cd. = = 17N/mm²

20-1 Dimensionnement d un bâtiment de 6 étages en béton armé avec murs de contreventements faiblement armés. Préparé par Cécile HAREMZA, Ingénieur de Recherche ULg. 1. Introduction Caractéristiques des matériaux Béton Armatures en acier S500, classe B STATIQUE f ck = 30 N/mm² γ c = 1.5 f fck 30 cd =α 0.85 cc = = 17N/mm² γ 1.5 c E = 33 000 N/mm² g conc = 2400 kg/m³ f yk = 500 N/mm² γ = 1.15 s fyk 500 fyd = = = 434.8N/mm² γc 1.15 E s = 200 000N/mm² SISMIQUE f ck = 30 N/mm² γ c = 1.3 fck 30 fcd = = = 23.1N/mm² γc 1.3 E = E/2 = 16500 N/mm² g conc = 2400 kg/m³ f yk = 500 N/mm² γ = 1.0 s fyk 500 fyd = = = 500N/mm² γc 1.0 E s = 200 000N/mm² Dimensions Nombre de niveaux : 6 Hauteur du rez-de-chaussée : h rez = 3.5m Hauteur des niveaux supérieurs : h etage = 3m Hauteur du bâtiment : H w = 18.5m Longueur totale du bâtiment direction X : Longueur totale du bâtiment direction Y : Longueur d une poutre selon la direction X : Longueur d une poutre selon la direction Y : Longueur des murs : l w = 5m Epaisseur de la dalle : h dalle = 0.15m L x = 20m L y = 15m l x = 5m l y = 5m 1

20-2 Plan XZ Plan YZ Charges Charges permanentes (en plus du poids propre) : G = 1 kn/m² Charges variables : Q = 3 kn/m² Neige : N = 0.4 kn/m² Vent : V = 1.4 kn/m² Coefficient de comportement q = q 0 = 3 2

20-3 2. Dimensionnement statique des poutres et colonnes Combinaisons des charges 1.35 (poids propre + G) + 1.5 Q + 1.5 (0.7 N) 1.35 (poids propre + G) + 1.5 N + 1.5 (0.7 Q) Poutres L analyse est réalisée par le software SAP2000, en 3 dimensions. Poutre la plus sollicitée en travée : portique plan yz, en x = 0, 2eme niveau, 3eme travée M + = 36.3kNm Ed,max Poutre la plus sollicitée à l appui : portique plan yz, en x = 0, 6eme niveau, 3eme travée M Ed,min = -65.5kNm V Ed,max = 67.53kN Caractéristiques de la section de béton armé : h poutre = 350mm b poutre = 250mm enrobage = 25mm φ etrier = 8mm s = 150mm A s,sup = 2 φ 20 = 628mm² A s,inf = 2 φ 14 = 308mm² Résistances : M Rd (2 φ 20) 74.8 knm M + Rd (2 φ 14) 39.3 knm V Rd 73 kn Les moments résistants sont calculés par une feuille Excel, ne tenant compte que des armatures tendues de la section, et avec ε cu 2 = 0.0035 : - Moment résistant négatif : = 74.8 knm M Rd Avec x = 79.4mm, position de l axe neutre, mesurée depuis la fibre comprimée extrême d = h poutre enrobage φ etrier φ /2 s,sup centre de force des armatures, mesuré depuis la fibre comprimée extrême z = 274mm, bras de levier = 350 25 8 20/2 = 307mm, 3

20-4 - Moment résistant positif : M + Rd = 39.3 knm Avec x = 38.9mm, position de l axe neutre, mesurée depuis la fibre comprimée extrême d = h poutre enrobage φ etrier φ /2 s,inf = 310mm, centre de force des armatures, mesuré depuis la fibre comprimée extrême z = 293.8mm, bras de levier L effort tranchant résistant est calculé selon les formules de l Eurocode 2. La résistance à l effort tranchant est la plus petite des valeurs suivantes : Asw - Résistance des étriers : VRd,s = zfywd cotgθ s αcw bw0 zν1fcd - Résistance des bielles comprimées de béton : VRd,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison des bielles comprimées de béton. On prends θ = 45 s = 150mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f ywd = σ s = min(e s ε cu, f yd ) = min(200000 x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² ε cu = 0.002 A sw = 2 x π x 8² / 4 = 100.5mm² αcwν1 fcd bw s 1.0 0.6 17 250 200 A sw,max = = = 637.5mm² 2 fywd 2 400 A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 100.5mm² z = 274mm V Rd,s = 73.4kN V Rd,max = 349kN V Rd = min (V Rd,s ; V Rd,max ) = 73.4kN > V Ed,max = 67.5kN OK Vérifications de l Eurocode 2 [EN 1992-1-1: 2004] Ductilité de la section (dans le cas d une analyse plastique) [cl. 5.6.2]: (x/d) sup = 0.25 0.25 OK (x/d) inf = 0.13 0.25 OK Mmax 65.5 0.5 2 0.5 2 OK M 36 min 4

