Dérivabilité 10 décembre 2016

Dérivabilité 10 décembre 2016

1 Dans tout ce capitre f désigne une fonction définie sur un intervalle I et a 2 I. 1. Définitions et premiers résultats 1.1 Définitions On connait depuis le lycée la définition eacte de fonction dérivable en un point. Un brinde rappel ne fait cependant pas de mal. Définition. 1) On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite suivante eiste : f() a l On appelle f() a le tau d accroissement en a et le nombre l la dérivée de f au point a.onlenotef 0 (a). 2) On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable ( en tout point de I. 3) Lorsque f est dérivable sur I, onnotef 0 I R : 7 f 0 la fonction dérivée. () Remarque. De manière équivalente on montre que f est dérivable au point a si et seulement si : f(a+) aunelimitelorsque tend vers 0. Eemple. On prend f() p et a>0 : p p f(a+) a+ a a+ a ( p a++ p 1 a) p p a++ a 1 2 p a En revance si on prend a 0la limite n eiste pas. Donc la fonction racine est continue sur R + mais dérivable seulement sur R +. Remarque. Si l on connait les notations de Landau, il ne s agira que d un simple eercice d écriture que de montrer que f est dérivable en a si et seulement si f(a + ) +f 0 (a)+o(). Définition. 1) On dit que la fonction f est dérivable à gauce en a si la limite suivante eiste : f() a On note cette limite f 0 g(a). 2) On dit que la fonction f est dérivable à droite en a si la limite suivante eiste : l On note cette limite f 0 d (a). f() l a + Remarque. Alalumièreducapitreprécédentsurleslimitesilestévidentqu unefonctionestdérivableenunpoint et et seulement si elle est dérivable à gauce et à droite en ce point et que les dérivées gauces et droites coincident. Eemple. 7 admet une dérivée à gauce (resp à droite) en 0 égale à 0. 1 (resp 1) doncn estpasdérivableen

2 1.2 Liens avec la continuité Proposition. Une fonction dérivable en a est continue en a. Démonstration. Soit f une fonction dérivable en a. Il suffit de voir que f admet une limite en a. On sait que f() a)f 0 (a) 0. a f 0 (a) donc f() a f 0 (a) 0 et en multiplant par ( a) : f() ( Or ( a)f 0 (a) 0 donc f() et f est continue en a. Eample. La réciproque est évidemment fausse car la fonction 7 est continue mais pas dérivable en 0. 8 >< R R Eercise. Montrer que la fonction f : >: 7 2 Si 2Q est dérivable en 0 mais continue sur aucun voisinage 0 Si /2 Q de 0. 1.3 Interprétation grapique On se donne pour 2 I tel que 6 a et on considère les points suivants de la courbe de f : A :(a, ) et M :(, f()). Ladroite(AM) apourpenteletaud accroissement f() a.onpeutdoncvoir,s ileiste,le nombre dérivé en a comme la limite des pentes des cordes du grape de f partant de a. La droite passant par A et ayant pour pente f 0 (a) est donc tangente en A àlacourbedef. Remarque. La droite d équationy f 0 (a)( a)+ est donc la droite tangente à la courbe de f en a.

3 2. Opérations sur les fonctions dérivables. Proposition. ( D a R 1) L ensemble D a des fonctions dérivables en a est un espace vectoriel et f 7 f 0 est une forme linéaire. (a) 2) Le produit de fonctions dérivables en a est dérivable en a et (fg) 0 (a) f 0 (a)g(a)+g 0 (a) Démonstration. Soient f et g deu fonctions dérivables en a et soient et µ 2 R. 1) Il s agit ici de montrer que toute combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable et que le nombre dérivé de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des nombres dérivés. ( f+µg)(a+) ( f+µg)(a) proposition. 2) fg(a+) fg(a) g 0 (a) f(a+) g(a+) g(a) µ f 0 a)+µg 0 (a) ce qui prouve la première partie de la 0 (f(a+) )g(a+) (g(a) g(a+)) f(a+) g(a) g(a+) g(a + ) g(a)f 0 (a) + 0 Remar. On déduit immédiatement que si f et g sont deu fonctions dérivables sur I alors fg est dérivable sur I et (fg) 0 f 0 g + fg 0. Proposition. 1) Si f est dérivable en a et si 6 0alors 1 f est dérivable en a et \frac{1}{f} (a)\frac{-f (a)}{^2}. 2) Si f et g sont des fonctions dérivables en a alors f g est dérivable en a et ( f g )0 (a) f 0 (a)g(a) g 0 (a) g(a) 2 3) Si f et g sont des fonctions dérivables sur I, alors f g est dérivable sur I et ( f g )0 f 0 g fg 0 g 2 Démonstration. 1) Comme f ne s annule pas en a et est continue alors f ne s annule pas sur un voisinage autour de a. Formons le tau d accroissement pour suffisemment petit : 1 1 f(a+ f(a+) f(a+) f(a+) 1 f(a+) f 0 (a) 0 2 2) C est une conséquence immédiate de la formule 1) et de la dérivée d un produit. 3) C est 2) en tout point de I Proposition. Soit f : I J et g : J R telles que f est dérivable en a 2 I et g dérivable en 2 J. Alors g f est dérivable en a 2 I et (g f) 0 (a) g 0 ()f 0 (a). Démonstration. On forme le tau d accroisement : (y) g f(a+) ( g(y) g( y Si 6 y g 0 () Si y g (f(a + )) qui est continu en. f(a+) 0 g 0 ()f 0 (a). Remarque. C est de cette proposition que viennent toutes les tables de dérivées suivantes : (u n ) 0 nu n 1 u 0

