1 ère S Valeur absolue (2)

1 ère S Valeur absolue () Objectif : reprendre la notion de valeur absolue mais sous un aspect algébrique. I. Epression de la valeur absolue d un réel suivant son signe 1 ) Démonstration est un réel quelconque. 1 er cas : 0 d 0 ; 0 valeur absolue de Eemple : 3 3 e cas : 0 valeur absolue de Eemple : 3 3 3 ) Règle d 0 ; 0 3 ) Eercices Écrire sans barres de valeur absolue. A 3 3 0 car 3 Donc A 3. B 1 1 0 car 1 Donc B 1 B 1 B 1 On retiendra : parenthèses On ne peut pas enlever les valeurs absolues sans précaution. On doit s interroger sur le signe de ce qui est à l intérieur. Eprimer 3 en fonction de sans barres de valeur absolue ( étant un réel quelconque). = si 0 si 0 règle qui permet d enlever les barres de valeur absolue 3 3 si 3 0 c est-à-dire si 3 On peut appeler cette règle : «règle pour faire sauter les valeurs absolues». Cette règle peut servir à eprimer la valeur absolue d une epression numérique ou littérale sans barres de valeur absolue (cf. eercices). On peut aussi retenir la règle sous la forme suivante qui nous sera d un grand usage : 3 3 si 3 0 c est-à-dire si 3 II. Epression de la distance de deu réels à l aide de la valeur absolue 1 ) Règle truc = truc si truc 0 truc si truc 0 La distance entre deu réels a et b est donnée par la formule d a ; b a b. On a aussi : d a ; b b a. En effet, b a = (a b) et l on sait qu un nombre et son opposé ont la même valeur absolue ( = ). 1

On retiendra que la distance entre deu réels a et b est égale à a b b a. (5 3) 5 8 (5 + 3) ) Démonstration 1 er cas : a b 3 3 d a ; b a b a b a b e cas : a b d a ; b b a a b a b b a Conclusion : dans les deu cas, on a : d a ; b a b L ensemble des solutions de () est S ; 8. 3 ) Eemple 3 Résoudre l inéquation + 1 > 4 (3). (3) signifie que la distance entre et 1 est strictement supérieure à 4. 5 1 3 3 ) Eemples d(1 ; ) = 1 d( ; ) = d( ; 1) = + 1 III. Résolutions d équations et d inéquations avec des valeurs absolues en utilisant un ae 1 ) Eemple 1 Résoudre l équation 3 (1). 4 4 L ensemble des solutions de (3) est S IV. Valeur absolue et racine carrée 1 ) Démonstration si 0 3 ; 5 3 ;. (1) signifie que la distance entre et 3 est égale à. d ; 3 1 (3 ) 3 5 (3 + ) ) Règle si 0 L ensemble des solutions de (1) est S1 1 ; 5. ) Eemple Résoudre l inéquation 5 3 (). Pour tout réel, () signifie que la distance entre et 5 est inférieure ou égale à 3. 3 4

3 ) Eemples 3 9 3 3 1 1 Cas particulier Pour tout 0, on a : 1 1. 4 ) Rappel Pour tout réel 0 V. Propriétés algébriques de la valeur absolue 1 ) Valeur absolue d un produit Règle Pour tous réels et, on a : =. La valeur absolue d un produit est égale au produit des valeurs absolues. Démonstration 3 ) Valeur absolue d une somme (inégalité triangulaire) Règle Pour tous réels et, on a :. La valeur absolue d une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. Démonstration Principe : les deu membres de l inégalité sont positifs ou nuls ; pour les comparer, il suffit de comparer leurs carrés. On a : (tout nombre est inférieur ou égal à sa valeur absolue). Donc :. ) Valeur absolue d un quotient Par suite,. Règle On a donc. Pour tous réels et ( 0), on a :. Par suite,. En général, la valeur absolue d une somme n est pas égale à la somme des valeurs absolues. La valeur absolue d un quotient est égale au quotient des valeurs absolues. Démonstration Eemple : = 5 et = 3 5 3 5 3 5 3 8 Les deu résultats sont différents. 5 Lorsque et sont deu nombres de même signe, on a : (démonstration facile). 6

