Cours 5 Intractions ds Particuls lourds avc la Matièr 1
1. Introduction L princip d détction st d msurr la prt d énrgi dans un intraction ntr la particul t l miliu d détction.. Intractions ds particuls avc la matièr La matièr st composé ds noyaux t d élctrons. Ls particuls puvnt êtr rgroupés slon ls intractions auxqulls lls participnt: lpton: un lpton n particip pas à l intraction fort : élctron, muon, nutrinos ; hadron: un hadron particip à l intraction fort :, p, +, -, nutron,, tc.; photon : boson d l intraction élctromagnétiqu. Dans la physiqu ds particuls t nucléair, on s intérss aux particuls qui ont un énrgi au dssus du kv (à partir ds rayons X).
Trois ds quatr intractions sont impliqués : élctromagnétiqu fort faibl. Intraction élctromagnétiqu : particul chargé + - atomiqu: xcitation, ionisation d l atom particul chargé + noyau : diffusion élastiqu, inélastiqu, production d pairs + -, brmsstrahlung particul nutr +( -, noyau) : pas d intraction photon + - atomiqu: photo-élctriqu, diffusion Compton photon + noyau: production d pairs + -, dissociation nucléair (négligabl) Radiation cohérnt : (particul Radiation Črnkov, radiation d transition chargé) 3
intraction faibl négligabl dans la plupart ds cas, sauf pour ls intractions ds nutrinos avc ls élctrons atomiqus t ls noyaux ; intraction fort pas d intraction avc ls lptons ; dominant dans ls intractions ntr ls hadrons à haut énrgi (chargés ou nutrs) t ls noyaux. Qulqus rmarqus : Slon l énrgi, la charg, l typ (lpton, hadron ou photon) d la particul, t la matièr du miliu d détction, un ou plusiurs intractions sont dominants : à bass énrgi, ls intractions avc ls élctrons atomiqus (xcitation, ionisation) ; à haut énrgi, ls intractions avc ls noyaux dvinnnt importants. La plupart ds détcturs sont basés sur la détction ds xcitations ou 4
ionisations ds atoms par ls particuls chargés. Donc pour ls particuls nutrs, c sont ls particuls chargés scondairs créés par intraction qui sront détctés. Ls quantités qu on souhait msurr sont: taux compturs énrgi calorimètr parcours tracur idntification d particul détctur 5
1. Généralités 4.1. Prt d énrgi ds particuls chargés lourds Par lourds, on ntnd ls particuls baucoup plus lourds qu ls élctrons ds orbits atomiqus. Pour ls particuls chargés lourds à bass énrgi la prt d énrgi st dominé par lur intraction élctromagnétiqu avc ls élctrons atomiqus (rapplons qu la taill d un atom st ~1-1 m, cll d un noyau st ~1-14 m). A haut énrgi ls intractions nucléairs dvinnnt importants. L intraction élctromagnétiqu transfèr un parti d l énrgi cinétiqu d la particul à l'atom, qui dvint xcité ou ionisé. La sction fficac st très ptit ( 1-17 - 1-16 cm ). Mais la grand dnsité d atoms (N A = 6.1 3 ) dans un matériau rnd la prt d énrgi total très important, mêm pour un faibl épaissur. Un proton d 1 MV, par xmpl, prd tout son énrgi dans.5 mm d cuivr. Parfois ls élctrons libérés sont assz énrgétiqus pour ionisr nsuit ls autrs atoms. Cs élctrons sont applés élctrons. 6
