LIMITES EXERIES ORRIGES Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) 4 ) Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : 4) 5) 5 6) Déterminez les ites suivantes 7) ( ) 8) ( 4 ) 9) ( ) ) ) 4 > ) ( ) ) ( t ( t 4) ) 4) t Etudier le comportement de lorsque tend vers a avec : 5), a 6) a, 7), a Eercice n Déterminer les ites de en et - ( )( ) Eercice n Déterminez les ites suivantes ) en ) g cos en Eercice n 4 Vrai ou Fau? ) Si une onction est strictement croissante et positive sur [ [ ;, alors ) Si une onction a pour ite en, alors, à condition de prendre suisamment grand, tous les nombres réels () sont de même signe ) Si une onction a pour ite - en, alors, à condition de prendre suisamment grand, tous les nombres réels () sont de même signe Eercice n 5 est une onction numérique dont l'epression est a b Déterminer a et b sachant que et 5 Eercice n 6 Déterminez les ites suivantes : ) 4) 8 4 6 ) 4 5 5) ) 6) 4 7) 9 9 Eercice n 7 Trouver deu onctions et g telles que et g et telles que : ) g ) 7 g Page /8
Eercice n 8 Déterminez les ites suivantes : ) ) 4 ( ) Eercice n 9 ) Soit une onction telle que pour tout >, Déterminer ) Soit une onction telle que pour tout >, Déterminer Les propriétés suivantes permettent-elles de conclure concernant et ) 4)? Eercice n On considère la onction déinie sur [ ; [ ) Montrer que pour tout [ ; [ ) ( ) Déterminer Eercice n Soit la onction déinie sur [ ; [ par 4 D par ) Démontrer que, pour tout de D, on a : ) Démontrer que, pour tout ] ; [ : ) En déduire la ite de la onction en Eercice n On considère la onction numérique déinie par sin ) Montrer que pour tout réel ) En déduire les ites de lorsque tend vers et lorsque tend vers Eercice n Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les ites en et en de chacune des onctions suivantes (si cos sin elles eistent): ) ) ; Eercice n 4 On veut trouver la ite en de : ) Montrer que pour >, < < ( ) ) En déduire pour > un encadrement de () ) En déduire la ite de en Eercice n 5 Soit un réel de ; ² Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( O; i ; j ) M(cos ;sin ), P(cos ;) et T(;tan ) Soit A l'aire du triangle OAM, A l'aire du secteur de disque OAM et A l'aire du triangle OAT ) En comparant ces aires, prouver que : sin tan ) En déduire que cos < sin < ) Déterminer la ite de sin en (étudier les cas < et > ), on considère les points A(;), Page /8
Eercice n 6 En utilisant le résultat sin (c eercice précédent), étudiez les ites en des onctions : ) sin5 ) ) sin 5 4) tan sin sin 4 Eercice n 7 En utilisant la déinition du nombre dérivé, déterminer Eercice n 8 tan Déterminer 6 sin cos 6 6 cos Eercice n 9 Retrouver les ites de () à partir du graphique connaissant les asymptotes Eercice n Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois onctions et la représentation graphique de l une d entre elles Retrouver celle qui est représentée, en justiiant (qu'est-ce qui permet d'éiner les autres?) er cas ou ou ème cas g ( ) ( ) ou g ou g ( ) Eercice n Rechercher les asymptotes parallèles au aes que peuvent présenter les courbes des onctions suivantes : ) ) ) 4) 5) 4 ² Page /8
Eercice n Soit la onction Etudier le comportement de en, et, en précisant les asymptotes à la courbe représentative de et les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote Eercice n Soit la onction c ) Déterminez trois nombres réels a,b et c tels que a b pour ) Etudier le comportement de en (ite, asymptote sur la courbe) Eercice n 4 Montrer que la droite d équation y est asymptote en à la courbe représentative de la onction déinie par Eercice n 5 Montrer que la droite d équation y est asymptote pour à la courbe représentative de la onction déinie sur R par Eercice n 6 4 On considère la onction déinie par ) Quel est l ensemble de déinition D de? c ) Déterminez trois réels a, b et c tels que pour tout de D, on ait : a b ) Déterminer : ; ; ; ; ( ( a b)) > < 4) Soit g la onction numérique déinie par : g 4 Etudier le signe de g suivant les valeurs de En déduire les positions relatives des courbes suivant les valeurs de Eercice n 7 ( ) Pour tout réel non nul, on considère la onction déinie par 5 5 A l aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :,6,5,4,,,, Valeur approchée de ( ) ) Peut-on conjecturer la ite de en zéro? ) En développant ( 5 ) Surprenant, non? Eercice n 8 Déterminer les ites suivantes : ln ) ln 6), simpliier l epression de () pour alculer alors la ite de en zéro ) ( ) ln ) ( ln ln ) 4) ( 4 ln ) 7) ln 8) 5) ln ln (Poser ln( ) X ) 9) (Poser X ) Eercice n 9 Déterminer les ites suivantes : ) ( e ) ) ( 4e ) ) e Page 4/8
