ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÅÇÆÌÊ Ä Ì Ä ÇÊÁÌÀÅË ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ÆÁ Ä ÄÇÁË È ÊÌ Å ÆÌ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Ì ÆÁ ÁÆ ÍËÌÊÁ Ä ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä ÌÀ Ë ÈÊ Ë ÆÌ Æ ÎÍ Ä³Ç Ì ÆÌÁÇÆ Í ÁÈÄ Å ÈÀÁÄÇËÇÈÀÁ Ç ÌÇÊ È º ºµ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Ä³ÁÆ ÆÁ Íʵ ÂÍÁÆ ¾¼¼ Ò Ð ÐÓ ¾¼¼ º
ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÅÇÆÌÊ Ä ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä ØØ Ø ÒØ ØÙÐ ÌË Ä ÇÊÁÌÀÅË ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÄÇÁË Ò Ð Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÔÐÑ È ÐÓ ÓÔ ÓØÓÖ Ø Ñ ÒØ ÔØ Ô Ö Ð ÙÖÝ ³ Ü Ñ Ò ÓÒ Ø Ø٠ź Í Ì ÖÐ È º º ÔÖ ÒØ Åº ÊÇÍËË Í ÄÓÙ ¹Å ÖØ Ò È º º Ñ Ñ Ö Ø Ö Ø ÙÖ Ö Ö Åº À ÆË Æ È ÖÖ º Öº Ñ Ñ Ö Ø Ó Ö Ø ÙÖ Ö Ö Åº ÈÇÊÇËËÁ ÐÐ È º º Ñ Ñ Ö Åº ÊÍË Ç Å Ð Âº È º º Ñ Ñ Ö ÜØ ÖÒ
ÖÓÐ Ò Ø ÒÓ Ö Ú Ú
Ú ÃÆÇÏÄ Å ÆÌË ÅÝ Ö Ø ÛÓÖ Ö Ø ØÓ ÈÖÓ ÓÖ È ÖÖ À Ò Ò ÖÓÑ Û ÓÑ Á Ð ÖÒ Ø Ø ÙØÝ Û ÐÐ ÐÛ Ý ÓÙØ Ø Ö Ø Ö Ò Ø ÔÖÓ Ö Ó Ò ÓÖ Ò Ðг Ô ÒØ Ò º ÅÓÖ Ø Ò Ù Ø ÔÐ ÙÖ Á Ð ÓÒÓÖ ØÓ Ú ÛÓÖ Û Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÙÖ Ý Ö º Á Û ÐÐ Ò Ú Ö ÒÓÛ ÓÛ ØÓ Ø Ò Ñ ÔÖÓÔ ÖÐݺ Á Û Ð Ó ÔÖ Ú Ð ØÓ Ö Ú ÒØ Ú Ò ØÓ Ò Ø ÖÓÑ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÈÖÓ ÓÖ ÄÓÙ ¹Å ÖØ Ò ÊÓÙ Ùº Ø ÓÒ ÐÐÝ Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ÈÖÓ ÓÖ ÖÐ Ù Ø Ò Å Ð Âº ÖÙ Ó Û Ó ÓÑÑ ÒØ Ú ÐÔ ÑÔÖÓÚ Ò Ø Ø º Á Ø Ò Ø Ö Þ Ð Ò Ô ÓÔÐ ÓÖ ÓÒ Ú Ò ÑÝ È º º ÓÐ Ö Ô Û ÐÐ Ø È Ë ÒÝ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø Ò ÖÝ ÙÔÔÓÖØ Ø Ø ÐÐÓÛ Ñ ØÓ ÓÙ ÓÒÐÝ ÓÒ ÑÝ ØÙ º Á Ñ Ð Ó Ö Ø ÙÐ ØÓ Ø Ø Ó Ø ÖÓÙÔ ³ ØÙ Ø Ê Ö Ò Ò ÐÝ ÓÒ Ê µ Ò ØÓ Ø Ø Ó Ø ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ÅÓÒØÖ Ð ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ò Ü ÐÐ ÒØ ÛÓÖ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÙÖ Ò Ø ÓÙÖ Ý Ö º Á Ø Ò ÑÝ ÉÙ Ö Ö Ò Ë ÑÓÒ Ð Ò Ö Ë ÑÓÒ Ó Ú Ò ÂÙÐ È ÕÙ ØØ Ò Å Ö ¹ Ú Ê ÒÓÙÖØ Û Ó ÔÖ ÒØ ØÓ Ñ ÓÙÒØÖÝ ÙÐÐ Ó ÓÐÓÖ Ò ÙÐÐ Ó Ð º Á Û ØÓ Ø Ò Û ÐÐ ÐÓ Ñ Ó Ö Ö Ó Ö Ð Ò Ð Ù Ó ÓÒØ Ö Óº Á Ð Ó Ù Ø ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ø Ò ÐÝ ÓÒ Ó Ø È ØÖ À ÑÑ Ð Ä Ñ Ò Ê Ð Ë ÐÚ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÝ Ð ÔÔ Ö Ö Ò ÅÓÒØÖ Ðº Á Á ÓÙÐ Á ÛÓÙÐ Ø ÐÐ Ó Ø Ñ ØÓ Ö Þ Ð Ò ÑÝ ÐÙ º Á Ð Ó Ø Ò ÑÝ Ö Ô Ö ÒØ Ö Ò Ô Ö ÒØ Û ÐÐ ÑÝ ÖÓØ Ö ÓÖ Ø Ö ÓÙÒ Ð Ò ÓÖ Ò Ø Ö ÓÚ Ö Û Ò Á ÐÐ ÓÑ º Ò ÐÐÝ Á ÑÙ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÓÒ Ò ÑÝ Ð ÖÓÐ Ò Û Ó Û ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ñ Òغ Á Û ÐÐ ÐÛ Ý Ö Ø ÙÐ Ó Ö ÙÔÔÓÖØ Ö Ò Ô Ò ÐÓÚ º
Ú Ê ËÍÅ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð n ÔÓ ÒØ Ò Ð³ Ô ÙÐ Ò Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÐÓÒ Ð Ö Ø Ö ÑÓ Ò Ö ÖÖ ÓÒ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ø Ò Ñ Ð Ò k Ð ÓÖØ ÕÙ Ð ÓÑÑ ÖÖ Ø Ò ÕÙ ÔÓ ÒØ Ù ÒØÖÓ Ð Ó Ø Ñ Ò ¹ ÑÙѺ Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ý ÒØ ÒÓÑ Ö Ù ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú Ö ÔÐ Ò º ÈÐÙ ÙÖ ÙÖ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ø Ø ÓÒØ ÒÙ ÒØ ØÖ ÔÖÓÔÓ º Ä Ñ Ø Ó Ü Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ Ö Ö Ñ ÙÒ Ú Ö Ø ³ ÔÔÖÓ ÓÒØ Ø ÜÔÐÓÖ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ô ØÖ Ð Ø ØÖ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ù Ø ÕÙ Ñ Ö Ø ³ ØÖ Ð Ö º ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÙÒ Ñ ÒÕÙ Ö Ù ÙÖ Ð Ô ÖØ ÖØ Ò ÖØ Ð ÕÙ ÓÒØ ÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÖÖ Ø ÓÙ ÒÓÒ Ù Ø ÙÖ Ð ÙÐØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÚ ÒØ Ò Ð³ Ó ÒØ Ú ³ ÙØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ º Ê ÒÑ ÒØ ÙÒ ÔÖ ÙÚ ÆȹÓÑÔÐ ØÙ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÖÓÔÓ Ô Ö Ö Ò Ö Þ Ã Ò Ò Î ÑÔ Ð Ø Î Ò Ý Ò Å Ò Ä ÖÒ Ò ¾¼¼ º Ô Ò ÒØ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ÔÖ ÙÚ Ò³ Ø Ô ÓÖÖ Ø º ÍÒ ÓÙÖØ ÔÖ ÙÚ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ø Ô Ò Ø ÈÖ Ý ÈÓÔ Ø Ø ÓÒ ÓÙÖÒ º Ä ØÖÓ Ô ØÖ Ù Ú ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ ØÖÓ ÔÔÖÓ Ô ÖÑ Ð ÔÐ٠ѹ ÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ º Ù Ô ØÖ ¾ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ ÙÒ ÖØ Ð Ö ÒØ Ë Ö Ð Ø Ò Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÐÓ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ¾¼¼ º Ò Ø ÖØ Ð Ð ÙØ ÙÖ ÔÖÓÔÓ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÖ ÙÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹ Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö ÒØ ÚÓ Ö Ö ÓÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÒØ Ù ÕÙ³ ½¼¼¼ ÔÓ ÒØ º ÆÓÙ ØÙ ÓÒ Ð ÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ð Ò Ö ÔÖÓ Ù ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ð ÙÖ ÜÔ Ö Ò ÐÙк ÌÓÙØ Ó ÒÓØÖ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø ÑÔ ÐÙÐ ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð ØÖ ÙÓÙÔ ÔÐÙ Ð Ú º Ò Ø ÔÓÙÖ ÙÜ Ò Ñ Ð ÓÒÒ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÙÐ Ü ÑÔÐ Ý ÒØ Ù ÕÙ³ ¾¼ ÔÓ ÒØ ÓÒØ ÔÙ ØÖ Ö ÓÐÙ Ò ÑÓ Ò ½¼ ÙÖ Ø ÑÔ ÐÙк Ä Ö ÓÒ ÔÓ Ð ØØ Ö Ò Ö Ò ÓÒØ ÙØ º ÇÒ ÜÔÐÓÖ Ð Ñ ÒØ Ð³ Ø ³ÙÒ Ö Ð ÔÓÙÖ ÖÓÑÔÖ Ð ÝÑ ØÖ ÈÐ ØÖ ÙÖÓÔ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó
Ú ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ê Ö ¾¼¼¾µ Ø Ð³ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ð Ø Ú Ð ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ð ÖÑ ØÙÖ ÓÒÚ Ü Ò ÙÜ Ñ Ò ÓÒ ÔÓ ÒØ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ ÔÔ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ð º Ù Ô ØÖ ÓÒ Ø٠г ÖØ Ð È Ò Ø Ò ËØÙ Ò ÙÞ Ò Ò ËÓ Ø ÓÑÔÙØ Ò ¾¼¼ ÙÖ Ð³ ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ¼¹½ Ñ ¹ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÐÓÒ Ð Ö Ø Ö Ð ÑÓ Ò Ö ÓÑÑ ÖÖ º Ò ÚÙ Ð ÖÓ Ò Ö Ô Ð³ Ò Ñ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ÑÓ Ð Ð ÙØ ÙÖ Ò³ÓÒØ ÓÙÖÒ ÕÙ³ÙÒ ÕÙ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ü Ø º ÇÒ ÓÒ Ú ÐÓÔÔ ÙÒ Ð ÓÖ Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÓÙÔ Ò Ù Ú ÒØ Ð ÙÖ Ð Ò Ö ØÖ Ñ Ò Ò³ ÓÙØ ÒØ Õ٠г Ò Ñ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ú ÓÐ º ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ú Ø ÑÔ ÐÙÐ ÓÑÔ Ö Ð ÙÜ Ñ ÐÐ ÙÖ Ñ Ø Ó Ü Ø ÔÖ ÑÑ ÒØ ØÖÓÙÚ Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ º Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ô ØÖ Ø Ð³ ÔÔÖÓ Ô Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ Ù Å ÖÐ À Ò Ò Â ÙÑ Ö Ø ÅÐ ÒÓÚ ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ Ë ÒØ ÓÑÔÙØ Ò ¾¼¼¼µ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ º ij Ø Ô ÖÙ Ð Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÕÙ ÓÒ Ø ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÐÓÒÒ Ú ÙÒ Ó Ø Ö Ù Ø Ò Ø º ÆÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ñ Ò Ö Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÙÖ Ö ÙÑ ÒØ ÓÑ ØÖ ÕÙ º Ñ Ð ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ð³ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ö Ø Ô ÖÑ Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ³ Ü ÑÔÐ Ò Ð ÔÐ Ò Ý ÒØ Ù ÕÙ³ n = 2392 ÔÓ ÒØ Ø k 2 Ð ³ ع¹ Ö ½¼ Ó ÔÐÙ ÕÙ ÔÖ ÑÑ Òغ ÔÐÙ Ü ÑÔÐ ÐÐ ÒØ Ù ÕÙ³ ½ Ñ Ò ÓÒ Ø Ý ÒØ Ù ÕÙ³ n = 2310 ÔÓ ÒØ ÓÒØ Ö ÓÐÙ ÓÒ Ü Ø Ò Ð Ó ÙÓÙÔ Ð ÓÒØ ÙØ Ð º
Ú ËÌÊ Ì Å Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÅËË µ ÓÒ Ø Ò Ú Ò Ø Ó n ÒØ Ø Ó Ø Û Ø ÔÓ ÒØ Ò s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ Ò Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÒØÓ k ÐÙ Ø Ö Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø ÙÑ Ó ÕÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ ÒØ ØÝ ØÓ Ø ÒØÖÓ Ó Ø ÐÙ Ø Ö Ñ Ò ÑÙѺ Ì ÑÙ ØÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ò ÐÙ Ø Ö Ò ÐÝ Ò Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÒÙÑ ÖÓÙ Ò Ú Ö Ð º Å ÒÝ ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÅËË Ú Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ØÓ Ö ÙÐ ÖÐÝ ÔÖÓÔÓ º Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ø Ó Ö Ö Ö ÙØ Ú Ö ØÝ Ó ÔÔÖÓ Ú Ò ÜÔÐÓÖ º Ì Ö Ø ÔØ Ö Ó Ø Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ Ó ÅËË ØÓÔ Ò Û Ø Ö Ñ ØÓ Ú Ò ÑÙ ÓÒ Ù ÓÒº Ï ÒÓØ Ò Ø Ø Ú Ö Ð ÓÞ Ò Ô Ô Ö Ú Ñ ÒÓÖÖ Ø ÓÖ ÙÒ Ù Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÙØ Æȹ Ö Ò Ó ÅËË Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ Ù Ò Ø Û Ø ÓÑ ÓØ Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ê ÒØÐÝ ÔÖÓÓ Û ÔÖÓÔÓ Ý Ö Ò Ö Þ Ã Ò Ò Î ÑÔ Ð Ò Î Ò Ý Ò Å Ò Ä ÖÒ Ò ¾¼¼ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ ÓÛÒ Ò Ø ÔØ Ö Ø ÔÖÓÓ ÒÓØ ÓÖÖ Øº Ò ÐØ ÖÒ Ø ÓÖØ ÔÖÓÓ Ù ØÓ Ñ Ø Ô Ò Ò ÈÖ Ý ÈÓÔ Ø Ø Ò ÔÖÓÚ º Ì Ò ÜØ Ø Ö ÔØ Ö Ó Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ó Ø Ñ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÅËË º ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û ØÙ Ý Ö ÒØ Ô Ô Ö Ó Ë Ö Ð Ò Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÐÓ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ¾¼¼ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Ø ÙØ ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ Ò ØÓ ÓÐÚ Ò Ø Ò Û Ø ÙÔ ØÓ ½¼¼¼ ÔÓ ÒØ º Ï ÒÚ Ø Ø Ø Ö Ñ Ø Ó Ò ÙÖØ Ö Ø Ð Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÑ Ó Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ö Ø ÐÐÝ Ð Ö Öº ÁÒ ÓÖ ØÛÓ Ø Ø ÖÓÑ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒÐÝ Ò Ø Ò Û Ø ÙÔ ØÓ ¾¼ ÔÓ ÒØ ÓÙÐ ÓÐÚ Ò Ð Ø Ò ½¼ ÓÙÖ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ø Ñ º ÈÓ Ð Ö ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ô ÒÝ Ö Ù º Ì Ø Ó ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÖÙÐ Ù ØÓ ÈÐ ØÖ ÙÖÓÔ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ê Ö ¾¼¼¾µ Ò Ó Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ú Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ó Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó ÔÓ ÒØ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Û Ñ Ý ÐÓÒ ØÓ ÐÙ Ø Ö Ð Ó ÜÔÐÓÖ º
