TD 02 Fltrage et Électronque numérque Fltres lnéares 1. Spectre et forme du sgnal Un expérmentateur a effectué le spectre de ces 6 sgnaux temporels de pérode de 1 ms : On obtent en sorte des fltres (1), (2) et (3) un sgnal s(t) dont les spectres en ampltude sont donnés dans les fgures suvantes : 1. Quel est (ou quels sont) le(s) fltre(s) lnéare(s)? 2. Caractérsez les fltres lnéares, et donnez un ordre de grandeur de leur fréquence de coupure Les dfférents spectres obtenus sont portés sur les fgures suvantes : 3. Influence de l ordre du fltre On veut comparer le fltrage par deux fltres passe-bas de même pulsaton de coupure ω c = 628 rad s 1 et de fonctons de transfert : H 1 (jω) = 5 1+j ω et H 2 (jω) = ω c 5 1+j 2 ω ω c ω2 ω 2 c. 1. Vérfer que ω c est ben la pulsaton de coupure à 3 db de chacun des deux fltres. Attrbuez chaque spectre à chaque sgnal, en argumentant, ben entendu. 2. Lnéarté et caractérstque d un fltre On envoe en entrée de dfférents fltres le sgnal e(t) dont le spectre en ampltude est représenté sur la fgure suvante. On note x = f/f 0 avec f 0 = 1 khz 2. Donner les expresson approchées pour ω ω c des deux fonctons de transfert. Quelles sont les pentes des asymptotes correspondantes sur la courbe d ampltude du dagramme de Bode? 3. Le sgnal d entrée est e(t) = E 0 (1 + cos(2πf s t)), avec E 0 = 2 V et f s = 300 Hz. Exprmer le sgnal de sorte pour les deux fltres. Quel est le melleur moyenneur? TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 1
4. Fltrage par un passe-bande On règle un générateur de basse fréquences pour qu l délvre un sgnal "rampe" de pérode T = 1 ms tel que : e(t) = 2E 0t T s pour T s 2 t T s 2, avec E 0 = 5 V. On donne la décomposton en sére de Fourer de ce sgnal : ( 1) n+1 e(t) = E 0 sn(nω s t) avec nπ n=1 ω s = 2π T s. 1. Explquer l absence de terme constant dans cette expresson et commenter le fat que l ampltude des composantes snusoïdales sot proportonnelle à 1 n. 2. On envoe e(t) dans un fltre de foncton de transfert avec Q = 10 et ω r varable. H(jω) = j ω Qω r 1+j ω, ω2 Qω r ωr 2 Donner une approxmaton du sgnal de sorte dans les tros cas : (a) ω r = 6,28.10 3 rad s 1, (b) ω r = 3,14.10 4 rad s 1, (c) ω r = 6,28.10 2 rad s 1. Indcaton : Dans un des cas, on peut utlser un comportement ntégrateur ou dérvateur. 5. Modulaton d ampltude 1. Montrer que le sgnal modulé peut se mettre sous la forme : v p (t) = V p [1+mcos(ω m t)]cos(ω p t), où m est l ndce de modulaton, que l on précsera. 2. Afn de mesurer l ndce de modulaton du sgnal porteur, on réalse les deux oscllogrammes représentés c-après. Quels sont les modes de l osclloscope utlsés pour la réalsaton de chacun de ces oscllogrammes? Exprmer l ndce de modulaton en foncton des tensons extrêmes V 1 = 2 V et V 2 = 18 V, et le calculer numérquement. 3. Détermner le spectre de fréquences du sgnal modulé v(t) et le représenter. En dédure, pour ce type de modulaton, la largeur du spectre de fréquence nécessare à la transmsson d un sgnal snusoïdal de fréquence f m. 4. Plus généralement, le sgnal de modulaton occupe une plage de fréquences [f m1,f m2 ]. Un sgnal, que nous supposons d abord snusoïdal v m (t) = V m cosω m t, module la porteuse v p (t) = V p cosω p t fourne par un oscllateur snusoïdal haute fréquence dont la fréquence d oscllaton f p = ω p 2π, avec f p f m = ω m 2π, est partculèrement stable. La modulaton s effectue à l are d un crcut comprenant un multpleur de constante multplcatve k et un addtonneur. TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 2
