Distances et Tangentes I) Distances 1) Définition Définition : La distance d'un point à une droite (d) est la plus courte de toutes les distances possibles entre et un point de (d). Elle est égale à H si H est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par, on note d(; (D)) (D) N H Propriété : c est la plus petite distance de à un point de la droite (d), donc pour tout point N. H... N. 2) Ensemble des points situés à une distance fixée d'une droite Pour une droite donnée () et une distance donnée i, les points placés à la distance i de () sont placés sur deux droites parallèles à (), symétriques par rapport à (). Pour obtenir ces droites, il suffit de placer un point M à la distance i de () et de tracer la parallèle à () passant par M, puis la symétrique de cette droite par rapport à (). Par exemple, voici les points situés à 5 cm de () : M 5 cm La distance entre deux droites parallèles est la longueur d'un segment [EF] perpendiculaire à ces deux droites et tel que E et sur l'une et F est sur l'autre. E F 1/4
3) Médiatrice et partage du plan Propriété : La médiatrice d'un segment partage le plan en trois parties : Partie 1 :... la médiatrice, les points sont à égale distance des deux extrémités du segment. Partie 2 :... de la médiatrice, un point se trouve plus près de l'extrémité du segment qui se trouve du même côté que lui. Partie 3 :... de la médiatrice, un point se trouve plus près de l'extrémité du segment qui se trouve du même côté que lui. Points plus proches de que de. Partie 2 Points plus proches de que de. Partie 3 II) Tangentes 1) Le cercle - rappel Définition : Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que... O E F M [] est... [EF] est... [OM] est un rayon. EF = 2xOM Les axes de symétrie d'un cercle sont les diamètres. ttention : O est le centre du cercle mais O est...... de [EF] C (O,r) Propriété : 1. Lorsque M appartient au cercle de centre O et de rayon r alors... 2. Lorsque OM = r alors M appartient... 2/4
2) Tangente Définition : Une tangente à un cercle est une droite qui... point commun avec ce cercle La tangente au cercle C (de centre O) en un point de C est la droite passant par et perpendiculaire au rayon [O]. Construction : Soit C un cercle de centre O et un point du cercle. Construire la tangente de C en. Il suffit de tracer (O) puis la perpendiculaire en à (O). O Propriété de la tangente à un cercle Si (D) est tangente à C (O ; r) en, alors (O) est... à (D) Réciproque Si M est un point de C (O ; r) et si (D) est perpendiculaire à (OM) en M, alors (D) est... à C en M. 2) Tangente et bissectrice a) Propriété de la bissectrice d'un angle 1) Si un point est sur la bissectrice d'un angle alors il... des côtés de l'angle 2) Si un point est équidistant des côtés de l'angle, alors il est sur la... Illustration : (D) est la bissectrice de M = d ( M ; (Ox) ) M = d ( M ; (Oy) ). lors M = M. b) Cercle inscrit à un triangle ctivité 4 2) p 175 Définition : La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en... Propriété : Les bissectrices des trois angles d un triangle sont... en un point centre du cercle inscrit au triangle 3/4
Reconnaître la bissectrice Enoncé: C est un cercle de centre O et un point extérieur à ce cercle, le cercle de diamètre [O] coupe ce cercle en T et T'. Démontrer que la droite (O) est la bissectrice de l'angle TT ' Chercher U ROUILLON Rédiger au PROPRE... les points T et T' appartiennent au cercle de diamètre [O] donc les angles OT et OT ' sont droits (tout triangle... dans un cercle dont un des côtés est un... est rectangle). D'après la définition de la distance d'un point à une droite... est donc la distance de O à la droite (T) et... est donc la distance de O à la droite (T'). T et T' appartiennent au cercle de centre O donc OT... à OT', donc O est... des droites (T) et (T') ce qui caractérise les points de la... d'un angle, O est donc bien un point de la bissectrice de TT ', est le sommet de l'angle donc c'est aussi un point de la bissectrice comme il suffit de 2 points pour définir une droite alors (T) est la bissectrice de TT ' 4/4