Géométrie dans l espace A) Positions relatives dans l espace. Tous les résultats de géométrie plane s appliquent à chaque plan de l espace. 1. Détermination d un plan. Définition : Un plan est déterminé par l une des situations suivantes : 2. Positions relatives de deux droites. Deux droites D et D de l espace peuvent être : 1) Coplanaires : 2) Non coplanaires :
3. Positions relatives de deux plans. Deux droites P et P de l espace peuvent être : 1) Parallèles : 2) Sécants : 4. Positions relatives d un plan et d une droite. Un plan P et une droite D de l espace peuvent être :
B) Parallélisme dans l espace. 1. Droites parallèles. Définition : Deux droites sont parallèles si et seulement si : elles sont coplanaires (c est-à-dire situées dans un même plan) dans ce plan, elles sont parallèles (c est-à-dire sans aucun point commun ou confondus). Lorsque deux droites sont parallèles : a) toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. b) tout plan qui coupe l une coupe l autre. Par un point A donné, il passe une parallèle et une seule à une droite (D) donnée. 2. Plans parallèles. Définition : Deux plans sont parallèles si et seulement si ils n ont aucun point commun ou ils sont confondus. Lorsque deux plans sont parallèles : a) tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre b) tout plan sécant à l un est sécant à l autre et les droites d intersection sont parallèles. c) toute droite qui perce l un, perce l autre. Par un point A donné, il passe un plan et un seul parallèle à un plan (P) donné.
3. Droite et plan parallèles. Définition : Une droite (D) et un plan (P) sont parallèles si et seulement si (D) et (P) n ont aucun point commun ou (D) est contenue dans (P). Si une droite (D) est parallèle à une droite ( ) d un plan (P) alors (D) est parallèle à (P). Si une droite (D) et un plan (P) sont parallèles alors la parallèle ( ) à (D) menée par un point A de (P) est contenue dans (P). Lorsqu une droite (D) et un plan (P) sont parallèles : a) toute parallèle à (D) est parallèle à (P). b) tout plan parallèle à (P) est parallèle à (D). Théorème : Théorème du toit Lorsque deux plans sécants (P) et (P ) sont parallèles à une même droite (D) alors leur droite d intersection ( ) est parallèle à (D). Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite de l un est parallèle à l autre. Si un plan (P ) contient deux droites sécantes (D) et (D ) parallèles à un plan (P) alors (P ) est parallèle à (P).
C) Les solides usuels. 1. Pavé droit. Appelé également parallélépipède rectangle ses six faces sont des rectangles. Les segments de la même couleur ont la même mesure. Le patron est composé de rectangles. 2. Cube. C'est un cas particulier de pavé droit, dont les six faces sont des carrés et dont la patron est composés uniquement de carrés. 3. Cylindre de révolution. C'est un solide engendré par la rotation d'un rectangle autour de l'un de ses côtés, fa droite (MP) est appelée génératrice du cylindre. Le patron est composé d un rectangle et de deux disques Théorème : On calcule le volume de ces trois solides en multipliant l aire de la base par la hauteur ce qui peut encore s écrire : V = B h. 4. Sphère. La sphère n a pas de patron Le volume de la sphère est : V 3 4 R = π. L aire de la sphère est : 3 4π R 2
5. Pyramide. C'est un solide qui a une face polygonale appelée base et dont toutes les autres faces sont des triangles. Elle sera dite régulière si la base est un polygone régulier et si sa hauteur passe par le centre de la base. 6. Cône de révolution. Le patron est composé d un polygone et de triangles. C'est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. La droite extérieure est appelée génératrice du cône. Le patron est composé d un disque et d une portion de disque avec α = rayon génératrice 360. Théorème : On calcule le volume de ces deux solides en multipliant l aire de la base par la hauteur et en B h divisant le résultat par 3 ce qui peut encore s écrire : V =. 3 Exercice n 1 : Voici la représentation en perspective du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Les points I, J, K, L, M, N, O, P sont les milieux des arêtes sur lesquelles ils sont placés. 1) Citer : a) un plan parallèle au plan (EOA) ; b) un plan parallèle au plan (IMG) ; c) deux plans strictement parallèles au plan (KJN). 2) Citer une droite NON matérialisée par un segment déjà tracé qui soit : a) strictement parallèle au plan (EAB) ; b) strictement parallèle au plan (ADE) ; c) strictement parallèle au plan (AFG) ; d) strictement parallèle à chacun des deux plans (ABC) et (DGH). 3) Vrai ou Faux? a) Le plan (IJN) est parallèle au plan (KPO). b) Les droites (IG) et (LO) sont coplanaires. c) La droite (LO) est parallèle au plan (KGC).
