Propriété fondamentale et premières applications

N I Propriété fondamentale et premières applications Prérequis : l'ensemble N, les opérations + et sur N, l'ordre standard de N, et les règles de calcul qui y sont associées. I.1 Propriété fondamentale de N et sa variante Proposition 1 : Propriété du bon ordre. Toute partie non vide de N a un plus petit élément. Admis. Un des buts du jeu est de voir comment on obtient d'autres propriétés de N (notamment le théorème de récurrence et ses variantes) à partir de ce bagage minimal. Une première application est la variante suivante : Corollaire 2 : Propriété du bon ordre (variante). Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément. 1

I.2 Division euclidienne dans N Théorème 3. Pour tout couple (a, b) N N \ {0}, il existe un unique couple (q, r) N 2 tel que a = bq + r et r < b. Utilité : Autre application (en utilisant une récurrence) : existence de la décomposition en base b 2 de tout entier n N. Cf cours d'info. 2

I.3 Théorème de récurrence Théorème 4 : Récurrence simple. Soit P (n) un énoncé. Si : 1. P (0) est vraie (initialisation) ; 2. n N, P (n) P (n + 1) (hérédité) ; alors on a n N, P (n). Variante : Théorème 5 : Récurrence simple avec initialisation en n 0. Soit P (n) un énoncé et n 0 N. Si : 1. P (n 0 ) est vraie (initialisation à n 0 ) ; 2. n n 0, P (n) P (n + 1) (hérédité à partir du rang n 0 ) ; alors on a n n 0, P (n). Il faut bien comprendre ici que dans l'hérédité et dans la conclusion, la quantication universelle porte sur les entiers naturels n supérieurs à n 0, même si cela n'apparaît pas explicitement. 3

Application : l'inégalité de Bernoulli! Qui s'énonce : Cf chapitre 1. Application : la formule de Leibniz! Qui s'énonce : II Démonstrations par récurrences plus complexes. II.1 Version ensembliste de la récurrence Lemme 6 : Version ensembliste de la récurrence. Soit P une partie de N. Si on a : 1. 0 P, et 2. n N, n P n + 1 P, alors on a P = N. 4

II.2 Récurrence double Proposition 7 : Récurrence double. Soit P (n) un énoncé. Si : 1. P (0) et P (1) sont vraies (initialisation) ; 2. n N, ( P (n) P (n + 1) ) P (n + 2) (hérédité double) ; alors on a n N, P (n). Autrement dit, pour reprendre l'image donnée dans le premier chapitre, si on a une tour avec un nombre inni d'étages, dont les deux premiers étages sont accessibles, et pour laquelle chaque étage est muni d'un escalier vers l'un des deux étages qui le précèdent, alors tous les étages de cette tour sont accessibles. Variante : Proposition 8 : Récurrence double initialisée à n 0.. Soit P (n) un énoncé. Si : 1. P (n 0 ) et P (n 0 + 1) sont vraies (initialisation) ; 2. n 0, ( P (n) P (n + 1) ) P (n + 2) (hérédité double) ; alors on a n n 0, P (n). Idem. 5

Exemple 1 Soit x un réel tel que x + 1 x Z. Alors n N, xn + 1 x n Z. Remarque 1 Ils existent! Exemple?...... Remarque 2 Il existe des théorèmes de récurrence triple, quadruple, etc. II.3 Récurrence forte Définition 9. On dira qu une propriété P (n) est fortement héréditaire lorsqu on a n N, ( k < n, P (k) ) P (n). ( La quantication universelle de k est dans N : on pourrait écrire plus formellement n N, k N, k < n P (k) ) ( ) P (n) ou plus clairement n N, k {0, 1,..., n 1}, P (k) P (n). On pourrait encore l'écrire n N, ( P (0) P (n 1) ) P (n). 6

