Programme des colles de mathématiques. Semaine 16 : du lundi 01 février au vendredi 05. Liste des questions de cours 1 ) Donner les trois définitions de la notion de limite en un point : définition séquentielle, définition par ε et définition par voisinages. Démontrer qu elles sont équivalentes. 2 ) L application (x, y) x3 e x+y avec (x, y) x2 e x+y x 2 + y 2. x 2 + y 2 est-elle prolongeable par continuité en (0, 0)? Même question 3 ) Montrer que l image réciproque d un ouvert par une application continue est un ouvert. 4 ) Montrer que {(x, y, z) R 3 / ln(x 2 +1) < sin(xyz)+2} est un ouvert de R 3. Montrer que GL n (K) est un ouvert de M n (K). 5 ) Caractérisation d une application linéaire continue. Enoncé et démonstration. 6 ) Sur E = C([0, 1], R), avec les normes 1 et, étudier la continuité de ϕ : f f(0). 7 ) On note LC(E) l ensemble des endomorphismes continus sur E. Montrer qu en posant u LC(E) u = u(x) E, on définit une norme sur LC(E). sup x E x E 1 Montrer que u LC(E) x E u(x) E u x E et (u, v) LC(E) 2 v u v u. 8 ) Donner la définition de la continuité uniforme. Enoncer et établir sa caractérisation séquentielle. 9 ) Image directe d un compact par une application continue. Enoncé et démonstration. Qu en déduiton lorsque l espace d arrivée est R (justifier)? 10 ) Enoncer et démontrer le théorème de Heine. Continuité et compacité 1 Limite en un point Définition. Soient A une partie de D f et a A. f(x) x a (x n ) n N A N x n a = f(x n) l, ou bien ε R + α R + x A ( x a E < α = f(x) l F < ε), ou bien V V(l) U V(a) f(u A) V. l, ou l = x a lim f(x) si et seulement si : Propriété. C aractère local de la notion de limite : Pour tout U 0 V(a), f(x) x a l f(x) x a l. U 0 Propriété. Unicité de la limite. 1
Propriété. On suppose que E = R. f(x) l si et seulement si f(x) admet une limite à droite et x a une limite à gauche de a et que ces deux limites sont égales. Propriété. Si f(x) x a l et si f(a) B, alors l B. 2 Continuité en un point Définition. f est continue en a si et seulement si f(x) x a f(a). x D f Propriété. Les applications lipschitziennes sont continues. Propriété. Si f est continue en a, alors f /A est aussi continue en a. Propriété. Si E = R, f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche en a. Définition. Soit D D f. f : D F est un prolongement par continuité de f sur D si et seulement si f est continue et f /Df = f. Définition. Soit a D f \ D f. f admet un prolongement par continuité en a si et seulement si f admet une limite en a. Dans ce cas, l unique prolongement par continuité f de f est donné par f(a) = x a lim f(x). x a 3 Théorèmes de composition Propriété. Soient A E, a A, B F telle que f(a) B, b F et l G. Pour que g(f(x)) x a l, il suffit que f(x) x a b et que g(y) l. y b y B Corollaire. Si f est continue en a et g en f(a), alors g f est continue en a. Propriété. Limite en un point d une application à valeurs dans un produit. Si F = F 1 F q, notons. Soient A une partie de E, x f(x) = (f 1 (x),..., f q (x)) a A et l = (l 1,..., l q ) F. Alors, f(x) x a l si et seulement si pour tout i N q, f i (x) x a l i. Propriété. Limite d une application à valeurs dans un espace de dimension finie. Si F a pour base (e 1,..., e q ), notons. Soient A une partie de E, x f(x) = f i (x)e i a A et l = l i e i F. Alors, f(x) x a l si et seulement si pour tout i N q, f i (x) x a l i. Propriété. Continuité en un point d une application à valeurs dans un produit. Si F = F 1 F q, notons x f(x) = (f 1 (x),..., f q (x)). Soit a D f. Alors, f est continue en a si et seulement si pour tout i N q, f i est continue en a. Propriété. Continuité en un point d une application à valeurs dans un espace de dimension finie. Si F a pour base (e 1,..., e q ), notons. Soit a D x f(x) = f i (x)e f. Alors, f est continue en a si et seulement si pour tout i i N q, f i est continue en a. c Eric Merle 2 MP Fénelon
4 Opérations algébriques sur les limites Propriété. Si f(x) x a l et g(x) x a l, alors (f + g)(x) x a l + l. Propriété. Si f et g sont continues en a, f + g est continue en a. Propriété. Soient ϕ : E K, définie sur D ϕ, A D f D ϕ, a A et (α, l) K F. Si f(x) x a l et ϕ(x) x a α, alors (ϕ.f)(x) x a α.l. Propriété. Principe des gendarmes. Si x A h 1 (x) h 2 (x) h 3 (x), h 1 (x) x a alors h 2 (x) x a l. l et h 3 (x) x a l, Propriété. Le produit d une application scalaire continue par une application vectorielle continue est continue. 