Ü ÁÒ ÔØ Ö Û ØÙ Ý Ø ÛÓÖ Ó È Ò Ò ËØÙ Ò ÙÞ Ò Ò ËÓ Ø Óѹ ÔÙØ Ò ¾¼¼ µ ÓÒ ¼¹½ Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¼¹½ Ë Èµ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÅËË º ÁÒ Ú Û Ó Ø Ö Ô ÒÖ Ò Þ Ó Ø Ø Ó ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø Ö ÑÓ Ð Ø ÙØ ÓÖ ÓÒÐÝ Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ø Ò Ú ÐÓÔ Ö Ò ¹ Ò ¹ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ð Ò ÙØ Ò ÓÒÐÝ Ø Ó Ú ÓÐ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ ÓÑÔ Ö Ð Û Ø Ø Ó Ó Ø Ø Ü Ø Ñ Ø Ó ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÓÙÒ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º Ò ÐÐÝ ÔØ Ö ÚÓØ ØÓ Ø ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ó Ù Å ÖÐ À Ò Ò Â ÙÑ Ö Ò ÅÐ ÒÓÚ ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ Ë ÒØ ÓÑÔÙØ Ò ¾¼¼¼µ Ò Ø ÑÔÖÓÚ ¹ Ñ ÒØ º Ì ÓØØÐ Ò Ó Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÐÙÑÒ Û Ø Ò Ø Ú Ö Ù Ó Øº Ï ÔÖÓÔÓ Ò Û Û Ý ØÓ ÓÐÚ Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ö ÙÑ ÒØ º Ì Ö ØÐÝ ÑÔÖÓÚ Ø ÒÝ Ó Ø Û ÓÐ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð ØÓ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ò Ø Ò Ò Ø ÔÐ Ò Û Ø ÙÔ ØÓ n = 2392 ÒØ ¹ Ø Ò k 2 ÐÙ Ø Ö º º ÑÓÖ Ø Ò ½¼ Ø Ñ ÑÙ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÓÒ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø Ò Ò ÙÔ ØÓ ½ Ñ Ò ÓÒ Ò Û Ø ÙÔ ØÓ n = 2310 ÒØ Ø ÓÙÐ ÓÐÚ Ü ØÐÝ Û Ò Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÐÙ Ø Ö º
Ü ÇÆ ÆË Æ Ê Æ ÁË Ä Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ø ÙÒ ÓÙØ Ð ÔÙ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ Ò ÐÝ ÓÒÒ º Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð ³ ÒØ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ØÖÓÙÚ Ö ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÔÔ Ð Ð ÕÙ ÓÒØ ÓÑÓ Ò Ø»ÓÙ Ò Ô Ö º ÍÒ ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÝÔ Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ø Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð O = {o 1,o 2,...,o n } Ú n ÒØ Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ P k = {C 1,C 2,...,C k } O Ò k Ð Ø ÐÐ ÕÙ C j j = 1,...,k C j1 Cj2 = j 1,j 2 = 1,...,k Ø j 1 j 2 Ø k j=1 C j = Oº ÕÙ ÓÔØ Ñ ÙÒ Ö Ø Ö ÓÒÒ º ÈÐÙ ÙÖ Ö Ø Ö ÓÒØ Ø ÙØ Ð Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÔÓÙÖ ÜÔÖ Ñ Ö Ð³ ÓÑÓ Ò Ø Ø»ÓÙ Ð Ô Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ó Ú ÒØ ØÖ ØÖÓÙÚ ÚÓ Ö º º µº ÍÒ Ö Ø Ö Ð Ø ÐÙ Ð ÑÓ Ò Ö ÓÑÑ ÖÖ Ø Ò ÙÐ ÒÒ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ù ÒØÖ Ð º Ä ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÒØ Ø ÐÓÒ Ö Ø Ö Ø ÒÓØ Ô Ö ÅËË Ô ÖØ Ö Ð³ Ò Ð Å Ò ÑÙÑ ËÙÑ¹Ó ¹ËÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò µº ij ÙÖ Ø ÕÙ Ð ÕÙ k¹ñ Ò Ö ÓÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ÅËË º Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Á ÓÑÔÙØ Ö ËÓ ØÝ ÓÑÑ Ð ÙÜ Ñ ÔÐÙ Ò Ù ÒØ Ò Ð ÓÑÙÒÒ ÙØ ³ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ ÓÒÒ ½¾ º Ä Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ ÐÓÒ Ð Ö Ø Ö Ð ÑÓ Ò Ö ÓÑÑ ÖÖ Ø Ò Ù¹ Ð ÒÒ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ø º ÎÓ ÖØ Ò ³ ÒØÖ ÐÐ µ ÁÐ ÜÔÖ Ñ Ð³ ÓÑÓ Ò Ø Ø Ð Ô Ö Ø ÓÒ ÓÑÑ ÜÔÐ ÕÙ Ò ½½½ ÔÔº ¼ ½º
Ü µ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ð ÓÒØ ØÙ Ð ÙÖ ÒØÖÓ ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ ³ÓÔØ Ñ Ð Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö º Ùܹ ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÑÔÐ º µ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð ÒØÖÓ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ð ÔÐÙ ÔÖ Ò Ö ÓÒ Ð³ÓÔØ Ñ Ð Ø ÐÓ Ð º Ò³ Ü ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ ÓÑÔ Ö ÓÒ º Úµ Ä Ð Ó Ø ÒÙ ÓÒØ Ô ÖÓ Ð Ù Ø Ð Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ÖÖ Ø Ò º ØØ ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÙØ ØÖ ÓÙ Ø Ð ÓÙ ÒÓÒ ÐÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÙ º ÍÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÅËË Ø ÓÒÒ Ô Ö min x,y n k x ij p i y j 2 i=1 j=1 Ù Ø k x ij = 1 i = 1,...,n j=1 x ij {0,1} i = 1,...,n; j = 1,...,k. Ä n ÒØ Ø {o 1,o 2,...,o n } ØÖ Ð ÓÒØ ØÙ ÙÜ ÔÓ ÒØ p i = (p r i,r = 1,...,s) R s ÔÓÙÖ i = 1,...,n k ÒØÖ Ð Ó Ú ÒØ ØÖ ØÙ ÔÓ ÒØ ÒÓÒÒÙ y j R s ÔÓÙÖ j = 1,...,k Ð ÒÓÖÑ ÒÓØ Ð Ø Ò ÙÐ ÒÒ ÒØÖ Ð ÙÜ ÔÓ ÒØ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð³ Ô s Ñ Ò ÓÒ ÓÒ Ö º Ä Ú Ö Ð ÓÒ x ij ÜÔÖ Ñ ÒØ Ð³ Ø Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ø o i Ð Ð jº ÇÒ ÙÑ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ Ø n Ø ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ k ÙØÖ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ò ØÙ ÒØ ÙÒ ÒØÖ Ð Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø º Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ ÓÖ Ò Ð Ð ÚÖ ËÔØ ½½½ Å Ö Ò Ø ÃÓ Ò º ÈÐÙ ÙÖ ÒØ Ò ³ ÖØ Ð ÓÒØ Ø Ö Ø ÙÖ ÙÖ Ø ÕÙ Ú ÒØ Ö ÓÙ Ö ÅËË Ø ÔÐÙ ÙÖ Ñ ÐÐ Ö ÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú Ö ÓÑ Ò ÚÓ Ö º º Ð ÝÒØ ³ÙÒ Ñ ¹ Ð Ø Ô Ö ËØ ÒÐ Ý ½½ µº Ä ÔÖ Ò Ô Ð ÙÖ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÅËË ÓÑÔÖ ÒÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ó j¹ñ Ò À Ò Ò Ø ÅÐ ÒÓÚ Ð Ñ Ø Ó ÐÓ Ð k¹ñ Ò Ä ÎÐ Ò Î Ö ÕÙ Ø Ò ÐÝ Ò Ø ÔÙ ÑÓ
Ü Ô Ö ÖÓÚ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÒÓҹРÖÓÚ Ò ÖÛÓÓ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ð ØØÖ Ù Ì ÓÙÐÐ Ø ÃÓ Ò ½½ Ø Ú Ö Ø Ðº ½¾ Ð ÔÔÖÓ Ñ Ø ÙÖ Ø ÕÙ Ú ÐÓÔÔ Ò ¾ ½½ ¾ Ð Ñ Ø Ó Ô ÖØ ÓÒÒ Ñ ÒØ Ô Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ Ö ØÖ Ø Ú Ö ØÓÙ ½ Ø Ð³ ÙÖ Ø ÕÙ º º Ò Ð Ù Ø Ø Ì Ó º ÍÒ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÙÞ ÙÖ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÅËË Ø ØÙ Ô Ö ÖÙ Ó Ø ËØ ÒÐ Ý Ò ½ º Ä Ñ Ø Ó Ü Ø ÓÒØ ÙÓÙÔ ÑÓ Ò ÒÓÑ Ö Ù ÕÙ Ð ÙÖ Ø ÕÙ º Ù Ñ ÐÐ ÙÖ ÒÓØÖ ÓÒÒ Ò Ð Ý ÑÓ Ò ³ÙÒ ÓÙÞ Ò ³ ÖØ Ð ÙÖ Ð Ù Øº Ò ½ Ö Ð Ö Ò ¾ Ôº½ µ ÕÙ Ä Ö ÙÖ Ó Ú ÒØ Ö Ö Ð³ ÔÖ Ø ÕÙ Ò Ð ÔÐÙÔ ÖØ Ð ÙØ Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ù Ø ÒØ Ô Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ Ò ¹ Ö ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö ÓÙ Ú Ö Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö Ð³ Ò Ð µº ØØ Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÒØ Ò ÔÖ Ò Ô Ò ÓÑÔØ ØÖÓ Ø Ä Ñ Ø Ó Ü Ø ÓÒØ Ð Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð Ñ ÒØ Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ù Ø Ö ÓÙ ÔÓÙÖ ¹ ÓÙÚÖ Ö Ù Ð Ò Ð Ñ Ø Ó ÙÖ Ø ÕÙ ÓÙ Ò ÔÓÙÖ Ù Ö Ö ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÔÖÓ Ä Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÙÖ ³ Ø ÙÓÙÔ Ñ Ð ÓÖ Ù ÓÙÖ ÖÒ Ö ¹ ÒÒ Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÙÓÙÔ ÚÓÐÙ Ù ÓÙÖ ØÖ ÒØ ÖÒ Ö ÒÒ º Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÐÓÒ ÙÒ Ö ÔÔÓÖØ ÙÖ ³ÙÒ ÒÓ ÖØ Ð Ä Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÐÓÒ Ð Ö Ø Ö Ð ÑÓ Ò Ö ÓÑÑ ÖÖ Ø Ò Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÙÐ ÒØ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö Ð³ Ò Ð µ ÈÓÙÖ k 2 Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ÅËË Ô ÙØ ØÖ Ö ÓÐÙ Ò Ø ÑÔ O(n 3 ) ½½½ º Ë k Ø Ð Ñ Ò ÓÒ s ÓÒØ Ü Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÙØ ØÖ Ö ÓÐÙ Ò Ø ÑÔ O(n sk+1 ) ½ ÕÙ Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ó Ø ÙÜ Ñ Ñ ÔÓÙÖ Ü ÑÔÐ Ò Ð ÔÐ Òº ÈÐÙ ÙÖ ÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÖÖ Ø ÓÒØ Ø ÒÓÒ ÕÙ ÒØ Ù Ö Ø Ö ÆȹÓÑÔÐ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ÙÐ ÒÒ s ÕÙ ÐÓÒÕÙ º ÍÒ ÓÙÖ Ö ÕÙ ÒØ ÓÒ Ù ÓÒ
Ü Ø Ð Ð ØÙÖ ØÖÓÔ Ö Ô ³ÙÒ ÖØ Ð Ö Ö ½½ Ó Ð³ ÙØ ÙÖ ÔÖÓÙÚ Ð ÆȹÓÑÔÐ ØÙ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÕÙÓ ÕÙ Ö Ò Ò Ó Ø Ø ÔÖÓÔÓ ÅËË º ÔÐÙ ÙÒ ÔÖ ÙÚ ÆȹÓÑÔÐ ØÙ Ö Ý ÂÓ Ò ÓÒ Ø Ï Ø Ò Ù Ò Ø ÔÔÐ Ð ÙÐ Ñ ÒØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº ÖÒ Ö Ø Ò Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö k¹ñ Ò Ó ÕÙ ÒØÖ Ð Ø Ó Ô ÖØ Ö ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÔÓ Ø ÓÒ º Ê ÑÑ ÒØ ÙÒ ÔÖ ÙÚ ÆȹÓÑÔÐ ØÙ ÔÓÙÖ ÅËË Ú k = 2 Ò s Ñ Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ö Ò Ø Ðº Ò Å Ò Ä ÖÒ Ò ¾¼¼ º ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ÔÖ ÙÚ Ø ØÓÙØ Ó ÒÚ Ð º ÍÒ ÓÙÖØ ÔÖ ÙÚ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ò Ø ÈÓÔ Ø ¾¼ Ø ÓÙÖÒ Ú ÙÒ Ö ÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÙÔ Ð ÔÐÙ Ò º ÈÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Å Ò Æ Ñ ÓÖ Ö Ø Î Ö Ö Ò ¼ ÓÒØ ÔÖÓÙÚ ÕÙ ÅËË Ø ÆȹÓÑÔÐ Ø ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ k ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ñ Ñ Ò Ð ÔÐ Òº Ä³Ó Ø ØØ Ø Ø ÓÙ Ð ³ÙÒ Ø Ø Ñ Ö Ð³ Ø Ø Ð³ ÖØ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ü Ø ÔÓÙÖ ÅËË Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ³ Ñ Ð ÓÖ Ö ÙØ ÒØ ÕÙ ÔÓ Ð Ñ Ø ¹ Ó º Ê ÑÑ ÒØ Ë Ö Ð Ø ½¼ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÖ ÙÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ º ÑÓ Ð Ø Ó Ø ÒÙ ÔÖ ÚÓ Ö Ò Ö ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒØÖ ÒØ Ú Ð³ ÑÔÐÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØÖ ÒØ Ü Ø ÒØ Ø Ò Ö Ò ÒØ ÕÙ ÐÕÙ Ú Ö Ð º Ë Ö Ð Ø ½¼ ÓÒØ Ö ÔÔÓÖØ Ö ÙÐØ Ø ÐÙÐ ÔÓÙÖ Ö Ò Ü ÑÔÐ Ý ÒØ Ù ÕÙ³ ½¼¼¼ ÔÓ ÒØ Ò Ñ Ò ÓÒ º ÌÓÙØ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ø Ð ÓÒØ Ñ Ö Ø ³ ØÖ ÒÚ Ø Ù º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ³ ÖØ Ö ÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ø ÙÔ Ö ÙÖ Ñ Ð ÒØ ØÖ ØÖÓÔ Ö Ò º Ø Ð ÒÓÑ Ö ÒÓ Ù Ú ÐÙ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÚÖ Ø ØÖ Ð Ú Ñ Ñ ÙÖ ÑÓ Ö º ÔÐÙ Ð ÙØ ÙÖ Ö ÓÐÚ ÒØ ÙÒ Ô Ø Ø Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ Ð Õ٠Рг Ð ÓÖ Ø Ñ k¹ñ Ò ÓÒÒ ÙÒ Ö ÙÐØ Ø Ú ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ñ Ð ÔÖ ÓÖ Ô Ù ÔÖÓ Ð º ÇÒ Ý Ö ÔÖÓ Ù Ö Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ò Ù º ü Ø Ø ÓÒ ÑÔÐ ÒØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ë Ö Ð Ò Ò Ù Ú ÒØ ÙØ ÒØ ÕÙ ÔÓ Ð Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÒÒ
Ü Ú Ò Ð ÙÖ ÖØ Ð º ÇÒ ÓÒ Ö Ô Ø Ø ÓÒÒ Ó Ø ÒÙ Ò Ð Ø ÓÒ ÒØ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ð³ Ò Ñ Ð ÓÒÒ Ö Ú ½ ¼ ÒØ Ø º ÇÒ Ò Ó ÖÚ ÕÙ Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ Ó Ø ÒÙ Ô Ö ÒÓØÖ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ô Ø Ø Ü ÑÔÐ Ú ¾¼ ÒØ Ø Ø Ø Þ Ö Ò ³ ع¹ Ö ÔÐÙ ÙÖ ÐÙÐ ÙÖ ÙÒ È ÒØ ÙÑ ÁÎ ¾ ÀÞµº ÇÒ ÙØ Ú Ë Ö Ð Ø ÔÖÓÔÓ Ö ÓÒ ÔÓ Ð ³ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ò ÒØÖ Ð ÙÖ Ö ÙÐØ Ø Ø Ð ÒØÖ º ÙÙÒ ÜÔÐ Ø ÓÒ Ò³ ÔÙ ØÖ ÓÒÒ ÔÙ ÕÙ Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð Â Ø Ñ ØÖ Ñ Ð ÚÓ Ö ÙÔÔÖ Ñ Ó Ø ÓÒÒ ½¼ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö Ð³ Ò Ð µº ij ÜÔÐ Ø ÓÒ Ð ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ ÕÙ Ð Ü ÑÔÐ Ø Ø ÙØ Ð Ô Ö Ë Ö Ð Ø Ø ÒØ ØÖÓÔ Ð Ö ÓÙ Ö ³ ع¹ Ö Ð Ð Ø ÒØ ØÖ Ò Ô Ö µº ÉÙÓ ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ø Ë Ö Ð Ø ½¼ Ò³ÓÒØ Ô ÔÙ ØÖ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ú Ð٠г ÒØ Ö Ø Ö ÒØ Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò Ö Ð ÝÑÑ ØÖ Ò Ð ÙÖ ÑÓ Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÈÐ ØÖ ÔÖÓÔÓ Ò ½¼¼ ³ Ð Ñ Ò Ö Ð ÝÑÑ ØÖ Ò Ò³ ÔØ ÒØ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ Ñ Ò Ñ Ð ³ ع¹ Ö Ø Ð ÕÙ ÕÙ Ð j ÓÒØ ÒØ Ð ÔÓ ÒØ ³ Ò Ü Ð ÔÐÙ Ò³ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÙÒ Ð ³ Ò Ü 1,...,j 1º Ë ÐÓÒ ØØ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ ÙÐ ÓÒ ³ Ò Ü Ö Ð Ð º ØØ Ö Ð ³ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ Ñ Ð ØÖ Ñ ÐÐ ÙÖ ÕÙ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ò ½¼ Ð Ó Ò Ø ÖÑ Ö ÙØ ÓÒ Ù ÒÓÑ Ö ÒÓ Ù Ò ÕÙ³ Ò Ø ÖÑ Ø ÑÔ ÐÙÐ º ÔÐÙ ÓÒ Ø٠г ÑÔ Ø Ð³ ÓÙØ ÓÒØÖ ÒØ Ú Ð Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÓÒÚ Ü ÔÓ ÒØ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ø ÙÒ Ð º Ò ½¼ Ð Ù¹ Ø ÙÖ ÙØ Ð ÒØ ÔÐÙØØ ÙÒ ÝÔ ÖÖ Ø Ò Ð H(I j ) ÕÙ ÒÐÙØ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÓÒÚ Ü ÔÓ ÒØ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ ÒÓÖ ØÖ Ø ÙÒ Ð ÓÒÒ j ÒÓØ I j ÔÓÙÖ ÕÙ j = 1,...,k H(I j ) = {y j : α r j yr j βr j,r = 1,...,s}, Ó α r j = min{pr i : i I j} Ø βj r = max{pr i : i I j} r = 1,...,sº ÈÙ ÕÙ ÕÙ Ô Ö ÔÓ ÒØ ÜØÖ Ñ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÓÒÚ Ü Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ Ñ ¹ Ô Ò Ð ÔÐ Ò ÙÐ Ò Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÒØÖÓ ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ Ò Ð ÔÓÐÝ Ö Ò Ô Ö Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ ¹ Ô º Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ÓÒØÖ ÒØ Ð ÓÖØ Ø Ò Ð Ù ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ÜØÖ Ñ ÓÒÒ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ
ÜÚ Ö Ñ º ÍÒ ÒÓÑ Ö O(kn) ÓÒØÖ ÒØ ÓÒØ Ò Ö Ò Ð ÑÓ Ð ÕÙ Ò Ð ÝÔ ÖÖ Ø Ò Ð ÓÒØ ÙØ Ð Ø Ò ÕÙ ÒÓÑ Ö Ù Ñ ÒØ O(kn 2 ) Ú Ð Ò Ð Ø Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÓÒÚ Ü ÔÙ ÕÙ ØÓÙØ Ð ÒØ Ø Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÔÓ ÒØ ÜØÖ Ñ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÓÒÚ Ü º Ä ÜÔ Ö Ò ÐÙÐ Ö Ð ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ñ Ò ÓÒ ÓÒØ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ÒÓ Ù Ð³ Ö Ö Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö Ù Øº Ô Ò ÒØ ÙÒ Ø ÐÐ Ö ÙØ ÓÒ Ò³ Ñ Ò Ô Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÙØ ÓÒ Ù Ø ÑÔ ÐÙк Ò Ø Ð Ø Ð³ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÒÓÑ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÑÓ Ð Ø ÔÐÙ Ó Ø Ù º Ä Ø Ð ÔÐÙ Ð Ù ÑÓÑ ÒØ Ú ÐÓÔÔ Ö Ñ Ø Ó Ü Ø ÔÓÙÖ ÅËË Ø ÐÐ ÐÙÐ Ö ÓÒÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÐÙÐ Ö ÓÒ Ð º Ê ÑÑ ÒØ È Ò Ò ÓÒØ ÙØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ¼¹½ Ñ ¹ Ò ÔÓ Ø ¼¹½ Ë Èµ Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ min Z Ù Ø Tr(W p W T p (I Z)) Ze = e,tr(z) = k, Z 0,Z = Z T,Z 2 = Z. Ó W p R n s Ø Ð Ñ ØÖ ÓÒØ Ð i¹ Ñ Ð Ò Ø Ð Ú Ø ÙÖ p i º Ô ÙØ Ò Ù Ø ØÖ Ö Ð Ü Ø ÓÒÒ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ë È ÓÒÚ Ü ÓÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Ò Ö º Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø È Ò Ò ÓÒ ÔÖÓÔÓ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÓÙÔ Ò ³ ÜÔÐÓ Ø Ö ÓÒ ÒØ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÑÓ Ð ¼¹½ Ë Èº ØØ Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö ÑÔÐ Ö Ð ÓÒØÖ ÒØ Z = Z 2 º È Ò Ò ÔÖÓÙÚ ÒØ ÕÙ Ð Ò Ð Ø Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ø Ø Ô Ö ØÓÙØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð ÙÖ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº Z ij Z ii Z ij + Z il Z ii + Z jl i,j i,j,l
ÜÚ Ò ÚÙ Ð ÖÓ Ò Ö Ô Ð³ Ò Ñ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ÑÓ Ð Ð ÙØ ÙÖ Ò³ÓÒØ ÓÙÖÒ ÕÙ³ÙÒ ÕÙ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ü Ø º ÇÒ ÓÒ Ú ÐÓÔÔ ÙÒ Ð ÓÖ Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÓÙÔ Ò Ù Ú ÒØ Ð ÙÖ Ð Ò Ö ¹ ØÖ Ñ Ò Ò³ ÓÙØ ÒØ Õ٠г Ò Ñ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ú ÓÐ º ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ú Ø ÑÔ ÐÙÐ ÓÑÔ Ö Ð ÙÜ Ñ ÐÐ ÙÖ Ñ Ø Ó Ü Ø ÔÖ ÑÑ ÒØ ØÖÓÙÚ Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ³ ع¹ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ ÔÖÓÔÓ Ô Ö Ù Å ÖÐ Ø Ðº ¾ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ø Ú ÖÙ Ó ½¾ º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÓÙÔ ÙÖ Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÑÓ Ð ¼¹½ Ë È Ó Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÔÓÙÖ Ü ÑÔÐ Ú n = 202 ÒØ Ø Ø k = 9 Ð Ò Ð ÔÐ Ò Ò ÑÓ Ò ½¾ ÙÖ º ÍÒ Ñ Ø Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ ÔÓÙÖ ÅËË Ø ÔÖÓÔÓ Ô Ö Ù Å ÖÐ Ø Ðº Ò ¾ º Ò Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ð ¹ Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ Ù ØÖ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ö ÒØ ØÓÙØ Ð Ð ÔÓ Ð º ËÓ Ø ÙÒ Ð C t ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ 1 г ÒØ Ø o i ÔÔ ÖØ ÒØ Ð Ð C t a it = 0 ÒÓÒ Ø Ó Ø y t Ð ÒØÖÓ ÔÓ ÒØ p i Ø Ð ÕÙ a it = 1º Ò Ð Ó Ø c t Ð Ð C t Ô ÙØ ØÖ Ö Ø Ô Ö c t = n p i y t 2 a it. ÍÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÓÙÖ ÅËË Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö min z c t z t t T i=1 Ù Ø a it z t = 1 i = 1,...,n t T z t = k t T z t {0,1} t T,
ÜÚ Ó T = {1,...,2 n 1}º Ä Ú Ö Ð z t ÓÒØ Ð ½ Ð Ð C t Ø Ò Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ð ¼ ÒÓÒº Ä ÔÖ Ñ Ö Ò Ñ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ô ÖÑ Ø ³ ÙÖ Ö ÕÙ ÕÙ ÒØ Ø ÔÔ ÖØ ÒØ ÙÒ Ð Ø Ð ÓÒØÖ ÒØ Ù Ú ÒØ ÑÔÓ ÕÙ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØ ÒÒ Ü Ø Ñ ÒØ k Ð º ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ ³ Ò Ñ Ð Ö Ò Ø ÐÐ Ú ÙÒ ÓÒØÖ ÒØ Ø ÓÒ ÐÐ ÓÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÖÑ Ù ÒÓÑ Ö n ³ ÒØ Ø º Ä Ñ Ø Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ ÔÖÓÔÓ Ò ¾ ØÖ Ú ÐÐ Ú ÙÒ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÓÐÓÒÒ Ù ÑÓ Ð Ò Ö Ø Ö Ø Ú Ñ Òغ ÐÐ Ö ÓÐÙ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ü ÑÔÐ Ø ÐÐ ÑÓÝ ÒÒ ³ ع¹ Ö Ü ÑÔÐ Ú ½¼¼¹¾¼¼ ÒØ Ø µ ÒÐÙ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð ÓÒÒ Ö Ú ½ ¼ ÒØ Ø º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÖ Ø Ö ÓÐÙ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ÔÓ ÒØ ÒØ Ö ÙÖ ÈÅ Ò ÐÝØ Ð ÒØ Ö ÙØØ Ò ÈÐ Ò Å Ø Ó µ Ó Ò À ÙÖ Ø Î Ð º Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÓÒØ Ð³Ó Ø Ø ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÐÓÒÒ Ú ÙÒ Ó Ø Ö Ù Ø Ò Ø Ø ÜÔÖ Ñ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ò Ú Ö Ð ¼¹½º ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô Ö ÐÙ Ò Ð ¾ ÕÙ ÙØ Ð ÐÙ Ñ Ñ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ò Ú Ö Ð ¼¹½ Ò ÓÒØÖ ÒØ º ÍÒ ÙØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÖ ÓÒ Ù Ø Ò Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒØ Ö º Ò Ð Ñ ÒØ ÙÖ Ø ÕÙ Ö Ö ÚÓ Ò Ú Ö Ð ÎÆ˵ ÓÒØ ÙØ Ð Ð Ó Ù ÙØ ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÒÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ú ÓÖÒ ÙÖ Ð Ú Ö Ð Ù Ð Ò ÕÙ Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö Ò Ð³ Ð Ö Öº Ä Ô ÖØ Ð ÔÐÙ Ó Ø Ù Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÕÙ Ø ÜÔÖ Ñ Ô Ö π = σ + min y v R s,v B n i=1 n ( p i y v 2 λ i )v i, Ó y v ÕÙ ÒÓØ Ð ÒØÖÓ ÔÓ ÒØ p i ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð v i = 1º Ë π < 0 ÐÓÖ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð v ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¹ Ù Ø ÓÙØ ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÓÐÓÒÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ ³ Ò Ñ Ð Ú Ú Ö Ð Ó º ÙØÖ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÖ Ö Ð Ü Ø Ö ÓÐÙº
ÜÚ ÇÒ ÔÖÓÔÓ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒ Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÙÖ Ö Ù¹ Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÕÙ º ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÙØ ØÖ ÚÙ Ô Ö Ò ÐÓ ÓÑÑ ÙÒ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÑÑ ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÜ Ø Ò Ù ÖÖ ÕÙ ÒØÖ Ð y v ÙÒ ÒØ Ø Ñ Ú ÙÒ Ð Ñ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ò ÔÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò³ Ù Ñ ÒØ ÔÐÙ º Ò Ø Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÐÓ Ð Ø ÓÒ y v v i Ø Ð ½ p i y v 2 λ i Ø ¼ ÒÓÒº ÓÑ ØÖ ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ð ÔÐ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó v i = 1 y v ÔÔ ÖØ ÒØ Ù ÕÙ Ö ÝÓÒ λ i Ý ÒØ p i ÓÑÑ ÒØÖ ÒÓÒ v i = 0º ij ÔØ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø Ö ÞÒ Ö Å Ö Þ Ø Ï ÓÐÓÛ Ý ¾ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö Ú ÒØ ³ ØÙ Ö ÙÒ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÑÔ O(n 3 )º Ë ÙÒ Ö Ò Ñ ÒØ Ø Ò Ö Ð Ö Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÊÝ Ò Ø Ó Ø Ö ½¼ Ø ÔÔÐ ÕÙ º ü ÔÐÙ ÙÖ Ñ Ò ÓÒ Ð³ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ØÖÓÔ ÐÓÒ Ù ÕÙÓ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÙØ ÒÓÖ ØÖ ÜÔÐÓ Ø º ÍÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ ÙÜ ÒØ Ø Ò Ó ÒØ Ô Ò Ð Ñ Ñ Ð Ø ÙØ Ð Ò Ö ÑÔÐ Ö Ó ÒØ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒ¹ ÓÒØÖ ÒØ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ò Ú Ö Ð ¼¹½ Ô Ö Ú Ð ÙÖ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò º Ò Ù Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø ÔÔÐ ÕÙ Ò ÙÒ Ñ ÙÔÔÖ ÓÒ ÒÓ Ù º ü Ø Ø ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ý ÒØ ÒÓ Ù Ó ÙÜ ÒØ Ø Ø Ö Ø Ó Ô Ö ³ ÒØ Ø ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ØÖÓÔ ÐÓ Ò Ð³ÙÒ Ð³ ÙØÖ ³ ع ¹ Ö ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÝÔ Ö Ô Ö Ö ÝÓÒ λ i Ø λ j ³ ÒØ Ö Ø Òغ Ê ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ù Ö Ñ Ò Ñ Ð Ò Ö Ô Ø Ð Ø ÓÒÒ Ø Ð ÓÙ ¹ Ö Ô Ò Ù Ø Ô Ö ÒÓ Ù ÒØ Ø Ü Ñ Ò º Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ò Ú Ö Ð ¼¹½ Ò ÓÒØÖ ÒØ Ó ÓÙ ¹ Ö Ô Ø Ö ÓÐÙ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÙÚ Ö Ò Ð Ó ÐÐ Ø Ñ ÐÐ ÙÖ ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÖ ÒØ º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ö Ð ÓÒ Ù Ø ÙÒ ÔÖÓ Ö Ù Ø ÒØ Ðº Ò Ø Ü ÑÔÐ Ò Ð ÔÐ Ò Ý ÒØ Ù ÕÙ³ n = 2392 ÒØ Ø Ø k 2 ÓÒØ ÔÙ ØÖ Ö ÓÐÙ Ò Ø ÑÔ ÐÙÐ ÐÓÒ Ñ ÒÓÖ µ Ö ÓÒ Ð º ÔÐÙ Ü ÑÔÐ ÐÐ ÒØ Ù ÕÙ³ ½ Ñ Ò ÓÒ Ø Ý ÒØ Ù ÕÙ³ n = 2310 ÔÓ ÒØ ÓÒØ ÔÙ ØÖ Ö ÓÐÙ ÓÒ Ü Ø Ò Ð Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ð º