Eercice n Etudiez les ites de la onction donnée au bornes de son ensemble de déinition D, et trouver les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de ) e 4 ) ) e 4) e e Eercice n e On considère la onction numérique déinie sur R par () e ) Déterminer la ite de () quand tend vers ) Montrer que (), et calculer la ite de () quand tend vers e ) En déduire l eistence de deu asymptotes de la courbe Page 5/8
LIMITES ORRETION Eercice n ) donc par quotient, c est à dire 4 4 ) donc par multiplication, c est à dire ( ne pas conondre 4 et 4 4 ) ) donc par somme, c est à dire 4) donc par produit, c est à dire 5) donc par somme 5 5, c est à dire 5 6) donc par composition avec la onction racine,, c est à dire 7) et donc par somme 8) 4 4 4 et donc par somme ( 4 ) > > 9) et donc par somme ( ) ) 4 donc par quotient, 4 ) donc De plus Par quotient, ) et > > donc par produit t donc par produit ( t ( t 4) ) ) t et 4 t t t 4) et (car ) donc par produit 5) (car > > ) donc par quotient, De la même manière (car < < ) donc par quotient, < Les ites «à gauche» et «à droite» de dièrent > < 6) (car > > ) donc par quotient (attention à la règle des signes!), > De la même manière (car < < ) donc par quotient, < 7) Puisque pour tout réel on a, on a donc > Les ites à gauche et à droite de sont ici identiques < ainsi que < < > donc ainsi que > Page 6/8
Eercice n Il est clair que ( )( ) ainsi que ( )( ), mais encore aut-il connaître le signe de l epression D ( )( ) Un tableau de signes nous ournit : ; D < si ] [ D( ) > si ] ; [ ] ; [ < < Ainsi, ( )( ) omme, on conclut, par quotient, que ( )( ) ( )( ), donc par quotient, ( )( ) > < < > ( )( ) omme, on conclut, par quotient, que ( )( ) ( )( ), donc par quotient, ( )( ) > > Eercice n ) En notant u on a donc u et puisque u composant, on obtient ) En notant u on a donc u Eercice n 4 ) FAUX Par eemple, la onction déinie sur [ ; [ par strictement croissant sur [ [ < et puisque ( u) u < est ;, positive, et pourtant cos vériie (par encadrement, voir eercice n ), et pourtant sa courbe ) FAUX Par eemple, la onction déinie sur ] ; [ par «oscille» autour de ela signiie que les nombres réels () ne sont pas tous de même signe cos, en composant, on obtient u, en cos ) VRAI Si, cela signiie que tout intervalle centré en contiendra toutes les valeurs de () pour suisamment grand Ainsi, pour suisamment grand, on aura, par eemple,5,5 donc les nombres () seront tous de même signe Eercice n 5 Puisque a, pour avoir b, il est nécessaire d avoir b, donc b Ainsi, pour tout, (5) 5 a 5 5 a a b, c est-à-dire a et l inormation ournit l indication 5 Page 7/8
Eercice n 6 ) Puisque et, on est en présence d une orme indéterminée Il eiste (au moins) deu manières de rédiger : ère manière : Puisque, on peut supposer Alors (actorisation par le terme de plus haut degré puis simpliication) Puisque et, on a, par somme, et puisque, on conclut, par produit, que, c est à dire Remarque : Plutôt que de mettre en acteur dans l epression, on aurait pu mettre en acteur, de sorte que On raisonne de la même manière, à savoir et donc, et puisque, on conclut, par produit, que, c est à dire ère manière : On utilise un résultat du cours stipulant que «la ite en ou en d un polynôme est la même que celle de son terme de plus haut degré» On écrit donc ) Puisque 4 et 5 4 5 4 Le résultat du cours nous indique que, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée ) On eamine les numérateurs et dénominateurs On trouve le cas d une orme indéterminée 4 et On se trouve dans Il eiste (au moins) deu manières de rédiger : ère manière : Factorisation des deu membres par leur terme de plus haut degré : Puisque, on peut supposer 4 4 4 4 Alors 4 Puisque (par somme), et (par somme), on déduit, par quotient, que 4 4 c est à dire ère manière : On utilise un résultat du cours stipulant que «la ite en ou en d une raction rationnelle (quotient de deu polynômes) est la même que celle du quotient simpliié de leurs termes de plus haut degrés respectis» 4 On écrit donc Page 8/8
