O K = {S S(G) : S K = } O U = {S S(G) : S U }

ij Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ì ÓÑ À ØØ Ð ¾½ Ñ ¾¼½¼ ØÖ Ø Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ Ò ÓÛ Û Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý ÐÐ Ø ÙØÝ ØÓÔÓÐÓ Ýº Ï ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö Ø Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ R Z Ò Ó Ø Ù Ð C µ Û ÐÝ ÒÓÒ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ ÓÒØ Ò Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò Ò ÙÒÓÙÒØ Ð º Ë G Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð³ Ô S(G) ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G Ø ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ ÚÓ Ö µº ØØ ØÓÔÓÐÓ Ø S(G) ÙÒ Ô ÓÑÔ Ø ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ À Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ü ÐÐ ÒØ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒµº Ä³Ó Ø Ø ÖØ Ð Ø Ð³ ØÙ Ø Ô ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ G = R Z Ø ÒÓÙ ÑÓÒØÖ ÖÓÒ ÕÙ Ð ØÓÔÓÐÓ S(R Z) Ø Ò ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÓÑÔÐ ÕÙ Ø Ñ Ð Ö Ð ÑÔÐ Ø R Zº Ø Ô Ø ÒØ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Ù ÖÓÙÔ Ù Ð C R Z Ø ÖØ Ð ÜÔÐ Ø Ù Ð³ Ô S(C )º ij Ô S(G) Ò ÓÒ Ò Ñ Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ð ÜÔÐ Ø Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÙÐ ÓÑÔÐ Ø ÒÓÒ Ò Ð Ø Áº ÈÓÙÖ ÞÞ Ø Âº ÀÙ Ö Ò ½ ÕÙ ÓÒØ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ G = R 2 г Ô S(R 2 ) Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð Ô Ö S 4 Ñ Ò ÓÒ 4 ÚÓ Ö ÈÀ µº Ò ÔÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Åº ʺ Ö ÓÒ Èº Ð À ÖÔ Ø Îº ÃÐ ÔØ ÝÒ ÓÒØ ÐÙÐ Ø Ô ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ À Ò Ö Ñ Ò ÓÒ 3 ÚÓ Ö Àà µ Ø º ÃÐÓ Ò Ö ÑÓÒØÖ Õ٠г Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Ø Ø ØÖ Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ü ÚÓ Ö ÃÐÓ µº ËÓ Ø A R 2 г Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò ÚÓ Ö Ð ÙÖ ½µ Ö ÙÒ ÓÒ ³ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö Ð ÖÐ (A k ) k N\{0} Ö ÒÓÒØÖ ÒØ ÙÜ ÙÜ Ü Ø Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ø ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÔÓ Òغ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö k N\{0} ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÓÔ D k Ù ÕÙ ÖÑ Ø I = [0, 1]º ÅÙÒ ÓÒ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ I k N\{0} D k Ð ØÓÔÓÐÓ Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÕÙ D k ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ Ð Ñ ÒØ I Ð ÐÓÒ Ö ÝÓÒ ÕÙ ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº Ê ÓÐÐÓÒ Ò Ò Ð ÖÐ D k Ù ÓÖ ÙÒ ÕÙ ÙÖ Ð³ Ô A Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ º ËÓ Ø (I q ) q Q/Z ÙÒ Ñ ÐÐ Ñ ÒØ Ó ÒØ Ù ÖÐ D k ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ô Ö ÐÙ Q/Z ÐÓÖ Ò ÓÒ g k : D k A ÕÙ ÙÖ ÕÙ Ñ ÒØ I q ØÙ ÙÒ Ó Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A kb Ò Ð Ò Ö Ø Ô ÖØ Ö 0 Ó b N\{0} Ò ½

Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ q Ø ÕÙ ÒÚÓ Ð Ö Ø Ù ÖÐ D k ÙÖ 0º Ð Ò Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ g : k N\{0} D k Aº ÈÖÓÐÓÒ ÓÒ ÓÒØ Ò Ñ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ g г ÜØÖ Ñ Ø 0 Ù Ñ ÒØ I Ò Ò ÒØ g(0) ÓÑÑ Ð ÔÓ ÒØ Ò ÙÐ Ö ÒÒ ÙÜ Û Ò Aº Ì ÓÖ Ñ º ij Ô S(R Z) Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ (D k ) k N\{0} ³ Ù¹ ÑÙÐ ÒØ ÙÖ I Ö ÓÐÐ ÙÖ Ð³ Ô A Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ gº Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÒÓÙ Ö ÔÔ ÐÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ¹ ÙØݺ Ò ÙÒ ÙÜ Ñ Ô ÖØ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒÓÒ Ô Ö Ö Ö Ð Ñ ÐÐ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Zº Ò Ù Ø ÒÓÙ Ö ÚÓÒ ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ Ô Ö Ö Ù¹ Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ º ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ Ñ ÐÐ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ º Ò Ò ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ Ö Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø ÑÓÒØÖÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ³ Ð Ø ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð º Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ö Ö È ÙÐ Ò ÔÓÙÖ Ö Ð ØÙÖ ØØ ÒØ Ú Ø ÔÖ ÙÜ ÓÒ Ð Ò ÕÙ È ÖÖ Ð À ÖÔ ÔÓÙÖ ÒÓÑ Ö Ù Ö Ñ ÖÕÙ Ý ÒØ Ô ÖÑ ÓÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖØ Ð º Â Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ú ÓÖÒÙÐ Ö Õ٠ѳ Ø ÒÓÑ Ö ÙÜ ÓÑÑ ÒØ Ö ÔÖ ÙÜ Ø ÜÔÐ ÕÙ ÔÐÙ ÙÖ Ô Ö Ô Ø Ú º ½ ½º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ËÓ ÒØ X ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ø F(X) г Ò Ñ Ð ÖÑ Xº ÇÒ ÑÙÒ Ø F(X) Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ µ Ð ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð ÓÖÑ O K = {S S(G) : S K = } O U = {S S(G) : S U } Ó K Ø ÙÒ ÓÑÔ Ø X Ø U ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Xº ËÓ Ø G ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Øº ÇÒ ÒÓØ S(G) F(G) г Ò Ñ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø º Ä Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ø Ð ÕÙ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ö Ö Ö ÓÙ Ôº ÎÁÁÁ 5 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Áº º½º¾ Ôº ÓÙ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº Ô Ö Ü ÑÔÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º ij Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ F(G) Ø ÓÑÔ Øº ÔÐÙ Ð ÓÙ ¹ Ô S(G) Ø ÙÒ ÖÑ F(G) ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾º ËÓ Ø f : G H ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ÕÙ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÙÚ ÖØ º ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) : S(H) S(G) Ò Ô Ö S f 1 (S) Ø ÓÒØ ÒÙ º ¾

ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø K ÙÒ ÓÑÔ Ø G ÐÓÖ f(k) Ø ÙÒ ÓÑÔ Ø H Ø S (f) 1 (O K ) = O f(k) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ S(H)º ËÓ Ø U ÙÒ ÓÙÚ ÖØ G ÐÓÖ Ô Ö ÝÔÓØ f(u) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ H Ø S (f) 1 (O U ) = O f(u) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ S(H)º Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) Ø ÓÒØ ÒÙ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ËÓ Ø f : G H ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ ³ Ñ ÖÑ º ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) : S(G) S(H) Ò Ô Ö S f(s) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø S ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Gº ÐÓÖ ÔÙ ÕÙ f Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ f(s) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ f(g)º ÇÖ f(g) Ø ÐÙ ¹Ñ Ñ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ H ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ f(s) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ H Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) Ø Ò Ò º ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ g = f 1 f(g) : f(g) G ³ Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø º Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (g) : S(G) S(H) ÕÙ S Ó g 1 (S) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ S(f(G)) Ø ØØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f)º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ Õ٠г ÝÔÓØ ÕÙ f Ö Ð ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ Ø Ò Ö º Ò Ø ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÒØ Ø i Ù ÖÓÙÔ G = R ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ö Ø Ú Ð ÙÖ Ò H = R ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ º ij ÒØ Ø i Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÓÒØ Ð³ Ñ Ø Ò ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Ñ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) Ò³ Ø Ñ Ñ Ô Ò ØÓÙØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ñ Ñ ÒÓÒ ÖÑ µ H Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Gº Ò Ð Ó Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø G Ø ÑÙÒ ³ÙÒ Ø Ò Ò Ù ¹ ÒØ ØÓÔÓÐÓ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ä ÑÑ Áº º½º Ôº ¼ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº ¼ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ÍÒ Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (S ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ S Ò S(G) Ø ÙÐ Ñ ÒØ S Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ù Ø (S ) N ³ ع¹ Ö ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x S Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø (x ) N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö x Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÙ ÝÓÒ x S º ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ Ò Ò P N ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø (x ) P ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö x Ø ÐÐ ÕÙ x S ÔÓÙÖ ØÓÙØ P ÒÓÙ ÚÓÒ x Sº È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ö ÑÔÐ Ñ ØÖ Ð Ø Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº ¼ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º Ë ÔÐÙ Ð Ø Ò G Ø ÔÖÓÔÖ º º Ð ÓÙÐ ÖÑ ÓÒØ Óѹ Ô Ø µ ÐÓÖ Ð³ Ô S(G) Ø Ñ ØÖ Ð ÔÓÙÖ Ð Ø Ò À Ù ÓÖ ÔÓ ÒØ ÚÓ Ö À Ò Ø ÓÒ º Ôº µ S S ÓÒØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G ÓÒ Ò Ø d À Ù (S, S ) ÓÑÑ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ε > 0 Ø Ð ÕÙ S B(e, 1 ε ) V ε(s ) Ø S B(e, 1 ε ) V ε(s),

Ó V ε (S ) Ò Ð ε¹úó Ò ÓÙÚ ÖØ S Ò Gº ½º¾ Ü ÑÔÐ Ä Ü ÑÔÐ Ù Ú ÒØ ÐÙÐ ³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÓÒØ Ò ÓÒÒÙ ÒÓÙ Ð Ö ÔÔ ÐÓÒ ÔÓÙÖ Ü Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ º ÆÓØÓÒ X Z Ð ÓÙ ¹ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÑÔ Ø R Ò Ô Ö X Z = {0} { 1, N\{0}}º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ Z : X Z S(Z) Ò Ô Ö 1 ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Z Ø 0 {0} Ø ÙÒ ÓÔØÓÒ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÖÑ 1 Z = {0} Ø 1 Z = Rº ØØ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø 0 Ù Ø Ô Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ R : X R = [0, ] S(R) Ò Ô Ö α 1 Z Ø ÙÒ ÓÑ Ó¹ α ÑÓÖÔ Ñ º ½º Ù Ð Ø Ë G Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð Ò ÒÓØÓÒ Ĝ ÓÒ Ù Ð ÈÓÒØÖÝ ¹ Ò Ð ÖÓÙÔ Ö Ø Ö G ³ ع¹ Ö ÑÓÖÔ Ñ ÓÒØ ÒÙ G Ú Ð ÙÖ Ò S 1 º ³ Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð Òº ÇÒ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒÓÒ ÕÙ ÒØÖ G Ø ÓÒ Ù Ð Ĝ ÚÓ Ö ÈÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº ¾ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ G Ĝ Ò S1 Ò Ô Ö (g, χ) χ(g) Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ G g Ĝ {χ χ(g)} Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º ÔÐÙ ÓÒ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒÓÒ ÕÙ ÒØÖ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G Ø ÐÙ Ĝº ÇÒ Ò ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ò ÙÒ ÖØ Ð ³ Ú ÓÖÒÙÐ Ö ÚÓ Ö ÓÖ µ Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ G : S(G) S(Ĝ) H {χ Ĝ : h H, χ(h) = 1} Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º

¾ Ä ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÒ ÖÓÒ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ð Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ñ ØÖ Ð R Zº ÆÓØÓÒ i : R R Z Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø x (x, 0) Ø π : R Z Z Ð ÙÜ Ñ ÔÖÓ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ E(x) Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ù Ö Ð xº ÓÔØÓÒ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ Ö ÖÓÒ ÕÙ Ö Ø ÓÒÒ Ð β = a Ú a Z Ø b N\{0} ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ùܺ Ë β R ÒÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ b β ÓÒ Ñ Ò R/Zº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ù Ð Ù ÖÓÙÔ R Z Ø ÓÑÓÖÔ Ù ÖÓÙÔ ÑÙÐØ ÔÐ Ø C ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º г Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø ÐÙ C ÓÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ º ¾º½ Ö ÔØ ÓÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö Ö ØÓÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Ù ÖÓÙÔ R Zº ËÓ Ø H ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Zº ÐÓÖ H (R {0}) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R {0} Ó Ø ÓÒ α гÙÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØ [0, ] Ø Ð ÕÙ H (R {0}) = 1 Z {0}º ÔÐÙ α π(h) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Z Ó Ø ÓÒ Ð³ÙÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØ N Ø Ð ÕÙ π(h) = Zº Ë = 0 ÐÓÖ H = G I α Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G I α = Z( 1 α, 0). Ë > 0 ÔÐÙ ÙÖ ÓÒØ Ø Ò Ù Öº Ë α = 0 ÐÓÖ π 1 () H = {(γ, )} ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ γ Rº ÐÓÖ H = G II γ, Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G II γ, = Z(γ, ). Ë 0 < α < ÐÓÖ π 1 () H = {( β+p, ), p Z} ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ β R/Zº ÐÓÖ α H = G III α,β, Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G III α,β, = Z( 1 α, 0) + Z(β α, ). Ë α = ÐÓÖ π 1 () H = R {}º ÐÓÖ H = G IV Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G IV = R Z. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º ij Ò Ñ Ð S(R Z) ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÐÐ {G I α = Z( 1, 0) : α [0, ]} α {G II γ, = Z(γ, ) : γ R, N\{0}} {G III = Z( 1 α,β, α, 0) + Z(β, ) : α ]0, [, β R/Z, N\{0}} α Ø {G IV = R Z : N\{0}}. ÔÐÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ñ ÐÐ Ø Ø º

ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÙÐ Ð Ò Ø ÓÒ Ø Ð³ÙÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ α β > 0 Ø α ]0, [ µ Ø γ > 0 Ø α = 0µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ R Z ÖÑ H ÓÒÒ º ÓÒ ÖÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ S(R Z) Ò ØÖÓ ÓÙ ¹ Ô ½º Ä ÓÙ ¹ Ô S I ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Z Ø {0} Ù {0}º Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G I α ÔÓÙÖ α ]0, ]º ¾º Ä ÓÙ ¹ Ô S II ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÕÙ ÓÒØ ÝÐ ÕÙ Ò Ò Ø ÓÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Z Ö ÒØ {0} Ò ÕÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ {0}º Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G II γ, ÔÓÙÖ γ R Ø N\{0} Ø {0}º º Ä ÓÙ ¹ Ô S III ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÑÓÖÔ Z 2 ÓÙ R Zº Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G III α,β, ÔÓÙÖ α ]0, [ β R/Z Ø N\{0} Ò ÕÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G IV ÔÓÙÖ N\{0}º ÆÓØÓÒ S III Ð ÓÙ ¹ Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ú Ð ÙÖ N\{0} Ü ³ ع¹ Ö Ð Ö ÙÒ ÓÒ G III α,β, ÔÓÙÖ α ]0, [ Ø β R/Z Ø G IV º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ÙÒ ÓÙ ¹ Ô S I S II Ø S III º ÈÙ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö ÓÑÑ ÒØ Ô Ö ÓÐÐ ÒØ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ö Ð³ Ô S(R Z)º ¾º¾ Ä ÓÙ ¹ Ô S I ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ I : ]0, ] S I Ò Ô Ö α Z( 1, 0) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖ¹ α Ô Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ ψ I Ø Ð ÓÑÔÓ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ φ R : [0, ] S(R) Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) : S(R) S(R Z)º ÇÖ Ð ÑÓÖÔ Ñ i Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ³ Ñ ÖÑ R Z ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º г ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ³ Ñ S I º ¾º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ Õ٠г Ö Ò S I Ò S Ø Ð S I {{0}}º Ä ÓÙ ¹ Ô S II ÓÒ ÖÓÒ Ð³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÒÒ ÙÜ Û Ò A = N\{0} A Ó A Ò Ð ÖÐ Ò Ð ÖÓ Ø ÓÑÔÐ Ü C ÒØÖ 1 Ø Ö ÝÓÒ 1 ÚÓ Ö Ð ÙÖ ½µº

º ½ ij Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò A ÓÒ ÖÓÒ Ð Ø ÓÒ ψ II : A S II Ò Ô Ö 1 (1 + e2iθ ) 0 G II ta θ, Ó N\{0} Ø θ ] π 2, π 2 [ 0 {0}. ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ñ Ø ÔÓÙÖ ÒÚ Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ (ψ II ) 1 : S II A Ò Ô Ö G II γ, 1 (1 + e2i arcta γ ) Ó N\{0} Ø γ R {0} 0. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø ÓÒ ψ II Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÑÑ Ð³ Ô Ô ÖØ Ø ÓÑÔ Ø Ñ ØÖ Ð Ø Õ٠г Ô ³ ÖÖ Ú Ø Ñ ØÖ Ð Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ º ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ø θ ] π, π[ г ÔÔÐ Ø ÓÒ 2 2 ψii Ø ÓÒØ ÒÙ Ò z = 1 (1 + e2iθ )º ËÓ Ø (z k ) k N ÙÒ Ù Ø A ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö zº ÐÓÖ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð ÔÓ ÒØ z k ³ Ö Ø 1(1 + e2iθ k ) Ó ÔÐÙ Ð Ù Ø (θk ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö θº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II (z)º Ä Ò Ö Ø ÙÖ (taθ, ) ψ II (z) Ø Ð Ñ Ø Ð Ù Ø (ta θ k, ) k N ³ Ð Ñ ÒØ (ψ II (z k )) k N º Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ù Ø (p k taθ k, p k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ II (z k )) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (x, m) Ó P Ò ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø Ó p k Z ÔÓÙÖ ØÓÙØ k P º ÐÓÖ p k = p Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò ÓÒ (x, m) = p(taθ, ) ψ II (z)º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0º ËÓ Ø (z k = 1 k (1 + e 2iθ k ))k N ÙÒ Ù Ø A ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö 0º Ë Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + Ð Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ II (0)º Ë ÒÓÒ ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð Ù Ø (θ k ) k N Ø Ò Ú Ö ±π Ø Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ 2 (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ II (0)º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð³ Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò A ÓÒ Ñ S II Ô Ö ψ II Ø ÓÑÔ Ø º

¾º Ä ÓÙ ¹ Ô S III ÆÓØÓÒ D г Ö Ñ ÒØ {(α, β), α ]0, ], β R/Z}/ { } R/Z ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ ÕÙÓØ ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ ÙÖ ]0, ] R/Z г Ô D Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÕÙ ÓÙÚ ÖØ ÓÒ ÒÓØ Ö Ò Ö ÑÑ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ ]0, ] R/Z Ø ÓÒ Ñ Ò Dµº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III : D S III Ò Ô Ö (α, β) { G III α,β, G IV α < α = Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III S III Ø ÒØ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ø Ñ ØÖ Ð ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ ψ III Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ º ÇÒ Ò Ù Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III ÓÒ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ø Ø Ú ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º Ä Ô D Ø Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ú Ø ÔÖÓÔÖ ËÓ Ø c = (α, β) D Ø Ð ÕÙ α º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö d ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö α Ø ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö βº ÐÓÖ Ð ÙÜ Ò Ö Ø ÙÖ ( 1, 0) Ø α (β 1, ) Ù ÖÓÙÔ ψiii α (d) ÓÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù Ø (, 0) k N Ø ( β k, ) (ψ III(d k)) k N Ö Ô Ø Ú Ñ Òغ Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ó Ø P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø Ó Ø ( p k+q k β k, q k ) k P ÙÒ Ù Ø (ψ III (d k )) k P ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö (x, m)º ÐÓÖ q k = q Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø ÓÒ p k = p Ð Ñ Òغ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³ Ð Ñ ÒØ (x, m) = ( p+qβ, q) α ÔÔ ÖØ ÒØ ψ III (d)º ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (ψiii (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ø Ú Ö ψ III (d)º ËÓ Ø d = (, 0) Ð ÒØÖ Ù ÕÙ Dº ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö d ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N Ø Ò Ú Ö º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Nº Ó ÓÒ ( Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ) β k β k ÓÖÒ º ËÓ Ø (x, q) ψ III (d) Ó x R Ø q Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø E(xαk )+qβ k, q ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III (d k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö (x, q)º ÈÙ ÕÙ ψ III (ψ III (d k ) ψ III (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ III Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III k N (c) ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (d)º Ø ÓÒØ ÒÙ º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø ÓÖØ ÒØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø Dº ÅÓÒØÖÓÒ Ô Ö Ð³ ÙÖ ÕÙ Ð Ù Ø (ψ III (d k )) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø S III ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÕÙ ØØ Ù Ø ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ H S III º ÐÓÖ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ φ 1 R S (i) ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Ð Ù Ø ( = φ 1 R S (i)(ψ III (d k ))) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö α = φ 1 R S (i)(h) ]0, ]º ÇÖ Ð ÓÙ ¹ Ô {α α } Ù ÕÙ D Ø ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº 2 Ø ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ø ÕÙ Ð Ù Ø (d k ) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø Ò Ð Ù Ø (ψ III (d k )) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø S III Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S III Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ð ÓÙ ¹ Ô S III ÓÒØ ÓÙÚ ÖØ Ò Ø ÓÒØ Ð Ñ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö π : S(R Z) S(Z) ÓÙÚ ÖØ {Z}º

ÍÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ò Ö ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ D Ò Ò ¾º µ Ò ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÔÐÙ Ò ÕÙ Ð ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐ Ð ³ Ø ³ Ð Ø Ö ÕÙ ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÓÖ Ù Ù Ð D Ò Ð Ö ÑÔÐ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ô Ø Ø Ö ÖÐ º ØØ Ñ Ø Ó Ø Ò Ô Ö ØÖ Ú ÙÜ Ò ÓÝ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Ö Ð ÖÐ Ð ÐÓÒ Ð³ÓÖ Ø ³ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ º ÇÒ Ô ÙØ Ù Ý Ô Ò Ö Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ò ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÑÔÐ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÖÐ Ô Ö ÙÒ Ñ ¹ Ô Ñ ¹ ÖÓ Ø Ù Ð Ù Ö ÑÔÐ Ö Ô Ö ÙÒ ÖÓ Ø ÔÖÓ Ø Ú º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ D Ò ÙÒ ÕÙ ÖÑ D ³ Ñ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ D Ø Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ö ÖÐ ÙÜ ÙÜ Ó ÒØ (I q ) q Q/Z ÒÐÙ Ò D ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ô Ö Q/Z Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f q : [, ] I q Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø Ö ÐÐ (α ) N Ø (β ) N Ú Ö ÒØ ½º Ð Ù Ø (α ) N Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ø ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 ¾º Ð Ù Ø (β ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö β Q º Ð Ù Ø ( β β α ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö x [, ] ÐÓÖ Ð Ù Ø (ρ(α, β )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö f β (x) I β Dº ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓ Ð Ù Ñ ¹ÔÐ Ò ÈÓ Ò Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ö Ð H 2 ÓÒ ÓÖ H 2 Ø Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÒØ R { }º ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö Ù Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Γ = PSL(2, Z) Ò Ð ÖÓÙÔ ÓÑ ØÖ ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð³ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ PSL(2, R) H 2 Ø ÔÔ ÐÓÒ M Ð ÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö M = Γ\H 2 º ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÚÓ Ò Å Ö ÙÐ V Ð ÔÓ ÒØ M ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ã µº ËÓÒ Ñ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö Ð Ö Ú Ø Ñ ÒØ Ö Ñ H 2 M Ø ÙÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Γ ³ Ó¹ ÖÓ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ N q ÒØÖ Ò q Q { } H 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ø ÓÒÒ Ð q Q { } ³ Ö Ò ÙÜ ÙÜ Ó ÒØ º ÆÓØÓÒ E = M\V ÕÙ Ø ÙÒ ÓÖ ÓÐ ÓÖ º ÁÐ Ñ Ø ÓÑÑ ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÕÙ Ø Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ù Ù Ð Γ ÔÖ Ú Ð³ ÓÖÓ ÓÙÐ N ÚÓ Ö Ð ÙÖ ¾µº ÔÔ ÐÓÒ a b c Ø d Ð ÕÙ ØÖ Ø Q a Ø ÙÒ Ö Ð Ó ÕÙ Ó Ò ÒØ 1 Ø 1 b Ö Ôº dµ Ø ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ó Ò ÒØ 1 Ö Ôº 1µ 2 2 Ø c Ø ÙÒ Ö ³ ÓÖÓÝÐ ÒØÖ Ò º ËÓ ÒØ T Ø S Ð ÓÑ ØÖ Ù ÔÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ T : z z + 1 Ø S : z 1 Ð Ø Ò z ÓÒÒÙ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë Ö µ ÕÙ Ð Ö Ù Γ = PSL(2, Z) Ø Ò Ò Ö Ô Ö S Ø T º

º ¾ Ä ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Q гÓÖ ÓÐ E ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÒÚ Ü ÓÑÔ Ø Q ÓÒØ Ð Ø a b c Ø d ÓÒØ Ó ÕÙ Ø Ð ÕÙ Ð Ò Ð ÒØÖ a Ø b Ø ÒØÖ d Ø a Ú Ð ÒØ π Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ò Ð 3 ÒØÖ b Ø c Ø ÒØÖ c Ø d Ú Ð ÒØ π ÚÓ Ö Ð ÙÖ º ËÓ Ø T Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ 2 ³ Ü Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ c ÕÙ ÒÚÓ Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ø b ÙÖ Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ø d Ø Ó Ø S Ð ÖÓØ Ø ÓÒ ³ Ò Ð π ÙØÓÙÖ Ù Ñ Ð Ù Ù Ñ ÒØ a º ËÓ Ø Γ PSL(2, R) Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ò Ò Ö Ô Ö S Ø T º º Ä ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Q гÓÖ ÓÐ E ÓÒ ÖÓÒ Ð³ÓÖ ÓÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÖ E Ó Ø ÒÙ ÓÑÑ ÕÙÓØ ÒØ Ð ÙÖ Ý¹ Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÓÖ Γ Q Ô Ö Ð ÖÓÙÔ Γ º ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù ½¼

ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÙÖ Ð ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÕÙ ÒÚÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ø a b c Ø d ÙÖ Ð ÓØ a b c Ø d º Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ Ð ÓÖ ¹ ÓÐ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÖ E Ø E ÕÙ Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ ÙÜ ÓÖ ÓÐ θ : Γ Γ º È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ E Ø E г ÓÑÓÖÔ Ñ θ ÒÚÓ T ÙÖ T Ø S ÙÖ S º ÁÐ Ü Ø Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η ÒØÖ Ð Ö Ú Ø Ñ ÒØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ö Ð Ê Ø Ê E Ø E Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÔÐÙ θ¹ ÕÙ Ú Ö Òغ ÇÖ Ê = H2 \ q Q { } N q Ø Ê = Γ Q = H 2 \ q Q { } N q Ó N q Ø ÙÒ Ñ ¹ Ô ÓÙÚ ÖØ H 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q { } ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº ÉÙ ØØ Ö Ò Ü Ö Ð Ñ ¹ Ô (N q) q Q ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö Õ٠г ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η ÒÚÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q { } г ÓÖÓÝÐ N q ÙÖ Ð Ó ÕÙ N qº ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÔÖÓÐÓÒ Ö Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ H 2 ÙÖ H 2 º ÜÓÒ q Q { }º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ η Ø Ò ÙÖ Ð³ ÓÖÓ ÖÐ N q ÔÖÓÐÓÒ ÓÒ ¹Ð N q ÙÖ N q Ó Ø z N q Ø Ó Ø z Ð ÔÓ ÒØ Ð Ó ÕÙ N q ØÙ ÙÖ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ Ô ÒØ Ô Ö q Ø z ÐÓÖ ÕÙ q = ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÖÓ Ø Ú ÖØ Ð Ô ÒØ Ô Ö fµ ÚÓ Ö Ð ÙÖ º Ò η(z ) Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ ÓÖÓ ÖÐ N q ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ù η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð N q Ø ÒÐÙ Ò N qº Ò ÓÒ η(z) ÓÑÑ Ð ÔÓ ÒØ γ Ø Ò d H 2(z, z ) η(z )º º Ä ÔÖÓÐÓÒ Ñ ÒØ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η N q ÙÖ N q ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η H 2 ÙÖ H 2 ÕÙ Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÔÐÙ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ Ò Ø T ÔÖ ÖÚ Ð Ø Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ Ø T ÔÖ ÖÚ Ð Ø Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð Ó ÕÙ º Ä ÕÙÓØ ÒØ H 2 Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ T Ò Ò Ö Ô Ö Ð³ ÓÑ ØÖ Ô Ö ÓÐ ÕÙ T ³ Ò¹ Ø Ù ÕÙ ÔÓ ÒØ D\{ } Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ z (Im(z), Re(z))º Ä ÙÜ ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒÒ Ü Ù ÓÖ Ð³ Ò Ò Ð ÙÖ T \H 2 ³ ÒØ ÒØ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ { } Ø R/Zº Ä ÕÙ D Ø ÐÓÖ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ T \(H 2 { }) ÒÓÙ ÒØ ÖÓÒ ÙÜ Ô º Ñ Ñ Ð ÕÙÓØ ÒØ H 2 Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ T Ò Ò Ö Ô Ö Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ T Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÒÒ Ù ÓÙÚ Öغ ÍÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò H 2 ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ T ½½

Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÑ Ò ÓÑÔÖ ÒØÖ Ð ÙÜ Ó ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ Ð Ø b Ø d º ÆÓØÓÒ I q = N q H2 Ð ÓÖ Ù Ñ ¹ Ô N q ³ Ø ÙÒ Ö Ù ÖÐ H 2 º Ä ÙÜ ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒÒ Ü Ù ÓÖ Ð³ Ò Ò Ð ÙÖ T \H 2 ³ ÒØ ÒØ ÐÓÖ ÙÜ ÖÐ ÕÙ ÓÒØ Ð ÕÙÓØ ÒØ ÙÜ Ö ÖÐ ÓÙÚ ÖØ I Ø J H 2 Ô Ö Ð³ Ø ÓÒ T ÓÒØ Ð ÙÜ Ö ÖÐ Ð Ñ Ø Ô Ö Ð ÜØÖ Ñ Ø Ð³ Ü ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ T º ij Ö I Ø Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Ð³ Ö ÖÑ I Ø Ð³ Ö J ÓÒØ ÒØ ØÓÙ Ð I q ÔÓÙÖ q Q ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº ÔÔ ÐÓÒ D г Ö Ñ ÒØ Ð³ Ñ I Ò Ð³ ÒÒ Ù ÖÑ T \(H 2 I J) г Ô D Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÓÒØ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ ³ ÒØ Ð³ Ñ T \(H 2 I)º ij ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ η : H 2 H 2 Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ρ : T \H 2 T \H 2 º Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÖÓÐÓÒ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ D Ò Ò ÒØ ρ({ }) ÓÑÑ Ð³ Ñ I Ò Ð³ Ö Ñ ÒØ Dº ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ : D D ³ Ñ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Dº ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q ÒÓØÓÒ I q г Ö ÖÐ Ñ ÓÑ ÓÑÓÖÔ I q Ò Dº ÁÐ Ö Ø Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ Ú Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÙ Ø Ó ÒØ (α ) N Ø (β ) N Ú Ö ÒØ Ð ØÖÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ð³ ÒÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÐÓÖ Ð ÔÓ ÒØ z = β + iα H 2 ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÔÓ ÒØ Ð³ Ò Ò β Q ÓÒ ÔÔ ÖØ ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð³ ÓÖÓ ÓÙÐ N β º ËÓ Ø z Ð ÔÓ ÒØ Ð Ó ÕÙ N β ØÙ ÙÖ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ δ Ô ÒØ Ô Ö β Ø z º Ò η(z ) Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ ÓÖÓÝÐ N β ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ù η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð N β Ø ÒÐÙ Ò N β º È Ö Ò Ø ÓÒ η(z ) Ø Ð ÔÓ ÒØ γ Ø Ò d H 2(z, z ) η(z )º È Ö Ð ØÖÓ Ñ ÝÔÓØ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ δ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÖÓ Ø δ Ô ÒØ Ô Ö β ÕÙ Ø ÙÒ Ò Ð ÓÖ ÒØ cotax Ú Ð³ Ü Ö Ð Ó Ø z Ð Ð Ñ Ø Ð Ù Ø (z ) N ³ Ø Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÖÓ Ø δ Ú Ð³ ÓÖÓÝÐ N β º ÐÓÖ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ô ÒØ Ô Ö η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ó ÕÙ N β Ø ÒÐÙ Ò N βº È Ö ÐÐ ÙÖ Ð Ø Ò d H 2(z, z ) Ø Ò Ú Ö + Ô Ö Ð³ ÝÔÓØ ÙÖ Ð Ù Ø (α ) N ÓÒ Ð Ù Ø (η(z )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð³ ÜØÖ Ñ Ø Ð³ Ò Ò Ù Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ ÒÓØÓÒ ¹Ð f β (x) I β Ó I β Ò Ð ÓÖ Ð³ Ò Ò N β º ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f β : [, ] I β Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ø ÓÒÒ Ð β Qº Ä ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÒØ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ù ÕÙÓØ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f q : [, ] I q ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q/Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø (ρ(< T > z )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö < T > f β (x) = f β (x)º Ò Ò Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η 1 : H 2 H 2 Ò Ù Ø Ù ÓÖ ÙÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ s H 2 ÙÖ H 2 ÕÙ ÒÚÓ ÕÙ Ö ÖÐ I q ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ q H 2 º ÄÓÖ Õ٠гÓÒ Ö ÕÙ Ö ÖÐ I q Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÖÐ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ s Ò Ù Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÐ ÙÖ Ð ÖÐ H 2 Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÔÖ ÖÚ ÓÒ Ð Ö ÖÐ (I q) q Q ÓÒØ Ò Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ ÓÒÒ Ô Ö Q º ÈÙ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ T ÔÖ ÖÚ ÒÓÖ Ø ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø Ø Ð I ÓÒ Ð Ö ÖÐ (I q ) q Q/Z ÓÒØ Ò Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ ÓÒÒ Ô Ö Q/Zº ½¾

Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ ÓÙ ¹ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ º½ ij Ö Ò ÕÙ S III Ò S(R Z) ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ò ÓÒ Ð Ð Ø g : D z A { 1 b (1 + e2i arcta(bf 1 q (z)) ) z I q Ó q = a b Qµ 0 ÒÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º ij ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ψ III : D S III Ø ÙÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ D ÙÖ Ð³ Ö Ò S III ÔÖÓÐÓÒ D Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II g S III Ò S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ò D Ú Ö f q (x) I q Ó q = a Q Ø x Rº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψiii b (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (f q (x))º ÇÒ Ú Ö ÕÙ ψ II g (f q (x)) = ψ II ( 1 (1 + b e2i arcta(bx) )) = Z (bx, b)º ÔÐÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 Ø Ð Ü Ø Ö Ð Ú (β k ) k N (β k ) k N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö q Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( β k q ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö xº ÐÓÖ Ð Ù Ø ( bβ k a, b) k N ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k) = S III ),β k, k N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð Ò ¹ Ö Ø ÙÖ (bx, b) Ù ÖÓÙÔ ψ II g (f q (x))º È Ö ÐÐ ÙÖ Ó ÒØ P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø ÒØ Ö s k, t k Z Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( s k+t k β k, t k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k)) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (y, m) R Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø t k Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð t Z Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ù Ø (s k + tβ k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö 0º ÈÙ ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö q Ð Ù Ø (s k ) k P Ó Ø ØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð s Z Ø Ð ÕÙ q = s º Ò Ð Ü Ø t l Z Ø Ð ÕÙ t = lb Ø s = laº Ò ÓÒ Ò ÓÒÐÙØ ÕÙ (y, m) = l(bx, b) ψ II g (f q (x))º Ò Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III (d k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (f q (x))º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ò D Ú Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ z D Ò³ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÙÒ ÒØ Ö ÙÖ I q ÔÓÙÖ q Q/Zº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III(d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (z) = {0}º ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 Ø ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k N Ò³ Ñ Ø ÙÙÒ Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ò Q/Z ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø Ö Ð Ú (β k ) k N (β k ) k N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö β R\Qº ËÓ ÒØ P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø ÒØ Ö s k, t k Z Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( s k+t k β k, t k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k)) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (y, m) R Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø t k Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð t Z Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ù Ø (s k + tβ k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö 0º ÈÙ ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö β 0 Ð Ù Ø (s k ) k P Ó Ø ØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò º ÈÙ ÕÙ β Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ð ÙÐ ÔÓ Ð Ø Ø t = s k = 0º Ò Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III(d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (z) = {0}º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ò Ø ÓÒ g (z) Ò Ø ÒØ ÖÚ Ò Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ b Ù Ö Ø ÓÒÒ Ð q Ø Ð ÕÙ z I q º Ò Ð Ð Ø g ØÙ Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A m Ü Ø Ñ ÒØ 0 Ó Ò Ú Ô m Ø ϕ( m ) Ú m Ó ϕ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ ³ ÙÐ Öº È Ö ÐÐ ÙÖ ÖÐ ÓÒØ Ô ÖÓÙÖÙ Ò Ð³ÓÖ Ö Q/Zº ½

º¾ ij ÙÑÙÐ Ø ÓÒ ÕÙ S III ÙÖ S I ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø D ÙÒ ÓÔ Ù ÕÙ ÖÑ D Ø ÒÓØÓÒ D D Ð ÕÙ ÓÙÚ Öغ ËÓ Ø X Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ó ÒØ (D ) N\{0} ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ Ö ÝÓÒ [0, ] ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÑÙÒ ÓÒ X = [0, ] N\{0} D Ð ØÓÔÓÐÓ Ð ÑÓ Ò Ò Ò Ù ÒØ ÙÖ [0, ] Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ Ò Ù ÒØ ÙÖ N\{0} D Ð ØÓÔÓÐÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÙÜ ÔÖÓ Ø ÓÒ p 1 : X { 1, N\{0} { }} Ø p 2 : X [0, ] d D 1 d D α (d) d [0, ] 0 d [0, ] d Ó ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ó α Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ α : D [0, ] d = (α, β) D α d D 0. ÍÒ ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ α [0, + ] Ò X Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÚÓ Ò p1 1 (U) p 1 { 2 (V ) Ó U Ø ÙÒ ÚÓ Ò α Ò [0, + ] Ø V Ø ÙÒ ÚÓ Ò 0 Ò 1, N\{0} { }} ³ ع¹ Ö ÕÙ ÓÒØ Ö ÙÒ ÓÒ ³ ÒÒ ÙÜ ÕÙ ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ º Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ú Ù ÐРг Ô X Ø Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ù ÓÙ ¹ Ô R 3 Ö ÙÒ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} {+ } Ò ÓÑÑ Ø ( 1, 0, 1) ÙÖ Ð ÖÐ Ö Ù Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ = + µ Ò R 2 {0} ÒØÖ ( 1, 0, 0) Ø Ö ÝÓÒ 1 ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº (+1) 2 ij Ô X Ø ÐÓÖ ÓÑÔ Øº ËÓ Ø X гÓÙÚ ÖØ ]0, ] N\{0} D Xº Ò ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X : X S(R Z) α ]0, ] ψ I (α) d D ψ III (d). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÖØ X Ò S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø Ò Ø Ú º È Ö ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} г ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ψ III Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ð³ÓÙÚ ÖØ D ÙÖ ψ X (D )º ÔÐ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ]0, ] ÙÖ ψ X (]0, ])º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ]0, ] Ó Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø N\{0} D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö α ]0, ]º ÐÓÖ d k D k Ó Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + Ø Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö αº ÁÐ Ø ÐÓÖ Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III k (d k )) k N = (Z ( 1, 0)+Z ( β k, k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Z ( 1, 0) = α ψi (α)º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ 1 X Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ψ X(]0, ]) Ó Ø (H k = ψ X (d k )) k N ÙÒ Ù Ø ψ X ( N\{0} D ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ψ X (α) = 1 Z ψ α X(]0, ])º ÐÓÖ d k D k Ó k ½