Théorème 10 : Récurrence forte. Soit P (n) un énoncé sur N. Si P (n) est fortement héréditaire alors on a : n N, P (n). Remarque 3 L'hérédité forte, appliquée à n = 0, donne : En particulier, l'hérédité forte implique... Ceci explique que le théorème de récurrence forte s'énonce sans hypothèse d'initialisation (celle-ci est implicitement contenue dans l'hérédité forte), et ceci explique qu'une démonstration par récurrence forte se rédige sans initialisation. Pour autant il n'y a pas de magie, et lorsque l'on démontre un résultat par récurrence forte, on est en général amené à distinguer des cas sur n. Mais cette disjonction des cas se traite directement dans la démonstration de l'hérédité forte. De plus, cette disjonction des cas n'a aucune raison de porter sur n = 0 ou n > 0, elle pourra porter sur n est pair ou n est impair, ou encore n est premier ou n n'est pas premier, etc. Le raisonnement par récurrence forte est beaucoup plus souple que le raisonnement par récurrence, car il nous autorise à choisir par nous-même les éléments atomiques de N qui nous intéressent. Reprenons l'image donnée dans le premier chapitre. Si on a une tour avec un nombre inni d'étages, dont chaque étage est accessible à partir de l'un des précédents, alors tous les étages de cette tour sont accessibles. Cette formulation illustre encore que l'hérédité forte implique l'initialisation : si le rez-de-chaussée est accessible à partir de l'un des étages qui le précèdent, c'est qu'il est accessible tout court, puisqu'aucun étage ne le précède. (du théorème de récurrence forte) 7

Variante habituelle : Théorème 11 : Récurrence forte avec initialisation à partir de n 0. Soit P (n) un énoncé. Si P (n) est fortement héréditaire à partir du rang n 0, c est-à-dire si n n 0, ( k {n 0, n 0 + 1,..., n 1}, P (k) ) P (n), alors on a : n n 0, P (n). Il est bien entendu dans cette formulation que l'énoncé k {n 0, n 0 + 1,..., n 1}, P (k) est une autre façon d'écrire k N, n 0 k < n P (k). En particulier, pour k = n 0, cet énoncé s'écrit k, P (k). Application : n 2, tan (n) 0 sur ] 0, π 2 [. 8

III Dénitions par récurrence Exemples de suites dénies par récurrences connues : 1. suites arithmético-géométriques : 2. suite des factorielles : 3. suite de bonacci : III.1 Dénition par récurrence simple Proposition 12 : Construction par récurrence simple non dépendante. Soit E un ensemble, α E et f : E E. Alors il existe une unique suite (u n ) n N telle que { u0 = α n N, u n+1 = f(u n ). 9

Lorsqu'une proposition porte sur tous les termes d'une suite dénie par récurrence simple non dépendante, la méthode naturelle de démontration de cet énoncé est... Exemples : Proposition 13 : Construction par récurrence simple dépendante. Si { E est un ensemble, α E et f : N E E, alors il existe une unique suite (u n ) n N u0 = α n N, u n+1 = f(n, u n ). telle que exo! Le théorème précédent est donc un cas particulier de celui-ci, dans lequel l'expression d'un terme en fonction du précédent peut dépendre de n. Exemples de suites dénies par récurrence simple dépendante : 10

Plus généralement : III.2 Dénition par récurrence double ou récurrence forte Proposition 14 : Construction par récurrence double. Soit E est un ensemble et (α, β) E 2. 1. (Récurrence { double non dépendante :) Soit f : E E E, alors il existe une unique suite (u n ) n N telle u0 = α, u que 1 = β n N, u n+2 = f(u n, u n+1 ). 2. (Récurrence { double dépendante :) Soit f : N E E E, alors il existe une unique suite (u n ) n N telle u0 = α, u que 1 = β n N, u n+2 = f(n, u n, u n+1 ). exo! u 0 = 0 Exemple : on dénit une suite (u n ) n N en posant u 1 = 1 n N, u n+2 = u n+1 + 2u n n. 11