VI. Valeur absolue et intervalle 1 ) Centre et raon d un intervalle [a ; b] (a b) Définitions Eemple : 3 équivaut à 3 + 3 équivaut à 1 5 a b Centre de l intervalle [a ; b] : c Longueur de l intervalle [a ; b] : b a b a Raon de l intervalle [a ; b] : r (différence entre la borne supérieure et la borne inférieure) N.B. : La notion de centre d un intervalle a déjà été abordée en statistiques avec la notion de centre de classe. VII. Distance de deu points sur un ae 1 ) Epression est un ae de repère (O, I) tel que OI 1 (une unité de longueur est fiée). a a b b Soit A et B deu points de d abscisses respectives a et b. Eemple : [1 ; 7] b a b a O I A B a b b a Centre : 4 Longueur : 6 Raon : 3 La distance AB est égale à la distance des réels a et b. AB = b a Caractérisation de l appartenance d un élément à l aide de la valeur absolue (cf. ) : a b b a [a ; b] équivaut à Remarque de vocabulaire : On parle du centre de l intervalle [a ; b] et non de son milieu. ) Lien entre intervalles et valeur absolue a r a a r N.B. : La notation d(a ; b) ne sera utilisée que pour désigner la distance de deu réels a et b. Pour désigner la distance de deu points A et B, on écrira AB et non d(a ; B). ) Démonstration graphique de l inégalité triangulaire pour les réels (lien entre inégalité pour les réels et inégalité triangulaire pour les points) et sont deu réels quelconques. On considère un ae de repère (O, I) tel que OI 1. On note A et les points de d abscisses respectives et. r r appartient à l intervalle de centre a et de raon r (r > 0) équivaut à a r. On retient : a r équivaut à a r a + r. O I A B 0 1 Pour la figure on a supposé que > 0 et < 0 (donc > 0). OA OB 7 8

AB D après l inégalité triangulaire pour les points, on a AB AO + OB. 3,64 3,66 3,68 Donc. VIII. Valeurs approchées d un réel 1 ) Définition est un réel donné. On dit qu un nombre a est une valeur approchée de à la précision r ou à r près (r étant un réel strictement positif) pour eprimer que la distance entre et a est inférieure ou égale à r ce qui peut se traduire de 3 manières équivalentes : d ; a On écrit a (valeur approchée à r près). ) Eercices-tpes a) 3,155 est une valeur approchée de à r ; a r ; a r a + r. a r a a r r 4 10 3 près. r On a : 3,66 0,0 3,66 + 0,0 Donc 3,66 est une valeur approchée de à 0,04 10 près. 3 ) Attention à ne pas confondre valeur eacte et valeur approchée Eemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 1. Le théorème de Pthagore donne BC 10. Grâce à la calculatrice, on trouve : 10 3,16776... 10 est la valeur eacte de BC. 1 3, est une valeur approchée de BC à 10 près. 1 On écrit BC 3, (valeur approchée à 10 près). On dit aussi valeur approchée au diième près. 4 ) Remarque 0,0 0,0 Encadrer (donner le meilleur encadrement de ). 3,155 0,004 3,155 + 0,004 La précision d une valeur approchée est souvent donnée sous la forme 5 ) Vocabulaire A 10 p où A est un entier naturel. 3,151 3,159 b) On sait que 3,64 3,68. Si l on prend comme valeur approchée de le nombre 3,66, quelle est alors la précision? On dit qu une valeur approchée a de est une valeur approchée par défaut de lorsqu elle est inférieure ou égale à ( a ). On dit qu une valeur approchée a de est une valeur approchée par ecès de lorsqu elle est supérieure ou égale à ( a ). On observe que 3,66 est le centre de l intervalle [3,64 ; 3,68]. 9 10

