet des cliets est fait autour des oits geres alors que our le secod odèle (L) le groueet est fait autour des cliets-reorque racies. Algébriqueet, cela corresod à ue agrégatio des cotraites (3) our caque x
cliet-reorque. E deuxièe ase, o résout u PVC au iveau de caque groue de cliets our le reier odèle alors qu o résout u PTV our le deuxièe odèle. q x = Q z i =,..., (9) 3) Modèle de localisatio sas distictio de sous-tours Pour ce troisièe odèle (L3) le regroueet de cliets est fait, coe our le odèle récédet, autour des clietsreorque, la seule différece est que l o e distigue as les sous-tours. Pour le odèle sas distictio de sous-tours o obtiet des groueets autour des cliets-reorque our lesquels o résout u PTV e secode ase de résolutio du PTVA. L avatage de ce odèle ar raort au récédet est qu il e requiert as la défiitio de coût our caque soustour otetiel, ces coûts ouvat être difficiles à estier. B. Résolutio exacte des odèles de localisatio Pour résoudre de faço exacte le roblèe de localisatio o utilise ue étode de séaratio-évaluatio [4][0]. Le calcul des bores iférieures est fait ar relaxatio Lagragiee des cotraites de caacité. Les bores suérieures sot calculées ar des euristiques Lagragiees. ) Relaxatio Lagragiee La relaxatio Lagragiee [5] eret de déterier our caque sous-roblèe (au iveau de caque œud) ue bore iférieure. La structure du roblèe de localisatio (L) eret différetes relaxatios. O distigue, e articulier, deux ossibilités de relaxatio. Ue reière cosiste à dualiser les cotraites d affectatio () et (). Ue deuxièe cosiste à dualiser les cotraites de caacité (3). O a coisi la reière ossibilité de relaxatio vu que our la secode la roriété d itégrité est satisfaite. O détaille la relaxatio reteue das ce qui suit. Soit λ R u vecteur de ultilicateurs de Lagrage. E dualisat les cotraites () et () das la foctio obectif o obtiet : 3 ( c x + = i= = = i= L ( λ ) = Mi( λ ) ( i i i + c λ ) y + λ ) i= = sous les cotraites (3), (4), (5), (6) et (7). Pour λ fixé, la relaxatio Lagragiee L (λ) est séarable e sous-roblèes, u ar cliet-reorque. Aisi our u cliet-reorque i doé o a le roblèe suivat : 3 Li ( λ) = Mi( ( c λ ) x + ci zi + ( ci λi ) yi ) = = sous les cotraites : = c i z i zi y i =,..., (0) x = 0 ou =,...,; =,..., () y i = 0 ou () z i = 0 ou =,..., (3) Das le cas où y i = 0, o a L i (λ) = 0. Das le cas où y i =, ce qui corresod à l affectatio du cliet i sur le tour ricial, o obtiet le roblèe de sac à dos biaire suivat : 3 L i ( λ ) = Mi( ( c λ ) x + ci zi ) = sous les cotraites : q x = z i = 0 ou (6) E otat Lˆ i ( λ) coe la valeur otiale du roblèe L i (λ), la valeur otiale de la relaxatio Lagragiee est doc : i= L( λ ) = (i( Lˆ i ( λ), 0)) + λ. = Le dual Lagragie (D) cosiste à trouver la eilleure bore fourie ar les différetes relaxatios : (D) ax ( L( λ)) λ R Le roblèe (D) est résolu ar ue étode de sous-gradiet odifié []. A caque itératio, la directio de recerce d est calculée e foctio du sous-gradiet courat g de L( λ ) et la directio d -. Plus forelleet, d = g d = g + θ d où g est u sous-gradiet de la foctio Lagragiee L au g oit λ si g d < 0 et θ = d 0 sio Raelos que le sous-gradiet est calculé à artir d ue solutio otiale de la relaxatio Lagragiee [9]. Plus réciséet, our le odèle L, à l itératio, u sousgradiet g de L( λ ) est calculé coe suit : g Q z y = i = i= = i= x x =,..., = +,..., (4) x = 0 ou =,..., (5)
où (y, x) est ue solutio otiale de la relaxatio Lagragiee L( λ ). Le ultilicateur iitial est calculé coe suit : c =,..., 0 λ = 3 i { c, i =,..., } = +,..., A caque itératio, le ultilicateur courat λ est déterié ar la relatio de récurrece suivate : λ = λ t d où t est le as de délaceet calculé coe suit : t Z L( ) = β g où Z est ue bore suérieure de la valeur otiale de (D) et β est u araètre iitialisé à et est divisé ar lorsque la valeur de la solutio a as évolué arès u certai obre d itératios. ) Heuristiques Lagragiees Ue bore suérieure de la valeur otiale du roblèe de localisatio est utilisée das la recerce arborescete afi de erettre l élagage des braces o roetteuses. Cette bore suérieure est calculée ar ue euristique Lagragiee sécifique au odèle utilisé. L algorite suivat décrit l euristique utilisée ar le odèle de localisatio (L) : Algorite. Heuristique Lagragiee our le odèle (L) Soit (x,y,z) ue solutio otiale de la relaxatio Lagragiee L(λ). La solutio état as riale réalisable (doc certaies cotraites relaxées das la foctio obectif sot violées). 3 i Posos δ = c + ( q / Q) c. Nous distiguos deux cas d irréalisabilité : Cas d u cliet-reorque {,,} Si y = alors x = 0 our tout i=,, ; =,, ; Sio Si x = 0 alors y = ; = i= Sio δ { : i =,..., ;,..., } * * = i δ i = x = 0 our tout i=,, ;=,, x * * = ; i Cas d u cliet-caio {+,,} Si x = 0 alors = i= δ { : i =,..., ;,..., } * * = i δ i = x = 0 our tout i=,, ; =,, x * * = ; i Les euristiques Lagragiees utilisées our les odèles de localisatio (L) et (L3) utiliset la êe stratégie que celle utilisée our le odèle (L) [4]. Les trois euristiques sot basées sur le êe ricie de " réaratio " de la solutio obteue. Il s agit de déterier our caque cliet o affecté, l affectatio la ois coûteuse et de surier our u cliet tro affecté toutes les affectatios sauf celle qui coûte le ois 3 cer. O utilise le tere δ = c + ( q / Q) c our évaluer l isertio du cliet das le èe sous-tour issu de la racie i.! " # $ +&$ # ' $ ) ' $ * $ # $ $ $ # La reière ase de la étode à deux ases a eris de costituer les groues de cliets et de les affecter aux clietsreorque résets sur le tour ricial. La secode ase cosiste à résoudre u roblèe de routage our caque groue. O distigue, suivat la aière de groueet, deux tyes de roblèes de routage. Das le cas où la réartitio de cliets eret de forer des sous-tours ce qui est le cas our le odèle de localisatio (L). Das ce cas o résout u PVC our caque groue. Das le cas où, les groues ot été forés autour de cliets-reorque (L) et (L3), o résout u PTVC our caque groue. Pour la résolutio du PTVC o utilise égaleet ue étode à deux ases de tye groueet d abord routage e secod. La reière ase cosiste e ue étode de balayage [8]. Pour caque sous-tour, l euristique GENIUS [7] est aliquée our résoudre le PVC associé. L euristique GENIUS cosiste e deux ases : ue reière ase de costructio de tourée ar isertio des cliets u ar u das ue tourée coortat iitialeet trois cliets, et ue secode ase de ost-otiisatio de la tourée costruite. La solutio obteue avec la étode à deux ases eut être aéliorée ar ue série de trasforatios locales. O alique ue rocédure de ost-otiisatio qui cosiste e l alicatio d ue descete qui utilise deux structures de voisiages. U reier voisiage V cosiste e des ouveets de délaceets de cliets etre sous-tours issus d ue êe racie. U deuxièe voisiage V est utilisé suite à la descete avec le reier voisiage. Il cosiste à effectuer des écages de cliets etre sous-tours issus d ue êe racie., $ # ' " # * $ - $ # Les exérieces uériques sot réalisées das u eviroeet UNIX, sous ue latefore Su OS 5.9. Les rograes sot écrits e lagage C e utilisat le coilateur gcc. L évaluatio de la erforace des étodes à deux ases est effectuée sur u eseble d istaces géérées aléatoireet. Caque istace est caractérisée ar trois araètres : le obre de cliets, le obre de clietsreorques et α u araètre our odifier la carge de caio. La caacité de caque caio est calculée coe suit : Q = α.( qi / ). Les quatités desservies q, our i= + =,,, sot géérées suivat ue distributio uifore das l itervalle [,00]. i
