Fonction eponentielle 1 Unicité de la solution de l équation différentielle Conséquences 1. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors, pour tout réel, f( )f() = 1 et f() 0. 2. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors elle est unique. 1. On pose pour tout R, φ() = f( )f() ; f étant dérivable sur R, φ l est aussi et pour tout R, on a : φ () = f ( )f() + f( )f () = f( )f() + f( )f() = 0. φ est donc constante sur R et φ(0) = 1 donne, pour tout R, φ() = 1, ou f( )f() = 1. La propriété établit alors que pour tout R, f() 0. 2. On suppose qu il eiste une fonction g solution de l équation différentielle et on cherche à établir f = g. D après la conséquence 1, il suffit de prouver que pour R, f( )g() = 1. Soit h la fonction définie sur R par :h() = f( )g(). h est dérivable sur R et pour tout R, h () = f ( )g() + f( )g () = f( )g() + f( )g() = 0, donc h est constante sur R et h(0) = 1, d où pour tout réel : f( )g() = 1. Alors f = g et f est unique. Propriétés algébriques de la fonction eponentielle Propriété Pour tous réels et y, ep( + y) = ep() ep(y) Soit a un réel quelconque ; il suffit d établir que pour tout R, ep( + a) = ep() ep(a), que la premiére conséquence permet d écrire 1 ep( + a) = ep( ) ep(a). Ou encore : ep( + a) ep( ) = ep(a) On définit la fonction h sur R par : h a () = ep( + a) ep( ). h a est dérivable sur R et pour tout R, h a() = ep( + a) ep( ) + ep( + a)( ep( )) = 0 ; d où h a est une fonction constante De plus h a (0) = ep(a), on obtient l égalité souhaitée. Hervé Gurgey 1 8 octobre 2008
Les fonctions qui transforme les produits en somme Théorème f(0) = f (0) = 1 Si f est une fonction dérivable sur R telle que : pour tous réels a et b, f(a + b) = f(a)f(b) alors f est la fonction eponentielle. Soit f une telle fonction Soit a dans R On a f(a + ) = f(a) f() pour tout de R Donc ( puisque f est dérivable sur R ) f (a + ) = f(a) f () Appliquons en = 0 On obtient : f (a + 0) = f(a) f (0) D où f (a) = f(a) pouir tout a de R Donc f est bien une solution de l éqaution différentielle y = y y 0) = 1 Propriété Pour tout réel a, ep(a) > 0 Soit a un nombre réel. ( a On a : ep 2 + a ) ( a ) = ep ( 2 ( 2 a )) 2 Donc : ep(a) = ep 2 Donc : ep(a) 0 De plus on sait que ep(a) 0 ( a ) ep 2 Hervé Gurgey 2 8 octobre 2008
Eercices Eercice 1 Montrer que la fonction g définie sur R par : g() = e 1 e + 1 est impaire. Pour tout R, g( ) = e 1 e + 1 On multiplie alors numérateur et dénominateur par e On obtient : g( ) = 1 e 1 + e d où g( ) = g() pout tout de R g est donc une fonction impaire. Eercice 2. Montrer que pour tout réel, (e + e ) 2 (e e ) 2 = 4. (e + e ) 2 (e e ) 2 = e 2 + 2e e + e 2 (e 2 2e e + e 2 ) = 4e = 4 Hervé Gurgey 3 8 octobre 2008
Eercice 3 Résoudre l équation ep(2 + 5) = ep L epression 2 + 5 est définie pour tout réel l epression 3 est définie pour tout réel 0. Pour tout réel non nul les équations ci-dessous sont équivalentes : ep(2 + 5) = ep Les solutions de cette dernière équation sont 3 et 1 2 Donc l équation ep(2 + 5) = ep Eercice 4 admet deu solutions : 3 et 1 2. Résoudre l inéquation ep( 2 4) ep( 3) Les epressions 2 4 et 3 sont définies sur R, donc on résout l équation sur E = R. Les inéquations suivantes sont équivalentes : 2 + 5 = 3 2 2 + 5 3 = 0et 0 qui sont non nuls ep( 2 4) ep( 3) 2 4 3 2 + 3 4 0 Le trinôme 2 + 3 4 a deu racines : 1 et 4, Donc 2 4 3 sur [ 4; 1], Donc l ensemble des solutions de l inéquation est [ 4; 1]. Eercice 5 Résoudre dans R l équation 2e 2 + 8e + 6 = 0. 2e 2 + 8e + 6 = 0 2(e ) 2 + 8e + 6 = 0 En posant X = e, on obtient 2X 2 + 8X + 6 = 0 Les solutions de cette équation sont 1 et 3. On résout alors les équations e = 1 et e = 3, Mais comme pour tout R, e > 0, On en déduit que les équations e = 1 et e = 3 n ont pas de solution. Donc l équation 2e 2 + 8e + 6 = 0 n admet pas de solution. Hervé Gurgey 4 8 octobre 2008
Eercice 6 Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction eponentielle. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse a (avec a réel). 2. Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite T. 1. ep (a) = e a, donc une équation de T est y = e a ( a) + e a. 2. On étudie le signe de la fonction f définie sur R par f() = e [e a ( a) + e a ]. f est dérivable sur R et f () = e e a Or f () > 0 lorsque e > e a, c est à dire > a. Donc f est strictement décroissante sur ] ; a[ et strictement croissante sur ]a; + [. f(a) = e a e a (a a) e a = 0 est alors le minimum de la fonction f. On en déduit que pour tout réel, f() 0, C est à dire e e a ( a) + e a. Donc C est au-dessus de T sur R. On en déduit que la courbe représentant la fonction ep est au-dessus de toutes ses tangentes. Eercice 7 f est la fonction définie sur R par f() = e 2 +2. Déterminer la fonction dérivée de f. La fonction u définie sur R par u() = 2 + 2 est une fonction polynôme Elle est dérivable sur R La fonction f est alors dérivable sur R et : Pour tout réel, f () = u ()e u() = (2 + 2)e 2 +2. Hervé Gurgey 5 8 octobre 2008