Représenter le spectre de fréquences du sgnal modulé. En radodffuson f m1 = 300 Hz et f m1 = 4,5 khz, quelle est la largeur de la plage de fréquences occupée par le sgnal modulé? Quel écart mnmal de fréquence f mn dot-l exster entre les fréquences des porteuses des deux émetteurs pour que leurs émssons ne soent pas mutuellement broullées? Tratement du sgnal numérque 6. Extrat d une notce On peut lre sur la notce d utlsaton de l osclloscope numérque TDS1002 : S vous tournez le bouton SEC/DIV afn de sélectonner un réglage plus rapde (mons de cycles), le spectre FFT affche une plage de fréquences plus étendue et lmte les possbltés d un replement du spectre. Cependant, l osclloscope affche également une résoluton de fréquence nféreure. Interpréter et commenter cet extrat. 7. Convertsseur analogque/numérque parallèle 3 bts Une tenson analogque e pouvant varer de 0 à 7 V est converte en sgnal numérque sur 3 bts a 2 a 1 a 0. Pour cela on réalse le CAN parallèle (ou flash) 3 bts représenté dans la fgure suvante. 7 amplfcateurs lnéares ntégrés (notés ALI ou AO) sont placés en parallèle. On note V + la tenson à chaque entrée (+), V la tenson à chaque entrée ( ) etv s, la tenson de sorte de chaque ALI. Aucun courant ne peut entrer dans les bornes (+) ou (-) des ALI (mpédances d entrée nfnes). Les ALI se comportent c comme des comparateurs smples : sv + > V alorsv s, = +V sat = +15 V sv + < V alorsv s, = V sat = 15 V La tenson analogque e à convertr est envoyée sur les bornes V + des 7 ALI. Un réseau de résstances montées en sére est almenté par une tenson de référence E ref = 8 V. 1. Consdérons l ALI 1. Que vaut la tenson d entrée V 1 +? Que vaut la tenson d entrée V1? En dédure la tenson de sorte V s,1de l ALI 1 en foncton de la valeur de e. 2. Mêmes questons pour les ALI 2 à 7 : exprmer le seul de basculement (valeurs de e fasant basculer la tenson de sorte d une valeur à une autre) pour chaque ALI. Décrre le comportement des sortes des ALI s l on augmente progressvement la tenson e de 0 V à 7 V. 3. En dédure l état de sorte des dfférents ALI pour les dfférentes valeurs de e reportées dans la deuxème lgne du tableau c-dessous. On notera 1 s V s = +V sat et 0 s V s = V sat, et dans l ordre ALI7-ALI6-ALI5-ALI4-ALI3- ALI2-ALI1. 4. Le code obtenu est-l le code bnare correspondant à la converson en base 2 de la tenson analogque d entrée? Justfer l utlsaton d un décodeur logque. De quo est consttué un tel décodeur numérque? Compléter alors la 3ème lgne du tableau, donnant le code bnare souhaté en sorte du décodeur numérque. TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 3
e( V) 0 1 2 3 4 5 6 7 sorte des ALI 0000000 0000001 Code 3 bts a 2 a 1 a 0 000 001 5. La quantfcaton du sgnal sonore en vue d un enregstrement sur un CD audo s effectue sur 16 bts. À comben de nveaux analogques dfférents cela correspond-l? Comben d ALI nécessterat un CAN parallèle 16 bts? Commenter. 8. Le CD audo Nous cherchons à enregstrer un concert sur un CD audo, en format non compressé (WAV par exemple) afn de ne pas perdre en qualté. Le son est capté par un mcrophone (sgnal analogque), pus fltré par un passe-bas, et enfn échantllonné avec une fréquence f e. La fréquence d échantllonnage d un CD audo est f e = 44,1 khz, et la quantfcaton est fate sur 16 bts. 1. Quelle est la gamme des fréquences audbles? Quelle dot-être alors la fréquence d échantllonnage mnmale pour enregstrer tout le spectre audble? La fréquence f e chose est-elle compatble? (a) Sachant que l enregstrement s effectue à f e = 44,1 khz sur 16 bts d échantllonnage, et que l on enregstre en stéréo, donc 2 sons (2 sgnaux), de comben de bts a-t-on beson pour enregstrer 1 seconde de concert? (b) Quelle durée de concert peut-on enregstrer sur le CD de 700 Mo? On rappelle que 1 octet est consttué de 8 bts. (c) Il est possble de compresser le sgnal pour l enregstrer au format MP3. La fréquence d échantllonnage et la quantfcaton sont nchangées, mas un tratement numérque du sgnal repère les redondances pour ne les écrre qu une seule fos, et enlève les sgnaux peu audbles. Le taux de compresson peut aller de 4 à 20. Quelle durée de musque peut-on alors enregstrer sur 700 M o? 9. Théorème de Shannon On s ntéresse à un sgnal dt à bande étrote représenté schématquement sur la fgure suvante. 2. On chost tout d abord de ne pas mettre le fltre passe-bas en amont du CAN. Un son de fréquence f 1 = 43 khz est présent lors du concert. (a) Ce son est-l audble lors du concert? Que devendra-t-l après échantllonnage? En quo cela pose-t-l problème? (b) Explquer en quo l ajout d un fltre passe-bas en amont de l échantllonneur peut résoudre ce problème. Estmer sa fréquence de coupure. (c) Quel autre problème peut apporter à son tour ce fltre? Pour atténuer ce problème, on augmente l ordre du fltre, et on effectue un suréchantllonnage (f e un peu plus élevée que prévue par le crtère de Shannon). Explquer pourquo. 