4) Puisque et 4 6, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée 8 Le résultat du cours nous indique que 8 8 4 6 4 5) Puisque et, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée Il va alloir transormer l écriture de pour «résorber» la orme indéterminée 9 Pour tout, grâce au calcul de 4 ( ) 9 on détermine les racines du trinôme : et 9 La orme actorisée du trinôme nous permet de simpliier la raction : ( )( ) donc On conclut que 6) Puisque et, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée Grâce au calculs des discriminants, on peut actoriser numérateur et dénominateur : ( )( ) 4 4 Pour tout, donc ( ) 7) Puisque et 9, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée 9 9 Il va alloir transormer l écriture de pour «résorber» la orme indéterminée 9 Pour tout,, donc 9 9 9 9 6 Eercice n 7 ) On peut par eemple prendre et g ) On peut par eemple prendre 7 et g Eercice n 8 ) Puisque et, on est en présence d une orme indéterminée Pour résorber cette orme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité conjuguée : ;, Pour tout [ [ ( )( ) Puisque et c est à dire, on déduit que, et par quotient,, Page 9/8
) Puisque 4 (car ) et ( ), on est en présence d une orme 4 indéterminée Pour résorber cette orme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité ;, conjuguée : Pour tout [ [ 4 4 ( 4 ( ) ) 4 ( ) ( 4 ) ( ) 4 4 4 4 4 4 Puisque 4 4 4 4 4 et, on déduit que, c est à dire ( ) 4 4, et par quotient, Eercice n 9 ) Puisque et, d après le théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) Puisque et, d après le théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) Si, puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que On ne peut rien conclure de plus 4) Si, puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que On peut également utiliser ce théorème lorsque En eet puisque conclut, par utilisation du théorème de minoration, que On ne peut rien conclure de plus Eercice n ) Pour tout [ ; [, on calcule 4 4 4 ( ) Un carré étant toujours positi ou nul, on en déduit que pour tout [ ; [ ) Puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que Eercice n ) Par multiplication par la quantité conjuguée, pour tout D, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), on en Page /8
) Pour tout ] ; [, on a clairement car De plus, ) Puisque, en application du théorème d encadrement «des gendarmes», on a Eercice n ) Pour tout réel sin sin ) Puisque, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que Puisque, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que Eercice n ) Puisque pour tout réel, on a cos, alors pour tout >, on a cos cos, et par cos cos division par qui est >, on déduit que Puisque, en application du théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) ommençons par la ite lorsque On peut donc supposer que > sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout >, on a Puisque, et puisque, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que La ite lorsque se traite à l identique : on peut donc supposer que < sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout <, on a (l inégalité est en sens inverse de la prcédente) Puisque, et puisque, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que Eercice n 4 ) Pour > < < De plus > car > L encadrement est ainsi démontré ) La onction racine étant strictement croissante sur [ ; [, on déduit de l encadrement ( ) < < < < Ne pas oublier que < < que Puisque > et >, on a donc < <, et enin par division par, < < < < ) Puisque, en application du théorème «des gendarmes», on conclut que Page /8
Eercice n 5 ) On a clairement A < A < A OA PM sin On calcule : A, puis par proportionnalité de l aire et de la mesure du secteur angulaire, A (car un angle de rad correspond à une aire de r cm, donc un angle de rad correspond à une aire de OA AT tan tan ) Enin A sin tan Puisque A < A < A alors < < En multipliant les trois membres de l inégalité par, on obtient le résultat attendu sin ) En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < (car >) sin sin En utilisant les deu derniers termes de l inégalité, on a < tan < cos cos < (car >) ) Puisque pour tout >, cos < sin <, et puisque cos, on en conclut en application du théorème sin d encadrement dit «des gendarmes», que > 4) si <, la coniguration des triangles et des secteurs angulaires reste la même, mais les mesures de l aire (qui doivent sin tan être positives!) sont alors égales à A, A et A sin tan On a donc, pour <, < < sin < < tan sin sin En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < < (car ->) En utilisant les deu derniers termes de l inégalité : sin sin sin on a < tan < cos < cos < (car ->) cos La conclusion de l eercice reste la même Eercice n 6 sin 5 sin 5 5 5 sin 5 sinu ) On écrit, pour tout >, En posant u 5, on a u, et puisque, 5 5 u u sin5 sin5 5 on en déduit donc que, donc par produit 5 ) On écrit, pour tout >, Puisque sin, on a aussi, donc en particulier sin sin sin (quitte à poser u ), d où, par produit, sin sin sin 5 sin 5 4 5 5 sin 5 4 sin5 ) On écrit, pour tout >, Encore une ois, puisque et sin 4 5 sin 4 4 4 5 sin 4 5 4 sin5 5, on conclut, par produit, que sin 4 sin 4 4 tan sin sin 4) On écrit, pour tout >, Puisque sin et puisque cos donc cos cos tan, on conclut que cos Page /8
Eercice n 7 ) Si on pose 6, déinie sur [ 6; [, puisque Or est dérivable sur ] 6; [ 6 ) Si on pose sin, déinie sur R, puisque est dérivable sur R et pour tout R, cos donc sin Ainsi ) Si on pose cos ( ) 6 9, la ite et pour tout ] 6; [, 6 se réécrit donc 6 6 Ainsi 6 6 6 sin sin, la ite se réécrit sin cos, déinie sur R, puisque cos, la ite cos cos sin Ainsi cos Or se réécrit Or est dérivable sur R et pour tout R, sin donc Eercice n 8 tan tan ) - Si on pose tan, alors, et ainsi tan Puisque est dérivable en, tan ) - Si on pose, alors, et ainsi Puisque est dérivable en, cos cos cos cos ) - On commence à écrire Pour étudier 6 6 6 6 6, on pose 6 6 cos cos 6 Ainsi cos, et ainsi 6 6 6 6 Puisque est dérivable en, sin 6, 6 6 6 6 cos et ainsi 6 6 Page /8
Eercice n 9 ) Sur le premier graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à en et en ela signiie que et De plus, la droite d équation est asymptote verticale à les ites dièrent à droite et à gauche de - ela signiie que et ) Sur le deuième graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à < >, et en et en ela signiie que et De plus, la droite d équation est asymptote verticale à, et les ites à droite et à gauche de sont identiques ela signiie que et > ) Sur le troisième graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à uniquement en ela signiie que De plus, la courbe possède deu asymptotes verticales : les droites d équation et Les ites à droite et à gauche de ces valeurs sont diérentes ela signiie que ainsi que et > > Eercice n < ) La première courbe correspond à ( )( ) < et < car elle présente deu asymptotes verticales synonymes de valeurs interdites égales à et, ce qui ne correspond pas à De plus, la courbe se situant en dessous de l ae des abscisses en et en, on devrait avoir une onction «négative» dans ces deu voisinages, ce qui n est pas le cas de ( ) ) La ite en et en de la onction étant égale à, on peut éiner directement g ( ) et g, pour ne garder que g Eercice n ) Pour tout, On a donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en De même, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en De plus, et donc la droite > > < < d équation (l ae des ordonnées) est asymptote verticale à ) On a et donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en et en De plus et donc la droite d équation (l ae des ordonnées) est asymptote verticale à ) On a et > en et en De plus verticale à < < donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à et > donc la droite d équation est asymptote Page 4/8