4 (ep(u)) 0 ep(u)u 0 (ln(u)) 0 u0 u etc Fait. En pratique pour montrer qu une epression est dérivable, comme pour les fonctions continues, on décomposera en somme produit et composition de fonctions que l on sait dérivables. Proposition. Soit f une application continue et strictement monotone de I à valeurs dans un intervalle J et dérivable en f 1 (a) 2 I. Alors la fonction f 1 est dérivable en a si f 0 (f 1 (a)) 6 0et alors f 1 (a) 1 f 0 (f 1 (a)). Démonstration. On sait que f(a+) continue f 1 (a + ) 0 f 1 (a) et donc : f(f 1 (a+)) f(f 1 (a)) f 1 (a+) f 1 (a) ) 0 f 0 (f 1 (a)). Or f(f 1 (a+)) f(f 1 (a)) f 1 (a+) f 1 (a) f 1 (a+) f 1 (a). Et donc f 1 (a+) f 1 (a) 1 aunelimiteetc estf 0 (f 0 f 0 (a). Le téorème de la bijection monotone nous dit que f 1 est 1 (a)) 3. Téorèmes générau 3.1 Etrema et dérivée Définition. 1) On dit que f admet un minimum local en a si et seulement si il eiste >0 tel que : 8y 2], + [,f(y) 2) On dit que f admet un maimum local en a si et seulement si il eiste >0 tel que : 8y 2], + [,f(y) apple 3) Un etremum local est un minimum local ou bien un maimum local. 4) On dit que f admet un minimum global en a si et seulement si : 8y 2 D f,f(y) 5) On dit que f admet un maimum global en a si et seulement si : 8y 2 D f,f(y) apple 6) Un etremum global est un minimum global ou bien un maimum global. Remarque. On fera attention a ne pas confondre etremum et point en lequel cet etremum est atteint. Eemple. La fonction définie sur R 7 ( autre etremum local. 1) 2 admet 0 pour minimum global au point 1 et n admet aucun Remarque. Un etremum global est évidemment un etremum local.

5 La proposition suivante est bien connue depuis le lycée, ici nous voyons une preuve. De plus elle sera fortement utile pour déterminer des candidats lorsque l on cerce les points où sont atteints les etrema d une fonction. Proposition. Soit f une fonction admettant un etremum en a, point intérieur de son domaine de définition, et dérivable en a. Alors f 0 (a) 0. Démonstration. Supposons que a soit un maimum de f (quitte à canger f en Le tau d accroissament pour >0 : f(a+) limite se trouve être fd 0 (a). f). est négatif et donc sa limite lorsque 0 + est négatif. Cette Le tau d accroissament pour <0 : f(a+) est positif et donc sa limite lorsque 0 est positif. Cette limite se trouve être fg(a). 0 Or f est dérivable en a donc f 0 (a) f 0 g(a) f 0 d (a) et f 0 (a) estàlafoispositifetnégatif. Donc f 0 (a) 0. Remarque. On prendra garde au fait que la réciproque de ce téorème n est pas vraie. Eemple. La fonction réelle 7 3 est dérivable sur R et sa dérivée est 7 2 qui vaut 0 en 0. Or0 n est pas un etremum de 7 3. 3.2 Téorème de Rolle Dans toute cette partie on se donne deu réels a et b tels que a<b. Téorème. (Rolle) Soit f une fonction continuesur[a, b] dérivablesur]a, b[ vérifiant f(b) Alors il eiste c 2]a, b[ tel que f 0 (c) 0. Démonstration. Dans le cas où f est constante, sa dérivée est nulle (car les tau d accroissement sont tous nuls) et le résultat est évident : n importe quel c marce. Dans le cas où f est non constante, alors comme f est continue sur un segment, f est bornée et atteint ses bornes. Une de ces bornes est atteinte en un point c 2]a, b[ (sinon f serait constante). D après la proposition précédente f 0 (c) 0. Grapiquement une fonction vérifiant les ypotèses du téorème de Rolle admet une tangente orizontale.