20-5 Section minimale d armatures longitudinales tendues [9.2.1.1]: f ctm A s, min =max 0.26 bd, 0.0013 bd f yk f ctm = 2.9 N/mm² f yk = 500 N/mm² b = 250mm d sup = 407mm d inf = 410mm A s, min,sup = 115.7 mm² < A s,sup = 628mm² OK A s, min,inf = 116.9 mm² < A s,inf = 308mm² OK Section maximale d armatures longitudinales tendues ou comprimées [9.2.1.1]: A s, max =0.04A c = 3500 mm² > A s,sup = 628mm² OK > A s,inf = 308mm² OK Taux minimum d armatures d effort tranchant [9.2.2 (5)] : ρ = 0.08 f / f ( ) w,min ck yk ρ w = A sw /(s b sin α ) A sw = 100.5mm² α = 90 (étriers droits) ρ = 0.0009 OK ρ w = 0.002 > w,min Espacement longitudinal maximum entre les armatures d effort tranchant [9.2.2 (6)] : s max = 0.75d = min(0.75 d sup ; 0.75 d inf ) = 230mm > s = 200mm OK Colonnes L analyse est réalisée par le software SAP2000, en 3 dimensions. Caractéristiques de la section de BA: h col = 300mm b col = 300mm Enrobage = 25mm φ stirrup,col = 6mm s = 150 mm A s,tot = 4 φ 16 = 804mm² Colonne extérieure la plus fléchie : Dernier niveau, côté extérieur du portique central : N Ed = 78.1kN M Ed,2 = 47.8kNm M Ed,3 = 0.016kNm V Ed,3 = 29.2kN V Ed,2 = 0.01kN 5

20-6 Résistances : Les moments résistants sont calculés par une feuille Excel, tenant compte de toutes les armatures, comprimées et tendues, et de l effort normal sollicitant, avec ε cu 2 = 0.0035 : M Rd = 62.5 knm > M Ed,max = 47.8kNm OK L effort tranchant résistant est calculé selon les formules de l Eurocode 2. La résistance à l effort tranchant est la plus petite des valeurs suivantes : Asw - Résistance des étriers : VRd,s = zfywd cotgθ s αcw bw0 zν1fcd - Résistance des bielles comprimées de béton : VRd,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison des bielles comprimées de béton. On prends θ = 45 s = 150mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f ywd = σ s = min(e s ε cu, f yd ) = min(200000 x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² ε cu = 0.002 A sw = 2 x π x 6² / 4 = 56.5mm² αcwν1 fcd bw s 1.0 0.6 17 250 150 A sw,max = = = 478mm² 2 fywd 2 400 A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 56.5mm² z = 241mm V Rd,s = 36.4kN V Rd,max = 369kN V Rd = min (V Rd,s ; V Rd,max ) = 36.4kN > V Ed,max = 29.2kN OK Résistance à l effort normal : ε cu = 0.002 σ c = f cd = 17 N/mm² σ s = min(e s ε cu, f yd ) = min(200000 x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² N Rd,c = (A c A sv ) x σ c + A sv x σ s = 1838 kn > N Ed = 78kN OK Colonne intérieure la plus chargée : Rez-de-chaussée, colonne au centre du portique central : N Ed = 1759.3kN M Ed,2 = 0.13kNm M Ed,3 = 0.0kNm V Ed,3 = 0.11kN V Ed,2 = 0.0kN 6

20-7 Vérification de la résistance à l effort normal : N Rd,c = (A c A sv ) x σ c + A sv x σ s = 1838 kn > N Ed = 1759.3kN OK Vérifications de l Eurocode 2 [EN 1992-1-1: 2004] : Diamètre minimal des barres longitudinales [9.5.2 (1)] : φ L,min = 8mm > φ L = 16mm OK Section minimale d armatures longitudinales [9.5.2 (2)]: N 3 Ed 1759.310 As, min = max 0.1, 0.002 A c = max f 0.1,0.002 90000 yd 434.8 = 404.6mm² < A s,tot = 804mm² OK Section maximale d armatures longitudinales [9.5.2 (2)]: A = 0.04A = 3600 mm² > A s,tot = 804mm² OK s, max c Diamètre minimum d armatures d effort tranchant [9.5.3 (1)] : φ = max 6mm; φ / 4 = 6mm OK pour un étrier de 6mm de diamètre wd,min ( ) L Espacement maximal des armatures d effort tranchant [9.5.3 (3)] : s = min 20 φ ;b;h;400mm = 300mm > s = 150mm OK max ( ) Sections critiques [9.5.3 (4)] : h crit = max(b ; h) = 300mm s crit = 0.6 s = 90mm L 7

20-8 3. Dimensionnement des murs de contreventement faiblement armés sous charges sismiques par une analyse dynamique simplifiée Caractéristiques du séisme, masse sismique Caractéristiques du séisme, selon l Eurocode 8 : - Une accélération de calcul au sol a gr = 0.4g, avec un coefficient d importance de structure γ I = 1 (bâtiment courant), d où a g = γ I a gr = 0.4g - Un sol de type B - Un spectre de réponse élastique de type 1 Valeurs des paramètres décrivant le spectre de réponse élastique de type 1 (sol de type B) Définitions Symbole Valeur Unité Paramètre du sol S 1.2 Limite inférieure des périodes correspondant au palier d accélération spectrale constante T B 0.15 s Limite supérieure des périodes correspondant au palier d accélération spectrale constante T C 0.5 s Valeur définissant le début de la branche à déplacement spectral constant T D 2 s Combinaison sismique pour la vérification locale des éléments de la structure : 1(poids propre + charge permanente G) + ψ 2i Q + E, avec ψ 2i = 0.3 donné dans l Eurocode 0 E = effets de l action sismique, calculés pour une structure dont la masse est m, «masse sismique». Calcul de la «masse sismique» m : Localement : m J = (poids propre + charge permanente G) + ψei Q = Gkj + ψei Qki ψ E,i : ψ Ei = ψ 2i = 0.8 donné dans l Eurocode 8 (bâtiment avec occupations corrélées) ψ Ei = ψ 2i = 0,8 0,3 = 0, 24 m = 1376 tonnes 8