4) On a et donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale 4 4 à en et en De plus et 4 4 < > donc la droite d équation est asymptote verticale à Enin et 4 4 < > donc la droite d équation est asymptote verticale à 5) On a et de même donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en et en Les racines du dénominateur sont et On a donc < < et > et Eercice n Puisque > et, on conclut, par somme, que > < ou donc la droite d équation est asymptote verticale à donc la droite d équation est asymptote verticale à ou Enin La droite d équation (l ae > < des ordonnées) est asymptote verticale à Puisque et, alors Puisque et, alors De plus, pour tout, ( ) ( ) Ainsi De la même manière ( ) On en conclut que la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en Pour connaître la position relative de D et, on étudie le signe de ( ) Pour tout, ( ) >, donc pour tout, > eci signiie que sur tout son ensemble de déinition, est au dessus de D Eercice n ) est déinie si et seulement si donc ] ; [ ] ; [ D Pour tout D, c a b c a a b b c a a b b c a b c a ( a b) b c Donc a b si et seulement si a a a b b Ainsi, pour tout D, b c c donc si et seulement si Page 5/8
) A partir de l écriture, on déduit que, et < Mais surtout, puisque, pour tout, ( ) ( ), on a ( ) et, donc la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en De plus, pour tout >, ( ) >, donc est au dessus de D sur ] ; [, et pour tout <, ( ) <, donc est en dessous de D sur ] ; [ Eercice n 4 > On calcule, pour tout réel, Ainsi et donc la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en Puisque, pour tout >, <, et pour tout <, >, on en conclut que est au dessus de D sur ] ;[ et en dessous de D sur ] ; [ Eercice n 5 On calcule, pour tout réel >, Et comme ( ), on conclut que la droite d équation y est asymptote à en Eercice n 6 ) est déinie si et seulement si donc ] ; [ ] ; [ ( a b )( ) D c c a a b b c ) Pour tout D, a b c a a b b c 4 Donc a b si et seulement si a a a 8 b 4 Ainsi, pour tout D, 4 b 4 c 8 b c ) A partir de l écriture > 4, on déduit que ; ; 8 8 soustraction car ) et < donc si et seulement si (par 8 8 4) Pour tout D, ( 4) 4 ( 4) omme 8 ±, on déduit l eistence d une PARABOLE ASYMPTOTE à en et en 8 De plus, si >-, < 8, et pour tout <-, >, on en conclut que est au dessus de g sur ] ; [ et en dessous de g sur ] ; [ > Page 6/8
Eercice n 7 La calculatrice ournit, grâce au menu TABLE : On est donc tenté de conjecturer que 5 5 5 4 5 4 Or, pour tout, e qui permet de conclure que! Eercice n 8 ) et ln ) et ln ) ln, donc par somme, ( ln ), donc par produite, ( ) donc par soustraction, ( ln ln ) 4) 4 4 et ln 5) Puisque donc par somme ( 4 ln ), on pose u, et puisque ln u u ln on conclut que ln ( ) ln 6) ln et on conclut par quotient que 7) Puisque et ln, nous sommes en présence d une orme indéterminée On transorme ln l écriture : ln omme ln ln (ite connue), on déduit successivement que, ln puis par produit, que, c est-à-dire que ln 8) Puisque et ln ln(), nous sommes en présence d une orme indéterminée En posant X, puisque X, la ite cherchée devient ln ( X ) Or un résultat du cours nous indique X X ln ( X ) que donc ln X X ln( ) ln( X ) ln ( X ) 9) En posant X, la ite cherchée devient Et puisque, on X X X ln( X ) ln( ) conclut que, c est-à-dire X Eercice n 9 ) et e, donc par somme, ( e ) ) et 4e (car e ) et e, donc par soustraction, ), donc par somme, ( 4e ) e Eercice n ) Puisque e u ( e où on a posé u ), on déduit que 4 donc la droite d équation u y 4 est asymptote horizontale à en De plus e donc par somme ) Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en Page 7/8
Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en ) Puisque e et, alors par produit e Puisque, alors par somme, Puisque e (ite du cours) et, alors par somme, Mais comme e, on en déduit que la droite d équation y est asymptote oblique à en 4) Puisque e, on déduit, par diérence et quotient, que, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à Puisque e en, on déduit, par diérence et quotient, que, donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à Enin, puisque > < en e (car < e < e < ), on déduit que e (car > e > e > ), on déduit que ordonnées) est donc asymptote verticale à e > Eercice n ) Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, e e ) On transorme l epression : Pour tout réel, e e e e e u ( e où on a posé u ), on déduit, par somme et quotient que u ) La courbe admet donc deu asymptotes horizontales : La droite d équation y en et la droite d équation y en Et puisque e < La droite d équation (l ae des Puisque e Page 8/8