Ü Ü ÈÓÙÖ ÓÒÐÙÖ Ð ÔÔÖÓ Ü Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÅËË Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ô Ö Ò ØÖÓ Ñ ÐÐ ½º ÐÐ ÕÙ Ö ÓÐÚ ÒØ Ô Ø Ø Ü ÑÔÐ n 25µ ³ Ø Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒÓÒ¹ Ö ÐÐ ½½ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ú ½¾ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ð Ò Ö Ø ÓÒ ½¼ º ¾º ÐÐ ÕÙ Ö ÓÐÚ ÒØ Ü ÑÔÐ Ø ÐÐ ÑÓÝ ÒÒ n 100 200µ ³ ع¹ Ö Ð Ñ Ø Ó Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ø Ú ½¾ Ð Ñ Ø Ó Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÓÙÔ ÙÖ Ð ÑÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ ¹ Ò ÔÓ Ø Ú ¼¹½ ¾ Ø Ð Ñ Ø Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ Ò Ð Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ ¾ º º ÐÐ ÕÙ Ô ÙØ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø ÐÐ n 2000µ ³ ع¹ Ö Ð Ñ Ø Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ Ñ Ð ÓÖ ÔÖ ÒØ Ò ØØ Ø º ³ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö ÒÓ Ö ÙÐØ Ø ÓÑÑ ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ð Ö Ð ¹ Ð Ø Ð³ ÔÔÖÓ Ô Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ù ÓÑ Ò Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ º ÁÐ Ý ÔÐÙ ÙÖ Ö Ø Ö ÔÖÓÔÓ Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÔÓÙÖ ÜÔÖ Ñ Ö Ð³ ÓÑÓ Ò Ø Ø»ÓÙ Ð Ô Ö Ø ÓÒ Ð º ÍÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð Ð Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓ ÙÖ Ù Ê Ò ÕÙ ÔÐÙ ÙÖ ØÙ ÒØ Ø ØÙ ÐÐ ¹ Ñ ÒØ Ò ÓÙÖ ³ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒº ÖØ Ò Ñ ÒØ Ð Ù Ù ÔÖÓ Ð ÙÖ ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ Ö Ø Ö Ô Ò Ö Ö Ò Ñ ÒØ ÙÜ Ø ÙÖ Ð Ð Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ùܹ Ð Ö Ø Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ Ô Ø Ø ÓÙ Ö Ò ÙØ Ù Ð Ø º ÈÐÙ ³ ÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ö º Ä Ö Ø Ö ÕÙ ÖÓÒØ ØÙ ÓÒØ Ö Ø Ö Ö ÑÑ ÒØ ÔÖÓÔÓ Ò Ð ÓÑÑÙÒ ÙØ Ð³ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð Ô Ý ÕÙ º º Ð ÓÙÔ Ô Ö Ö Ø Ó ¼ Ð ÓÙÔ ÒÓÖÑ Ð ½¼ Ø Ð ÑÓ ÙÐ Ö Ø ½ º ÔÐÙ ÕÙÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ð³ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÔÔÖÓ ÙÖ ÙÒ Ñ Ø Ó ÔÓ ÒØ ÒØ Ö ÙÖ ³ ع¹ Ö ÈÅ Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÓÐÓÒÒ µ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø ¹ Ð ¾ ÔÓÙÖÖ Ø ÒÓÖ ØÖ ÙÒ ÓÒÙÖÖ ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÐ Ø ÓÑ Ò Ú Ð Ö ÒØ ØÖ Ú ÙÜ ½ ¾ ÙÖ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ö Ò º
ÜÜ Ì Ä Ç ÇÆÌ ÆÌË ÃÆÇÏÄ Å ÆÌË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ê ËÍÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú ËÌÊ Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú ÇÆ ÆË Æ Ê Æ ÁË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ä Ç ÇÆÌ ÆÌË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü ÜÜ ÄÁËÌ Ç Ì Ä Ë º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜÜ ÄÁËÌ Ç Á ÍÊ Ë º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜÜ Ú ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À ÈÁÌÊ ½ ÆȹÀ Ê Æ ËË Ç Í ÄÁ Æ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ò ÒÓÖÖ Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø k¹ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º ½º Ò Û ÔÖÓÓ Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÙØ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º ½½ À ÈÁÌÊ ¾ Î ÄÍ ÌÁÆ Ê Æ À¹ Æ ¹ ÇÍÆ ÊÄ̹ Ë Ä ÇÊÁÌÀÅ ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍ˹ Ì ÊÁÆ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ Ê ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ä Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ì Ò ÕÙ ÓÖ Ø ÅËË º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ Ð Ò Û Ø ÝÑÑ ØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÓÖ Ø ÅËË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ò ØØ ÑÔØ Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Ö Ò ÝÑÑ ØÖÝ Ò ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò ÕÙ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ÜÜ ¾º ÓÒÐÙ Ò Ö Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À ÈÁÌÊ Ê Æ À¹ Æ ¹ ÍÌ Ë È¹ Ë Ä ÇÊÁÌÀÅ ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ º º º º ¾ º½ ÕÙ Ú Ð Ò Ó ÅËË ØÓ ¼¹½ Ë È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ Î Ð Ò ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ø ¼¹½ Ë È ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ¼¹½ Ë È ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ÈÁÌÊ Æ ÁÅÈÊÇÎ ÇÄÍÅÆ Æ Ê ÌÁÇÆ Ä ÇÊÁÌÀÅ ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ º º½ ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÑ ØÖ ÔÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÙÐ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÓÐÚ Ò Ý Ð ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ÙÐØ Ò Ø ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ê ÙÐØ Ò Ò Ö Ð ÙÐ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÔÔÖÓ Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò Ò Ö Ð ÙÐ Ò Ô º ÓÒÐÙ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÆ ÄÍËÁÇÆ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Á ÄÁÇ Ê ÈÀ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
ÜÜ ÄÁËÌ Ç Ì Ä Ë Ì Ð ¾º½ ÓÓÖ Ò Ø Ó ½¼ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÙÐ Ò Ô º º º º º º º º º º º º ¾¼ Ì Ð ¾º¾ Ê Ð Ø Ú Ö ÙÐØ Ó ÓÙÖ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ö Ù Ø k¹ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ñ Ö Ø Ø Û Ø Ø Ö Ò Ú ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ Ì Ð ¾º Ì Ð ¾º Ì Ð ¾º Ì Ð ¾º Ì Ð ¾º Ê ÙÐØ ÓÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÖÓÑ ¾¾ ÖÑ Ò ØÓÛÒ ÓÓÖ Ò Ø ÔÖ ÒØ Ò ½½½ Ò ÖÓÑ Ø Ö³ ½ ¼ ÁÖ ÔÖ ÒØ Ò º º ¾ ÈÍ Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ò Ý ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ý Ø ÓÑÑ Ö Ð Ó ØÛ Ö ÈÄ º½ Ò ÈÄ ½¼º½ Û Ø ÙÐØ Ø¹ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ê ÙÐØ Ó Ø Ò ÓÖ Ö ÒØ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÖÙÐ ÓÖ Ø Ö¹ Ñ Ò ØÓÛÒ Ø Ø Û Ø Ø Ö ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÒ Ø Ð ÙÔÔ Ö ÓÙÒ UB 0 Ó Ø Ò Ý Ð ÓÖ Ø Ñ ËÝÑѾ Ò ËÝÑÑ ÓÖ Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÓ ÓÐÚ Ý ØÛÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ËÝÑÑ Àµ Ò Û Ø ÓÙØ ËÝÑÑ µ Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò ÕÙ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð ¾º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ò Ø Ð ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ò Ý ØÛÓ Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ËÝÑÑ Àµ Ò Û Ø ÓÙØ ËÝÑÑ µ Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò ÕÙ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð ¾º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó ÈÍ Ø Ñ Ò ÓÒ Ù Ý ØÛÓ ÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Û Ø ËÝÑÑ Àµ Ò Û Ø ÓÙØ ËÝÑÑ µ Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò ÕÙ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ì Ð º½ Ê ÙÐØ ÓÖ ÊÙ Ô Ò ³ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð º¾ Ê ÙÐØ ÓÖ ËÔØ ³ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÜÜ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ö³ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ À Ì Ç³ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ö Ø Ð Ò ÀÓÐÐ Ò ³ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð º½ Ä Ø Ó Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð º¾ Ê ÙÐØ ÓÖ ÊÙ Ô Ò Ø Ø Û Ø ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ö Ø Ð Ò ÀÓÐÐ Ò ³ Ø Ø Û Ø ¾¼¾ ÒØ Ø º º º º ½ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ö Ø Ð Ò ÀÓÐÐ Ò ³ Ø Ø Û Ø ÒØ Ø º º º º ¾ Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ê Ò Ðس Ö ÐÐ Ò Ø Ø Û Ø ½¼ ¼ ÒØ Ø º º º º º º º º ¾ Ì Ð º Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ È Ö Ò Ê Ò Ð ³ Ø Ø Û Ø ¾ ¾ ÒØ Ø ÓÖ 2 k 10 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐØ ÓÖ È Ö Ò Ê Ò Ð ³ Ø Ø Û Ø ¾ ¾ ÒØ Ø ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ Ó k º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð º Ê ÙÐØ ÓÖ Ö³ ÁÖ Û Ø ½ ¼ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º Ì Ð º Ì Ð º½¼ Ê ÙÐØ ÓÖ Ø Ð ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ø ¾½ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐØ ÓÖ Ø Ó Ý Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ø Û Ø ¼ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð º½½ Ê ÙÐØ ÓÖ Ø Ì ÐÙ Ù ÁÒ Ò ÚÓÛ Ð ÓÙÒ Ø Ø Û Ø ½ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð º½¾ Ì Ð º½ Ê ÙÐØ ÓÖ Ø ÓÒÖ Ø ÓÑÔÖ Ú ØÖ Ò Ø Ø Ø Û Ø ½¼ ¼ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐØ ÓÖ Ø ÁÑ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ø ¾ ½¼ ÒØ Ø Ò ½ Ñ Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÜÜ Ú ÄÁËÌ Ç Á ÍÊ Ë ÙÖ ½º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ö Ô ÒØÓ Ò ÅËË Ò Ø Ò Ò Ò ¾ ½¼ ÙÖ ¾º½ ÌÛÓ ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÐÓÛ Ý Ø ÓÒ ØÖ Ø Ý º º º º º º ½ ÙÖ ¾º¾ k¹ñ Ò ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÚ Ý Ë Ö Ð Ò ¾¼¼ µ Ò k¹ Ñ Ò ØÙ Ð ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÙÖ º½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ÓÒÚ Ü Ö ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ó Ø Ò º º º º º º ¼ ÙÖ º¾ È Ö ÒØ Ó ÈÍ Ø Ñ Ô ÒØ Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ôѹ ¾ Ò Ü Ó Ø ÈÍ Ø Ñ Ô ÒØ Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ôѹ ½ ÓÖ Ò Ø Ò Ó Ø Ê Ò Ðس ÔÐ Ò Ö Ø Ø Û Ø ½¼ ¼ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º
