Eo7 Fonctions usuelles Vidéo partie. Logarithme et eponentielle Vidéo partie. Fonctions circulaires inverses Vidéo partie 3. Fonctions hperboliques et hperboliques inverses Eercices Fonctions circulaires et hperboliques inverses Vous connaissez déjà des fonctions classiques : ep, ln, cos, sin, tan. Dans ce chapitre il s agit d ajouter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, argch, argsh, argth. Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la phsique. Par eemple lorsqu un fil est suspendu entre deu poteau (ou un collier tenu entre deu mains) alors la courbe dessinée est une chaînette dont l équation fait intervenir le cosinus hperbolique et un paramètre a (qui dépend de la longueur du fil et de l écartement des poteau) : ( ) = ach a. Logarithme et eponentielle.. Logarithme Proposition Il eiste une unique fonction, notée ln :],+ [ R telle que : ln () = (pour tout > ) et ln() =. De plus cette fonction vérifie (pour tout a, b > ) :. ln(a b) = ln a + ln b,. ln( a ) = ln a, 3. ln(a n ) = nln a, (pour tout n N) 4. ln est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de ], + [ sur R,
5. lim ln(+) =, 6. la fonction ln est concave et ln (pour tout > ). ln e Remarque ln s appelle le logarithme naturel ou aussi logarithme néperien. Il est caractérisé par ln(e) =. On définit le logarithme en base a par De sorte que log a (a) =. log a () = ln() ln(a) Pour a = on obtient le logarithme décimal log qui vérifie log () = (et donc log ( n ) = n). Dans la pratique on utilise l équivalence : = = log () En informatique intervient aussi le logarithme en base : log ( n ) = n. Démonstration L eistence et l unicité viennent de la théorie de l intégrale : ln() = t dt. Passons au propriétés.. Posons f () = ln() ln() où > est fié. Alors f () = ln () ln () = =. Donc f () a une dérivée nulle, donc est constante et vaut f () = ln() ln() = ln(). Donc ln() ln() = ln().. D une part ln(a a ) = ln a + ln a, mais d autre part ln(a a ) = ln() =. Donc ln a + ln a =. 3. Similaire ou récurrence. 4. ln est dérivable donc continue, ln () = > donc la fonction est strictement croissante. Comme ln() > ln() = alors ln( n ) = nln() + (lorsque n + ). Donc lim + ln = +. De ln = ln on déduit lim ln =. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes, ln :], + [ R est une bijection. 5. lim ln(+) est la dérivée de ln au point =, donc cette limite eiste et vaut ln () =. 6. ln () = est décroissante, donc la fonction ln est concave. Posons f () = ln ; f () =. Par une étude de fonction f atteint son maimum en =. Donc f () f () =. Donc ln... Eponentielle
3 Définition La bijection réciproque de ln :],+ [ R s appelle la fonction eponentielle, notée ep : R ],+ [. ep e Pour R on note aussi e pour ep. Proposition La fonction eponentielle vérifie les propriétés suivantes : ep(ln ) = pour tout > et ln(ep ) = pour tout R ep(a + b) = ep(a) ep(b) ep(n) = (ep ) n ep : R ],+ [ est une fonction continue, strictement croissante vérifiant lim ep = et lim + ep = +. La fonction eponentielle est dérivable et ep = ep, pour tout R. Elle est convee et ep + Remarque La fonction eponentielle est l unique fonction qui vérifie ep () = ep() (pour tout R) et ep() = e. Où e,78... est le nombre qui vérifie ln e =. Démonstration Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque. Par eemple pour la dérivée : on part de l égalité ln(ep ) = que l on dérive. Cela donne ep () ln (ep ) = donc ep () ep = et ainsi ep () = ep..3. Puissance et comparaison Par définition, pour a > et b R, a b = ep ( b ln a )
4 Remarque a = a = ep ( ln a) n a = a ( n = ep n ln a) (la racine n-ième de a) On note aussi ep par e ce qui se justifie par le calcul : e = ep ( ln e ) = ep(). Les fonctions a s appellent aussi des fonctions eponentielles et se ramènent sstématiquement à la fonction eponentielle classique par l égalité a = ep(ln a). Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions puissances a. Comparons les fonctions ln, ep avec : Proposition 3 ln ep lim = et lim = +. + + ep a (a > ) a (a < ) ln Démonstration. On a vu ln (pour tout > ). Donc ln donc ln ln ( ) ln = = ln = ln Cette double inégalité entraîne lim + ln =.. Cela donne. On a vu ep + (pour tout R). Donc ep + (lorsque + ). ep = ln(ep ) ep = ln u u lorsque + alors u = ep + et donc par le premier point ln u u. Donc ep et ep reste positive, ainsi lim + = +.