. Qulqus chiffrs généraux Enrgi prdu par la particul dans ls collisions inélastiqus avc ls élctrons ds atoms du matériau : grand nombr d collisions t par conséqunc énrgi prdu par collision ptit. Diminution «continu» d l énrgi. A la fin du parcours : captur ds élctrons par la particul jusqu à c qu l énrgi d la particul soit d l'ordr d l énrgi thrmiqu ds atoms du miliu. Exmpl : la captur ds élctrons s fait vrs 1 MV pour ls particuls t.1 MV pour ls protons. La théori à c nivau st difficil t ls informations xpérimntals très utilisés dans ls modèls. Bin qu c phénomèn soit décrit à l aid du trm collision, il n y a pas nécssairmnt contact ntr l élctron incidnt (ou la particul chargé) t l élctron d l atom cibl. Néanmoins, ls phénomèns résultants d ctt intraction élctrostatiqu d duré très brèv puvnt s apparntr à un collision. 7
Théori d Bth. La prt d énrgi dans un «choc» st du à l intraction coulombinn t la sction fficac du procssus st donné par l carré d l élémnt d matric d l intraction coulombinn (n physiqu quantiqu) ntr l état initial t final. Calcul n onds plans. Quls sont ls critèrs d validité d la théori : La distorsion doit êtr faibl Condition supplémntair pour simplifir l calcul : vitss d la particul incidnt >> vitss ds - ds orbits atomiqus. Tout cci st réalisé si z < Z. Un xcption : cas ds fragmnts d fission arrêtés dans ls matériaux légrs. Ls calculs sont plus compliqués t l fragmnt va capturr ds élctrons dès l début du trajt. Ls collisions avc ls noyaux dvinnnt non négligabls. En fait Mott puis Hnnbrg ont montré qu dans c cas, l xprssion classiqu d la prt d énrgi rst valabl (voir plus loin). 8
3. Ls différnts régims d prt d énrgi (dans l cas d l intraction avc un élctron d l atom cibl) 9
Il convint d comparr l énrgi cinétiqu d la particul incidnt E i à l énrgi d liaison E d l élctron lié à l atom. - E i > E : l élctron d la cibl st éjcté d son orbit par intraction élctrostatiqu t mport, au plus, l énrgi cinétiqu E i - E. L atom cibl st alors ionisé (d où l nom d rayonnmnts ionisants). - E i < E : l élctron d l atom cibl rçoit un énrgi insuffisant pour l arrachr d sa couch mais put l portr à un nivau énrgétiqu supériur : l atom cibl st dit «xcité». - E i << E : l énrgi d la particul incidnt st transféré sous form thrmiqu à l atom ou à la molécul qui port l atom : énrgi d translation, rotation, vibration. Sur l plan quantitatif, l énrgi moynn prdu par la particul incidnt dépnd du miliu cibl. En biologi, l miliu habitul c st l au. Un ionisation nécssit l transfrt d 16 V. Statistiqumnt, pour un ionisation s produisnt aussi 3 xcitations, t n outr, un nombr important d transfrts thrmiqus. Cs phénomèns qui accompagnnt l ionisation consommnt égalmnt 16 V n moynn. Au total, 3 V sont nécssairs n moynn pour un ionisation, donc pour crér un pair d ions. Dans l air, ctt énrgi moynn vaut 34 V. 1
C qui vint d êtr décrit au nivau d un sul ionisation s rproduit un grand nombr d fois sur l parcours d la particul. On put donc parlr d la quantité d énrgi prdu par unité d longuur. Ctt prt d énrgi spécifiqu rprésnt l pouvoir d arrêt linéiqu du miliu (TEL : transfrt d énrgi linéiqu n kv/mm). 11
a) Intraction d la particul incidnt avc ls élctrons du miliu Procssus d prt d énrgi dans la matièr : Excitation mécanism scondair 1
Prmir cas : Ionization (jction d l élctron) Enrgi cinétiqu maximal transféré à un élctron d ionisation Nous allons calculr l énrgi cinétiqu maximal qui put êtr transféré par ionisation ntr un particul chargé incidnt t un élctron du cortèg élctroniqu. m v p mv E m atom Z On fait l hypothès qu la vitss d la particul incidnt st très grand par rapport à la vitss orbital ds élctrons, c st à dir : v v Zc pour l orbit la plus profond, où st la constant d structur fin ( = 1/137). L élctron sra donc considéré comm au rpos dans l choc. 13