½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÐÙ Ø Ö Ò ÔØ Ö Ò Ø Ò ÐÝ º ÁØ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ø Ó ÒØ Ø Ò Ù Ø ÐÐ ÐÙ Ø Ö Û Ö ÓÑÓ Ò ÓÙ Ò»ÓÖ Û ÐÐ Ô ¹ Ö Ø º º À ÖØ Ò Â Ò ÅÙÖØÝ Ò ÐÝÒÒ ¾ Å Ö Ò µº ÀÓÑÓ Ò ØÝ Ñ Ò Ø Ø ÒØ Ø Ò Ø Ñ ÐÙ Ø Ö ÑÙ Ø Ñ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÒØ Ø Ò Ö ÒØ ÐÙ Ø Ö ÑÙ Ø Ö ÓÒ ÖÓÑ ÒÓØ Öº ÇÒ Ó Ø ÑÓ Ø Ù ØÝÔ Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Û Ö Ú Ò Ø O = {o 1,o 2,...,o n } Ó n ÒØ Ø Û ÐÓÓ ÓÖ Ô ÖØ Ø ÓÒ P k = {C 1,C 2,...,C k } Ó O ÒØÓ k ÐÙ Ø Ö Ù Ø Ø C j j = 1,...,k C j1 Cj2 = j 1,j 2 = 1,...,k Ò j 1 j 2 Ò k j=1 C j = Oº Å ÒÝ Ö ÒØ Ö Ø Ö Ö Ù Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ØÓ ÜÔÖ ÓÑÓ Ò ØÝ Ò»ÓÖ Ô¹ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö ØÓ ÓÙÒ ÓÖ ÙÖÚ Ýµº ÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ñ Ý Ö ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÔÐ Ø Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ º º Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ð Ö ØÝ ØÛ Ò ØÛÓ ÒØ Ø Ò ØÓ ØÛÓ Ö ÒØ ÐÙ Ø Ö ½ ÓÖ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ñ Ø Ö º º Ø Ð Ö Ø Ñ Ð Ö ØÝ ØÛ Ò Ô Ö Ó ÒØ Ø Ò Ø Ñ ÐÙ Ø Ö ¾ º ÑÓÒ Ø Ö Ø Ö Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ù ÓÒ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÙÑ Ó ÕÙ Ö ÙÐ Ò Ø Ò ÖÓÑ ÒØ ØÝ ØÓ Ø ÒØÖÓ Ó Ø ÐÙ Ø Ö ØÓ Û Ø ÐÓÒ º È ÖØ Ø ÓÒ Ò n ÒØ Ø ÒØÓ k ÐÙ Ø Ö Û Ø Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÒÓÛÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÅËË µº ÓÖ k 2 Ò ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÅËË Ò ÓÐÚ Ò O(n 3 ) Ø Ñ ½½½ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Æȹ Ö Ò Ø ÔÐ Ò ÓÖ Ò Ö Ð Ú ÐÙ Ó k ¼ º ÁÒ Ò Ö Ð Ñ Ò ÓÒ ÅËË Æȹ Ö Ú Ò ÓÖ k = 2 ½ º Á ÓØ k Ò Ñ Ò ÓÒ s Ö Ü Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Ò O(n sk+1 ) Ø Ñ ½ Û Ñ Ý Ú ÖÝ Ø Ñ ¹ÓÒ ÙÑ Ò Ú Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø ÔÐ Ò º
¾ ÅËË Ú Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ µ ÁØ ÜÔÖ ÓØ ÓÑÓ Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÜÔÐ Ò Ò ËÔØ ³ ÓÓ ½½½ Ô ¼ ½ µ Ú Ò Ø ÒÑ ÒØ Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ö ÐÓ Ø Ò Ø Ö ÒØÖÓ Ù ØÓ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÜÔÖ ÓÒ Ì Ö Ø ÖÑ Ò Ý ÑÔÐ ÐÓ ¹ ÓÖÑ µ Ú Ò Ø ÒØÖÓ ÒØ ØÝ Ò ØÓ Ø ÐÓ Ø ÒØÖÓ Ù ØÓ ÐÓ Ð ÓÔØ ¹ Ñ Ð Øݺ Ì Ù Ø Ö ÕÙ Ö Û ÓÑÔ Ö ÓÒ Úµ ÐÙ Ø Ö Ó Ø Ò Ö Ô ÖÓ Ð Ù ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ÙÐ Ò Ø Ò º Ì Ñ Ý Ö Ð ÓÖ ÒÓØ Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö º Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÅËË ÓÐÐÓÛ min x,y n k x ij p i y j 2 i=1 j=1 Ù Ø ØÓ k x ij = 1 i = 1,...,n ½µ j=1 x ij {0,1} i = 1,...,n; j = 1,...,k. Ì n ÒØ Ø {o 1,o 2,...,o n } ØÓ ÐÙ Ø Ö Ö Ø Ú Ò ÔÓ ÒØ p i = (p r i,r = 1,...,s) Ó R s ÓÖ i = 1,...,n k ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö ÑÙ Ø ÐÓ Ø Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÔÓ ÒØ y j R s ÓÖ j = 1,...,k Ø ÒÓÖÑ ÒÓØ Ø ÙÐ Ò Ø Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒº Ì ÓÒ Ú Ö Ð x ij ÜÔÖ Ø ÒÑ ÒØ Ó Ø ÒØ ØÝ o i ØÓ Ø ÐÙ Ø Ö jº Ï ÙÑ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ø n Ö Ø Ö Ø Ò k ÓØ ÖÛ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ú ÐÐÝ ÓÐÚ Ý ÐÓ Ø Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó ÒØ Øݺ Á y Ü Ø ÓÒ Ø ÓÒ x ij {0,1} Ò Ö ÔÐ Ý x ij [0,1] Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ØÝ ÐÓÒ ØÓ Ø ÐÙ Ø Ö Û Ø Ø Ò Ö Ø ÒØ Öº
ÓÖ Ü x Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö ÒØ Ó Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ n x ij (yj r p r i) = 0, j,r, º º yj r = i=1 n x ij p r i, j,r. n x ij i=1 i=1 ¾µ À Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ö ÐÛ Ý Ø Ø ÒØÖÓ Ó Ø ÐÙ Ø Ö º ÇØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÅËË Ö Ù Ò Ø ÓÓ Ó ËÔØ ½½½ Å Ö Ò Ò ÃÓ Ò º Ë Ú Ö Ð ÙÒ Ö Ô Ô Ö Ú Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÖ ÅËË Ò Ú Ö Ð Ø ÓÙ Ò ÓÒ Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÒÝ ÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø Ò ËØ ÒРݳ Ð ÒØÙÖÝ ÝÒØ ½½ µº Ì Ø ÒÓÛÒ ÙÖ Ø ÓÖ ÅËË k¹ñ Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö ÓÒ Ó k¹ñ Ò ÓÖ Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Û ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ö Ý ËØ Ò Ù Ò ½½¾ µ Û Û ÒØ Ý Ø Á ÓÑÔÙØ Ö ËÓ ØÝ Ø ¾Ò ÑÓ Ø Ò Ù ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÑÑÙÒ ØÝ ½¾ º ÁÒ ÅËË ÓÑ Ø Ñ ÐÐ Ø k¹ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÙÖ Ø ÐØ ÖÒ Ø ÐÝ ÔÔÐ ÔÖÓÔ ÖØ µ Ò µ ÓÚ ÙÒØ Ð ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑ Ö º ÁØ Ò ÓÛÒ Ý À Ò Ò Ò ÅÐ ÒÓÚ Ø Ø Û Ð k¹ñ Ò Ù Ù ÐÐÝ Ú ÓÓ Ö ÙÐØ ÓÖ Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÓÑ Ø Ñ Ö Ø ÐÐÝ Û Ò Ø ÒÙÑ Ö ÒÖ º ÅÓ Ý Ò k¹ñ Ò Ý Ò ÙÑÔ ÑÓÚ Ó ÒØÖÓ ØÓ Ò ÒØ ØÝ ÐÓ Ø ÓÒ Ú ÑÙ ØØ Ö ÙÖ Ø ÐÐ j¹ñ Ò º Ò ÐÐÝ ÓÑ Ò Ò j¹ñ Ò Û Ø Î Ö Ð Æ ÓÖ ÓÓ Ë Ö ÎÆ˵ ÙÖ Ø Ú ÙÖ Ø Û Ó Ø Ò ÔÖÓÚ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÒÓÛÒ ÓÒ º ÇØ Ö Ö ÒØ ÙÖ Ø ÓÖ ÅËË ÒÐÙ Ø ÐÓ Ð k¹ñ Ò Ñ Ø Ó Ó Ä ÎÐ Ò Î Ö Ò ÐÝÞ Ò Ò ÑÓ Ý ÖÓÚ ÖÓÚ Ò ÖÛÓÓ ³ ÒÓÒ ÑÓÓØ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÓÓØ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ØÓ Ì ÓÙÐÐ Ò ÃÓ Ò ½½ Ò Ú Ö Ø Ðº ½¾ Å ÖÞ³ Ø Ö Ø ÐÓ Ð Ö È Ó³ ØØ Ö Ö ¾ È Ó Ò Î Ð Ò ³ Ý Ö Ì ÐÐ Ö ³ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ½½ Ä ÞÐÓ Ò ÅÙ Ö ³ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ Ö ØÓÙ³ Ö ØÖ Ø ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ó ½ Ò Ø º º ÙÖ Ø Ó Ò Ð Ø Ò Ì Ó º
Ý Ø Ñ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ØÛ ÐÚ ÙÖ Ø ÓÖ ÅËË Û Ñ Ý ÖÙ Ó Ò ËØ ÒÐ Ý Ò ½ º Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÅËË Ö ÑÙ Ð ÒÙÑ ÖÓÙ Ø Ò ÙÖ Ø º ÌÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛÐ Ø Ö Ö Ð Ø Ò ÓÞ Ò Ô Ô Ö ÔÙ Ð ÓÒ Ø Ø ØÓÔ º ÁÒ ½ Ö Ø Ø Ò ¾ Ôº ½ µ Ø Ø Ê Ö Ö ÑÙ Ø Ô Ò Ñ Ò Ø Ø Ò ÑÓ Ø Ó Ø Ó Ð Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ó ÒÓØ Ù Ø Ý Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ ØÓ ÐÓ Ø ÓÖ Ú Ö Ý Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ º Ì Ø Ø Ñ ÒØ ÓÛ Ú Ö Ó ÒÓØ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ö Ø Ü Ø Ñ Ø Ó Ö ÜØ Ò Ú ÐÝ Ù ÒÓÛ Ý ØÓ ØÙÒ ÓÖ ÓÚ Ö Ô Ø ÐÐ ÓÒ Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ñ Ø Ó Û ÐÐ ØÓ Ö Ú Ò Û ÔÔÖÓ º ÓÑÔÙØ Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ØÐÝ ÑÔÖÓÚ Ò Ø Ð Ø º Å Ø Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÚÓÐÚ ÐÓØ Ò ¼ Ý Ö º ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÔÓ ÒØ Ó Ú Û ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ý Ö Ö Ó ÓÒ Ó ÓÙÖ Ô Ô Ö Å Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ Ø Ø Û ÐÐ ÓÚ Ö ÕÙ Ø Ú Ö ÔÔÖÓ Ø Ø Ò Ù ØÓ Ü ØÐÝ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÖÐÝ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ù ØÓ ÃÓÓÒØÞ Æ Ö Ò Ö Ò Ù ÙÒ ¼ Ò Ö ¾¾ º ÓÙÒ Ô Ò ÓÒ Ø Ò ØÛ Ò ÒØ Ø Ò ØÓ Ø Ñ ÐÙ Ø Ö Ò Ð Ñ Ø ÐÓÓ ¹ ÓÑÔÓÒ Òغ ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÓÖ ÅËË Û ÔÖÓÔÓ Ý Ù Å ÖÐ Ø Ðº Ò ¾ º ÁØ ÓÐÚ ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ñ Ñ ÙÑ Þ Ò Ñ Ö Ò Ø Ò º º Ò Ø Ò Û Ø ½¼¼¹¾¼¼ ÒØ Ø µ ÒÐÙ Ò Ö³ ÁÖ º Ì Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ Ý Ø ÈÅ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ó Ó Ó Ò À ÙÖ Ò Î Ð º Ì ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÐÙÑÒ Û Ø Ò Ø Ú Ö Ù Ó Ø ÜÔÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ¼¹½ Ú Ö Ð º ÁØ ÓÐÚ Ý Ò Ð ¹Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ Û Ö Ð ÓÒ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÙÒÓÒ ØÖ Ò ÕÙ Ö Ø ¼¹½ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ÒÓØ Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÓÒ Ø Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò ØÓ Ò ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒº Ò ÐÐÝ ÎÆË ÙÖ Ø Ö Ù ÓØ Ø Ø ÓÙØ Ø ØÓ Ò ÓÓ Ò Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÒØ Ø Ú ÓÙÒ ÓÒ Ø Ù Ð
Ú Ö Ð Û ÐÐ Ò Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ð Ö Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì ÓØØÐ Ò Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ð Ò Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ Ò Ø ÙÒÓÒ ØÖ Ò ÕÙ Ö Ø ¼¹½ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ö º ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ Ò È Ò ½¾ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ó ÅËË ÓÒ Ú Ò Ø Ö Ð Ü Ð ÓÑ Òº ÁÒ Ø Ö Ô Ô Ö Ø Ý ÔÖÓÔÓ Ò ÔØ Ø ÓÒ Ó ÌÙݳ ½½ ÙØØ Ò ÔÐ Ò Ñ Ø Ó ØÓ ÓÐÚ Øº ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö ÙÐØ Ö Ö ÔÓÖØ ÓÖ Ú Ö ÓÒ Û Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÐØ ÓÖ ÐÓ Ð ÓÒÚ Ö Ò º ËÓÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó ÓÙÖ ÓÛ Ø Ø Ñ ÐÐ Ò Ø Ò Û Ø ÓÙØ ¾ ÒØ Ø Ò ÓÐÚ Ü ØÐÝ Û Ø Ø Ø ÔÔÖÓ º ÅËË Ò Ð Ó ÓÐÚ Ý ÒÓÒ¹ Ö Ð ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÛÒ Ý Â Ò Ò º Ò ÑÔÖÓÚ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ù ØÓ Ú Ò Ç Ò Å ÙÐÑ Ò ½½ ÐÐÓÛ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ò¹ Ø Ò Û Ø ÓÙØ ¾ ÒØ Ø º ÖÙ Ó ½¾ ÔÖÓÔÓ Ö Ô Ø Ø Ú Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÔÖÓ ÙÖ Û Ø Ö ÓÖ Ö Ò Ø ÒØ Ø ÓÐÚ Ý Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ý Ø k + 1 Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø k + 2 Ð Ø ÓÒ Ò Ó ÓÒ ÙÒØ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÐÐ Ú Ò ÒØ Ø ÓÐÚ º Ì ÓÙÒ Ù Ø ÒÝ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÔÖÓ ÙÖ ÓÑÔÖ ØÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ º º Ò Ù Ù Ð ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ò ØÛ Ò ÐÖ Ý Ò ÒØ Ø Ò ÓÔ Ø Ø ÐÓÓ ¹ ÓÒ Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ó ÙÒ Ò ÒØ Ø º Ì ÑÙ ÑÔÖÓÚ ÓÙÒ Ð ØÓ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÑ Û Ðй ÒÓÛÒ Ò Ñ Ö Ò Ø Ò ÒÐÙ Ò Ö³ ½ ¼ ÁÖ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Û Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö Ñ Ðк ÖØ ÐÐÝ Ò Ö Ø Ü ÑÔÐ Û Ø Û Ðй Ô Ö Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÙÔ ØÓ n = 220 ÒØ Ø ÓÙÐ ÓÐÚ Ð Óº Ì Ö Ø Ø Û Ò Ú Ò Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÅËË ØÓ ÓÑÔÙØ ÓÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ö ÓÒ Ð ÑÓÙÒØ Ó Ø Ñ º Ë Ö Ð Ò ½¼ ÔÖÓÔÓ ØÓ Ó Ø Ò Ù ÓÙÒ Ý Ð Ò Ö Þ Ò Ø ÑÓ Ð Ú Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ ÊÄ̵ ½¼ º Ì Ý Ð Ñ ØÓ ÓÐÚ Ò Ø Ò Û Ø ÙÔ ØÓ ½ ¼¼¼ ÒØ Ø Ý Ñ Ò Ó Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñº Ê ÒØÐÝ È Ò Ò ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó ÅËË Ò ÑÓ Ð ÐÐ ¼¹½ Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¼¹½ Ë Èµ Ò Û ÒÚ ÐÙ Ö Ò Öݺ Ì ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ò Ú ÐÙ Ó ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ò ÖÓÑ ÄÈ Ò Ë È Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó Ø ¼¹½ Ë È ÅËË ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº
Ì Ø ÓÒ Ø Ó ÓÙÖ Ñ Ò ÔØ Ö Û Ö Ð Ö ÐÝ Ò Ô Ò Òغ ÔØ Ö ½ Ø ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÅËË ØÓÔ Ò Û Ø Ö Ñ ØÓ Ú Ò ÑÙ ÓÒ Ù ÓÒº Ï ÓÛ Ø Ø Ö ÒØ ÔÖÓÓ ÔÖÓÚ Ý Ö Ò Ø Ðº Ò ¾ Ö Ö Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÅËË Ò Ò Ö Ð ÙÐ Ò Ñ Ò ÓÒ ÒÚ Ð º Ò ÐØ ÖÒ Ø ÓÖØ ÔÖÓÓ Ù ØÓ Ñ Ø Ô Ò Ò ÈÖ Ý ÈÓÔ Ø ÓÙÖ Ó¹ ÙØ ÓÖ ØÓ ÓÖØ ÓÑ Ò Ô Ô Öµ Ø Ò Ú Òº ÔØ Ö ¾ ÓÒ ÖÒ Ò ÜØ Ò Ú ÑÔ Ö Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÊÄ̹ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ½¼ ØÖÝ Ò ØÓ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ñ Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ò Ø Ø Ô Ô Ö Û Ø ÓÙØ Ù º ÁÒ ÔØ Ö Û ØÙ Ý Ø ¼¹½ Ë È ÅËË ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó È Ò Ò º ÇÒ Ø Ó Ø Ö ÛÓÖ Û ÔÖÓÔÓ Ö Ò ¹ Ò ¹ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÙØØ Ò Û Ø Ú ÓÐ Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð Ø º º Ø Ô Ö Ó ÒØ Ø o i o j µ Ò o i o l µ ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ ÐÙ Ø Ö Ø Ò ÒØ Ø o i Ò o l Ð Ó ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ ÐÙ Ø Öº Ì Ö ÙÐØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ò Ñ Ö Ø Ø Û Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ ÓÑÔ Ö Ð Û Ø Ø Ó Ó Ø Ø Ü Ø Ñ Ø Ó ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÓÙÒ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ½¾ ¾ º ÁÒ ÔØ Ö Ø ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ó Ù Å ÖÐ Ø Ðº ¾ Ö Ú Ø Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø ÓÑ ØÖ ¹ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ º Ì Ö ØÐÝ ÑÔÖÓÚ Ø ÒÝ Ó Ø Û ÓÐ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð ØÓ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ò Ø Ò Û Ø ÓÚ Ö ¾ ¼¼ ÒØ Ø º
À ÈÌ Ê ½ ÆȹÀ Ê Æ ËË Ç Í ÄÁ Æ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ½º½ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö Ø Ó ÐÐ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ö Ñ Ö Ø Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ù º ÓÖ Ò Ø Ò ÔÐ Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÐÚ Ð ½ Û Ð Ñ Ø Ö Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Æȹ Ö ½½ ¾ º ÌÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò Ò Ò Ö Ð ÙÐ Ò Ô ÓÖ k 2 Û ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ Ø ÔÖ ÒØ ÛÓÖ º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ö Ð ÒÓÖÖ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ú Ò Ñ ÓÙØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÒÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö Ñ ÒÝ Ó Ø Ñ Û Ø ÓÙØ ÔÖÓÚ Ò Ö Ö Ò ¼ ½ ½¼½ ½½¼ ½¾ ½¾ ËÓÑ ÓÒ Ù ÓÒ Ð Ó Ñ Ò ½ ¾½ ½ ¾ ¼ Ý Ö ÖÖ Ò ØÓ Ô Ô Ö Ó Ö Ý ÂÓ Ò ÓÒ Ò Ï Ø Ò Ù Ò Û ÔÖÓÚ Æȹ Ö Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ü Ø ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ý ØÖ ÔÐ Û ÒÓÛÒ ØÓ ÆȹÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Ì ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÐÐÓÛ º ÓÙÖ ÔÖÓ Ù ÓÒ ÑÔÐ Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X Û Ø ÕÙ ÔÖÓ Ð Ú ÐÙ Ò {1, 2,..., n}º Ì ÒÓ Ö ÕÙ ÒØ Þ Öµ Ñ Ô X ÒØÓ Ú Ö Ð Y Û Ø Ú ÐÙ Ò {1, 2,..., k}º Ì Ó Ö Ñ Ô Y ÒØÓ ÓÒ Ú Ö Ð Z Û Ø Ú ÐÙ Ò {1, 2,..., m}º Á X = i Ò Z = j Ø Ö ÙÐØ Ò ØÓÖØ ÓÒ d ij º ÐÐ ÒØÖ Ò Ø n m Ñ ØÖ Ü [d ij ] Ö Þ ÖÓ ÓÖ ÓÒ º Ì Ó Ð ØÓ Ò Ò ÒÓ Ö ÙÒØ ÓÒ f : X Y Ò Ó Ö ÙÒØ ÓÒ g : Y Z Ù Ø Ø Ø Ú Ö ØÓÖØ ÓÒ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð º 1 n n i=1 d ig(f(i)))
ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö k¹ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º º ½ ÓÖ ÙÖÚ Ýµ Û Ö ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ü ÔÓØ ÒØ Ð ÐÓ Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û ÐÖ Ý ÒÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö ÓÖ k 2 º ÇØ Ö Ö ÙÐØ Ù ØÓ Ö Ö ½½ Ð ØÓ ÙÖØ Ö ÓÒ Ù ÓÒº Ì ÙØ ÓÖ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Æȹ Ö ÓÖ Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÐÙ Ø Ö Ò Ö Ø Ö º ÁÒ Ø Ð Ð ÓÓ ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ö Ý Ò ÂÓ Ò ÓÒ Ø Ô Ô Ö Ö Ö Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ÅË ÄÍËÌ ÊÁÆ ÁÆËÌ Æ Ò Ø Ø X Ø Ò d(x, y) Z 0 + ÓÖ Ô Ö x, y X Ò ØÛÓ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö K Ò Bº ÉÍ ËÌÁÇÆ Á Ø Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó X ÒØÓ Ó ÒØ Ø X 1, X 2,..., X k Ù Ø Ø ÓÖ 1 i k Ò ÐÐ Ô Ö x, y X i d(x, y) B Ê Ö Ò Ö Ö ½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ê ÈÀ ¹ ÇÄÇÊ ÁÄÁÌ º ÓÑÑ ÒØ Ê Ñ Ò ÆȹÓÑÔÐ Ø Ú Ò ÓÖ Ü K = 3 Ò ÐÐ Ø Ò Ò {0, 1}º ËÓÐÚ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÖ K = 2º Î Ö ÒØ Ò Û Û Ø Ø Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ X i Ó max{d(x, y) : x, y X i } ÓÖ Ó x,y X i d(x, y) Ø ÑÓ Ø B Ö Ñ Ð ÖÐÝ ÆȹÓÑÔÐ Ø Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÆȹÓÑÔÐ Ø Ú Ò ÓÖ K = 2µº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ø Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò º Ô Ø Ø Ø Ø Ø ÒÓØ Ò Ñ ÒØ ÓÒ ÓÙØ ÕÙ Ö ÙÐ Ò Ø Ò Ò ½½ Ñ ÒÝ Ô Ô Ö Ø Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ø ÅËË Æȹ Ö ¾ ¾ ½½ ½ ½ º Ì Ô Ô Ö ½½ ½¾¾ Ð Ó Ø Ö Ý Ò ÂÓ Ò ÓÒ³ ÓÓ Û Ø ÓÙØ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ö Ö Ö Ö Ò ÓÖ ÅËË ØÓ Æȹ Ö º Ì ÖÖÓÖ Ñ Ý Ù ØÓ Ø Ô Ö Ö Ô Ø ÓÚ ÓÖ ÔÓ ÐÝ ØÓ ÒÓØ Ö ÓÒ Û Ö Ö ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ËȽ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ Ç ËÉÍ Ê Ë ÁÆËÌ Æ Ò Ø Ø A Þ s(a) Z + ÓÖ a A ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö K A Ò Jº
ÉÍ ËÌÁÇÆ Ò A Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ K Ó ÒØ Ø A 1, A 2,..., A K Ù Ø Ø ( K i=1 a A i s(a) ) 2 J. Ð ÖÐÝ Ø Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒØ ÖÓÑ ÅËË º Ê ÒØÐÝ ÔÖÓÓ Ó Æȹ Ö Ò Ó ÅËË ÓÖ k = 2 Ò Ò Ö Ð Ñ Ò ÓÒ s Û Ú Ò Ý Ö Ò Ø Ðº Ò Å Ò Ä ÖÒ Ò ¾¼¼ º ÓÛÒ Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÓ ÓÛ Ú Ö ÒÚ Ð º Ò ÐØ ÖÒ Ø ÓÖØ ÔÖÓÓ Ù ØÓ º Ô Ò Ò Èº ÈÓÔ Ø ¾¼ Ú Ò Ò Ë Ø ÓÒ ½º º ÆÓØ Ø Ø ÒÓØ Ö ÐÓÒ Ö ÔÖÓÓ Û Ó Ø Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ò ÐÑÓ Ø Ø Ø Ñ Ø Ñ Ý ÙÔØ ½ º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÔÖÓÓ Û ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ø Ó ¾¼ Û Ó Ø Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ò ÑÓÖ Ö ÒØÐÝ Ý Ã Ò Æ Ñ ÓÖ Ö Ò Î Ö Ö Ò º ½º¾ Ò ÒÓÖÖ Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø k¹ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ðº ¾ ÔÖÓÔÓ Æȹ Ö Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ÅËË Û Ø k = 2 Ò Ò Ö Ð Ñ Ò ÓÒ Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ó Ó Ø Ú ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ô ÒØÓ ØÛÓ Õ٠й Þ Ô ÖØ Ó ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ô ÖØ º Ì ÙØ ÓÖ Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÓÖ k > 2 Ñ Ð Ö Ú Ö ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ k¹ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ô Ô Ö Ø Ò ½ ½ Ú Ò ÔÖÓÓ Ø Ø ÅËË Æȹ Ö º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÐÓÛ Ä Ø G = (V, E) Ø Ú Ò Ö Ô Û Ø n Ú ÖØ ½ º º º n Û Ø n Ú Òº Ä Ø d(i) Ø Ö Ó Ø ³Ø Ú ÖØ Üº Ï Û ÐÐ Ñ Ô Ú ÖØ Ü Ó Ø Ö Ô ØÓ ÔÓ ÒØ Û Ø E + V ÓÓÖ Ò Ø º Ì Ö Û ÐÐ ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ Ò ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ Ú ÖØ Üº Ì Ú ØÓÖ X i ÓÖ Ú ÖØ Ü i Ò X i (e) = 1 e ÒØ ØÓ i Ò ¼ e ÒÓØ ÒØ ØÓ i Ò Ø ÓÒ X i (i) = M Ò X i (j) = 0 ÓÖ ÐÐ j iº
½¼ ÙÖ ½º½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò Ö Ô º ÁØ Ò Ò Ø Ü ÑÔÐ Ø Ø ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ Û Ø ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÐÙ Ø Ö Ú Ø Ñ Ó Ø Ú ÐÙ Ö Ö Ò Ø Ð Ø V ÓÓÖ Ò Ø º ÓÖÖ Ø Ò Ò ÖÖÓÖ Ò Ø ÔÖÓÓ ÔÖ ÒØ Ò ¾ Û Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø ÐÛ Ý ØÖÙ ÓÖ ÒÝ ÅËË Ò Ø Ò ÓÒ ØÖÙØ Ý Ø ÔÖÓÔÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÙÖ ½º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ö Ô ÒØÓ Ò ÅËË Ò Ø Ò Ò Ò ¾ Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ø ÒØÓ ØÛÓ ÐÙ Ø Ö P Ò Q Û Ó Ö Ò Ð Ø Ö ÒÓØ Ý p Ò q Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ê Ö Ò Ø Ð Ø V ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø ÒØÖÓ z P,z Q R E + V Û Ú ÓÖ i = 1,..., V z E +i P = M p : i P 0 : ÓØ ÖÛ z Q E +i = M q : i Q 0 : ÓØ ÖÛ Ì Ö ÓÖ Ø ÙÑ Ó ÕÙ Ö Ø Ò Ó ÒØ ØÝ ØÓ Ø ÒØÖÓ Ð Ñ Ø ØÓ Ø Ð Ø V ÓÓÖ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( p M M p + q M M q + p(p 1) 0 M p + q(q 1) 0 M q ( ) ( ) = nm 2 4M 2 + M 2 1 p + 1 q + 2M 2 M 2 1 p + 1 q = (n 2)M 2. ÁÒ Ö Ò Ø Ðº ¾ Ø ÙØ ÓÖ ÓÖ Ø ØÓ Ø ÕÙ Ö Ø Ò Ó Ø ÒÙÐÐ Óѹ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ø ÒØÖÓ Û Ö Ò Ø Ò ÓÐ Ò Ø ÜÔÖ ÓÒº Á Ø Ý Ö ÒÓØ Ø Ò ÒØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö Ð Ñ Ø ØÓ Ø Ð Ø V ÓÓÖ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ nm 2 + M 2 ( 1 p + 1 q ) 4M 2, ) 2