20-9 Dimensions des voiles Largeur et hauteur des voiles : l w = 5000mm H w = 18500mm Les voiles sont considérés comme étant des murs de grandes dimensions transversales, définis comme ayant une dimension horizontale l w au moins égale à 4m ou aux 2/3 de la hauteur H w du mur, en prenant la valeur inférieure : l w = 5000mm > min(4m ; 2/3 H w ) = 4000mm mur de grande dimension en béton peu armé Epaisseur choisie : b w = b w0 = 250mm (épaisseur constante) Où b w est l épaisseur des extrémités du mur, ou éléments de rive b w0 est l épaisseur de l âme du mur. La clause 5.4.1.2.4 de l Eurocode 8 impose une épaisseur minimale de l âme du mur : b w0,min,rez = max(0.15 ; h s /20) = 175mm b w0,min,etages = max(0.15 ; h s /20) = 150mm b w0 = 250mm > b w0,min,rez > b w0,min,etages OK Les règles de l Eurocode 2 à propos des voiles sont applicables. Par définition, un mur ou voiles respectent l inégalité : lw 4bw 5m > 1m OK Période du bâtiment et forces internes Périodes du bâtiment données par le programme de calcul SAP2000 : T X = T Y = 0.58s Par comparaison, T estimé par la relation de l Eurocode 8 [EN 1998-1: 2004 cl.4.3.3.2.2] : Estimation de la période du bâtiment par une formule approchée: 3/4 T= Ct H 0.075 Coefficient C t : Ct = Ac A c est l aire effective totale des sections des murs de contreventement au premier niveau du bâtiment, en m² : 9

20-10 2 A c = (A i(0.2+ l wi /H) ) l wi = 5m, longueur du mur de contreventement i au premier niveau dans la direction parallèle aux forces appliquées, en m, sous la condition que l wi / H ne dépasse pas 0,9 H = 18.5m l wi /H = 0.27 < 0.9 ok A i = b w x l w = 1.25m², aire effective de la section transversale du mur de contreventement dans la direction considérée i au premier niveau du bâtiment, en m² C T = 0.9 s t A c = 2x 1.25 (0.2+0.27)² = 0.55m² 0.075 = = 0.1 A c Estimation des efforts internes, pour une approche simplifiée sans analyse 3D : Fb = m S d(t) λ m = 1376 tons = 1.376 10 6 kg λ = 0.85 (le bâtiment a plus que 2 étages) 2.5 TC S(T)= d ag S q T = 0.4 x 9.81 x 1.2 x 2.5/3 x 0.5/0.58 = 3.4 m/s² F = 1.376 10 6 kg x 3.9 x 0.85 = 3957 kn b Effets de la torsion: * F= b F b x δ = 5144 kn x δ= 1+ 0.6 = 1.3, avec x = 7.5m et L e = 15m [4.3.3.2.4 EC8] L e Efforts dans un mur: * V' Ed = F b /2= 2572kN (on l appelle V car obtenu par l analyse, et sera augmenté pour les vérifications de résistance) * MEd = F b /2 2/3 H= 31719kNm N Ed,sism = 1479kN (du à la descente de charge verticale sous la masse sismique) Remarque : Si on avait considéré E à la place de E/2 pour le béton, on aurait eut une période plus petite, et des efforts plus grands : T X = T Y = 0.41s F= F b x δ = 5967 kn * b 10

20-11 Selon la clause 5.4.2.5 (3) et (4) de l Eurocode 8, les efforts normaux dynamiques supplémentaires développés dans les murs de grandes dimensions en raison du soulèvement par rapport au sol ou de l ouverture et la fermeture de fissures horizontales, doivent être pris en compte dans la vérification du mur à l état limite ultime, vis-à-vis de la flexion composée. Cette composante dynamique de l effort normal du mur peut être prise comme correspondant à 50% de l effort normal dans le mur, dû aux charges gravitaires présentes dans la situation sismique de calcul, avec un signe positif et un signe négatif. N Ed,dyn = ± 0.5 x N Ed,sism = ± 739.5kN N Ed,max = N Ed,sism + N Ed,dyn = 2218.5kN N Ed,min = N Ed,sism - N Ed,dyn = 739.5kN Pour la vérification de la résistance en flexion, le signe négatif est plus défavorable, tandis que pour la vérification du béton et de l instabilité latérale, le signe positif est plus défavorable. Selon la clause 5.4.3.5.1 (4), lorsque l effort normal dynamique est pris en compte dans la vérification à l état limite ultime pour la flexion composée, la déformation limite ε cu 2 pour le béton non confiné peut être augmentée à 0.005, avec une valeur plus élevée pour le béton confiné, sous réserve que l éclatement du béton d enrobage non confiné soit pris en compte dans la vérification. ε cu 2 = 0.005 Instabilités Vérification de l instabilité hors plan du mur [5.4.3.5.1 (2) (3), EC8] L Eurocode 8 prescrit de suivre les règles de l Eurocode 2 pour les effets de second ordre : Les effets du second ordre associés à l instabilité latérale peuvent être négligés si la condition suivante, pour une situation transitoire, est satisfaite [EC2, 5.9 (3)] : 1/3 h rez l w 70 bw0 bw0 Avec l w = 5000mm h rez = 3500mm b w0 = 250mm 1/3 3500 5000 = 38 < 70 OK 250 250 La réduction de la résistance en compression par le facteur Φ donné dans la clause 12.6.5.2 (1) de l Eurocode 2 ne s applique pas : Φ = 1 D après la clause 12.6.5.1 (5) concernant le flambement, il convient que l0 l élancement n excède pas λ = 86, c est-à-dire : 25 bw0 l0 3319.3 bw0,min = = = 132.8mm < bw0= 250mm OK 25 25 11