6 Téorème. (Accroissements finis) Soit f une fonction continuesur[a, b] dérivablesur]a, b[ Alors il eiste c 2]a, b[ tel que f 0 (c) f(b) b a. f(b) Démonstration. On pose g() f() b a ( a). Il est immédiat de vérifier que g vérifie toutes les ypotèses du téorème de Rolle et alors on a le résultat. Grapiquement une fonction vérifiant les ypotèses du téorème des accroissements finis admet une tangente parallèle à la grande corde reliant (a, ) et (b, f(b)). Téorème. Soit f une fonction continuesur[a, b] dérivablesur]a, b[ Alors f(b) apple (b a) sup 2]a,b[ f 0 (). Démonstration. On applique le téorème de Rolle. 9c 2]a, b[ tel que f 0 (c) f(b) b a et donc : f(b) apple (b a) sup 2]a,b[ f 0 (). On va maintenant présenter un résultat fondamental en analyse réel et que l on utilise depuis le lycée qui se trouve être une conséquence du TAF. Corollaire. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est constante sur I, f est dérivable sur I et f 0 0. Démonstration. )) Ce sens est facile tous les tau d accroissement étant nuls. () Supposonsquef est dérivable sur I et que f 0 0. Soient, y 2 I Le TAF affirme qu il eiste c 2], y[ tel que f(y) f() (y )f 0 (c) 0et donc f() f(y).

7 3.3 Dérivée et variation. Dans cette partie nous étudions une autre propriété fondamentale de la fonction dérivée : celle qui nous permet de tracer des tableau de variation. Proposition. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors, 1) f est croissante sur I, f 0 0. 2) f est décroissante sur I, f 0 apple 0. Démonstration. Quitte à canger f en f on peut encore ne prouver que le cas 1) )) Supposonsquef est croissante. Soit a 2 I. Alorsletaud accroissementen pour >0: f(a+) est positif et tend vers f 0 d (a) lorsque 0 +. Or f est dérivable donc fd 0 (a) f 0 (a) 0. () Supposonsquef 0 0.Soient, y 2 I avec <y.letafassurequ ileistec2], y[ tel que : f(y) f() (y )f 0 (c) 0 et donc f() apple f(y) et f est croissante. 3.4 Prolongement dérivable Téorème. (Prolongement dérivable) Soit f une fonction dérivable sur I \{a} et telle que f 0 () l. Alors f est dérivable en a et f 0 (a) l. Démonstration. Soit 2 I \{a}. Formonsletaud accroissements f() a. f vérifie les ypotèses du téorème des accroissements finis entre et a et donc il eiste c 2]a, [ tel que : f() f 0 (c ) a Lorsque a, c tend aussi vers a. Orf 0 admet une limite en a donc f() dérivée l. a l et f est dérivable en a de Corollaire. Soit f une fonction dérivable sur I \{a} et telle quef 0 () ±1. Alors f n est dérivable en a et admet une tangente verticale en a. Démonstration. On fait la même preuve qu au téorème précédent sauf que le tau d accroissement tend vers ±1. 8 >< R R ( Eemple. On considère la fonction f : ep( 1 >: 7 ) Si 6 0.Alorsf est prolongeable par continuité en 2 0 Si 0 0 et dérivable sur R.Pour 6 0, f 0 () 2ep( 1 2 ) 3 0 de dérivée 0. qui tend vers 0 lorsque tend vers 0. Doncf est dérivable en

8 Remarque. Attention, le téorème précédent n est pas une équivalence, par eemple si on définit : 8 >< R R ( f : >: 2 sin( 1 7 ) Si 6 0. 0 Si 0 Alors f est continue en 0 mais aussi dérivable en 0 (il suffit de former le tau d accroissement). Cependant pour 6 0, f 0 () sin( 1 ) qui n a pas de limite en 0. Le téorème du prolongement dérivable est donc un outil fort utile mais qui a ses limites. 4. Dérivées d ordre supérieur Définition. 1) On note C 1 (I) l ensemble des fonctions continues et dérivables sur I dont la dérivée est une fonction continue sur I. 2) On définit par récurrence C n+1 (I) l ensemble des fonctions continues et dérivables sur I dont la dérivée appartient à C n (I). C est à dire les fonctions n fois dérivables sur I dont la dérivée n-ème est continue sur I. 3) On note f (n) la dérivée n-ème de f. C est à dire f (n) (f (n 1) ) 0.Parconventionf (0) f. Proposition. (Formule de Leibniz) Soient f et g deu fonctions dans C p (I). Alors fg 2 C p (I) et (fg) (n) n P n f () g (n ) pour tout n apple p. Démonstration. On montre le résultat par récurrence. Le résultat est évidemment vrai pour n 0. Supposons le résultat vrai au rang n<p. (fg) (n+1) ((fg) (n) ) 0 ( f () g (n ) ) 0 (f () g (n ) ) 0 (f (+1) g (n ) + f () g (n +1) ) f (+1) g (n ) + f () g (n +1) n+1 X f () g (n+1 ) + f () g (n +1) 1 1 n n ( + )f () g (n+1 ) + f (n+1) g + fg (n+1) 1 1 n+1 X +1 f () (n+1 ) g

9 Et le résultat est vrai au rang n +1. Téorème. (Prolongement C^n) Soit f une fonction C n sur I \{a}, C n 1 sur I et telle que f (n) () l. Alors f est C n sur I. Démonstration. Il s agit d une conséquence directe du téorème du prolongement dérivable, et du fait qu une fonction est continue en un point si et seulement si elle admet une limite en ce point.