½½ Û Ñ Ò Ñ Þ Û Ò Ú Ö p = q = n/2º Ì Ù M Ñ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ð Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ó Ø ØÖ ØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ÙÒ Ð Ò ÓÒ Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ó Ø Ð Ñ Ø ØÓ Ø Ö Ø E ÓÓÖ Ò Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ º ÁÒ Ø ÓÖ p = q Ø Ð Ø Ú ÐÙ Ñ Ò Ñ Þ Û Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÅËË Ø Ð Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ô Ö Ò Ø Ðº ¾ Ô ½ µº ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ö ÓÖÖ Ø Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ö Ö Ò Ø Ð Ø V ÓÓÖ Ò Ø Ø Ö ÒÓ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ö Ò Ð Ø Ó Ø ÐÙ Ø Ö º Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ð º ½º Ò Û ÔÖÓÓ Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Æ Ú ÖØ Ð Ø Ö Ñ Ð Ö Ú Ð µ Ö ÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Æȹ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½º½º ÅËË Ò Ò Ö Ð Ñ Ò ÓÒ Æȹ Ö ÓÖ k = 2 ÈÖÓÓ º Ì Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ó Ó Ø Ú ØÓ Ñ Ü Ñ Þ ÓÖ Ú Ò Ö Ô G = (V,E) Ø Ö Ø Ó E(P,Q) / P Q ÓÚ Ö ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ (P,Q) Ó Ø Ú ÖØ Ò G Û Ö E(P,Q) ÒÓØ Ø Ø Ó Ø Ùغ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ô Ö Ø ÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô Û Û ÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö Ò ¾ º Ú Ò Ö Ô G Û Ø ÒÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ø Ù Ò V Ý E Ñ ØÖ Ü M ÓÐÐÓÛ º Ò ÒØÖÝ (v,e) Ò M ÕÙ Ð ØÓ ¼ e E ÒÓØ Ò ÒØ ØÓ Ú ÖØ Ü v V º ÇØ ÖÛ Ø +1 ÓÖ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ó e Ò 1 ÓÖ Ø ÓØ Öº ÁØ Ó ÒÓØ Ñ ØØ Ö Û Ò ÔÓ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ½ Ò Û ØÓ ¹½º Ì Ù ÓÐÙÑÒ Ó M Ü ØÐÝ ÓÒ ÒØÖÝ ÕÙ Ð ØÓ +1 Ò Ü ØÐÝ ÓÒ ÒØÖÝ ÕÙ Ð ØÓ 1º ÆÓÛ Ð Ø Ù ÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÖÓÛ Ó M Ö ÔÓ ÒØ Ò R E Ò ÓÑÔÙØ Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÅËË Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ ØÛÓ ÐÙ Ø Ö P Ò Q Û Ø P = p Q = q Ò p+q = nº Ì ÒØÖÓ Ó ÐÙ Ø Ö P Ò Ø e¹ø ÓÓÖ Ò Ø Ú ÐÙ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö +1/p ÓÖ 1/p e E(P,Q) ÓÖ ¼ ÓØ ÖÛ º Ì Ñ ÓÐ ÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø ÒØÖÓ
½¾ Ó ÐÙ Ø Ö Qº Ì Ò Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø ØÓØ Ð Ó Ø Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Û Ú Ø Ø Ó Ø Ó P Ù ØÓ Ø e¹ø ÓÓÖ Ò Ø + Ó Ø Ó Q Ù ØÓ Ø e¹ø ÓÓÖ Ò Ø e E = = e E(P,Q) ( 2 1 p 1 q (p 1) 1 ( p 2 + 1 1 ) 2 + (q 1) 1 p q 2 + ) E(P,Q) + 2 E(P,P) + 2 E(Q,Q) = 2 E n p q E(P,Q), Ý Ù Ò p + q = nº ( 1 1 ) 2 + 2 q e/ E(P,Q) Ì ÅËË ÓÖ k = 2 Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÚ Û Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ E(P,Q) /p q Ò Ò Ò Ø Ò Ø ÙØ Ò Ø Ú Ò Ö Ô Gº
½ À ÈÌ Ê ¾ Î ÄÍ ÌÁÆ Ê Æ À¹ Æ ¹ ÇÍÆ ÊÄ̹ Ë Ä ÇÊÁÌÀÅ ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ Ê ÒØÐÝ Ë Ö Ð Ò ½¼ ÔÖÓÔÓ Ò Ü Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÊÄ̹ й ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÑ¹Ó ¹ ÕÙ Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ó Ø Ò Û Ø Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ ÊÄ̵ ½¼ º Ì ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ð Ö Ò Ø Ò Û Ø ÙÔ ØÓ ½¼¼¼ ÔÓ ÒØ Ò Ñ Ò ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÑ Ø Ð Ò Ø Ø Ô Ô Ö ÖÚ ÙÖØ Ö ÒÚ Ø Ø ÓÒº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÔÓÖØ Ú ÐÙ Ó Ø Ö Ø Ó Ô ØÛ Ò Ø ÐÓÛ Ö Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ò Ý Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Û Ø Ø ÊÄÌ ÑÓ Ð Ò Ý ÙÖ Ø Ö Ô Ø Ú Ðݵ ÔÔ Ö ØÓ Ð Ö Û Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÓ Ò Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ØÖ Ö ØÖ Ò ÐÝ ÑÓ Ö Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÙØ ÓÖ ÓÐÚ Ñ ÐÐ Ü ÑÔÐ ÓÖ Û Ø Û ÐÐ Ø Ð k¹ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö ÙÐØ Û Ø Ú ÐÙ ØÛ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ý Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñº ¾º½ Ê ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¹Ä Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ì Ò ÕÙ ÓÖ Ø ÅËË Ì ÊÄÌ Ñ Ø Ó Ò Ù ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Þ ÖÓ¹ÓÒ Ñ Ü ¹ ÒØ Ö ÕÙ Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÒØÓ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Þ ÖÓ¹ÓÒ Ñ Ü ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø ÔÔÖÓ Ø Ø Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Û Ø Ò ÓÙØ Ö¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÒÚ Ü ÒÚ ÐÓÔ Ó Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ö ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ò Ö Ø Ò Ò Û ÓÒ ØÖ ÒØ Ø ÖÓÙ Ø ÔÖÓ Ó ÑÔÐÓÝ Ò Ù Ø Ð ÔÖÓ ÙØ Ó ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ò Ø ÓÒ º Ì ÊÄÌ Ø Ò ÕÙ ÔÔÐ ØÓ Ø ÅËË ØÓ Ø Ö Û Ø ÓØ Ö Ú Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ò ½¼ Û ÐÐ Ò ÜØ Ö ÐÐ º
½ Ö Ø Ó ÐÐ Û Ö Ñ Ö Ø Ø Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ó ½µ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø º ÖÓÑ Ø ÃÃÌ ÓÒ Ø ÓÒ ÜÔÖ Ò ¾µ Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò = = n k s x ij (yj r pr i )2 i=1 j=1 r=1 n k s n k s x ij (yj r pr i )yr j x ij (yj r pr i )pr i i=1 j=1 r=1 i=1 j=1 r=1 n k s n k s x ij (p r i) 2 p r ix ij yj. r i=1 j=1 r=1 i=1 j=1 r=1 Ë Ò n k s i=1 j=1 r=1 x ij(p r i )2 = n s i=1 r=1 (pr i )2 ÓÒ Ø ÒØ Ø ÅËË ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ ØÓ max x,y n k s p r ix ij yj r i=1 j=1 r=1 Ù Ø ØÓ n x ij (yj r p r i) = 0 j = 1,...,k, r = 1,...,s ¾º½µ i=1 k x ij = 1, i = 1,...,n j=1 x ij {0,1} i = 1,...,n, j = 1,...,k. ÖÓÑ ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ Û ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ú Ò ÓÐÙØ ÓÒ x y j ÓÒÚ Ü ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ÕÙ Ð Û Ø µ Ó ÐÐ Ø ÔÓ ÒØ p i Ù Ø Ø x ij = 1º Ì Ö ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø Ø Ò Ø Ø y j, j = 1,...,k ÑÙ Ø Ò Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó ÐÐ Ø ÔÓ ÒØ p i Ø Ø Ò Ó Ø ØÓ ÐÙ Ø Ö j ÒÓØ I j º ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÐÙÐ Ø Ò O(n log n) Ý Ö Ñ³ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø Ò Ö ÐÐÝ Ò ÜÔ Ò Ú Ø º ÁÒ ½¼ Ø ÙØ ÓÖ Ù Ò Ø ÝÔ ÖÖ Ø Ò Ð H(I j ) Ø Ø ÒÐÙ Ø ÓÒÚ Ü
½ ÙÐÐ Ó Ø ÐÐÓÛ ÔÓ ÒØ I j ÓÖ j = 1,...,kº H(I j ) = {y j : α r j yr j βr j,r = 1,...,s}, Û Ö α r j = min{pr i : i I j} Ò βj r = max{pr i : i I j} r = 1,...,sº ÁÒ Ø Ó ÑÔÐÝ ÑÔÓ Ò Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ó Ø Ñ Û Ø ÓØ x ij Ò (1 x ij ) i I j ÓÒ Ö ÓÖ j = 1,...,k ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÊÄÌ Ñ Ø Ó º Ì Ö ÙÐØ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ö α r j x ij y r j x ij β r j x ij i I j j,r, α r j (1 x ij) y r j (1 x ij) β r j (1 x ij) i I j j,r. Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø ÐÐ ÒÐÙ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø Ø Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ÓÖ¹ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ðº Ë Ò n > k Û Ú Ø Ø 1 n x ij (n k + 1), j = 1,...,k. i=1 Ì Ý ÖØ Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÑÙ Ø Ò ØÓ ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ö ÓÖ ÐÙ Ø Ö ÓÒØ Ò Ø ÑÓ Ø n k + 1 ÔÓ ÒØ Ò ØÓ Øº Ì Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ð ØÓ n yj r x ij yj r (n k + 1)yj r j,r. i=1 ÐØ ÓÙ ÒÓØ Ñ ÒØ ÓÒ Ò ½¼ Ø Ð Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ö Ú Ð ÓÒÐÝ yj r 0 j,rº Ì Ù Ø Ø Ø Ù Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÑÙ Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ ØÖ Ò Ð Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ º ¾º½º½ Ð Ò Û Ø ÝÑÑ ØÖÝ ËÝÑÑ ØÖÝ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÙØÙÖ Ò Ñ ÙÐØ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÔÔÖÓ º ÓÖ ÒÝ Ú Ò ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅËË ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÐ Ó Ø Ò Ý ÑÔÐÝ Ö ¹ Ò Ü Ò ÐÙ Ø Ö º Ì Ñ ØØ Ö Û ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ØÙ
½ Ý ÃÐ Ò Ò ÖÓÒ ÓÒ Ò Û Ö Ø Ý ÔÖÓÔÓ Ø Ù Ó ÓÑ Ú Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö Ù Ø Ø Ó ÝÑÑ ØÖݺ ÁÒ ½¼ Ë Ö Ð Ò ÔÖÓÔÓ ØÛÓ Ö ÒØ ØÖ Ø ØÓ Ø Ø ÔÙÖÔÓ Ø ÓÙ Ö Ó Ò Þ Ò Ø Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÙØÙÖ ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ð Ñ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Ö Ø ØÖ Ø Ý ÑÔÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ x 11 = 1,x 1j = 0, j = 2,...,k n x ij n x i,j+1, j = 2,...,k 1. i=1 i=1 ÁØ Ñ Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ p 1 Ò ØÓ Ø Ö Ø ÐÙ Ø Öº Ê Ö Ò Ø ÓØ Ö ÐÙ Ø Ö Ò¹ Ü Ò Ö ÕÙ Ö ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÒÓÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ö Ó Ø Ö Þ º ÀÓÛ Ú Ö ÝÑÑ ØÖÝ Ø ÐÐ ÓÙÖ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ö ÒØ ÐÙ Ø Ö Û Ø Ø Ñ Þ º ÁÒ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ý Ô Ö Ø Ó ÔÓ ÒØ P = {p i1,p i2,...,p ik 1 } Ù ÐØ ÖÓÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ ØÓ ÐÙ Ø Ö º Ö Ø ÔÓ ÒØ p i1 Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Ò Ò Ò ÖØ Ò P º Ì Ò ÑÓÒ Ø ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ó P Û Ð Ø ÔÓ ÒØ p i2 Û Ó Ø Ò ØÓ p i1 Ñ Ü ÑÙѺ Ø Ö Ø Ø Ò Û ÔÓ ÒØ ØÓ ÒÐÙ Ò P Ð Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ò ØÓ ÔÓ ÒØ Ò P Ñ Ü ÑÙÑ ÑÓÒ Ø Ó ÐÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó P º Ì Ò ÔÓ ÒØ p ih h = 1,...,k 1 Ò P Ö ØÖ Ø ØÓ ÐÓÒ ØÓ ÓÒ Ó Ø Ö Ø h < kµ ÐÙ Ø Ö º Ë Ò Ø ÔÓ ÒØ Ò P Ö Ô Ö Ø Ö ÓÓ Ò Ø Ø Ø Ý ØÙ ÐÐÝ ÐÓÒ ØÓ Ö ÒØ ÐÙ Ø Ö º ÓÖ Ø Ò Ø Ò Û Ö Ø ÔÔ Ò Ø ØÖ Ø Ý ØÙ ÐÐÝ Ð Ñ Ò Ø ÝÑÑ ØÖݺ ÀÓÛ Ú Ö ÙÖ ¾º½ ÓÛ ÑÔÐ ÓÖ Û Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ò º ÁÒ ÓÙÐ ÓØ ÔÓ ÒØ ½ Ò ¾ Ò ØÓ ÐÙ Ø Ö ½ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ ÐÐÓÛ ÔÓ ÒØ ØÓ ÐÓÒ ØÓ ÐÙ Ø Ö ¾ ÓÖ ØÓ ÐÙ Ø Ö º Ö ÔÓÖØ Ò ½¼ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ý ÔÖ ÖÖ ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ù Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØØ Ö Ò Ø Ð Ô Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÖ ÕÙ Ðݺ
½ cluster 1 cluster 2 cluster 3 cluster 4 1 2 3 cluster 1 cluster 2 cluster 3 cluster 4 1 2 3 ÙÖ ¾º½ ÌÛÓ ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÐÓÛ Ý Ø ÓÒ ØÖ Ø Ý Ì Ò Ð ÅÁÈ ÑÓ Ð Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ö Þ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ x ij y r j Ý zr ij i,j,r ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÊÄÌ ÔÔÖÓ º Ì ÑÓ Ð Ú Ò Ò ½¼ max x,y,z s i I j j J i r=1 p r i zr ij Ù Ø ØÓ zij r p r ix ij = 0 i I j i I j j,r α r jx ij zij r βj r x ij i I j j,r α r j (1 x ij) yj r zr ij βr j (1 x ij) i I j j,r x ij = 1 i j J i x ij 1 j i I j y r j i I j z r ij (n k + 1)y r j j,k ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ØÖ Ø Ý ½ ÓÖ ¾ x X Û Ö