20-12 Armatures verticales D après l Eurocode 8, des armatures de confinement sont prescrites aux extrémités de la section transversale. Les armatures verticales placées à ces extrémités permettent au mur de reprendre le moment sollicitant M Ed. Un calcul simple permet d estimer la quantité d armatures nécessaires dans les 2 zones d extrémités : On estime que ces zones d extrémités ont une longueur l c égale au minimum requis par l Eurocode 8, clause 5.4.3.5.3(2) : 3b w0 σ cm l c = l c,min = max b w0; fcd σ cm ε c2 0.002 Avec : =Φ 1 = 1 1 = 0.87 fcd 3εcu 2 3 0.005 ε c2 = 0.002 ε cu 2 = 0.005 b w0 = 250mm Φ = 1 l c,min = max ( 250;3 0.87 250) = 650mm Le mur est supposé être en flexion pure avec les armatures verticales pour la flexion. En effet, la valeur de υ d calculée avec N Ed,min qui est plus défavorable pour la résistance en flexion, est inférieur à 10% : NEd,min 739500 υ d,min = = = 2.6% < 10% flexion pure A f 1250000 23.1 c cd Le bras de levier z des forces représentant le moment est estimé égal à : z = l w l c = 5000 650 = 4350mm Force de traction F t : F t = M Ed /z = 31719kNm/4.35m = 7292kN Résistance de calcul des armatures : f yd = 500N/mm² A s1,2, estimé = F t /f yd = 7292000/500 = 14583mm² ( 12 φ 40 = 15080mm²) Remarque : Estimation des sections d armatures verticales pour un mur en flexion composée ( υ d > 10%) : NEd,min σ N = bwlw 6MEd σ M = 2 bwlw F t = ( σm - σ N ) x d/2 x b w σm σn d= lw 2σM A s1,2,estimé = F t /f yd 12

20-13 Cette section d armatures A s1,2,estimé est vérifiée par un calcul du moment résistant de la section. Le calcul montre que 14 φ 36 = 14250mm² est suffisant. Zones d extrémités : Diamètre des armatures dans les 2 zones d extrémités : φ s1 =φ s2 = 36mm Section des armatures dans les 2 zones d extrémités : A s1 = A s2 = 14 φ 36 = 14250mm² Espacement des armatures : d s1 = d s2 = 100mm Avec ces 12 φ 40 espacées de 10cm, on a une longueur de zone de confinement égale à : l c,reelle = d s1,2 x 5 + φ s1,2 + φ st = 100 x 6 + 36 + 12 = 648mm 65cm = l c,min, avec φ st = 12mm, le diamètre des armatures transversales qui confinent ces parties d extrémité et qui est déterminé par après. Ame du mur : on place la quantité minimale d armatures Diamètre des armatures d âme : φ sv = 12mm D après l Eurocode 8 cl. 5.4.3.5.3 (2), le diamètre des barres verticales ne doit pas être inférieur à 12mm sur le premier niveau du bâtiment, ou dans tout autre étage où la longueur l w du mur est réduite par rapport à celle de l étage inférieur de plus de 1/3 de la hauteur d étage h s. Dans tous les autres étages, le diamètre ne doit pas être inférieur à 10mm. Espacement : d sv = 400mm Eurocode 2, cl. 9.6.2 (3), espacement maximum : d sv,max = min(3b w0 ; 400mm) = 400mm = d sv OK Section des armatures d âme : A sv = 16 φ 12 = 1810mm² Section totale des armatures verticales : A sv,tot = A sv + A s1 + A s2 = 30310mm² Moment résistant, tenant compte des hypothèses suivantes : Effort normal sollicitant : N Ed,min = 739.5kN, ε cu 2 = 0.005, Section réduite sans l épaisseur de l enrobage correspondant au béton comprimé non confiné : l 0 = l w 2x enrobage 2x φ sh φ st = 5000 2x 30 2x 14 12 = 4900mm b 0 = b w 2x enrobage 2x φ sh φ st = 250 2x 30 2x 14 12 = 150mm M Rd = 35624kNm > M Ed = 31719kNm Avec : Position de l axe neutre : x u = 862mm Bras de levier : z = 4043mm Allongement des armatures côté tendu : 13