N\{0}º Ä ÔÖÓ Ø ÓÒ π(h k ) = k Z Ù ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ψ X (d k ) ÙÖ Z ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} ÓÒ Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + º È Ö ÐÐ ÙÖ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ i : S(R Z) S(R) ÚÓ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾µ г ÒØ Ö Ø ÓÒ 1 Z = H k (R {0}) = i (H k ) ÓÒÚ Ö Ú Ö 1 Z ÓÒ α Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö αº Ä Ù Ø (d k ) k N ÓÒÚ Ö ÓÒ Ú Ö α ]0, ] Ò Xº ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ö Ð Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ S(R Z)\S II º ÈÙ ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ô S II Ø ÖÑ Ð³ Ñ ψ X Ø ÓÙÚ ÖØ º º Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ä ÖÓÒØ Ö X Ò X Ø X = {0} N\{0} D ÕÙ Ø ÙÒ Ù Ø ÖÐ Ó ÒØ ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÔÓ Òغ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ g : X A 0 0 d D g (d). Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A Ò Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ : X g A S(R Z) Ô Ö ψ X = ψ X Ø ψ A = ψ II ÚÓ Ö Ð ÙÖ º ½

º Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ì ÓÖ Ñ º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A ÙÖ Ð³ Ô S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ø ¾º г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ Ð³ÓÙÚ ÖØ X Ø Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ Aº Ë z A\{0} ÐÓÖ Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ ÒØ Ö N\{0} Ø Ð ÕÙ z g ( D) ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò zº Ë (x k ) k N Ø ÙÒ Ù Ø Ò X ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö 0 Ò 1 X g A ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ψ(x k ) ÙÖ {0} Z ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} Ø Ð Ò Ö Ø ÙÖ ψ(x k ) (R {0}) Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò ÓÒ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ(x k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ(0)º Ò Ð Ø ÓÒ ψ Ø ÓÒØ Ò٠г Ô X g A ÙÖ Ð³ Ô Ô Ö S(R Z)º ÇÖ Ð Ô X Ø A ÓÒØ ÓÑÔ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ ÙÜ ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ôº ½ Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A Ø ÒÓÖÑ Ð ÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö º ÔÐÙ Ø Ô Ø ½

Ñ ÓÒØ ÒÙ Ù ÓÑÔ Ø X A ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ä ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô S(R Z) ÈÓÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÒ ÙÜ Û Ò ÓÒ Ö Ö Ö Ø Ë º Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ú ÓÖÒÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö Ò ÕÙ ÖØ Ð Ø ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ ÔÓÙÚ Ø Ö Ö Ð ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô S(R Z)º Ó ÓÒ 0 A ÔÓÙÖ ÔÓ ÒØ Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð π 1 (A)º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} ÒÓØÓÒ a π 1 (A) Ð Ð Ù Ð Ø ÕÙ ØÙ ÙÒ Ó Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A Ò Ð Ò Ö Øº ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒØ π 1 (A) Ô Ö ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø {a, N\{0}}º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø F Ð ÖÓÙÔ Ð Ö ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Ò {a 1,...,a }º ÓÒ ÖÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ 1 m Ð ÑÓÖÔ Ñ p,m : F m F ØÖ Ú Ð ÙÖ a +1,...,a m Ø Ú Ð ÒØ Ð³ ÒØ Ø ÙÖ F ÓÖÑ ÙÒ Ý Ø Ñ ÔÖÓ Ø º ËÓ Ø Γ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ lim F ÓÒ Ø ØÙ ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø {a, N\{0}} Ø Ð ÕÙ ÕÙ Ð ØØÖ ÔÔ Ö Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ó º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø A = m=1 A m Ð ÓÙÕÙ Ø ÔÖ Ñ Ö ÖÐ Aº Ä Ö ØÖ Ø ÓÒ A A ÕÙ ÒÚÓ ØÓÙ Ð ÖÐ A m ÙÖ {0} ÔÓÙÖ m > Ò Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ π 1 (A) ÙÖ F º Ô ÖÑ Ø Ò Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ η : π 1 (A) lim F ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ π 1 (A) ÙÖ Γ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë µº ÇÒ Ô ÙØ Ò ÑÓÒØÖ Ö ÒÓÑ Ö Ù ÔÖÓÔÖ Ø ÙÖ Ð ÖÓÙÔ ÒÒ ÙÜ Û Ò Ð Ø ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ØÓÙØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ØÝÔ Ò Ø Ð Ö Ñ Ð Ò³ Ø Ô Ð Ö ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ôº ¾ µº ÆÓØÓÒ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö S = S(R Z)º Ä ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ψ II : A S ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÒØ Ö A ÓÒ Ñ Ò Sº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö m N\{0} г Ñ Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ η Ð Ð ³ ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø g m Ø Ð ÑÓØ Ò Ò η([g m ]) = b m = (b m, ) N\{0} Γ Ó Ð³ÓÒ ÒÓØ b m, = i=1 a m pgcd(,i), Ó Ð ÔÖÓ Ù Ø Ø ØÙ Ò Ð³ÓÖ Ö i = 1 º Ì ÓÖ Ñ º½º Ä ÑÓÖÔ Ñ Ò ØÙÖ Ð ξ : π 1 (A) π 1 (S) Ø ÙÖ Ø Ø ÔÓÙÖ ÒÓÝ Ù Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ø Ò Ù N Ò Ò Ö Ô Ö Ð ([g m ]) m N\{0} º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ä ÙÖ Ø Ú Ø Ù ÑÓÖÔ Ñ ξ Ø ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò ÑÑ Ø Ù Ø ÕÙ ØÓÙØ Ð Ø Ò S Ø ÓÑÓØÓÔ ÙÒ Ð Ø Ò Aº ÔÐÙ ÕÙ Ð Ø g Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò S ÓÒ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ N Ø ÒÐÙ Ò Ð ÒÓÝ Ù Ù ÑÓÖÔ Ñ ξº ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ð Ø f : S 1 A Ò 0 ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò Sº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ð [f] f Ò π 1 (A) ÔÔ ÖØ ÒØ Nº ÈÙ ÕÙ f Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð ÓÒ Ô ÙØ ÔÖÓÐÓÒ Ö f Ò ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ F : D S Ó D Ò Ð ÕÙ ÖÑ Ö ÝÓÒ 1º ½