½ X = {x Ò ÖÝ : x ij = 0 ÓÖ ÐÐ (i,j) I,x ij = 1 ÓÖ ÐÐ (i,j) I + } Û Ø I + = {(i,j) : x ij Ò Ü Ø ½} I = {(i,j) : x ij Ò Ü Ø ¼} Ò I f = {(i,j) : x ij Ö }º À Ò Ø Ø I j ÓÖ j = 1,...,k Ö Ú Ò Ý I j = {i {1,...,n} : (i,j) I + I f }. ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ i {1,...,n} Û Ò J i {j {1,...,k} : (i,j) I + I f }. Ì ÊÄÌ ÑÓ Ð Ú Ð Ò ÓÖ ÒÝ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÊÄÌ ÑÓ Ð Û Ú Ø Ø zij r = x ijyj r ÓÐ ØÖÙ º À Ò Ø ÊÄÌ ÑÓ Ð Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ò Ö ¼¹½ Ñ Ü ÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÅÁȵ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÅËË ½¼ º ¾º¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÓÖ Ø ÅËË Ï Ò Ú ÐÓÔ Ò Ø Ò Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ñ Ø Ó ½¾ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÒØ Ð ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ò Ý Ñ Ò Ó Ù Ù ÐÐݵ Ð Ò Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ò Ò ÖÙÐ º ÓÖ Ò ÐÝ ØÓ Ø ÊÄÌ Ø ÓÖÝ Ø Ö ÙÐØ ÒØ ÑÓ Ð ÙÔÔÓ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ º ÓÖ Ø ÅËË ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ö ÓÑÔÙØ Ý Ù Ò Ø ÄÈ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó Ø ÅÁÈ ÑÓ Ð Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÙÖÖ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø I j Ò J i ÓÖ i = 1,...,n Ò j = 1,...,k Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÓ Ó Ø ØÖ º ÄÓÛ Ö ÓÙÒ x ÓÒ Ú Ö Ð x Ò Ó Ø Ò Ý ÖÓÙÒ Ò ÙÖ Ø ÔÔÐ ØÓ Ø ÄÈ ÓÐÙØ ÓÒº Ì ÙÖ Ø ÖÓÙÒ Ø Ö Ð Ü ÓÐÙØ ÓÒ x ØÓ Ø Ò Ö Ø Ò ÖÝ ÓÒ Ù Ø ØÓ j J i x ij = 1, i = 1,...,nº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÔÔÓ Ø Ø Û Ú ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø n = 3 Ò k = 2 ÓÖ Û x 11 = 0.4 x 12 = 0.6 x 21 = 0.2 x 22 = 0.8 x 31 = 1 Ò x 32 = 0º Ì Ò Ø ÙÖ Ø Û ÐÐ ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ x 11 = 0 x 12 = 1 x 21 = 0 x 22 = 1 x 31 = 1 Ò x 32 = 0º Á Ø ÓÐÙØ ÓÒ x ÐÖ Ý Ò ÖÝ Ø ÄÈ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñº
½ Ì ÄÈ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÓ Ò Ð Ó Ù ØÓ Ò Ö Ø Ú Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ ÒÚÓÐÚ Ò Ø ÒÙÑ ÒØ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ì ÓÒ Ý Ù Ò Ø Ù Ð Ú ÐÙ Ó Ø ÄÈ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÖÖÓ Ø Ò ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò x¹ú Ö Ð Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ 0 x ij 1 (i,j)º Ì Ò Ø Ò Ö ¼¹½ ÐÓ Ð Ø Ø Ö Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ØÓ ÔÓ ÐÝ Ü Ø ÓÒ Ð x¹ú Ö Ð º ÜÔÐÓ Ø Ò Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ò Ö ÒØ Ò Ö Ð Þ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò Í µ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø ÙØ ÓÖ Ó ½¼ ÜÔÐÓÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø ËÇ˵ Ö Ò Ò ØÖ Ø Ýº ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ θ ij Ò Ø ØÓØ Ð ÓÐÙØ Ö Ô ÒÝ Ò Ø Ð Ò Ö Þ Ó Ø Ú Ø ÖÑ zij r µ Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓÒÐ Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ø ÖÑ x ij y r j µº Ì ÜÔÖ θ ij = s p r i(zij r x ij y r j). r=1 Ì Ò Ú ÐÙ θ i j J i θ ij Ö Ò ÓÖ i = 1,...,n ÓÑÔÙØ Ò u Ö Ñ Ü{θ i }º Ì Ö Ò Ò ÖÙÐ ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ø J u ÒØÓ ØÛÓ Ð Ö Ò ÒÓÒ ÑÔØÝ Ø J u1 Ò J u2 ÓÐÐÓÛ º ÌÛÓ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÖ Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ØÖ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ö Ô Ø Ú ÑÔÓ Ö Ò Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ j J u1 x ij = 1 Ò j J u2 x ij = 1º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ J u1 Ò J u2 Ø Ú ÐÙ θ uj Û Ø j J u Ö ÓÖØ Ò ÒÓÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ö {θ uj1,θ uj2,...,θ ujl } Û Ö l = J u 2º Ì Ò Ú ÐÙ γ 1 Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÒØ Ö Ù Ø Ø γ c=1 θ uj c θ u /2º Ò ÐÐÝ J u1 = {j 1,...,j γ } Ò J u2 = {j γ+1,...,j l }º Ò ÐÐÝ ÓÖ Ó Ø Ð Ö Ò ÒÓ Ø Ø I + I Ò I f Ö ÙÔ Ø Ò Ò Û ÓÒÚ Ü ÙÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÖ ÐÙ Ø Ö Ö Ù ØÓ ØÖ Ò Ø Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº Ì Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Ò ½¼ ÓÔØ ÔØ ¹ Ö Ø ØÖ Ø Ý ØÓ Ú ÐÓÔ Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ØÖ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ò Ø ÓÑÑ Ö¹ Ð Ó ØÛ Ö ÈÄ º½º¼ Û ÒÚÓ ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Ó ÓÐÚ Ò Ø ÄÈ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø ÒÓ º Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø Ô Ö ÒØ ÒÓ Û Ö Ù Ò Ú Ò ¹ Ø ÖØ ÓÖ Ø Ð Ö Ò ÒÓ º
¾¼ ¾º Ò ØØ ÑÔØ Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐØ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú Ö Ý Ò Ú Ð Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÔÓÖØ Ò ½¼ Ú Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û ÓÐÐÓÛ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ø Ô Ö Ò Ø Ø Ô Ô Öº Ü ÔØ ÓÖ Ø ÔÐ Ø ÓÖÑ Ù È ÒØ ÙÑ ÁÎ ¾ ÀÞ Û Ø ½¾ Å Ê Å ÙÒ Ö Ä ÒÙÜ Ò ÓÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÙÔÔÓ ØÓ ÕÙ Ú Ð Òغ ÇÙÖ Ó Û Ö ÓÑÔ Ð Û Ø ÓÔØ ÓÒ ¹Ç µ Ú Ö ÓÒ º º Ò Ö Ú Ð Ð Ø ØØÔ»»ÛÛÛº Ö º» ÐÓ»ÔÙ Ð Ø ÓÒ º ØÑк ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÔÓÖØ Ò Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ØÖ Ø Ý ÔÖ ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ Ù Ò Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÊÄ̹ ÅÁÈ ÑÓ Ðº Ï Ø ÖØ Ý Ø ØÙ Ý Ó Ñ ÐÐ ÐÐÙ ØÖ Ø Ú Ü ÑÔÐ Û Ø Ø Ö ÐÙ Ø Ö Ù Ò Ø Ö ÖÖ Ô Ô Öº Ì Ð ¾º½ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Û Ù Ø Ó ¾¾ ÔÓ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÓÓÖ Ò Ø Ó ÖÑ Ò ØÓÛÒ Ú Ò Ò ½½½ µ Û Ö Ø ÔÓ ÒØ p 1,...,p 10 Ö Ú Ò Ý Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÐ Ò Ô º Ì Ð ¾º½ ÓÓÖ Ò Ø Ó ½¼ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÙÐ Ò Ô ÓÓÖ Ò Ø p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10 Ü ¹ ¹ ¹¾¾ ¹ ¾½ Ý ¾ ¹ ½½½ ¾ ¹ ½¾ ¹ ½ Ì ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ø Ø ¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÓ Û Ö Ö Ø ÓÖ Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÓÙÐ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ø ÓÔØ Ñ Ð Øݺ Ì Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ó Û UB 0 /LB 0 = 1.9236º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ý ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ö Òغ ÌÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÖ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÕÙ Ö 848 ÒÓ ÒÒ Ò Û Ø Ò Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ó Ó 1.23º Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÙØ ÓÖ ÑÙ Ø Ú Ò Ø Ø Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ú Ð Ø Ø Ö ÑÓ Ð Ø ÓÙ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÒÓØ Ö Ò Ø Ô Ô Öº Ï Ô Ö ÓÖÑ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ø º ÒÓØ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ø Ý Ë Ö Ð ½¼ Û ÓÙÐ Ð Ö Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÛÓÙÐ ØÓ ÖÓØ Ø Ø Ü Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ø ÚÓÐÙÑ ÝÔ ÖÖ Ø Ò Ð º ÓÑÔ Ö Ò Û Ø k¹ñ Ò Ø ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ø Ø Ø Ö Ø Ó ØÛ Ò Ø Ø ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ý Ú Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÖ Ø ÖÓÑ Ö Ò ÓÑÐÝ Ò Ö Ø Ò Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ
¾½ ¼ º µ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ý Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ½ ¼ º¾ µ ¾º½ º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÙÐ Ø Ò Ø Ñ Ö Ø Ó Û Ø Ø Ö Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ LB 0 ¾¾ º µ ÓÙÒ Ø Ø ÖÓÓØ ÒÓ Ò Ø Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÐÙ Ó 1.86 Ó Ø Ò º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö ÖÖ ÓÙØ Û Ø Ø Ò Ö k¹ñ Ò ÙÖ Ø ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ ÒÝ Ò Ò ØÙÖ º Ú Ö ÒØ Ü ÙØ ÓÒ Û Ö Ô Ö ÓÖÑ ½¼¼ Ø Ñ º Ì ÛÓÖ Ø Ó Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ý ÖÓÙÔ Ó Ú Ü ÙØ ÓÒ ÒÓØ Ö Z k means Û ÓÙÒ ØÓ 20743.133 ÔÖÓÚ Ò Ö Ø Ó Ó 1.312 ØÛ Ò Ø Z k means Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ö Ø Ó 0.925 < 1 Û Ø Ö Ô Ø ØÓ LB 0 Û Ð Ö Ö Ò Ø Ö Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú ÐÙ LB 0 Ó Ø Ò Ý ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ñ Ö Ø Ó ÕÙ Ð ØÓ 0.598º ÁÒ Ø Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÛÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÓÖ Ø ¼¼ Ü ÙØ ÓÒ Ó k¹ñ Ò Û 32611.6 Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Û ÓÙÒ Ø Ñ 13%µ Ò Ø Ú Ö Ú ÐÙ Û 19083.444º Ì Ð ¾º¾ ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø Ó ÓÖ ØÛÓ Ò Ñ Ö Ø Ø ÜØÖ Ø ÖÓÑ ½½½ Û ÓÒØ Ò ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ ¾¾ Ò ÖÑ Ò ØÓÛÒ Ò ÓÖ Ø Ð Ð Ö³ ÁÖ Û Ø ½ ¼ ÔÓ ÒØ Ò ÓÙÖ Ñ Ò ÓÒ º Ï Ò ÒÓØ Ø Ø k¹ñ Ò ÐÛ Ý Ó Ø Ò ØØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ý ÓÙÖ ÊÄ̹ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº Ì Ð ¾º¾ Ê Ð Ø Ú Ö ÙÐØ Ó ÓÙÖ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ö Ù Ø k¹ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ñ Ö Ø Ø Û Ø Ø Ö Ò Ú ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º Ê ÙÐØ Ö ¹ ÔÓÖØ Ò ½¼ Ö Ö Ò Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÒ Ú Ü ÙØ ÓÒ Ó k¹ñ Ò Ö ÓÛÒ Ò Ô Ö ÒØ Ø Ø ÈÓ ÒØ k Z k means»óôø Ñ Ð Z k means /LB 0 ÖÑ Ò¾¾ ¾¾ ½º¼ º ½µ ¼º ¾¾ ½º ¾ ½º ¼µ ¼º¾ ÖÑ Ò ½º½ º µ ¼º ½º¾ º µ ¼º¾ Ö½ ¼ ½ ¼ ½º¼¼ ¼º ¼ ½ ¼ ½º¾ ¼º½ ÙÖØ Ö ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ð Ó Ö Ú Ð Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÚ Ò Ø Ô Ô Ö º º Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ý k¹ñ Ò ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ü ÑÔÐ Û Ø ½¼ ÔÓ ÒØ Ô ¾ Ó ½¼ µ ÒÓØ ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙѺ ÙÖ ¾º¾ ÔÖ ÒØ Û Ø Ð Ò Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ý Ø ÙØ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÚ Ý Ø k¹ñ Ò ÙÖ Ø Û Ð ÓÐ Ð Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ØÙ Ð ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ º