Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (ou système d équation différentielles linéaires scalaire à coefficients constants du premier ordre) dx t dt B( t) + AX t x ( t ),x ( t ),,x n ( t ) dans une base ( e, e,, en ) X t est un vecteur dans un espace vectoriel E de dimension fini n Il a pour composante B de E Les composantes de X sont des fonctions de t R à valeurs réelles ou complexes à déterminer A est une matrice carrée de dimension n n à coefficients constants dans la base B et B( t ) un vecteur de E dont les composantes sont des fonctions de t R à valeurs réelles ou complexes La solution de l équation est complètement définie par la X t X d après le théorème de Cauchy-Lipschitz condition initiale 0 0 Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation Diagonalisation : si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P dont les colonnes sont les composantes dans B des vecteurs propres associés à chaque valeur propre de A, et une matrice diagonale D dans la base des vecteurs propres, formée par les valeurs propres λ k ( k,,n ) de A, tel que P AP D On peut donc écrire : P X + P AP P X P B Et en posant Q P X, on a à résoudre l équation :, Q + D Q P B Les équations de ce système sont découplées, et il suffit de résoudre les n équations différentielles linéaires scalaire du premier ordre sur les composantes q k de Q : pour en déduire X k k k ( ) q + λ q P B, k,,n, PQ Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation k Une matrice carrée A à coefficients dans R (ou C ) est diagonalisable sur R (ou C ) si et seulement si : Toutes les valeurs propres de A sont dans R (ou C ) Le sous espace propre de chaque valeur propre est de dimension égal à l ordre de multiplicité de la valeur propre Trigonalisation : si A n est pas diagonalisable car toutes les conditions précédentes de diagonalisation ne sont pas remplies, elle peut quand même parfois être trigonalisée Condition nécessaire et suffisante de trigonalisation ThC
Une matrice carrée A à coefficients dans R (ou C ) est trigonalisable sur R (ou C ) si et seulement si : Toutes les valeurs propres de A sont dans R (ou C ) Dans ce cas il existe une matrice de passage P inversible et une matrice triangulaire supérieure T tel que P AP T La matrice de passage P est formée par des vecteurs propres de A mais aussi par d autres vecteurs qui ne sont pas des vecteurs propres de A Il faut donc vérifier que l ensemble de ces vecteurs forment bien une base de E car cette propriété n est plus automatique comme dans le cas d une matrice diagonalisable (en pratique en montrant l existence de P ) Tous les éléments de la matrice triangulaire supérieure T situés sous la diagonale principale, sont nuls ( t i, j si i > j ) et sur la diagonale principale ce sont les valeurs propres T peut être prise sous la forme d une matrice réduite de Jordan où les seuls éléments non nuls sont les valeurs propres sur la diagonale principale et des 0 ou sur la diagonale juste au dessus Les éléments sont nuls dans les colonnes qui correspondent aux vecteurs propres et valent dans les autres colonnes En dimension on a par exemple pour une trigonalisation sur R : λ 0 0 T λ 0 0 λ Dans ce cas, le sous espace propre associé à la valeur propre double λ est de dimension et la diagonalisation impossible P est formé par les composantes de trois vecteurs V, V, V et AV λ V, AV λ V, AV V + λ V V et V sont vecteurs propres mais pas V Comme pour la diagonalisation on écrit Q + T Q P B mais ici les équations ne sont pas complètement découplées On résout d abord les équations différentielles linéaires scalaire en q k, ce qui permet ensuite de trouver la solution des autres équations et la solution générale X PQ Exemple : le système d équations différentielles est : x + x + x t, x + x + x Avec les conditions initiales x ( t ) x et 0 x t x Ici : 0 A Recherche des valeurs propres de A : On note λ les valeurs propres et V les vecteurs propres Ainsi AV λ V et ( A λ Id ) V V est non nul si A λ Id n est pas inversible, c'est-à-dire si P( λ ) det ( A λ Id ) P( λ ) est le polynôme caractéristique de A et les valeurs propres sont les racines de ce polynôme Ici : λ P( λ ) λ 4λ + ( λ )( λ ) λ Il y a donc deux valeurs propres réelles distinctes λ et λ La matrice A est donc diagonalisable sur R ThC
Recherche des vecteurs propres : Pour λ ; on cherche le vecteur propre x + y x + y V x, y Puisque AV V, on a : Le sous espace propre associé à λ est de dimension (c est une droite) On peut donc choisir : Pour V λ ; on cherche le vecteur propre x + y x y V x, y Puisque AV V, on a : Le sous espace propre associé à λ est de dimension On peut donc choisir : V La matrice de passage P de la base de E dans laquelle s exprime la matrice A à la base des vecteurs propres dans laquelle s exprime D est : P ( V V ) L ordre des vecteurs propres est donné par l ordre des valeurs propres dans D, mais on peut intervertir les deux colonnes de P en échangeant les deux valeurs propres dans D Il reste à déterminer l inverse de P pour calculer P B P det P t ComP ComP est la comatrice de P et t ComP sa transposée i + j ( n ComP det A i, j ) i, j, n où A i, j est la matrice carrée d ordre n- obtenue à partir de A en supprimant la ligne i et la colonne j Dans notre cas, det P et : ComP, d où P On vérifie facilement que On déduit : PP et 0 P AP D 0 ThC
P B, t t Les équations découplées à résoudre sont + c'est-à-dire : Q D Q P B q + q t q + q t Solution de q + q t La solution de l équation homogène est q t k e La méthode de la variation de la constante permet de trouver la solution de l équation complète On suppose k k ( t) t Après une intégration par partie t complète on obtient k t e donc : t q A e + t et en reportant dans l équation k t e + A ( A une constante) et Solution de q + q t La solution de l équation homogène est q permet de trouver la solution de l équation complète On suppose k k ( t) et en reportant dans t l équation complète on obtient k t e Après une intégration par partie : t k e La méthode de la variation de la constante donc : k t e + A t + t q Ae t Finalement, la solution X PQ s écrit : x q q + q, x q q + q Donc : t t 5 x Ae + Ae + t t t 4 x Ae + Ae + t + Les constantes A et A sont fixées par les conditions initiales A t 0 on a : 0 x0 A + A 9, donc 8 x 0 A + A + 9 x x x + x 9 0 0 A + 0 0 A + D où : 4 ThC
x0 x0 t x0 + x 0 t 5 x + e e t + + 9 + x0 x 0 t x0 + x 0 t 4 x + e + + e + t + 9 Exemple : le système d équations différentielles est : x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x avec les conditions initiales x ( t ) x et x ( t ) x et A 0 0 x t x Ici la matrice A est : 0 Recherche des valeurs propres de A : Le polynôme caractéristique de A est P( λ ) λ ( λ ) Il y a trois valeurs propres réelles dont une double Pour savoir si A est diagonalisable sur R, cherchons les vecteurs propres Recherche des vecteurs propres : Pour λ on cherche le vecteur propre x + y + z x y + z x + y z V x, y, z Puisque AV V, on a : Le sous espace propre associé à λ est de dimension On peut choisir : V Pour λ et λ on cherche les vecteurs propres V( x, y, z ) Puisque AV, on a : x + y + z x + y + z x + y + z Le sous espace propre associé à la valeur propre double nulle est de dimension De ce fait la matrice A est diagonalisable sur R On peut choisir deux vecteurs propres : V 0 0 et V 5 ThC
La matrice de passage P et la matrice diagonale D s écrivent : 0 P, 0 0 0 D 0 0 0 0 0 Les équations découplées à résoudre sont Q + D Q c'est-à-dire : q + q q q La résolution donne q t Ae, q A, q A Et de X PQ on déduit : x A e + A x A e A A x A e A t t + t Les constantes A, A et A sont fixées par les conditions initiales A t 0 on a : x0 A + A x0 A A + A, donc x0 A A x0 + x0 + x0 A x x x A x + x x A 0 0 0 0 0 0 D où : x + x + x x x x x e + x + x + x x + x x x e + x + x + x x x + x x e + 0 0 0 t 0 0 0 0 0 0 t 0 0 0 0 0 0 t 0 0 0 Exemple : le système d équations différentielles est : x + x + x, x x + x Avec les conditions initiales x ( t ) x et 0 A Recherche des valeurs propres de A : x t x Ici : 0 6 ThC
le polynôme caractéristique est P( λ ) ( λ ) Il y a une racine double réelle λ Pour savoir si A est diagonalisable sur R, cherchons les vecteurs propres Recherche des vecteurs propres : On cherche le vecteur propre V( x, y ) Puisque AV x + y x y V, on a : Le sous espace propre associé à λ est de dimension A n est donc pas diagonalisable On peut choisir comme unique vecteur propre : V A est quand même trigonalisable sur R et on veut qu elle soit semblable à une matrice réduite de Jordan T que l on écrit : T 0 On peut alors chercher un vecteur Connaissant V on déduit : x + y x y V x, y qui n est pas vecteur propre tel que AV V + V Choisissons : V 0 La matrice de passage P s écrit : P 0 On obtient ensuite : ComP, d où P On vérifie facilement que PP et P AP T Les équations à résoudre sont Q + T Q c'est-à-dire : 7 ThC
q + q + q q + q Solution de q + q On obtient immédiatement q t Solution de q + q Ae La solution de l équation homogène est t A e et on reporte ce résultat dans la première équation q t A e La méthode de la variation de la constante permet de trouver la solution de l équation complète On suppose A A ( t) l équation complète on obtient : A et A A A t + C et en reportant dans Donc : t q A t + C e Finalement, la solution X PQ s écrit : x q q + q, x 0 q q Donc : t x At + C e + A e t x At C e t Les constantes C et A sont fixées par les conditions initiales A t 0 on a : x C + A x0 C 0, donc C x0 A x + x 0 0 D où : x x0 x0 + x0 t e x x0 + x0 + x0 t e t t 8 ThC