L eseble des eux de doées est costitué de 0 istaces du PTVA. Ces istaces sot obteues e faisat varier =00,300, =0%,30% de et α=, ;,0 et 0,8. Pour caque roblèe 0 istaces aléatoires sot géérées. D abord o résete les résultats uériques obteus our les odèles de localisatio (L) et (L3). Esuite, o résete ue étude coarative des solutios doées ar les deux aroces basées sur les odèles (L) et (L3). A. Résolutio des odèles de localisatio Les tableaux et résetet les résultats obteus our la résolutio des deux odèles de localisatio (L) et L3). La résolutio iléetée est ue étode de séaratioévaluatio utilisat la étode de sous-gradiet et l euristique Lagragiee décrits das la sectio. Caque lige des tableaux et corresod à ue oyee sur 0 istaces résolues. La coloe Z /Z * rerésete le ratio etre la valeur de la eilleure solutio réalisable trouvée à la racie de l arborescece et la valeur de la solutio otiale. La coloe Noeud rerésete le obre de œuds de l arborescece exlorés. La coloe t rerésete le tes de calcul e secodes. a Z /Z * Noeud t 00 0,,09 4, 8,,0,89 36,8 94,4 0,8,95 88,3 38,0 30,,38 9,7 7,8,0,94 88,3 43,9 0,8,065 53, 67,0 300 30,,76 5,9 8,7,0,0 33,6,9 0,8,0 76,6 78,8 90,,5 33, 8,5,0,09 86,7 33, 0,8,07 3,7 300, Tableau. Modèle de localisatio (L) α Z /Z * Noeud t 00 0,,005 7,8,,0,00 5,,7 0,8,000 8,0,3 30,,0 53,9 9,4,0,006 3,6 9,5 0,8,004 38, 9, 300 30,,007 47,9 3,4,0,00 48,6, 0,8,003 5,6 9,8 90,,00 7,6 8,5,0,0 7, 34, 0,8,0 34,7 9,0 Tableau. Modèle de localisatio (L3) Ces résultats ous coduiset à faire les observatios suivates. Pour les deux odèles les solutios sur les 0 istaces géérées ot u être obteues. Les solutios e euvet toutefois as être coarées à ce stade. Par cotre il aaraît que le odèle sas distictio de sous-tours (L3) requiert our sa résolutio des tes de calcul lus faibles que le odèle avec distictio de sous-tours (L). Le tes de calcul varie das les deux cas selo le obre total de cliets ais égaleet selo le obre de cliets-reorques résets. Les roblèes lus cotraits e teres de caacité (α etit) sot égaleet lus difficiles à résoudre. Das le cas du odèle (L3), la solutio géérée à la racie avec l euristique Lagragiee est de boe qualité. Ceci est as le cas avec l euristique Lagragiee associée au odèle (L) qui géère des résultats de qualité oyee variat etre,% et 38,% ar raort à la valeur otiale. B. Métodes à deux ases Le tableau 3 décrit les résultats obteus ar la étode à deux ases e utilisat les deux odèles de localisatio (L) et (L3). Caque lige de ce tableau corresod, égaleet, à ue oyee sur 0 istaces résolues. La coloe H (res. H3) raorte les résultats obteus ar la étode à deux ases our laquelle la reière ase résout le odèle L (res. L3). La coloe HP (res. HP3) corresod aux résultats fouris ar la étode à deux ases avec le odèle L (res. L3) suivi d ue ase de ost-otiisatio. Pour toutes les coloes la valeur du raort etre la valeur obteue et la eilleure solutio coue, est raortée. α H HP H3 HP3 00 0,,70,06,059,000,0,66,038,059,000 0,8,080,000,073,000 30,,49,000,86,000,0,7,08,094,000 0,8,059,000,06,0 300 30,,095,05,06,000,0,077,000,090,00 0,8,097,039,075,000 90,,070,030,044,000,0,059,000,068,005 0,8,08,000,007,007 Tableau 3. Coaraiso des étodes à deux ases Les résultats résetés das le tableau 3 ous erettet de faire les observatios suivates. La résolutio du PTVA à l aide de l euristique H3 basée sur la odélisatio sas distictio de sous-tours (L3) fourit des eilleurs résultats que celles trouvées ar l euristique H basée sur la odélisatio avec distictio de sous-tours (L). Ue ustificatio de ce fait est que our le odèle sas distictio de sous-tours (L3) la coositio des sous-tours est faite e secode ase doc elle est ois affectée ar les aroxiatios faites lors de la reière ase de résolutio. O ote aussi l aélioratio aortée ar la rocédure de ostotiisatio aux solutios obteues ar les deux euristiques