Proposition 15 : Construction par récurrence forte. Soit E un ensemble et (f n ) n N une suite d applications avec, pour tout entier n, f n : E n E. Alors il existe une unique suite (u n ) n N d éléments de E telle que n N, u n = f n (u 0, u 1,..., u n 1 ). exo! Remarquons que, pour n = 0, l'ensemble E n est le singleton { () }. Se donner une application f 0 de E 0 dans E c'est donc se donner un élément remarquable α E. Exemples : 1 si n = 0 n 1 1. On dénit une suite (u n ) n N par n N, u n = u k sinon. Cette suite est "faussement" dénie par récurrence forte : pourquoi? k=0 2. On dénit une suite (C n ) n N par 12

IV IV.1 Finitude et dénombrabilité Dénition rigoureuse du cardinal. La connaissance des propriétés de l'ensemble N permet de dénir formellement la notion de cardinal, plutôt que de parler intuitivement de "nombre d'éléments". Ces dénitions formelles ne sont plus au programme. Lemme 16 : Caractérisation de la relation d ordre sur N. Soient m et n deux entiers naturels. 1. Il existe une injection de {1,..., n} dans {1,..., m} si et seulement si n m. 2. Il existe une surjection de {1,..., n} dans {1,..., m} si et seulement si n m. 3. Il existe une bijection de {1,..., n} dans {1,..., m} si et seulement si n = m. (idée). Attention, il ne s'agit pas d'utiliser les propriétés "évidentes" (mais non démontrées) du cardinal, puisque justement ce lemme permet de dénir formellement le cardinal d'un ensemble ni. Chacun des trois points peut se démontrer suivant le même schéma : Il est très facile de construire une telle application à la main. Par récurrence (pénible à écrire) sur n (ou sur m). Détailler cette démonstration constitue un exercice intéressant, mais pas dans l'optique des concours. Proposition-Définition 17 : Définition formelle du cardinal. Soit E un ensemble. Il existe au plus un entier n tel que E est en bijection avec {1, 2,..., n}. Lorsque cet unique entier n existe, on dit que E est fini de cardinal n et on note E = n. Dans le cas contraire, on dit que E est infini et, en prépa, on note E = +. On utilise le lemme 16. Soient n 1 et n 2 deux cardinaux de E, alors par dénition on a E {1,..., n 1 } et E {1,..., n 2 }. On a vu en TD que était une relation d'équivalence, on trouve donc {1,..., n 1 } {1,..., n 2 } et donc d'après le lemme 16 n 1 = n 2. Remarque 4 En classe préparatoire on ne distingue pas les cardinaux innis, mais il existe une dénition du cardinal permettant (sur le modèle de la dénition choisie pour les ensembles nis) de distinguer les cardinaux d'ensembles innis n'étant pas en bijection (on a donc plusieurs types d'innis). Pour cette dénition, N et Z ont le même cardinal mais pas N et R. Exercice (pas dans l'esprit des concours) : montrer qu'un ensemble est inni si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres (c'est-à-dire distinctes de lui-même). 13