Sachant qu la collision st élastiqu, l énrgi maximal transféré à l élctron éjcté corrspond à la situation suivant dans l CM: CM p CM p Ls règls d la cinématiqu rlativist prmttnt d trouvr l xprssion d l énrgi cinétiqu d l élctron après la collision : p CM T m B cos 1 B cos T max m B 1 B On calcul la vitss du cntr d mass : p B W t m βγ W m m βγ m m 14
15 En rmplaçant la valur d B t n ffctuant ds calculs algébriqus simpls on obtint : 1 max m m m m γ m β T Si m = m, la particul incidnt st un élctron t l xprssion s réduit à: m E m m γ m β T 1) ( 1 1 1 max Si m >> m, t si l énrgi incidnt E=m st faibl, on a : 1 1 m m m m m
Donc, si la particul st baucoup plus lourd qu l élctron t si la condition m m 1 MV), on obtint: st satisfait (pour un proton E p < 5 GV, pour un muon E < 5 T max m Approximation non rlativist 1 : T max(v) m c 4 m m m cβ T max m ( V ) 4 E m où E c st l énrgi d la particul incidnt. L ionisation aura liu si : T max > I, où I c st l suil d ionisation (Tabl 1). L énrgi minimum d la particul incidnt pour induir l ionisation st alors : E min m 4m I 16
Exmpl : Cas d un proton dans l oxygèn : I =1. V, m =938 MV, m =.511 MV. L énrgi minimum du proton pour induir l ionisation st E min 5. 6 kv. Pour protons d 1 GV ( =.875, =.66) on obtint T max =x.511x(.875.66) =3.33 MV. Ctt limit n st n fait jamais utilisé, surtout dans l cas ds détcturs mincs, à caus ds élctrons émis (voir l paragraph suivant). 17
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Pour ls gaz courants l'énrgi moynn nécssair pour crér un pair élctron-ion st voisin d 3 V. Dans ls détcturs utilisant ds smiconducturs, ctt énrgi W i st baucoup plus faibl, d'où lur intérêt : W i = 3.6 V pour Si t.85 V pour G. W i st n général plus grand qu I, car il y a n général ds xcitations d l'atom qui accompagnnt l'éjction d l'élctron. b) Elctrons Dans ls détcturs l élctron st éjcté avc un énrgi E qui put prndr n import qull valur jusqu T max. Si l énrgi E st grand ( 1V ) l élctron va êtr rsponsabl d ionisations scondairs dans l miliu (/3 ds cas). Un xprssion approché d la probabilité pour qu l élctron rçoiv un énrgi supériur à E st donné par : P( E) K Z 1 A E L nombr d élctrons avc l énrgi compris ntr E t E+E, lors d la travrsé d un épaissur dx d un matériau d mass volumiqu st : 19
dn dx P( E) de L nombr N d élctrons émis avc un énrgi E tll qu: E < E < T max st : de E N ( E E ) T max E P( E) de 1 E 1 T max Si E Tmax alors 1 N E. La figur ci-dssous donn l nombr d élctrons éjctés avc un énrgi E E pour ds protons d 1 GV n fonction d E dans un cntimètr d Argon, dans ls conditions normals. Il y a par xmpl 1 élctrons émis avc un énrgi au dssus d 15 V, qui st l potntil d ionisation d l Argon.
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4. Cas d un transfrt d énrgi faibl : Prt d énrgi moynn. Formul d Bth Calcul non rlativist t non quantiqu avc ds hypothèss simplificatrics : Ls particuls sont supposés ponctulls. L énrgi d liaison ds élctrons du miliu st supposé faibl dvant l énrgi transféré ; la réaction s réduit à un diffusion élastiqu d la particul sur un élctron. La vitss d l élctron st faibl dvant cll du projctil : il st considéré comm étant au rpos. L projctil prd pu d énrgi t sra pu dévié. Nous considérrons donc qu sa trajctoir sra rctilign t qu sa vitss v sra la mêm avant t après l choc.
