Suites 1 Généralité 1.1 Définition Une suite u est une fonction définie dans l ensemble des entiers naturels N : La suite u peut être notée (u) n N, u : N R n u(n) Le terme u(n), image de n par u, est le plus souvent noté u n. Remarque : On est souvent amené dans l étude de suite de décrire les termes consécutifs à ceux du rang n soit ceux du rang n+1 ou n+2... Ainsi le terme qui suit u n est u n+1, celui qui précède u n pour n non nul, est u n 1. Schéma : rang terme 0 1 2 n 1 n n+1 u 0 u 1 u 2 u n 1 u n u n+1 Exemple-exercice : Soit la suite (u) n N définie par l expression fonctionnelle u n = n 2 +6n 7 1. étude de la suite u. (a) Calculer l image de 3. (b) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles u n = 0. (c) Exprimer et simplifier u n+1 en fonction de n. (d) Exprimer et simplifier u n+1 u n en fonction de n, en déduire un ordre entre u n+1 et u n. (e) Suivant le signe de u n+1 u n, donner les variations de u. (f) A partir d une table de valeurs, obtenue sur la calculatrice, donner la plus petite valeur N de n qui vérifie u n > 1000. 1.2 Variations d une suite Soit une suite (u) n N. u est strictement croissante si et seulement si n N,u n < u n+1 u est strictement décroissante si et seulement si n N,u n > u n+1 u est constante si et seulement si n N,u n = u n+1 Remarque : Pour étudier la comparaison des termes u n et u n+1 on est souvent amené à étudier : le signe de la différence u n+1 u n la comparaison à 1 du quotient u n+1 u n (avec u n 0) Exemple : Étudier les variations de la suite u par les deux méthodes précédentes, avec u définie par u n = 0,5 n. S.Mirbel page 1 / 6
2 suite arithmétique 2.1 Les deux expressions d une suite arithmétique Une suite u est dite arithmétique si elle est définie par un premier terme (souvent au rang 0 par u 0 ) et une relation appelée relation de récurrence de u n+1 en fonction de u n : R est appelé raison de la suite u. u n+1 = u n +R. Exercice : On définit la suite u par son premier terme u 0 = 4 et la relation de u n+1 = u n +6. 1. Calculer u 10. 2. Exprimer u n en fonction de n. Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison R. Pour tout nombre n, on a l expression de u n en fonction de n : u n = u 0 +nr Réciproquement, si pour tout entier n, une suite u a pour expression u n = a+bn, alors la suite u est arithmétique de premier terme u 0 = a et de raison R = b. La relation u n = u 0 +nr est appelée relation fonctionnelle de la suite u. Remarque : Par ce théorème, on a aussi les relations fonctionnelles suivantes : Schéma : u n = u 1 +(n 1)R (pour n 1) u n = u 2 +(n 2)R (pour n 2)... rang terme 0 1 2 n 1 n n+1 u 0 u 1 u 2 u n 1 u n u n+1 +R +R +R +R +2R +2R +nr S.Mirbel page 2 / 6
2.2 Somme des termes Soit une suite arithmétique u de premier terme u 0 et de raison R. On note S n = n i=0 = u 0 +u 1 +u 2 +...+u n 1 +u n la somme des n+1 premiers termes de la suite u. On alors : S n = (n+1) u 0 +u n 2 premier terme+dernier terme On peut retenir : nombre de termes. 2 Exemple-exercice : Soit la suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison 5. Calculer la somme des dix premiers termes. 2.3 Variations Soit une suite arithmétique u de premier terme u 0 et de raison R. si R < 0 alors la suite u est strictement décroissante si R > 0 alors la suite u est strictement croissante si R = 0 alors la suite u est constante S.Mirbel page 3 / 6
3 suite géométrique 3.1 Les deux expressions d une suite géométrique Une suite u est dite géométrique si elle est définie par un premier terme (souvent au rang 0 par u 0 ) et une relation appelée relation de récurrence de u n+1 en fonction de u n : u n+1 = u n Q. Q est appelé raison de la suite u. En première et terminale L-ES, la raison Q est strictement positive. Exercice : On définit la suite u par son premier terme u 0 = 4 et la relation de u n+1 = u n 6. 1. Calculer u 4. 2. Exprimer u n en fonction de n. Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison Q. Pour tout nombre n, on a l expression de u n en fonction de n : u n = u 0 Q n Réciproquement, si pour tout entier n, une suite u a pour expression u n = a b n, alors la suite u est géométrique de premier terme u 0 = a et de raison Q = b. La relation u n = u 0 Q n est appelée relation fonctionnelle de la suite u. Remarque : Par ce théorème, on a aussi les relations fonctionnelles suivantes : Schéma : u n = u 1 Q n 1 (pour n 1) u n = u 2 Q n 2 (pour n 2)... rang terme 0 1 2 n 1 n n+1 u 0 u 1 u 2 u n 1 u n u n+1 Q Q Q Q Q 2 Q 2 Q n S.Mirbel page 4 / 6
3.2 Somme des termes Soit une suite géométrique u de premier terme u 0 et de raison Q. On note S n = n i=0 = u 0 +u 1 +u 2 +...+u n 1 +u n la somme des n+1 premiers termes de la suite u. On alors : S n = u 0 1 Q n+1 1 Q de termes 1 raisonnombre On peut retenir : premier terme. 1 raison Exemple-exercice : Soit la suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison 5. Calculer la somme des 5 premiers termes. 3.3 Variations Soit une suite géométrique u de premier terme u 0 et de raison Q. si Q < 1 alors la suite u est strictement décroissante si Q > 1 alors la suite u est strictement croissante si Q = 1 alors la suite u est constante 3.4 Limites Activité : 1. Soit la suite géométrique u de premier terme u 0 = 1 et de raison Q = 2. (a) Quel est la variation de la suite u? Justifier. (b) Avec les tables de la calculatrice, déterminer le plus petit rang N tel que pour tout n > N, u N > 1000. (c) Déterminer le plus petit rang N tel que pour tout n > N u N > 10000. (d) Que pensez-vous des valeurs de u n (soit la limite de u n ) lorsque n est assez grand? 2. Soit la suite géométrique v de premier terme v 0 = 1 et de raison Q = 0,5. (a) Quel est la variation de la suite u? Justifier. (b) Déterminer le plus petit rang N tel que pour tout n > N, v N < 0,01. (c) Déterminer le plus petit rand N tel que pour tout n > N, v N < 0,001. Soit une suite géométrique de premier terme positif u 0 et de raison positive Q. Si Q > 1, pour tout nombre K, il existe un rang N tel que, pour tout n > N, U n > K. On dit alors que le terme u n tend vers + lorsque n tend vers +. On note : lim u n = +. n + Si 0 < Q < 1, pour tout nombre ǫ, il existe un rang N tel que, pour tout n > N u n < ǫ. On dit alors que le terme u n tend vers 0 lorsque n tend vers +. On note : lim u n = 0. n + A retenir : 1. si Q > 1 : lim n + Qn = + 2. si 0 < Q < 1 : lim n + Qn = 0 S.Mirbel page 5 / 6
Exercice-exemple : Calculer les limites suivantes : 1. lim n + 1,5n ; en déduire lim n + 1,5n 40 2. lim n + 0,75n ; en déduire lim n + 0,75n +10 3. lim n + 1,02n ; en déduire lim n + 5 1,02n 4. lim n + 0,95n ; en déduire lim n + 2 0,95n 4 1 3 n 5. lim n + 3n ; en déduire lim n + 2 S.Mirbel page 6 / 6