20-14 l x 4900 862 w,red u ε s =ε cu2 = 0.005 = 0.023 = 2.3% xu 862 et est inférieur à ε su,d = 0.9 x 5% = 0.045 = 4.5% (armatures classe B) Vérifications des règles de l Eurocode 2, clause 9.6.2 : A sv,min = 0.002 A c = 2500mm² < A sv,tot = 30310mm² OK A sv,max = 0.04 A c = 50000mm² > A sv,tot = 30310mm² OK d sv,max = min(3b w0 ; 400mm) = 400mm = d sv = 400mm OK > d s1, d s2 = 100mm OK Remarque : Moment résistant tenant compte de l augmentation de résistance du béton confiné (avec N Ed,min et une section réduite de l 0 x b 0 = 4900 x 150) : ε cu 2,c = ε cu 2 + 0.1 αω wd [EC8 5.4.3.4.2 (6) ou EC2 3.1.9] bw αω wd,min = 30 µ ( υ d +ωv) εsy,d 0.035 b0 Coefficient de ductilité en courbure µ requis : MEd si T T c : µ = 2q0 1 MRd M Ed Tc si T < T c : µ = 1+ 2 q0 1 MRd T Ici T = 0.58s > T c = 0.5s MEd 31719 µ = 2q0 1 = 2 3 1 = 4.34 MRd 35624 (en utilisant M Rd calculé précédemment pour estimer µ ) Cependant, d après la clause 5.2.3.4(4) de l Eurocode 8, dans les zones critiques composées d éléments sismiques primaires avec des armatures longitudinales en acier de classe B, le coefficient de ductilité en courbure doit au moins être égal à 1.5 fois la valeur donnée par les expressions précédentes : µ ' = 1.5µ = 6.5 Rapport mécanique des armatures verticales d âme : Asv fyd 1810 500 ω v =ρ vf yd /fcd = = b l f 250 5000 23.1 w w cd = 0.03 Valeur de calcul de la déformation de l acier en traction à la limite fyd 500 d élasticité: ε sy,d = = = 0.25% = 0.0025 Es 200000 NEd,min 739500 υ d,min = = = 0.03 A f 1500000 23.1 c cd 14

20-15 b w = 250mm b 0 = 150mm αω wd,min = 0.011 on a au moins : ε cu2,c = ε cu2 + 0.1 αω wd,min = 0.005 + 0.1 x 0.011 = 0.0061 M Rd = 35660 knm Pas de grande différence Avec : Position de l axe neutre : x u = 815mm Bras de levier : z = 4031mm Vérifications des déformations de l acier et du béton : Allongement des armatures côté tendu : lw,red xu 4900 815 ε s =ε cu2,c = 0.0061 = 0.03 = 3.0% x 815 u ε su,d = 0.9 x 5% = 0.045 = 4.5% ε s = 3 % < ε su,d = 4.5% OK Déformation maximale du béton comprimé non confiné (au niveau de l c = 650mm) : ε = 0.0013 ε = 0.005 OK c < cu2 L élément de rive confiné s étend sur une longueur limitée qui peut être calculée à partir de x u : l c,calcul = x u (1- ε cu2 / ε cu 2,c ) = 815 (1-0.005/0.0061) = 152mm < l c,réelle utilisée dès le départ, égale à 650mm Armatures horizontales Ces armatures sont dimensionnées pour que le mur puisse reprendre l effort tranchant sollicitant V Ed. Effort tranchant résistant de calcul de l élément en l absence d armatures d effort tranchant : ( ) 1/3 VRd,c = CRd,c k 100ρ fck k l + 1 σcp bw0 d [EN1992-1-1 : 2004, 6.2.2] V = v + k σ b d Avec une valeur minimum : ( ) Expressions qui se calculent avec : 0.18 C = = 0.12 γ Rd,c k = 1+ c 200 d Rd,c,min min 1 cp w 0 2.0 avec d en mm k = min(1.2 ;2) = 1.2 15

20-16 d = 4363mm, centre de force des armatures (fichier Excel) Asv,tendues ρ l = 0.02 on impose ρ l = 0.02 bw0d σ cp = N Ed /A c < 0,2 f cd [MPa] σ cp = 0.59 < 0,2 f cd = 4 k 1 = 0.15, valeur recommandée b w0 = 250mm 3/2 1/2 v = 0.035 k f = 0.26 min D où : V Rd,c,min = 376kN V Rd,c = 719kN ck Or V Ed = 2572kN, et selon la clause 5.4.2.5 (1) (2) de l Eurocode 8, cet effort tranchant obtenus de l analyse doit être augmenté par un coefficient q+ 1 ε= afin d assurer que la plastification en flexion précède la formation de 2 l état limite ultime en cisaillement : V Ed = V Ed x ε = V Ed x q + 1 2 = 2572 x 3 + 1 2 = 5144kN V Rd,c = 719kN < V Ed = 5144kN les armatures sont nécessaires Effort tranchant pouvant être repris par les armatures d effort tranchant horizontales: Diamètre d une barre : φ sh = 14mm Espacement des armatures : d sh = 90mm A sh = 62810mm² La résistance à l effort tranchant est la plus petite des valeurs suivantes : Asw - Résistance des étriers : VRd,s = zfywd cotgθ s αcw bw0 zν1fcd - Résistance des bielles comprimées de béton : VRd,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison des bielles comprimées de béton. On prends θ = 45 s = d sh = 90mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f cd = 23.1N/mm² f ywd = σ s = min(e s ε cu, f yd ) = min(200000 x 0.002, 500) = min(400,500) = 400 N/mm² A sw = 2 x π x 14² / 4 = 308mm² 16