Rappl : rlation ntr A t la dnsité Par définition : 1 mol d l élémnt X contint Ɲ A atoms d l élémnt X t pès : A = Ɲ A (mass d un atom) V= n m (mol) A / V = (N at /Ɲ A ) (A / V) = (N at /V) (A/Ɲ A )= n A/ Ɲ A où n st l nombr d atoms par unité d volum du matériaux considéré t sa mass volumiqu (abusivmnt applé «dnsité»). Finalmnt n = Ɲ A A 3
db θ b b x 4
Pouvoir d'arrêt de/dx, prt d énrgi E t formul d Bth-Bloch Classiqumnt on put calculr de/dx d la façon suivant. D abord on calcul l impulsion p fourni par la particul incidnt à un élctron atomiqu à travrs la forc d Coulomb: z p p t F y dt sin θ 4πε r π p z sin θ dθ z 4πε vb πε vb dx v, avc 1 r sin, b où z, v, b sont la charg, la vitss t l paramètr d impact d la particul, rspctivmnt. x b tgθ, b dx dθ sin θ On calcul puis dans un approch non-rlativist l énrgi transmis à l élctron: p z4 de m 8πεvbm 5
En admttant un distribution uniform ds élctrons, l nombr ds "collisions" qu la particul subit avc ds élctrons situés à un paramètr d impact compris ntr b t b+db, t dans un épaissur dx st dn qui ngndr un transfrt d énrgi πb dbdxρ(n /A) Z dt A z4 dn de (ρn 4πεvbm La prt d énrgi par unité d distanc st donc : de bmax dt(b) z ( N A/A)Z dx bmin dx 4πε A /A)Zdbdx Problèm : l intégral divrg! On put (on doit) n limitr ls borns n utilisant ds argumnts un pu qualitatifs Par la suit, «qulqus approximations» vont êtr faits afin d stimr au miux ctt équation. 4 m v ln ( b b max min ) 6
Estimation d b min t b max b grand E(b) ptit Ls élctrons sont liés aux noyaux. L transfrt d énrgi st plus ptit qu l énrgi moynn d ionisation I ds élctrons t l procssus n st plus fficac. On dmandra donc qu : E(b) > I, c qui donn : de 1 ( 4πε 4 z b v m ) max I On tir un valur pour b max : b max 1 4πε z v m I b ptit E(b) grand On a montré qu l énrgi maximum transférabl st : max m β γ E max T m m 1 m m 7
En supposant m m, E max ~.m c =.m v t comm on obtint ΔE m v Δ(p ) m 4πε mb v En introduisant =1(limit non rélativist), b max, b min, classiqu d l élctron on obtint : 1 1 4πε z m b z 4 v min 4 1 z bmin 4πε γv m r 1 4 mc l rayon de dx Zz r v m c 4 ( N A / mv A)ln I où I c st constant d ionisation ou l potntil moyn d xcitation ds atoms du miliu. Ctt rlation, obtnu par Bohr, n st qu approximativ. 8
L calcul à partir d la mécaniqu rlativist a été fait par Bth t Bloch de dx m v Wmax N / A ln C 4 Zz r mc v A I Z où v / c, 1 1 v. st un corrction pour ls ffts d dnsité d charg à haut énrgi, tandis qu C/Z tint compt ds ffts d liaison ds élctrons, ffts qui sont importants à bass énrgi. En tnant compt qu l énrgi maximal transféré dans un collision T max (vu précédmmnt) st : T max mc m m 1 m m m v pour m m 9
3 on obtint approximativmnt Z C I m c z n r m c Z C I m c A N m c r Zz dx de A ln ) (4 ln / 4 où A N Z n A é / st la dnsité ds élctrons atomiqus.
La constant d ionisation (I) applé aussi l potntil moyn d xcitation, tint compt ds propriétés globals ds atoms (nivaux d xcitation t sctions fficacs rlativs d cs xcitations). C st un valur difficil à calculr. Ell a été msuré pour différnts matériaux t paramétré n fonction d Z. I 1. 9. 76 58. 8 Z V si Z 13 Z I 7 1 V pour Z 13 Z Z Cpndant I a ds irrégularités locals dus aux frmturs ds couchs atomiqus. Pour ls gaz t ls corps légrs cllsci sont importants t ls formuls mpiriqus donnés ci-dssus n sont plus valabls. 31
La corrction d dnsité d charg () st du au fait qu l champ élctriqu d la particul incidnt polaris ls atoms près d sa trajctoir. Ctt polarisation réduit l fft du champ élctriqu sur ls élctrons plus éloignés (fft d écran). Cla réduit la prt d'énrgi -de/dx (parc qu > ). Ct fft st plus important si l énrgi ds particuls augmnt (l champ élctriqu st plus étndu), ou si la dnsité du matériau st plus élvé (liquids t solids). La corrction C/Z tint compt ds ffts d liaison ds élctrons t st important à bass énrgi. Pour simplifir, on définit K -1 4 N Ar mc.3775 MV.g. cm On put donc xprimr de/dx n unité d énrgi par unité d dnsité d surfac (g. MV g -1 cm ) de dx K z Z mc ln A I 1 C Z 3
Ctt formul mt n évidnc ls dépndancs d de/dx : z : dépndanc d la particul incidnt; un particul prd 4 fois plus d énrgi qu un proton (pour un mêm t mêm miliu). Z A : dépndnc du miliu; Z A. 5 pour la plupart ds matériaux sauf pour l hydrogèn. 33
Dépndanc n énrgi d de/dx Prt d énrgi ds muons dans l cuivr n fonction d =(pc)/(mc )=P/W. La formul d Bth-Bloch s appliqu pour.1. Pour l muon, Mc =15.66 MV. Au dlà d l énrgi critiqu E c, la prt d énrgi par rayonnmnt d frinag prnd l dssus sur l ionisation. 34
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Pour ls particuls non rlativists, -de/dx st dominé par l trm 1. L trm C/Z st important à bass énrgi, il contribu au nivau d 1% quand =.3 (pion d 6 MV) t décroît fortmnt avc l'énrgi. A très bass énrgi <.5 il n y a pas d théori satisfaisant. Pour v particul < v : théori d Lindhart. La diminution d -de/dx continu jusqu'à un minimum larg autour d p/mc = ß ~3-3.5 où la particul dvint rlativist. Ls particuls avc ctt énrgi sont applés ls particuls au minimum d ionisation (MIP s). Pour ls élctrons : un - d 1 MV st au minimum d ionisation. Pour ls protons : Pour ls alphas ; un p d 1.9 GV st au minimum d ionisation. un d 7.5 GV st au minimum d ionisation. La valur d de/dx au minimum st prsqu idntiqu pour ls différnts particuls d mêm charg dans un mêm miliu. D plus, il st prsqu constant, d 1 à MV g -1 cm, pour la plupart ds matériaux (voir figur suivant). 36
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Après l minimum, à haut énrgi, 1, de/dx croit à caus du trm logarithmiqu n ß ; ctt croissanc st compnsé n parti par la corrction d dnsité ("rmonté rlativist") (Figur.9). 38
Avant l minimum, chaqu particul a un courb de/dx qui, dans la plupart ds cas, s distingu ds autrs typs d particuls. Ctt propriété st souvnt xploité pour l idntification ds particuls (figur.11). 39
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A très haut énrgi, ls prts d énrgi par collision dvinnnt négligabls par rapport aux prts par radiation (voir plus loin). Ct fft n st important qu pour ls particuls légèrs (au dssus d 1 TV pour ls par xmpl). 41
Avant l énrgi MIP ls de/dx sont pu différnts pour différnts matériaux solids. L minimum st prsqu indépndant d matériau. L fft du trm augmnt avc l énrgi incidnt t avc l du miliu pnt plus plat pour ls solids. 4
Application Pour ds particuls non-rlativists (ions lourds d GANIL par xmpl) de dx z v de dx 1 Az E On msur simultanémnt E t E dans un épaissur dx. de E x dx donc E E Az A chaqu ion corrspond un hyprbol dans l plan (E, E). 43
Validité d la formul Bth-Bloch : Résumé La formul Bth-Bloch st un approximation précis au nivau d qulqus pour-cnt pour ls particuls lourds d qulqus MV (ß ~.1), jusqu à ds cntains d GV. A très haut énrgi (TV), la prt d énrgi par radiation dvint important t la formul doit êtr complété par ds trms supplémntairs (voir plus loin). A très bass énrgi, quand la vitss ds particuls st comparabl à cll ds élctrons atomiqus, la formul n st plus valabl. Prts d'énrgi à bass énrgi La corrction d couch n C/Z corrig partillmnt ds ffts d'énrgi d liaison ds élctrons sur ls couchs atomiqus du matériau ("Corrction d Barkas" qui dépnd d la charg du projctil). Voir : http://physics.nist.gov/physrfdata/star/txt/contnts.html 44
C'st un corrction d l'ordr d 1% à =.3 (énrgi cinétiqu pour un pion d 6 MV) dans l cuivr. Ctt corrction décroît rapidmnt lorsqu l'énrgi incidnt augmnt. Ds corrctions d'ordr supériur puvnt aussi êtr apportés. Lorsqu cci st corrctmnt fait, la précision d la formul d Bth st d 1% jusqu'à =.5 (1 MV proton). Pour.1 < <.5, il n'y a pas d théori satisfaisant. Pour ls protons il y a ds formuls mpiriqus d "fit" dévloppés par Andrson t Ziglr. Pour <.1 (la vitss ds élctrons sur lur orbit) la théori d Lindhart rproduit bin l de/dx qui st proportionnl à. A très bass énrgi ls intractions nucléairs dvinnnt plus importants. Exmpl: Dans la référnc ICRU49, l de/dx ds protons dans l cuivr à T = 1 kv st d 113 MV/cm g -1 t attint un maximum à 1-15 kv (1 MV/cm g -1 ) t tomb à 1 MV/cm g -1 à 1 MV. Au dssus d.5-1 MV la théori d Bth dvint satisfaisant. 45
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de/dx pour mélangs t composés Un bonn approximation st d fair la moynn sur chaqu élémnt simpl, pondéré par la fraction d'élctrons appartnant à chaqu élémnt (Règl d Bragg). 1 de dx w1 1 de dx 1 w de dx w i = fraction n poids. w i ai Ai A m a i = nombr d'atoms d l'élémnt «i» dans la molécul A i = mass atomiqu d l'élémnt A m A partir d la formul précédnt on put calculr: a i A i 47
Z C ff ln( I ff ff ff ) a Z i i i aizi i Z ff a C aizi ln( I Z 1 de de NB: Il st plus commod d'utilisr ls dx n MV/g/cm plutôt qu l dx n MV/cm de 1 de Z z f (, I) d dx A Pour ds matériaux d Z voisins, Z/A vari pu. D mêm pour I n fonction d Z. L de dx vari pu n fonction du matériau. i ff i ) 48
Exmpl: Protons d 1 MV dans 1 g/cm Cu: 7 MV/g/cm Al: 33 MV/g/cm F: 8 MV/g/cm Pb: 17.8 MV/g/cm 49
Loi d'échll Dans un matériau donné la formul d Bth put êtr écrit sous la form: de z f ( ) dx ou f ( ) st uniqumnt fonction d la vitss d la particul. La prt d'énrgi dans n'import qul matériau dépnd uniqumnt d la charg t d la vitss d la particul. Comm l'énrgi cinétiqu s xprim comm T ( 1) mc, la vitss st un fonction d T/m t alors =g(t/m). de T z f La rlation ci-dssus dvint dx m. Cci suggèr un loi d'échll: Si on connaît l de/dx pour un particul d mass m 1 t d charg z 1, alors la prt d'énrgi d'un particul d mass m t d charg z dans l mêm matériau, on pourra écrir pour la particul : de dx ( T ) z z 1 de 1 dx T m m 1 5