NOM : Prénom : Classe : Observations : Note : Signature : Durée 2 heures Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. Exercice 1 (2 points) Calculer et simplifier : A = 34 2 : 4 3 8 B = 4 9-2 9 27 4 Exercice 2 (1, points) Calculer et donner le résultat en écriture scientifique. C = 24 10² 3, 10 8 10-1 21 (10²)² 1
Exercice 3 (4 points) On donne A = - 27 + 4 3 et B = 2 3-3 12 Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible. A + B = A B = B² = A B = Exercice 4 (3 points) On donne l expression : A = (2x 1)² - (2x 1)(4x + ) 1) Développer A. 2) Factoriser A. 3) Calculer A pour x = 1 2 2
Exercice (6, points) A B H I x + 3 E F L O N P M x 3 D x + 3 G C K 3 J Figure 1 Figure 2 1) a) Laquelle de ces surfaces colorées a pour aire : A = 2 (x + 3)²? (Justifier la réponse) b) Développer et réduire A. c) Factoriser l expression A. 3
d) Calculer A pour x = 2. e) En utilisant la forme développée, calculer A pour x = 2. Expliquer, en utilisant la question 1, pourquoi le résultat était prévisible? 2) a) Quelle est l aire F de la surface colorée de la figure 2? b) Factoriser l expression F. c) Peut-on calculer F pour x = 4? 4
Exercice 6 (7 points) Reporter dans le deuxième tableau en cochant la ou les bonnes réponses pour chaque question. (0, point pour une réponse exacte / 0 point pour une absence de réponse / - 0,2 pour une réponse fausse) 1 Ce graphique représente une fonction f R1 R2 R3 R4 l'image de -2 est 0 3 est l'image de - 2 f(-2) = 3 f(3) = -2 2 Pour la fonction f représentée ci-dessus, un antécédent de -3 est 3 x -1 0 1 2 3 g(x) 2 1 6 2 0 1 3-3 l'image de 2 par g est -1. g(2) = 3 2 a pour image par g 2 est l'image de par la fonction g 4 Par la fonction g ci-dessus, le (les) antécédent(s) de 2 est (sont) h(x) = 2x² - 4. L'image de 0 par h est 6 m(2) = 4 lorsque la fonction m est définie par : 7 p(x) = x + donc l'image de - x² - 4 par p est 0 8 Par une fonction -1-1 et 3-4 0-2 0 n'a pas d'image m(x) = x - 2 m(x) = 3x - 2 m(x) = x² m(x) = - x 3 un nombre peut avoir deux images 0 est l'image de par p un nombre peut avoir aucun antécédent tout nombre a une image par p un nombre peut avoir plusieurs antécédents 2 n'a pas d'image par p tout nombre a au plus une image 1 2 3 4 6 7 8 R1 R2 R3 R4
Exercice 7 (3, points) Soit C un cercle de centre O et A, B, C trois points de ce cercle. AB = 10 cm et BC = cm 1) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. 2) Calculer la valeur exacte de AC. 3) Calculer la mesure de l angle d A. 6
Exercice 8 : l acrobate (3 points) Dans un parc d activités, une épreuve consiste à parcourir une certaine distance, entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de poulie qui permet de glisser le long d un câble). La situation est schématisée dans un plan vertical par le triangle rectangle ACB ci-après, où A et B désignent les points de fixation du câble sur les arbres, le segment [AB] représentant le câble. On sait que le câble mesure 7 m de long, qu il fait un angle de avec l horizontale représentée par le segment [BC] sur le schéma. 1) Calculer la valeur arrondie au centième de la distance BC entre les deux arbres. 2) En utilisant la trigonométrie, calculer la valeur arrondie au centimètre de la différence de hauteur entre les deux plates-formes, représentée par [AC] sur le schéma. 7
Exercice 9 : (9, points) Sur la figure ci-dessus : OD = 4 cm ; OC = cm ; AC = 3 cm; OE = 6 cm; OF = 7, cm. 1) Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles. 2) Calculer OB. 3) Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles. 8
4) Quelle est la nature du triangle OEF? Justifier. ) Calculer au degré près la mesure de l angle a OCD. 6) Quelle est la mesure au degré près de l angle a EFO? 9
Exercice 1 (2 points) Calculer et simplifier : CORRECTION A = 34 2 : 4 3 8 A = 34 4 8-3 : 2 8 A = 34 2 : 17 40 A = 34 2 40 17 A = 17 2 8 17 B = 4 9-2 9 27 4 B = 4 9-2 3 9 9 2 2 B = 4 9-3 2 B = 4 2-3 9 9 2 B = - 19 18 A = 16 Exercice 2 (1, points) Calculer et donner le résultat en écriture scientifique. C = 24 10² 3, 10 8 10-1 21 (10²)² C = 8 3 3 10² 104 8 7 3 10-1 10 4 C = 102+4 10-1+4 C = 106 10 3 = 10 6-3 = 10 3 (sous la forme scientifique) Exercice 3 (4 points) On donne A = - 27 + 4 3 et B = 2 3-3 12 Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible. A = - 9 3 + 4 3 = - 9 3 + 4 3 = - 3 3 + 4 3 = -11 3 B = 2 3 3 4 3 = 2 3 3 4 3 = 2 3 3 2 3 = -4 3 A + B = -11 3-4 3 A B = -11 3 + 4 3 A + B = -1 3 A B = -7 3 B² = (-4 3)² = 4² 3 = 48 A B = (-11 3) (-4 3) = 11 4 3 = 132 10