5 Mini-eercices. Montrer que ln( + e ) = + ln( + e ), pour tout R.. Étudier la fonction f () = ln( + ) ln(). Tracer son graphe. Résoudre l équation (f () = ). Idem avec g() = +ln. Idem avec h() =. 3. Epliquer comment log permet de calculer le nombre de chiffres d un entier n. 4. Montrer ln(+) pour (faire une étude de fonction). Idem avec e ++ pour tout. 5. Calculer la limite de la suite définie par u n = ( + n ) n lorsque n +. Idem avec v n = ( n ) n et wn = n n.. Fonctions circulaires inverses.. Arccosinus Considérons la fonction cosinus cos : R [,], cos. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l intervalle [, ]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos : [,] [,] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus : arccos : [,] [,] arccos + cos On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos ( arccos() ) = arccos ( cos() ) = [,] [,] Autrement dit : Si [,] cos() = = arccos Terminons avec la dérivée de arccos : arccos () = ],[
6 Démonstration On démarre de l égalité cos(arccos ) = que l on dérive : cos(arccos ) = = arccos () sin(arccos ) = = arccos () = sin(arccos ) = arccos () = cos (arccos ) ( ) = arccos () = Le point crucial ( ) se justifie ainsi : on démarre de l égalité cos + sin =, en substituant = arccos on obtient cos (arccos ) + sin (arccos ) = donc + sin (arccos ) =. On en déduit : sin(arccos ) = + (avec le signe + car arccos [,])... Arcsinus La restriction sin : [,+ ] [,] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus : arcsin : [,] [,+ ] arcsin + sin sin ( arcsin() ) = [,] arcsin ( sin() ) = [,+ ] Si [,+ ] sin() = = arcsin arcsin () = ],[.3. Arctangente La restriction tan :],+ [ R
7 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente : arctan : R ],+ [ tan 3 arctan tan ( arctan() ) = R arctan ( tan() ) = ],+ [ Si ],+ [ tan() = = arctan arctan () = + R Mini-eercices. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en,,,, 3. Idem pour arctan en,, 3 et 3.. Calculer arccos(cos 7 3 ). Idem avec arcsin(sin 7 3 ) et arctan(tan 7 3 ) (attention au intervalles!) 3. Calculer cos(arctan ), cos(arcsin ), tan(arcsin ). ( ) 4. Calculer la dérivée de f () = arctan. En déduire que f () = arcsin, pour tout ],[. 5. Montrer que arccos + arcsin =, pour tout [,].
8 3. Fonctions hperboliques et hperboliques inverses 3.. Cosinus hperbolique et son inverse Pour R, le cosinus hperbolique est : ch = e + e La restriction ch : [,+ [ [,+ [ est une bijection. Sa bijection réciproque est argch : [,+ [ [,+ [. ch sh argsh argch 3.. Sinus hperbolique et son inverse Pour R, le sinus hperbolique est : sh = e e sh : R R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant lim sh = et lim + sh = +, c est donc une bijection. Sa bijection réciproque est argsh : R R. Proposition 4 ch sh =. ch = sh, sh = ch. argsh : R R est strictement croissante et continue. argsh est dérivable et argsh =. + argsh = ln ( + + ).
9 Démonstration ch sh = [ 4 (e + e ) (e e ) ] = [ 4 (e + + e ) (e + e ) ] =. d d (ch ) = d e +e d = e e = sh. Idem pour la dérivée de sh. Car c est la réciproque de sh. Comme la fonction sh ne s annule pas sur R alors la fonction argsh est dérivable sur R. On calcule la dérivée par dérivation de l égalité sh(argsh ) = : argsh = Notons f () = ln ( + + ) alors ch(argsh ) = = sh (argsh ) + + f () = + + + + = + = argsh Comme de plus f () = ln() = et argsh = (car sh = ), on en déduit que pour tout R, f () = argsh. 3.3. Tangente hperbolique et son inverse Par définition la tangente hperbolique est : th = sh ch La fonction th : R ],[ est une bijection, on note argth :],[ R sa bijection réciproque. argth th 3.4. Trigonométrie hperbolique ch sh =
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a) = ch a + sh a = ch a = + sh a sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a sh(a) = sh a ch a th a + th b th(a + b) = + th a th b ch = sh sh = ch th = th = ch argch = ( > ) argsh = + argth = ( < ) argch = ln ( + ) ( ) argsh = ln ( + + ) ( R) argth = ln ( + ) ( < < ) Mini-eercices. Dessiner les courbes paramétrées t (cos t,sin t) et t (ch t,sh t). Pourquoi cos et sin s appellent des fonctions trigonométriques circulaires alors que ch et sh sont des fonctions trigonométriques hperboliques?. Prouver par le calcul la formule ch(a + b) =... En utilisant que cos = ei +e i retrouver la formule pour cos(a + b). 3. Résoudre l équation sh = 3. 4. Montrer que sh() +ch() = th. 5. Calculer les dérivées des fonctions définies par : th( + ), ln(ch ), argch(ep ), argth(cos ).
Auteurs Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura Desideri