S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N SUJET A 5/0/0 H Nom prénom Exercice : Soit q un réel différent de,prouver l égalité : points + q + q + q 3 +...q n = qn+ q Exercice :. Calculer la somme des 00 premiers multiples de trois. Donner les variations de la suite u n ) de terme général u n = n + 0n 3. u n ) est une suite arithmétique u 00 = 000 et u 00 = 00.Calculer r et u 0. 5 points Exercice 3 : Partie A On considère l algorithme suivant : 7 points Variable U, k, N réel Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N. Traitement Affecter à U la valeur 3 Pour k allant de 0 à N Affecter à U la valeur U + 3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l affichage en sortie lorsque N =? justifier) Partie B On considère la suite u n ) définie par u 0 = 3 et, pour tout entier naturel n, u n+ = u n + 3.. Calculer u et u.. Justifier que la suite u n ) n est ni arithmétique ni géométrique. 3. Soit la suite v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n. a) Montrer que v n+ = v n. En déduire que v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Donner l expression de v n en fonction de n, et en déduire que u n = )n, pour tout entier naturel n.. a) Montrer que u n ) est une suite croissante. b) Déterminer à l aide de la calculatrice le plus petit entier n tel que u n 3,99. c) Modifier l algorithme pour qu il affiche en sortie la valeur du plus petit entier n tel que u n 3,99.
Exercice : On considère la fonction f définie sur R par : 6 points x) f x) = x + On note C f sa courbe représentative.. a) Calculer f x) ; vérifier que f x) = x x ) x + ). b) Etudier le signe de f x) puis dresser le tableau de variation de f. On ne demande pas les valeurs exactes des extremums mais une valeur arrondie aux centièmes.. Déterminer l équation de la tangente T à C f au point A d abscisse. 3. On veut montrer qu il existe un point B de C f tel que la tangente à C f en B soit parallèle à la droite d équation y = x. a) Montrer que le problème revient à résoudre l équation x + x + 3 = 0. b) Vérifier que x + x + 3 = x + ) x x + 3). c) Conclure.. Construire la courbe C f les tangentes à C f dans le repère. 3 3 0 3 3
S CORRECTION DEVOIR DE MATHEMATIQUES N SUJET A 5/0/0 H Exercice : + q + q + q 3 +...q n ) q) = + q + q + q 3 +... + q n q q q 3 +... q n+ points + q + q + q 3 +...q n ) q) = q n+ En divisant chaque membre par -q non nul si q différent de on obtient l égalité voulue. Exercice : 5 points. Soit S la somme des 00 premiers multiples de trois.cette somme est la somme des 00 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u = 3 et de raison 3. u 00 = 3 + 99 3 = 300 S = d f r ac00 3 + 300) = 550. u n = n + 0n Soit f x) = x + 0x f x) = x + 0 f x) > 0 ssi x < 5 f est décroissante sur ] 5 ;+ [ et u n) à partir du rang 3. 3. u n ) est une suite arithmétique u 00 = 000 et u 00 = 00. u 00 = u 00 + 00r donc 00 = 000 + 00r soit r = 9 u 00 = u 0 + 00r donc 000 = u 0 + 00 9) soit u 0 = 900. Exercice 3 : Partie A On considère l algorithme suivant : 7 points Variable U, k, N réel Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N. Traitement Affecter à U la valeur 3 Pour k allant de 0 à N Affecter à U la valeur U + 3 Fin pour Sortie Afficher U variables k U N initialisation 3 etape 0 etape etape 3 3 + 3 = 5 5 + 3 = 63 6 63 6 + 3 = 53 6
L affichage en sortie lorsque N = est 53 6 justifier) Partie B. u = 3 + 3 = 5 u = 5 + 3 = 63 6.. u u 0 = 5 3 = 3 u u = 63 6 5 = 3 6 Différence entre deux termes consécutifs non constante,suite non arithmétique. 5 u = u 0 3 = 5 63 u = 6 = u 5 0 Quotient entre deux termes consécutifs non constante,suite non géométriques 3. v n = u n. a) On a : v n+ = u n+ v n+ = u n + 3 v n+ = u n + v n+ = v n + ) + v n+ = v n + v n+ = v n On a bien l égalité voulue. v n ) est donc une suite géométrique de raison q =? et de premier terme v 0 = u 0 = 3 =. ) n b) On en déduit : v n = v 0 q n = et : u n = v n + = )n. a) La suite géométrique définie par w n = )n est décroissante raison compris entre 0 et et premier terme positif. Comme v n = w n est v n ) croissant et u n croissant. b) On trouve u 3 3,98 u 3,996 Donc a partir du rang u n > 3,99 Cette suite converge vers. c)
Variable U, k, réel Entrée Traitement Affecter à U la valeur 3 Affecter à k la valeur 0 Tant que U 3,99 répéter Affecter à U la valeur U + 3 Fin tant que Sortie Afficher k Exercice : 6 points ). a) f x + ) x) x) x) = 0 x + ) ) f x x + x x) = 0 x + ) ) f x x x) = 0 x + ) x) f x) = x + f x) = x + x + x + ) f x) = x x ) x + ). On a bien l égalité voulue b) x + x + trinôme = 3 = le trinôme admet deux racines x = ) = + x = + ) = Ce trinôme est négatif à l extérieur des racines. D où le tableau de variation suivant. x f x) f x) + + 0 + 0, 6 c) 0.39. f ) = f ) = yx ) + y = x est l équation de T tangente à C f au point A d abscisse.
3. On veut montrer qu il existe un point B de C f tel que la tangente à C f en B soit parallèle à la droite d équation y = x. a) Il faut donc f x) = soit x x ) x + ) = ou x x ) = x + ) ou x + x + = x + x + ) ou x + x + 3 = 0 b) x + ) x x + 3) = x + x + )x x + 3) x + ) x x + 3) = x x 3 + 3x + x 3 x + 6x + x x + 3 x + ) x x + 3) = x + x + 3 c) Conclusion il existe un point B de C f tel que la tangente à C f en B soit parallèle à la droite d équation y = x si f x) = soit si x + x + 3 = 0 ou si x + ) x x + 3) = 0 or x + ) x x + 3) = 0 ssi x + ) = 0 ou x x + 3) = 0 ssi x = car l équation x x + 3) = 0 est sans solution discriminant négatif). Construire la courbe C f les tangentes à C f dans le repère. 3 A D B 3 0 3 3