ÆÓØÓÒ C = {c, N\{0}} г Ò Ñ Ð ÒØÖ ÕÙ D º ü ÓÑÓØÓÔ ÔÖ ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ F 1 (C) ÓÒØ ÓÐ Ò Dº È Ö ÓÑÔ Ø D ÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ F 1 (C) Ø Ò º ÉÙ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö [f] ÖÓ Ø Ô Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÒ Ù Ù g m ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ F 1 (C) = º ÇÖ S\C Ö ØÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ A ÓÒ Ð Ð Ø f Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò Aº ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÒÓÝ Ù Ù ÑÓÖÔ Ñ ξ Ø Ü Ø Ñ ÒØ Nº ÇÒ Ó Ø ÒÙ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ Ö Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ð Ø ÓÑÓÖÔ Ù ÕÙÓØ ÒØ Ù ÖÓÙÔ Γ Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ø Ò Ù M Ò Ò Ö Ô Ö Ð (b m ) m N\{0} º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä ÖÓÙÔ π 1 (S) ÓÒØ ÒØ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÓÑÓÖÔ π 1 (A)º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÖÓÙÔ π 1 (S) Ò³ Ø Ô ÒÓÑ Ö Ð Ø Ò³ Ø Ô Ð Ö º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ð Ö Ú ÒØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÕÙÓØ ÒØ Γ/M ÓÒØ ÒØ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ó¹ ÑÓÖÔ Γº ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓÖÔ Ñ ζ : Γ Γ Ò Ô Ö a a p ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó p Ò Ð Ñ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Öº Ä ÑÓÖÔ Ñ ζ Ø Ò Ø ÑÓÒØÖÓÒ ÔÐÙ ÕÙ ζ(γ) M = {e} Ó Ø x = (x ) N\{0} ζ(γ) Mº ÜÓÒ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö pº Ä ÑÓØ x ÔÔ ÖØ ÒØ M ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö m N\{0} ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö y m Z Ð ÒÓÑ Ö ÓÒ Ù Ù Ð Ñ ÒØ b ±1 m ÕÙ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð³ Ö ØÙÖ x Ò ÓÑÔØ ÒØ 1 ³ Ø b 1 m ÕÙ ÔÔ Ö Øµº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö k N\{0} ÓÒ ÖÓÒ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÙÖ Ò Ð Ð ØØÖ a ±1 º ÈÙ ÕÙ 2 k p 2k p Ò³ Ø Ô ÔÖ Ñ Ö ÒÓÑ Ö Ó Ø ØÖ Ð 0º È Ö ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k [[0, k]] Ò ÕÙ ÑÓØ b 2 k p Ð Ð ØØÖ a 2 k p ÔÔ Ö Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ϕ(2 k k ) Ó ϕ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ ³ ÙÐ Öº ÇÒ Ò Ù Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N\{0} г ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ (E k ) k y 2 k p ) = 0. ϕ(2k k k =0 k 1 y 1 2 k p + y 2k k 2 k p = 0. k =0 ÇÒ Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø k 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ k k 0 ÒÓÙ ÚÓÒ y 2 k p = 0º Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ý Ø Ñ k 0 ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö (E k ) 1 k k0 Ò Ð k 0 ÒÓÒÒÙ (y 2 k p) 0 k k0 1 ÒÚ Ö Ð Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ú 1 ÙÖ Ð ÓÒ Ð º Ò ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ y p = 0 ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ð ØØÖ a p ÔÔ Ö Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø 0 Ò Ð³ Ö ØÙÖ xº Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö ÓÖ x ζ(γ) ÓÒ Ð ÑÓØ x Ò ³ Ö Ø ÕÙ³ Ú Ð ØØÖ a Ø ÐÐ ÕÙ Ó Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Öº ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö N\{0} ÒÓÙ ÚÓÒ x = eº Ò x = eº Ä ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø ζ Ú Ö ζ(γ) M = {e} ÓÒ Ð Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø Γ Ò Γ/Mº ½

Ê Ö Ò À ź ʺ Ö ÓÒ Ø º À Ð Ö Å ØÖ Ô Ó ÒÓÒ¹ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÙÒ º Ñ Ø º Ï º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ½ º Àà ź ʺ Ö ÓÒ Èº Ð À ÖÔ Ø Îº ÃÐ ÔØ ÝÒ Ì ÙØÝ Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó Ø Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð À Ò Ö ÖÓÙÔ Ö Ú ¼ ½½º ¾¼¼ ØÓ ÔÔ Ö Ò È Âº Å Ø º à Ó٠Ⱥ Ù Ö Ø Àº Ã Ö Ö ÖÓÑÓÚ³ ÐÑÓ Ø Ø Ñ Ò ÓÐ Ø Ö ÕÙ ÒÓº ½ ËÅ ½ ½º ƺ ÓÙÖ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Å ÓÒ¹ ÙÒÓ ½ º º ÒÒÓÒ Ø º ÓÒÒ Ö Ì ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò ÖÓÙÔ ÌÓÔÓÐÓ Ý ÔÔк ½¼ ¾¼¼¼µ ¾¾ ¾ ½º È º ÓÙÖØÓ º г Ó Ø º È ÙÐ Ò ËÙÖ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ ÖÓÙÔ Ñ ØÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÂÓÙÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ÍÈË ¾¼¼ Ä Ø ÓÒ Ð³ ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ¾¼¼ º ʺ Ò ÖÝ º Ô Ø Ò Ø Èº Ö Ò ÆÓØ ÓÒ ÒÓØ Ó Ì ÙÖ ØÓÒ Ò Ò ¹ ÐÝØ Ð Ò ÓÑ ØÖ Ô Ø Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ô º º º Ô Ø Ò º Ôº ¹ ¾ ÄÓÒ º Å Ø º ËÓº Ä Øº ÆÓØ Ë Ö ½½½ Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ ½ º º ÙØÝ Ä Ñ Ø ³ Ò Ñ Ð Ø ÓÑ ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÐк ËÓº Å Ø º Ö Ò ½ ¼µ ½ ½ ½º ÓÖ º ÓÖÒÙÐ Ö ÖØ Ð Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ º Ë Ù À Ö ÃÐÓ ÈÀ ÈÓÒ Ë Ö º ËÑ Ø Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò ÒÓØ Ö ÁÒغ º Ó Ð Ö Ò ÓÑÔÙغ ¾ ½ ¾µ ÒÓº ½ º º Ù ÙÒ ÌÓÔÓÐÓ Ý ÐÐÝÒ Ò ÓÒ ½ º Ⱥ Ð À ÖÔ ËÔ Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø ÖÓÙÔ Ö Ú ¼ ¼ º¾¼ ¼Ú¾ ¾¼¼ º º ÃÐÓ Ò Ö Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó R ØÖ Ø Ò ÑÔÐÝ ÓÒÒ ¹ Ø ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÌÓÔÓÐÓ Ý ¾ ¾¼¼ µ ¼ º Áº ÈÓÙÖ ÞÞ Ø Âº ÀÙ Ö Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó R 2 ÌÓÔÓÐÓ Ý ½ ½ µ ½ ½ º ĺ ˺ ÈÓÒØÖÝ Ò ÌÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ ¾º º ÓÖ ÓÒ Ò Ö ½ º º¹Èº Ë ÖÖ ÓÙÖ ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÈÍ ½ º Ì ÓÑ À ØØ Ð ÓÐ ÆÓÖÑ Ð ËÙÔ Ö ÙÖ Å ÍÅÊ ÆÊË ÖÙ ³ÍÐÑ ¼¼ È Ö Ø ÓÑ º ØØ Ð Ò º Ö ½