Matrice p. 1/2
I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2
I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). p. 2/2
I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). Les éléments a ij sont appelés les coefficients de la matrice. Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne. p. 2/2
I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). Les éléments a ij sont appelés les coefficients de la matrice. Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne. Les éléments a ii sont appelés les coefficients diagonaux. p. 2/2
On représente A sous forme de tableau a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p.... A =.. a i1 a i2 a ij a ip.... a n1 a n2 a nj a np p. 3/2
Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. p. 4/2
Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. p. 4/2
Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. Une matrice à une ligne n = 1 s appelle une matrice-ligne. p. 4/2
Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. Une matrice à une ligne n = 1 s appelle une matrice-ligne. Une matrice à une colonne p = 1 s appelle matrice colonne. p. 4/2
Matrice A diagonale si a ij = 0 pour i = j. p. 5/2
p. 5/2 Matrice A diagonale si a ij = 0 pour i = j. Exemple A = 1 0 0 0 4 0 0 0 e
On appelle matrice identité notée I n la matrice diagonale d ordre n dont les termes diagonaux sont égaux à un. p. 6/2
p. 6/2 On appelle matrice identité notée I n la matrice diagonale d ordre n dont les termes diagonaux sont égaux à un. Exemple : n = 3 I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Une matrice A est triangulaire inférieure si a ij = 0 pour i < j. p. 7/2
p. 7/2 Une matrice A est triangulaire inférieure si a ij = 0 pour i < j. Exemple : 4 0 0 5 2 0 1 8 1
Une matrice A est triangulaire supérieure si a ij = 0 pour i > j. p. 8/2
p. 8/2 Une matrice A est triangulaire supérieure si a ij = 0 pour i > j. Exemple : 4 0 2 0 5 4 0 0 1
p. 9/2 Matrice B = t A transposée de A, (i, j) b ij = a ji.
p. 9/2 Matrice B = t A transposée de A, (i, j) b ij = a ji. Exemple A = 1 2 3 4 5 6 t A = ( 1 3 5 2 4 6 )
Une matrice A est symétrique si A = t A c est-à-dire (i, j) a ij = a ji. p. 10/2
p. 10/2 Une matrice A est symétrique si A = t A c est-à-dire (i, j) a ij = a ji. Exemple : 1 2 3 2 5 6 3 6 9
II-Opérations sur les matrices Si A et B sont de mêmes dimensions a 11 + b 11 a 1j + b 1j a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 2j + b 2j a 2p + b 2p.. A + B=.. a i1 + b i1 a ij + b ij a ip + b ip.... a n1 + b n1 a nj + b nj a np + b np p. 11/2
p. 12/2 Produit d une matrice A par un réel λ λa 11 λa 1j λa 1p λa 21 λa 2j λa 2p.. λa =.. λa i1 λa ij λa ip.... λa n1 λa nj λa np
p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C
p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C où C matrice n lignes et q colonnes avec c ij = p k=1 a ik b kj.
p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C où C matrice n lignes et q colonnes avec c ij = p k=1 a ik b kj. AB = BA
p. 14/2 A = 1 2 3 4 0 4 B = ( 1 2 1 0 1 2 )
p. 14/2 A = 1 2 3 4 0 4 ( B = AB = 1 2 1 0 1 2 ) 1 4 5 3 10 11 0 4 8
p. 14/2 A = 1 2 3 4 0 4 ( B = AB = 1 2 1 0 1 2 ) 1 4 5 3 10 11 0 4 8 qui n est pas égal à BA = ( 7 14 3 12 )
Propriétés : Le produit matriciel est : associatif : ABC = (AB)C = A(BC) distributif par rapport à l addition : A(B + C) = AB + AC non commutatif : AB n est pas égal à BA en général. La matrice unité I est élément neutre pour la multiplication : AI m = I n A = A, si la matrice A est de dimensions (n, m). p. 15/2
A quoi sert une matrice? p. 16/2
p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire 3x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4
p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire 3x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4 peut s écrire sous forme matricielle Au = b
p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire A = 3 2 1 2 1 1 4 3 2 3x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4 u = x y z b = 2 7 4
Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. p. 17/2
p. 17/2 Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. Propriétés: I n A = A = A I n
Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. Propriétés: I n A = A = A I n t ( t A) = A t (A + B) = t A + t B t (λa) = λ t A t (AC) = t C t A p. 17/2
Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices p. 18/2
p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement
p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement ajouter un multiple d une ligne (colonne) à une autre ligne (resp. colonne)
p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement ajouter un multiple d une ligne (colonne) à une autre ligne (resp. colonne) multiplier une ligne ou une colonne par un nombre différent de zéro
Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. p. 19/2
p. 19/2 Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. Multiplier une matrice A par une matrice élémentaire à gauche (ie calculer PA) revient à effectuer l opération élémentaire correspondante sur les lignes de A.
p. 19/2 Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. Multiplier une matrice A par une matrice élémentaire à gauche (ie calculer PA) revient à effectuer l opération élémentaire correspondante sur les lignes de A. à droite (AP) revient à faire une opération sur les colonnes.
Exemples effectués en dimension 3 p. 20/2
p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation
p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation (lignes (ou colonnes) 1 et 2 de I 3 ) 0 1 0 P 1 = 1 0 0 0 0 1
p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A
p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A P 1 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A = P 1 A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 0 1 2 1 2 1 5 4 1
p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A AP 1 permutation colonnes 1 et 2 de A
Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A AP 1 permutation colonnes 1 et 2 de A 0 1 0 P 1 = 1 0 0 0 0 1 A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 AP 1 = 2 1 1 1 0 2 4 5 1 p. 20/2
p. 21/2
P 2 matrice de dilatation p. 21/2
p. 21/2 P 2 matrice de dilatation (5 fois ligne (ou colonne) n 3 de I 3 ) 1 0 0 P 2 = 0 1 0 0 0 5
p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A
p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A P 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 5 A = P 2 A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 1 2 1 0 1 2 25 20 5
p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A AP 2 5 fois colonne n 3 de A
p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A AP 2 5 fois colonne n 3 de A A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 P 2 = AP 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 5 1 2 5 0 1 10 5 4 5
p. 22/2
P 3 matrice de transvection p. 22/2
p. 22/2 P 3 matrice de transvection (ligne n 3<-(ligne n 3 + 5*ligne n 2) de I 3 ) (colonne n 2<-(colonne n 2 + 5*colonne n 3) de I 3 ) P 3 = 1 0 0 0 1 0 0 5 1
p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A
p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A P 3 = 1 0 0 0 1 0 0 5 1 A = P 3 A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 1 2 1 0 1 2 5 9 11
p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A AP 3 (col. n 2<-col. n 2 + 5*col. n 3) de A
p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A AP 3 (col. n 2<-col. n 2 + 5*col. n 3) de A 1 0 0 P 3 = 0 1 0 0 5 1 A = 1 2 1 0 1 2 5 4 1 AP 3 = 1 7 1 0 11 2 5 9 1