20-17 αcwν1 fcd bw s A sw,max = = 2 f ywd 1.0 0.6 23.1 250 90 2 400 A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 308mm² ε cu = 0.002 z = 4043mm (peut être estimé par 0.8l w = 4000 mm) = 390mm² V Rd,s = 5532kN V Rd,max = 6998kNm V Rd = min (V Rd,s ; V Rd,max ) = 5532kN > V Ed = 5144kN OK Règles de l Eurocode 2 concernant les armatures horizontales des voiles [9.6.3]: A sh,min = max(25% A sv,tot ; 0.001 A c ) = max(25% 30310 ; 0.001 1250000 ) = 7578mm² < A sh = 62807mm² OK d max,h = 400mm > d sh = 90mm OK Vérification du glissement : Selon la clause 5.4.3.5.2 (4) de l Eurocode 8, il convient de vérifier l état limite ultime par rapport à l effort tranchant vis-à-vis du glissement au niveau des reprises de bétonnage horizontales conformément à l Eurocode 2 clause 6.2.5. La longueur d ancrage des armatures additionnelles nécessaire pour la résistance au glissement est augmentée de 50% par rapport à la longueur requise dans l Eurocode 2. VEdi VRdi β VEd Valeur de calcul de la contrainte de cisaillement à l interface : VEdi = z bi Avec : β = 1 (hypothèse) ; β est le rapport de l effort normal (longitudinal) dans le béton de reprise à l effort longitudinal total dans la zone comprimée ou dans la zone tendue, calculé, à chaque fois, pour la section considérée VEd est l effort tranchant transversal ; on fait la vérification pour le V Ed en base du mur : V Ed = 5144kN z = 4043mm b i = b w = 250mm, largeur de l interface Valeur de calcul de la contrainte de cisaillement à l interface : V = c f +µ σ +ρ f µ sin α+ cosα 0.5 ν f ( ) Rdi ctd n yd cd Avec : f cd = 23.1N/mm² c = 0.35, coefficient de cohésion µ = 0.6, coefficient de friction (surface naturelle rugueuse sans traitement) fctk,0.05 2 f ctd = = = 1.54N/mm² γ 1.3 c 17

20-18 V Ed Edi = = i NEd,min 739500 σ n = min ;0.6 fcd = min ;0.6 23.1 = min ( 0.6;13.9) = 0.6 Ac 1250000 Contrainte engendrée par la force normale externe minimale à l interface susceptible d agir en même temps que l effort de cisaillement ; elle est positive en compression, avec σ n <0.6 f cd, et négative en traction. Lorsque σ n est une contrainte de traction, il convient de prendre c f ctd = 0. ρ = A sv,tot /A i = 30310mm²/1250000mm² = 0.024, avec A i = A c, aire du joint α = 90 f 0.6 1 ck ν= = 0.5, coefficient de réduction de la résistance du béton 250 fissuré à l effort tranchant (6.2.2 EC2) β V 1 5144000 = 5.1N/mm² z b 4040 250 ( ) VRdi = min c fctd +µ σ n +ρ fyd ( µ sin α+ cos α) ;0.5 ν fcd = min ( 0.35 1.54 + 0.6 0.6 + 0.024 500( 0.6 + 0 );0.5 0.5 23.1) = min ( 8.2;6.1 ) = 6.1N/mm² V Rdi = 6.1N/mm² > V Edi = 5.1N/mm² OK Armatures transversales (barres des cadres, étriers, épingles qui traversent l épaisseur du mur) φ st = 12mm s t = d sh = 90mm (les armatures transversales sont placées aux mêmes niveaux que les armatures horizontales d effort tranchant) Vérifications des dispositions constructives pour la ductilité locale de la clause 5.4.3.5.3 de l Eurocode 8 : Diamètre minimum : φs1,2 36 φ st,min = max 6mm; = max 6mm; = 12mm = φ st OK 3 3 Espacement vertical maximum : s = min 100mm;8φ = min 100mm;8 36 = 100mm > s t = 90mm OK ( ) ( ) t,max s1,2 Vérifications des règles de l Eurocode 2 concernant les armatures transversales : Ces armatures ne sont pas requises si la condition suivante est respectée : A sv,tot < 0.02 A c [9.6.4 (1)] Or A sv,tot = 30310mm² > 0.02 A c = 25000mm² Ajouter des barres transversales selon les prescriptions imposées aux colonnes [9.5.3] : 18

20-19 Diamètre minimum : φ st,min = max(6mm ; φ sv1,2 /4) = max(6 ; 36/4) = 9mm < φ st = 14mm OK Espacement maximum : s t,max = min(20 φ sv1,2 ; b w0 ; 400mm) = min(20 x 36; 250; 400) = 250mm > s t = 90mm OK Chaînage La clause 5.4.3.5.3 (4) de l Eurocode 8 concernant les dispositions constructives pour la ductilité locale impose de prévoir des chaînages en acier continus, horizontaux ou verticaux : - Le long de toutes les intersections de murs ou liaisons avec les raidisseurs ; - A tous les niveaux de plancher ; - Autour des ouvertures dans le mur. L Eurocode 2 donne un effort de traction maximal, qui permet d en tirer une section d armature de chaînage : Effort de traction maximal : F t = 70kN [EN 1992-1-1 :2004 9.10] Résistance de l acier : f sd = 435N/mm² Section d armature nécessaire : A s,min,chainage = F t /f sd = 70 000/435 = 161mm² 1 φ 16 = 201mm², à placer horizontalement à chaque intersection de plancher. 19