3. On cherche mantenant à calculer la durée d enregstrement que peut contenr un CD audo enregstrable du commerce, sot 700 Mo. Son spectre est centré sur la fréquence f 0 et l est de largeur B, l ne content que des fréquences appartenant à l ntervalle [f m,f M ] où f m = f 0 B/2 et f M = f 0 +B/2. On cherche à optmser le crtère de Shannon pour l échantllonnage du sgnal. 1. La bande rado FM occupe en France les fréquences comprses entre f m = 87,5 MHz et f M = 108 MHz. On échantllonne avec une fréquence f e = 43,5 MHz. Le crtère de Shannon est-l satsfat? Détermner les fréquences du sgnal échantllonné (on pourra les représenter TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 4
sur un schéma) correspondant aux ordres 1 à 6 de la décomposton en sére de Fourer du pegne d échantllonnage. Peut-on, à l ade d un fltre passe-bande récupérer unquement le sgnal ntal? 2. Reprendre cette queston s on échantllonne à f e = 50 MHz. 3. Généralser et établr que l on peut récupérer parfatement le sgnal ntal en l échantllonnant à une fréquence f e s l exste un enter n tel que. 2f M n < f e < 2f m n 1 À quel résultat connu le cas n = 1 correspond-l? Que peut-on dre s l exste des valeurs de n strctement supéreures à 1? Établr que les seules valeurs possbles de n sont telles que n < f m B. Dans le cas de la bande FM, quelles sont toutes les valeurs possbles des fréquences d échantllonnage? 4. Un sgnal audo utlse les fréquences de l ntervalle [0,20 khz]. On ne dspose que d un échantllonneur à 22 khz. On dspose en revanche de tous les passebandes déaux éventuellement nécessares. Comment réalser l échantllonnage sans perte du sgnal audo? TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 5
Éléments de réponse 1. 1B; 2D; 3C ; 4A ; 5F; 6E 2. Le fltre 1 est non lnéare. Le fltre 2 est un passe-haut de fréquence de coupure vosne de 2 khz. Le fltre 3 est un passe-bas de fréquence de coupure vosne de 3 khz. 3. Pour ω ω c, H 1 5ω c jω et H 2 5ω2 c ω 2. Les sgnaux de sorte sont s 1 (t) = 10 + 1,0cos(ω s t 1,25) et s 2 (t) = 10 0,12cos(ω s t+0,48). Le fltre d ordre 2 est un moyenneur plus effcace. (a) La valeur moyenne est nulle, et les fortes dscontnutés assurent la présence d harmonques de rang élevé, en accord avec une décrossance lente (en 1/n) des ampltudes des composantes spectrales. 6. domane audble : 20 Hz 20 khz ; crtère de Shannon : f e > 2f max Le son à 43 khz n est pas audble en drect, mas s l est capté par le mcro, l se "reple" à f = f e f 1 = 1,1 khz, et devent audble. On utlse un fltre passe-bas ant-replement pour évter ce phénomène, avec une marge de fréquence pour la transton et un fltre d ordre élevé pour un fltrage effcace. N = 1,41 Mo par seconde d enregstrement, 66 mn sur un CD (au format WAV), 4 à 20 fos plus au format MP3. 7. Ben que le crtère de Shannon ne sot pas respecté, l n y a pas de recouvrement. Pour l échantllonnage à 50 MHz, la parte basse de l ordre 4 recouvre le spectre ntal. Le cas n = 1 redonne le théorème de Nyqust-Shannon vu en cours. On sole les partes haute et basse du spectre par deux passe-bande ben choss pour les échantllonner séparément sans perte. (b) Comparer ω s à ω r pour savor quelles composantes sont élmnées du sgnal de sorte. (a) v(t) = v p (t)+kv p (t)v m (t); m = kv m. (b) m = V 2 V 1 V 2 +V 1 = 0,8. (c) Le spectre content les fréquences f p, f p f m et f p +f m 4. S l y a mons de cycles, la durée d acquston est raccource T a = NT e à N constant, donc T e dmnue et f e augmente. La largeur des pcs spectraux est donnée par f = f e N. A N constant, s f e augmente, la résoluton est mons bonne (pcs plus larges). 5. V 1 + = e, V 1 = R/2 R/2+6R+3R/2 E ref = 1 16 E ref = 0,5 V : l ALI 1 bascule à 0,5 V L ALI 2 bascule à 1,5 V, l ALI 3 bascule à 2,5 V et ans de sute. Un convertsseur 3 bts nécesste 2 3 1 = 7 comparateurs. Pour un convertsseur 16 bts, l faudrat 2 16 1 = 65535 comparateurs en parallèles... TD 02 Fltrage - Électronque numérque Lycée Buffon - MP* 2016-2017 6