IX. Valeur arrondie 1 ) Eemple = 3,141596 valeur arrondie de Au diième 3,1 Au centième 3,14 Au millième 3,14 X. Valeurs décimales approchées par ecès et par défaut 1 ) Eemple approimation décimale de par défaut par ecès d ordre 1 3,1 3,1 < 3, 3, d ordre 3,14 3,14 < 3,15 3,15 d ordre 3 3,141 3,141 < 3,14 3,14 Au di-millionième 3,1416 On regarde toujours la décimale qui suit immédiatement (et non pas les autres décimales). ) Règle (procédé d arrondi automatique) Pour arrondir un nombre à la 3 e décimale, on regarde la 4 e décimale : Si la 4 e décimale est 0, 1,, 3 ou 4, alors on garde la 3 e décimale. Si la 4 e décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on augmente de 1 la 3 e décimale. 3 ) Remarque Pour 1, certaines calculatrices affichent 0,166 666 667. 6 C est une valeur arrondie. On ne peut jamais être sûr que la dernière décimale soit juste. On écrira : 1 0,166 666 66... 6 On utilise le signe d égalité avec trois petits points qui signifient que toutes les décimales sont eactes mais qu il a d autres décimales qui ne sont pas écrites. * ou «valeur décimale approchée de» On dira par eemple que 3,14 est l approimation décimale d ordre de par défaut. Attention, on se gardera d écrire 3,1, ni 3,14 : n est égal à aucune de ses valeurs décimales approchées par défaut ou par ecès. ) Quelques précisions On prendra garde à l inégalité large à gauche et stricte à droite de l encadrement qui permettant de définir les approimations décimales d ordre p d un réel. On notera l emploi de l article défini. Il est quasiment évident que les approimations décimales par défaut et par ecès d ordre p d un réel sont des valeurs approchées de ce réel à 10 p près. 3 ) Définition est un réel quelconque. décimal d ordre p (c est-à-dire comportant p décimales). est la valeur décimale approchée d ordre p par défaut de signifie que 10 p. Dans ce cas, z 10 p est appelé la valeur décimale approchée d ordre p par ecès de. On peut aussi écrire 1 0,166 666 667 6 (valeur arrondie à la 9e décimale). Commentaires : Les epressions «par défaut» et «par ecès» se réfèrent au positionnement de et z par rapport à. La notion de valeur décimale approchée par ecès ou par défaut d un réel n a aucun rapport avec la notion d arrondi automatique. 11 1

4 ) Écriture décimale illimitée d un réel Propriété : Tout réel admet un développement décimal (ou une écriture décimale) illimitée unique. Ce développement décimal ne comporte pas de 9 à partir d un certain rang. Ce développement décimal est unique. Deu nombres sont égau si et seulement si toutes leurs décimales sont égales. Cas particuliers : Nombre décimal Lorsque l on a un nombre décimal, les décimales sont égales à 0 à partir d un certain rang, on dit que le développement décimal est fini et l on n écrit pas ces décimales. On écrit la dernière décimale non nulle (c est-à-dire que l on n écrit pas les décimales inutiles). Eemple :,731 est un nombre décimal qui possède trois chiffres après la virgule (ou trois décimales). On dit que c est un décimal d ordre 3. Nombre rationnel Le développement décimal d un nombre rationnel est périodique à partir d un certain rang c est-à-dire qu un même groupe de chiffres se répète indéfiniment à partir d un certain rang. On souligne ce groupe de chiffres pour dire qu il se répète indéfiniment. Eemple :,145... 5 ) Eercice Soit et deu réels tels que 13, 6785661... et 3, 010456.... Déterminer les valeurs décimales approchées d ordre 3 par ecès et par défaut de et de en justifiant. Solution (avec rédaction-modèle) : XI. Appendice : autre démonstration des propriétés du produit et du quotient pour les valeurs absolues 1 ) Rappel a = a si a 0 a si a 0 ) Démonstration de la propriété du produit On veut démontrer que :. On raisonne par disjonction de cas. 1 er cas : 0 0 e cas : 0 0 3 e cas : 0 0 4 e cas : 0 0 On compare les résultats des lignes de et. On constate qu ils sont égau à chaque fois. On en déduit la propriété : pour tout couple ( ; ) de réels on a :. N.B. : Dans cette démonstration, il ne s agit pas tout à fait d une disjonction de cas ; il faudrait mettre des inégalités strictes dans certains cas. La démonstration repose sur la propriété suivante : A si A 0 On a : 13,67 13,68. Donc la valeur décimale approchée d ordre 3 par défaut de est égale à 13,67 et la valeur décimale approchée d ordre 3 par ecès de est 13,68. A = A si A 0 On a : 3,0 3, 01. Donc la valeur décimale approchée d ordre 3 par défaut de est égale à 3,0 et la valeur décimale approchée d ordre 3 par ecès de est 3,01. 0 0 0 0 0 0 0 0 13 14