20-20 4. Les effets P-Delta D après la clause 4.4.2.2 (2) de l Eurocode 8, il n est pas nécessaire de prendre en compte les effets de second ordre si la condition suivante est satisfaite à tous les niveaux : Ptot dr θ= 0.10 Vtot h Avec θ coefficient de sensibilité au déplacement relatif entre étages ; P tot charge gravitaire totale due à tous les étages situés au-dessus de l étage considéré, y compris celui-ci, dans la situation sismique de calcul ; d r déplacement relatif de calcul entre étages, pris comme la différence de déplacement latéral moyen entre le haut et le bas du niveau considéré (d s = q d e ) ; d e déplacement déterminé par une analyse linéaire basée sur le spectre de réponse de calcul (3.2.2.5) ; V tot effort tranchant sismique total au niveau considéré ; h hauteur du niveau, entre étages. F b = S d m λ, la force en base répartie de façon triangulaire sur chaque portique. Dans les cas où 0,1 < θ 0,2, les effets du second ordre peuvent être pris en compte approximativement en majorant les effets de l action sismique par un facteur égal à 1/(1 - θ). Direction X Direction Y F b 3956kN 3955kN déplacement horizontal déterminé par une analyse linéaire basée sur le spectre de réponse de calcul d e1x = 3.7mm d e2x = 10.1mm d e3x = 18.4mm d e4x = 27.9mm d e5x = 37.8mm d e6x = 47.6mm d e1y = 3.7mm d e2y = 10.1mm d e3y = 18.5mm d e4y = 27.9mm d e5y = 37.8mm d e6y = 47.5mm coefficient de sensibilité au déplacement relatif entre étage et coefficient correspondant 1/(1 - θ) à chaque étage θ 1X = 0.011 θ 2X = 0.019 θ 3X = 0.022 θ 4X = 0.023 θ 5X = 0.022 coef 1X = 1 coef 2X = 1 coef 3X = 1 coef 4X = 1 coef 5X = 1 θ 1Y = 0.011 θ 2Y = 0.019 θ 3Y = 0.023 θ 4Y = 0.023 θ 5Y = 0.022 coef 1Y = 1 coef 2Y = 1 coef 3Y = 1 coef 4Y = 1 coef 5Y = 1 θ 6X = 0.02 coef 6X = 1 θ 6Y = 0.02 coef 6Y = 1 20

20-21 5. Eléments primaires et éléments secondaires Les murs de contreventements sont les éléments primaires de la structure, et les portiques, les éléments secondaires. Afin de vérifier que les poutres et colonnes sont capables de suivre les murs de contreventements, 2 vérifications doivent être réalisées : - La clause 4.2.2 (4) de l Eurocode 8 impose que la contribution de tous les éléments secondaires à la raideur latérale ne dépasse pas de plus de 15% celle de tous les éléments sismiques primaires, ce qu on peut traduire par la condition suivante : δw KMR = 15% δ K Avec MR δ MR, le déplacement du somment du bâtiment sans les murs de contreventement, soumis à une force horizontale unitaire ; δ W, le déplacement du somment du bâtiment avec les murs de contreventement et la même force horizontale unitaire ; K MR, la raideur de la structure en portique, sans les murs ; K w, la raideur de la structure avec les murs de contreventement. Les contributions des éléments secondaires à la raideur latérale sont : de 7% dans la direction X < 15% OK (avec δ = 47.5mm et W δ MR = 681.7mm sous l effet des charges horizontales F i déterminées à partir de F b, utilisée pour la vérification des effets P-Delta) de 5.6% dans la direction Y < 15% OK (avec δ = 47.6mm et W δ MR = 847.9mm sous l effet des charges horizontales F i déterminées à partir de F b, utilisée pour la vérification des effets P-Delta) w - Lorsque la rotule est formée à la base du mur, la structure secondaire doit pouvoir suivre les murs de contreventements, avec un déplacement horizontal de q x d e. Les poutres et les colonnes doivent alors pouvoir résister aux sollicitations suivantes : M Ed = M Ed,G + q x M Ed,E N Ed = N Ed,G + q x N Ed,E V Ed = V Ed,G + q x V Ed,E Avec q = 3, coefficient de comportement du bâtiment. Si les poutres et les colonnes ne sont pas suffisamment résistantes, il faut vérifier que la ductilité en courbure µ est suffisante. La valeur de la ductilité minimale en MEd courbure est donnée par : µ,demande = M Rd 21

20-22 COLONNES La plus chargée : M Ed,E = 21.8kNm N Ed,E = 351.5kN V Ed,E = 10.6kN M Ed,G = 3.1kNm N Ed,G = 241.4kN V Ed,G = 2.66kN M Ed = M Ed,G + q x M Ed,E = 68.5kNm < M Rd = 296.5kNm OK N Ed = N Ed,G + q x N Ed,E = 1296kN < N Rd = 2380kN OK V Ed = V Ed,G + q x V Ed,E = 34.5kN > V Rd = 26.9kN NON La plus fléchie : M Ed,E = 89.1kNm N Ed,E = 35.7kN V Ed,E = 54.8kN M Ed,G = 3.06kNm N Ed,G = 66.6kN V Ed,G = 2.23kN M Ed = M Ed,G + q x M Ed,E = 270.4kNm > M Rd = 94.4kNm NON MEd 270.4 Vérifier la ductilité en courbure : µ,demande,m = = = 2.9 M 94.4 N Ed = N Ed,G + q x N Ed,E = 173.7kN < N Rd = 2380kN OK V Ed = V Ed,G + q x V Ed,E = 121.6kN > V Rd = 35.1kN NON χu Calcul de la ductilité en courbure de la section par la formule µ =, à l aide d une χ Rd,offre formule approchée pour le calcul de la courbure élastique de la section : Courbure ultime, établie par la feuille de calcul Excel sur base de ε cu 2 = 0.0035, avec N Ed = 173.7kN : χ u = 0.063475 m -1 εsyd 0.0025 Courbure élastique : χ y = 2.12 = 2.12 = 0.001514 m -1 hrez 3.5m χu Ductilité offerte par la section : µ,offre = = 42 > µ,demande,m = 2.9 OK χ y y 22

20-23 POUTRES Sollicitation aux appuis, là où les moments positifs ou négatifs dus aux charges sismiques sont les plus grands : M Ed,E = ± 94.8kNm V Ed,E = 44.5kN M Ed,G = -19.9kNm V Ed,G = 18.1kN Moment positif : M + Ed Vérifier la ductilité en courbure : Moment négatif : M Ed Vérifier la ductilité en courbure : = M Ed,G + 3 x M Ed,E = -19.9 + 3x 94.8 = 264.5kNm < M + Rd = 45.6kNm + MEd 264.5 µ,demande,m+ = = = 5.8 + MRd 45.6 = M Ed,G + 3 x M Ed,E = -19.9-3x 94.8 = -304.3kNm < M Rd = -87.7kNm MEd 304.3 µ,demande,m = = = 3.5 M 87.7 Rd Effort tranchant : V Ed = V Ed,G + 3 x V Ed,E = 18.1 + 3x 44.5 = 151.6kN > V Rd = 58kN NON Ductilité en courbure de la section, selon l Eurocode 8, cl. 5.3.4.1.2 (4) : 0.0018 f ρ=ρ+ ' µε f sy,d cd yd µ = 0.0018 ρ ρ ε ( ') sy,d f f cd yd avec ρ pourcentage d armatures de la zone tendue et ρ pourcentage d armatures de la zone comprimée, tous deux normalisés par bd, où b est la largeur de la membrure comprimée de la poutre. f 500 yd ε sy,d = = = Es 200000 f = 23.1N/mm² f cd yd = 500N/mm² A 628.3 0.0025 s,sup ρ sup = = = 0.0072 Ac 87500 A 308 s,inf ρ inf = = = 0.0035 Ac 87500 0.0018 cd µ = = 7.7 ρ f sup ρ inf ε sy,d yd ( ) f 23

20-24 En ne considérant que les armatures tendues : 0.0018 fcd 0.0018 23.1 Moment positif : µ = = = 9.5 ρ ε f 0.0035 0.0025 500 inf sy,d yd 0.0018 fcd 0.0018 23.1 Moment négatif : µ = = = 4.5 ρ ε f 0.0072 0.0025 500 sup sy,d yd On peut aussi calculer la ductilité en courbure calculée par une formule approchée pour le calcul de la courbure élastique : Pour un moment sollicitant positif : Courbure ultime, établie par la feuille Excel en comptant ρ =0, ρ = 0.0035 : χ u = 0.106204 m -1 εsyd 0.0025 Courbure élastique : χ y = 1.7 = 1.7 = 0.01371 m -1 d 0.31m χu Ductilité offerte par la section : µ = = 7.7 χ,offre,m+ Pour un moment sollicitant négatif : Courbure ultime, établie par la feuille Excel en comptant ρ =0, ρ = 0.0072 : χ u = 0.044078 m -1 εsyd 0.0025 Courbure élastique : χ y = 1.7 = 1.7 = 0.01384 m -1 d 0.307m χu Ductilité offerte par la section : µ = = 3.8 χ,offre,m Vérification des ductilités, prenant en compte les dernières calculées, avec la formule simplifiée de calcul de la courbure élastique : + MEd 264.5 µ,demande,m+ = = = 5.8 < µ,offre,m+ = 6.6 OK MRd 45.6 MEd 304.3 µ,demande,m = = = 3.5 < µ,offre,m = 3.8 OK M 87.7 Rd y y 0.0018 fcd Si l on compare avec la formule de l Eurocode 8, µ = : ρε f M 264.5 + Ed µ,demande,m+ = = = 5.8 <,offre,m+ MRd 45.6 M 304.3 Ed µ,demande,m = = = 3.5 <,offre,m MRd 87.7 sy,d yd µ = 9.5 OK µ = 4.5 OK 24

20-25 On vérifie aussi que la résistance à l effort tranchant est suffisante dans les poutres dans la situation sismique de calcul : MRd,i Sollicitation : Vd =γ Rd + VEd,G (V Ed,G comprends le poids mort et ψ2i Q) l 87.7 + 45.6 V d = 1.0 + 18.1 5 = 44.8 kn < V Rd = 58kN OK 25