IV.2 Propriétés du cardinal. Les dénitions précédentes et le théorème de récurrence permettent de démontrer rigoureusement les propriétés déjà vues du cardinal. Les résultats de cette sous-section sont à connaître (ils le sont normalement déjà), mais pas leurs démonstrations. Proposition 18. Deux ensembles finis sont en bijection si et seulement si ils ont le même cardinal. Ceci résulte immédiatement du lemme 16, en remarquant que la réciproque d'une bijection est une bijection et que la composée de deux bijections est une bijection. Proposition 19. Soit E un ensemble fini de cardinal n et F une partie de E. Alors : 1. on a F n ; 2. on a F = n F = E. Bien sûr c'est évident. Mais pour le montrer formellement on peut utiliser l'injection canonique ι : { F E x x. 1. Par dénition de l'injectivité, ι est injective. On conclut en utilisant la dénition du cardinal et le lemme 16. 2. Par dénition de la bijectivité, ι est bijective si et seulement si F = E. On conclut en utilisant la dénition du cardinal et le lemme 16. Proposition 20. Soient A et B deux ensembles finis tels que A = B, et f : A B. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. f est surjective ; 2. f est injective ; 3. f est bijective. En nommant les éléments de A et de B, on démontre cette proposition aisément, mais informellement. Formalisons un peu cette idée. Notons f(a) = {f(x), x A}. Par dénition, la surjectivité de f équivaut à f(a) = B, ou encore à f(a) = B d'après la proposition précédente, ou encore à f(a) B puisque l'autre inégalité résulte de l'inclusion f(a) B. Par ailleurs, l'injectivité de f équivaut à f(a) A d'après le lemme 16, c'est-à-dire à f(a) B par hypothèse. On a donc f injective f surjective, et par suite le résultat. Proposition 21 : Cardinal {d une réunion/d une réunion disjointe/d un produit/etc.}. Soient A et B deux ensembles finis. Alors on a : 1. si A et B sont disjoints on a A B = A + B ; 2. on a A B = A + B A B ; 3. on a A B = A B ; 4. on a P(A) = 2 A ; 5. on a B A = B A. On a déjà montré informellement tous ces résultats. Pour les démontrer formellement, on se ramène au cas où A et B sont de la forme {1,..., n} en utilisant le lemme 16, puis on procède par récurrence. 14

IV.3 Principe des tiroirs. Terminons cette sous-section par un résultat important, à retenir! Proposition 22 : Principe des tiroirs. Soient m et n deux entiers avec m < n. 1. Si on range n chaussettes dans m < n tiroirs alors il existe un tiroir qui contient au moins 2 chaussettes. 2. Il n existe pas d injection d un ensemble de cardinal n dans un ensemble de cardinal m < n. 3. Il n existe pas de surjection d un ensemble de cardinal m dans un ensemble de cardinal n > m. Par contraposition du lemme 16 on obtient qu'il n'existe pas d'injection de {1,..., n} dans {1,..., m} ni de surjection de {1,..., m} dans {1,..., n}. On se ramène au cas d'ensembles nis de cardinaux m et n en utilisant la dénition du cardinal. Le point 1. peut se déduire de deux façons diérentes. La première consiste à considérer l'application qui à une chaussette associe le tiroir dans lequel on l'a rangée : si aucun tiroir ne contient plus d'une chaussette, c'est que cette application est injective, contradiction. La seconde est valable pour m > 0. Elle consiste à remarquer que, si aucun tiroir ne contient plus d'une chaussette, on peut à chaque tiroir associer la chaussette qu'il contient s'il en contient une, et une chaussette arbitraire sinon : on obtient alors une application surjective des tiroirs vers les chaussettes, contradiction. Applications : 15

IV.4 Denombrabilité La notion d'ensemble dénombrable n'est pas au programme en première année, mais l'est en seconde année. Cette sous-section est, à court terme, purement culturelle. Proposition-Définition 23 : Ensemble dénombrable. 1. Un ensemble est dit dénombrable lorsqu il est en bijection avec N. 2. Un ensemble est dit au plus dénombrable lorsqu il est en bijection avec une partie de N. 3. Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement si il est fini ou dénombrable. Cette terminologie est celle choisie dans le programme de MP, certaines références proposent des variantes. Il faut retenir qu'un ensemble au plus dénombrable est un ensemble dont on peut énumérer les éléments : on peut les ordonner de sorte qu'il y en ait un premier, un deuxième, etc. Ce n'est pas le cas de l'ensemble R. Exemples : 1. Z est dénombrable (déjà vu) ; 2. N 2 est dénombrable (TD sur N) ; 3. Q est dénombrable (Cours sur Q) ; 4. R n'est pas dénombrable (TD sur N) ; 5. C n'est pas dénombrable (il contient R). 16