5 Extension aux limites infinies On étend la notation f(x) x a l aux cas suivants : Premier cas : E = R, A n est pas majoré et a = +, Deuxième cas : E = R, A n est pas minoré et a =, et Troisième cas : F = R et l = ±. Quatrième cas : A est une partie non bornée de E et a =. Cinquième cas : l =. Pour ceci, on étend la définition séquentielle de la notion de limite en un point. Propriété. f(x) x + l si et seulement si ε R + M R + x A (x M = f(x) l < ε). Propriété. f(x) x a + si et seulement si M R + α R + x A ( x a α = f(x) M). Propriété. La propriété de composition des limites se généralise aux cas des limites infinies. Les propriétés d opérations algébriques sur les limites de fonctions se généralisent aux cas des limites infinies, les formes indéterminées étant exceptées. Remarque. Si ϕ : N N vérifie ϕ(n) +, et si (x n) E N n + x n l E, alors, par composition des limites, x ϕ(n) l. 6 Continuité globale est une suite telle que Propriété. Soit A une partie de E. L ensemble C(A, F ) des applications continues de A dans F est un K-espace vectoriel et C(A, K) est une K-algèbre. Théorème. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est continue. ii) L image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert pour la topologie induite sur D f. ii) L image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé pour la topologie induite sur D f. 7 Continuité d une application linéaire Théorème. On suppose que f L(E, F ). Alors f est continue si et seulement si il existe k R + tel que x E f(x) k x. c Eric Merle 3 MP Fénelon
8 La continuité uniforme Définition. f est uniformément continue sur D f si et seulement si ε R + α R + (x, y) D 2 f ( x y E α = f(x) f(y) F ε). Propriété. Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme : f est uniformément continue si et seulement si pour tout couple ((x n ), (y n )) de suites d éléments de D f tel que d(x n, y n ) 0, d(f(x n), f(y n )) 0. Propriété. La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue. Propriété. Les applications lipschitziennes sont uniformément continues. Propriété. Si F = F 1 F q, où q N et F 1,..., F q sont q espaces vectoriels normés, l application x (f 1 (x),..., f q (x)) est uniformément continue si et seulement si pour tout i N q, f i est uniformément continue. Propriété. Si F est de dimension finie, égale à q N et si e = (e 1,..., e q ) est une base de F, l application est uniformément continue si et seulement si pour tout x f i (x)e i i N q, f i est uniformément continue. 9 Comparaison des fonctions vectorielles au voisinage d un point Brève extension des notations O, o et au cas des fonctions vectorielles. 10 Compacts Définition. Une suite extraite de (x n ) est une suite de la forme (x ϕ(n) ), où ϕ : N N est une application strictement croissante. Propriété. Si (x n ) converge, toute suite extraite de (x n ) converge vers la même limite. Propriété. Une suite extraite d une suite extraite de (x n ) est encore une suite extraite de (x n ). Définition. On appelle valeur d adhérence de la suite (x n ) toute limite d une suite extraite de (x n ). Définition. A est compacte si et seulement si toute suite d éléments de A admet au moins une valeur d adhérence dans A. Propriété. Tout compact de E est fermé et borné. Propriété. Soit A un compact de E et B A. Alors B est compact si et seulement s il est fermé. Théorème. Une suite d éléments d une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d adhérence. Théorème. L image directe d un compact par une application continue est un compact. Corollaire. Soient A un compact non vide de E et f : A R une application continue. Alors f est bornée et elle atteint ses bornes, c est-à-dire qu il existe (x m, x M ) A 2 tel que, pour tout x A, f(x m ) f(x) f(x M ). Théorème. Un produit cartésien de compacts est compact. Théorème de Heine. Toute application continue sur un compact est uniformément continue. c Eric Merle 4 MP Fénelon
11 Suites de Cauchy (hors programme) Définition. (x n ) est une suite de Cauchy si et seulement si ε R + N N p N q N d(x p, x q ) ε. Propriété. Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Propriété. Toute suite de Cauchy de E est bornée. Propriété. Si une suite de Cauchy possède une valeur d adhérence alors elle est convergente. 12 En dimension finie Théorème. Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Théorème. Les compacts d un espace vectoriel de dimension finie sont les fermés bornés. Théorème de Bolzano-Weierstrass. De toute suite bornée de vecteurs d un espace vectoriel de dimension finie, on peut extraire une sous-suite convergente. Théorème. fermé. Dans un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est Théorème. Toute application linéaire dont l ensemble de départ est un K-espace vectoriel de dimension finie est continue. Théorème. toute application multilinéaire dont l ensemble de départ est un produit d espaces vectoriels de dimensions finies est continue. Théorème. Les applications polynômiales de K n dans K sont continues. c Eric Merle 5 MP Fénelon