Exercice n 2 : PRISME est un prisme droit à base; triangulaire. Déterminer les positions relatives : 1) des droites (RE) et (MI) 2) des droites (PI) et (EM) 3) de la droite (EM) et du plan (IPS) 4) de la droite (SP) et du plan (PMR) 5) du plan (IRP) et du plan (IEM). Exercice n 3 : Soit ABCD un tétraèdre. Le point I est le milieu de [AD]. Le point J est sur la face ACD tel que (IJ) ne soit pas parallèle à (AC). Tracer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJB). Exercice n 4 : SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un trapèze. Démontrer que la droite (CD) est parallèle au plan (SAB). Exercice n 5 : ABCDEFGH est un pavé droit, représenté ci-contre en perspective cavalière. On donne AB = 12cm, AD = 4cm et AE = 8cm. 1) Tracer un patron du tétraèdre EABD, puis construire ce tétraèdre. 2) Calculer la longueur DB (valeur exacte, puis valeur arrondie au millimètre). 3) Calculer l'aire du triangle ADB. 4) Calculer le volume du tétraèdre EADB.
Exercice n 5 : On considère le prisme droit ABCDEFGH ci-contre. Les faces EFGH et DCGH sont des carrés de côté 2cm et les faces ADHE et BCGF sont des trapèzes rectangles tels que : BC = AD = 5cm. Construire, en justifiant les étapes de construction, le patron du prisme ABCDEFGH en vraie grandeur. Exercice n 6 : En faisant tourner le triangle AHS, rectangle en H, autour de (SH), on obtient le cône de révolution représenté ci-dessous où AS = 6 cm et[ash = 15. En donnant la valeur exacte puis la valeur approchée par défaut au dixième près, calculer : 1) le rayon du cercle de base ; 2) la hauteur du cône ; 3) le volume de ce cône. Exercice n 7 : On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH et I un point de [AB]. Construire sur cette figure : 1) les intersections des plans (EHI) et (AFB) ; 2) les intersections des plans (EHI) et (HDG) ; 3) les intersections des plans (EHI) et (BDF) ; 4) les intersections des plans (EHI) et (FBC).
Exercice n 8 : ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J [BD] et K [CD] tels que : DJ = 0,75BD et DK = 0, 25DC. 1) Représenter ce tétraèdre en perspective cavalière et y placer les points I, J, K. 2) Déterminer et construire (s ils existent) les points : a) L, intersection de la droite (I J) et du plan (ABC) ; b) M, intersection de la droite (IK) et du plan (ABC). 3) Déterminer, en justifiant, l intersection du plan (I JK) et du plan (ABC). Exercice n 9 : Un silo à grain sert à stocker les récoltes en attendant de les livrer. Un silo se remplit par le haut à l arrivée de la moissonneuse et se vide par le bas en remplissant les camions de livraisons. Voici une représentation d un silo à grain vue de face. Il s agit un cylindre encadré par deux troncs de cône. 1) Quel est le volume de ce silo? 2) Une benne céréalière peut contenir entre 57 et 79m3 de grain suivant les modèles. Quel est le nombre minimum de bennes nécessaires pour vider un silo aux trois quarts plein? Exercice n 10 : ABCDE est une pyramide telle que BCDE soit un parallélogramme de centre O et de hauteur AO. I est le milieu du segment [AB]. J est le milieu du segment [AC]. 1) Représenter cette pyramide en perspective cavalière et y placer les points I et J. 2) Préciser, en justifiant, les intersections : a) des plans (ABC) et (ACD) ; b) des plans (ABD) et (AEC) ; c) de la droite (AO) et du plan (BED) ; d) des droites (DI) et (AO). 3) Démontrer que la droite (I J) et le plan (BCD) sont parallèles. 4) Démontrer que la droite (I J) et la droite (ED) sont parallèles. 5) En déduire l intersection des plans (ABC) et (EID).
Exercice n 11 : ABCDEFGH est un pavé droit tel que : AB = 8 cm ; AD = 4 cm et AE = 3 cm. On appelle I le milieu de [EF] et J celui de [AB]. On coupe le solide par un plan passant par I, J, C et G. Partie A : Etude d un patron 1) Quelle est la nature de IJCG? Justifier. Représenter JBC puis I JCG en vraie grandeur. 2) Calculer la longueur JC. On donnera la valeur exacte sous la forme a b où a et b sont des entiers naturels puis la valeur arrondie au mm près. 3) Quelle est la nature du solide AJCDEIGH? Tracer un patron possible. Partie B : fabrication en grande quantité Le patron du solide AJCDEIGH est utilisé pour fabriquer une boîte en carton. Une entreprise confectionnant ces boîtes souhaite optimiser ses coûts de production. 1) Positionner les faces pour faire tenir le patron dans un carré de 15cm de côté. 2) De quelle longueur de carton de 3m de large a-t-on besoin pour fabriquer 1000 boîtes? Exercice n 12 : La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH en perspective cavalière. Les points I, J et K sont des points des arêtes respectives [AE], [BF] et [CG] tels que : BJ = 5 1 BF ; CK = 3 1 CG et I milieu de [AE]. 1) Quelle est la nature de l intersection des plans (ABC) et (IJK)? 2) Justifier que les droites (JK) et (BC) sont sécantes. 3) En déduire l intersection du plan (ABC) et de la droite (JK). La représenter précisément sur la figure. 4) Construire de même l intersection du plan (ABC) et de la droite (IJ). 5) En déduire l intersection des plans (ABC) et (IJK).