CORRECTION Exercice 4 (3 points) On donne l expression : A = (2x 1)² - (2x 1)(4x + ) 1) Développer A. A = (2x)² - 2 2x 1 + 1² - (2x 4x + 2x - 1 4x - 1 ) A = 4x² - 4x + 1 - (8x² + 10x - 4x - ) A = 4x² - 4x + 1 (8x² + 6x ) A = 4x² - 4x + 1 8x² - 6x + A = -4x² - 10x + 6 2) Factoriser A. A = (2x 1)[(2x 1) (4x + )] A = (2x 1)(-2x 6) A = -2(2x 1)( x + 3) 3) Calculer A pour x = 1 2 Pour x = 1 2, 2x 1 = 0 Donc A = 0 pour x = 1 2 Exercice (6, points) A B H I x + 3 E F L O N P M x 3 G D x + 3 C K 3 J Figure 1 Figure 2 1) a) Laquelle de ces surfaces colorées a pour aire : A = 2 (x + 3)²? (Justifier la réponse) Aire(Figure 1) = AB² - DE² = ² - (x + 3)² = 2 (x + 3)² Aire(Figure 2) = HI² - LM² - MP² = ² - 3² - x² = 16 x² La surface colorée de la figure 1 a donc pour aire l expression A. 11
CORRECTION b) Développer et réduire A. A = 2 (x² + 6x + 9) = 2 x² - 6x 9 = -x² - 6x + 16 c) Factoriser l expression A. A = ² - (x + 3)² = [ + (x + 3)][ (x + 3)] = (x + 8)(2 x) d) Calculer A pour x = 2. Pour x = 2, A = - 2-6 2 + 16 = 14-6 2 e) En utilisant la forme développée, calculer A pour x = 2. Expliquer, en utilisant la question 1, pourquoi le résultat était prévisible? Pour x = 2, A = -4-6 2 + 16 = -4 12 + 16 = 0 Pour x = 2, les carrés de côté EF et AB sont superposables. Donc la surface colorée disparait et son aire correspondante est nulle. 2) a) Quelle est l aire F de la surface colorée de la figure 2? F = 16 x² (voir question 1)) b) Factoriser l expression F. F = (4 + x)(4 x) c) Peut-on calculer F pour x = 4? Non, car pour x = 4, x + 3 = 7 > x doit être compris entre 0 et 2. Exercice 6 (7 points) Reporter dans le deuxième tableau en cochant la ou les bonnes réponses pour chaque question. (0, point pour une réponse exacte / 0 point pour une absence de réponse / - 0,2 pour une réponse fausse) 1 2 3 4 6 7 8 R1 R2 R3 R4 12
Exercice 7 (3, points) CORRECTION Soit C un cercle de centre O et A, B, C trois points de ce cercle. AB = 10 cm et BC = cm 1) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. Le triangle ABC étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est donc rectangle en C. 2) Calculer la valeur exacte de AC. On peut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C : AB² = AC² + BC² 10² = AC² + ² AC² = 100 2 AC² = 7 AC = 7 = 3 cm 3) Calculer la mesure de l angle d A. Le triangle ABC étant rectangle en C, on a : sin d A = BC AB Soit : sin d A = 10 = 1 2 On en déduit que d A = 30 13
CORRECTION Exercice 8 : l acrobate (3 points) Dans un parc d activités, une épreuve consiste à parcourir une certaine distance, entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de poulie qui permet de glisser le long d un câble). La situation est schématisée dans un plan vertical par le triangle rectangle ACB ci-après, où A et B désignent les points de fixation du câble sur les arbres, le segment [AB] représentant le câble. On sait que le câble mesure 7 m de long, qu il fait un angle de avec l horizontale représentée par le segment [BC] sur le schéma. 1) Calculer la valeur arrondie au centième de la distance BC entre les deux arbres. Le triangle ABC étant rectangle en C, on a : cos d B = BC AB. Soit cos = BC 7 Donc BC = 7 cos 74,71 m 2) En utilisant la trigonométrie, calculer la valeur arrondie au centimètre de la différence de hauteur entre les deux plates-formes, représentée par [AC] sur le schéma. Le triangle ABC étant rectangle en C, on a : sin d B = AC AB. Soit sin = AC 7 Donc AC = 7 sin 6,4 m 14
Exercice 9 : (9, points) CORRECTION Sur la figure ci-dessus : OD = 4 cm ; OC = cm ; AC = 3 cm; OE = 6 cm; OF = 7, cm. 1) Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (CD) et (AB) étant perpendiculaires à la même droite (BD) sont donc parallèles. 2) Calculer OB. Les droites (CD) et (AB) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ODC et ODA : OC OA = OD OB = CD AB OA = OC + CA = + 3 = 8cm On a donc : 8 = 4 OB D où : OB = 4 8 Soit : OB = 32 3) Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles. OC OF = 7, = 2 OD et 3 OE = 4 6 = 2 3. OC Donc OF = OD OE Les points C, O, F d une part et les points D, O, E d autre part sont alignés dans cet ordre et on a OC OF = OD, donc d après la réciproque du théorème de Thalès les droites (EF) et (CD) OE sont parallèles. 4) Quelle est la nature du triangle OEF? Justifier. Les droites (EF) et (CD) sont parallèles et (CD) (BE) donc (BE) (EF). 1
CORRECTION (Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre.) Donc les droites (OE) et (EF) sont perpendiculaires. Donc le triangle OEF est rectangle en E. ) Calculer au degré près la mesure de l angle a OCD. Dans le triangle OCD rectangle en D, on a : sin a OCD = OD OC Soit sin a OCD = 4 D où : a OCD 3 6) Quelle est la mesure au degré près de l angle a EFO? Les angles a OCD et a EFO alternes-internes déterminés par les droites parallèles (CD) et (EF) et la sécante (CF) sont de même mesure. Donc a EFO = a OCD 3 16