0 et 0 On a alors De plus, 0. et. Donc 0 et 0 On a alors De plus, 0. et. Donc 0 et 0 On a alors De plus, 0. et. Donc 0 et 0 On a alors De plus, 0. et. Donc 3 ) Démonstration de la propriété du quotient On veut démontrer que : *. Attention, comme est non nul, on doit bien écrire des inégalités strictes pour. On en déduit la propriété : pour tout couple (, ) de réels tels que 0 on a : 0 et > 0 On a alors De plus, 0. Donc. 0 > 0 et.. 0 et < 0 On a alors De plus, 0. Donc et.. 0 et > 0 On a alors De plus, 0. Donc et. 0 < 0 0 > 0 0 < 0 1 er cas : 0 > 0 e cas : 0 < 0 3 e cas : 0 > 0 4 e cas : 0 < 0 0 et < 0 On a alors De plus, 0. Donc et. On compare les résultats des lignes de et. On constate qu ils sont égau à chaque fois. 15 16

XII. Appendice : autre démonstration de l inégalité triangulaire On prend deu réels et quelconques. On a : et. En additionnant membre à membre, on obtient : + + soit ( + ) + +. Donc on en déduit que l on a : + +. 17 18

Cours oral I. Epression de la valeur absolue d un réel sans barres de valeur absolue = si 0 si 0 0 0 Message à faire passer (je reprends pour cela une fiche ou un cours de Louis-Marie Manceau) : 0 = 0 = truc = truc si truc 0 truc si truc 0 0 = 0 = Dans un certain nombre de situations, on cherche à enlever les barres de valeurs absolues. (On ne cherche cependant pas toujours à enlever les barres de valeur absolue). 19 0

Écrire sans barre de valeur absolue 1. A 3 et B 1. + 3 III. Inégalité triangulaire = lorsque et sont de même signe On fait un tableau de signes. Une conséquence intéressante : Pour tout réel, on a : Démonstration :. 0 = Donc 0 = Donc Dans les deu cas, on a :. Cette propriété est utilisée dans la démonstration algébrique de l inégalité triangulaire. Ne pas retenir la règle en raccourci : a = a ou a (en tous cas ne pas le dire comme cela à l oral) a = a ou a ne veut rien dire II. Epression de la distance de deu réels à l aide de la valeur absolue a b b a a b = a b a b a b b a = (a b) = a b 1

Complément sur les encadrements 1. Vocabulaire : Si on a un encadrement d un réel, a b, on peut dire que : a : minorant de ; b : majorant de. b a : amplitude de cet encadrement.. Eemple concret : ABC est un triangle rectangle en A. M est un point quelconque variable de [BC]. H et K sont les points appartenant respectivement à [AB] et [AC] tels que le quadrilatère AHMK soit un rectangle. C K M A H B L aire de AHMK est toujours supérieure ou égale à 0 et toujours inférieure ou égale à l aire du triangle ABC. 3. Problème d optimisation (situation etraite du livre Hperbole e ) : On prend AB = 4 cm et AC = 3 cm. L aire du triangle ABC est égale à 6 cm. L aire du rectangle AHMK est toujours inférieure ou égale à 6 cm. Déterminer la position du point M pour que l aire de AHMK soit maimale. Il faut introduire une fonction. On pose BM =. On pose f () = aire du rectangle AHMK. On dit que la fonction f est majorée par 6. 3