H, H3. Notos que la ase de ost-otiisatio aliquée arès H et H3 eret de réduire l écart etre les euristiques H et H3. Les euristiques HP et HP3 fourisset doc des résultats oogèes. Les tes d exécutio de la deuxièe ase de routage et de la ases de ost-otiisatio sot relativeet etit ( à 4 secodes) coaré au tes total de résolutio., ' # Nous avos roosé des étodes arocées à deux ases (localisatio et routage) our résoudre le roblèe de tourées de véicule avec cotraites d accessibilité. Trois odèles de localisatio ot été roosés. Ils se distiguet ar le tye de groueet de cliets. U groueet coduit à la résolutio d ue série de roblèes de voyageurs de coerce e ase de routage. U autre groueet coduit à la résolutio d ue série de roblèes de tourées de véicules e secode ase. Les roblèes de localisatio, de la reière ase, sot résolus ar ue étode de séaratio-évaluatio. Les roblèes de routage, PVC et PTVC, sot résolus d ue aière arocée ar des étodes de recerce locale. Ue ase de ost-otiisatio est aliquée our aéliorer la solutio trouvée. D autres étodes arocées telles que des étaeuristiques euvet être utilisées our la résolutio du roblèe de tourées de véicules avec cotraites d accessibilité [4]. [] J.K. Lestra et A.H.G. Riooy Ka, "Colexity of veicle routig ad scedulig robles", Networs,. -7, 98. [] C. Pris, "A sile ad effective evolutioary algorit for te veicle routig roble", à araître das Couters ad Oeratios researc. /%0 F. Seet, "A two-ase algorit for te artial accessibility costraied veicle routig roble", Aals of Oeratios Researc 6,. 45-65, 995. /% M. Souid, "Résolutio arocée d u roblèe de tourées de véicule avec cotraites d accessibilité", Tèse de doctorat, Valeciees, Frace, 003. [5] P. Tot et D. Vigo, "Te Veicle Routig Prole", Editios SIAM, Piladelie, 00., E.E$ $ # [] J.E. Beasley, "Route-first cluster-secod etods for veicle routig", Oega,. 403-408, 983. [] P. Caerii, L. Fratta et F. Maffioli, "O irovig relaxatio etods by odified gradiet teciques", Mateatical Prograig Study 3,. 6-34, 975. [3] N. Cristofides, A. Migozzi et P. Tot, "Te veicle routig roble", das Cobiatorial Otiizatio, N. Cristofides, A. Migozzi, P. Tot et C. Sadi, éditeurs, Wiley, Cicester,. 35-338, 979. [4] M. Fiscetti, P. Tot et D. Vigo, "A brac-ad-boud algorit for te caacitated veicle routig roble o directed gras", Oeratios Researc 4,. 846-859, 994. [5] M. L. Fiser, "Te Lagragia relaxatio etod of solvig iteger rograig robles", Maageet Sciece 7,. -8, 98. [6] M. L. Fiser et R. Jaiuar, "A geeralized assiget euristic for veicle routig", Networs,. 09-4, 98. [7] M. Gedreau, A. Hertz et G. Laorte, "New isertio ad ostotiizatio rocedures for te travelig salesa", Oeratios Researc 40,. 086-094, 99. [8] B. E. Gillett et L. R. Miller, "A euristic algorit for te veicle disatc roble", Oeratios Researc,. 340-349, 974. [9] M. Held, P. Wolfe et M.P. Crowder, "Validatio of te subgradiet otiizatio", Mateatical Prograig 6,. 6-88, 974. [0] E. K. Lee et J. E. Mitcell, "Iteger rograig : brac ad boud etods", das Ecycloedia of Otiizatio, C.A. Floudas et P.M. Pardalos, éditeurs, Kluwer acadeic ublisers, volue,. 509-59, 00.