TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours I. Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur dans l espace Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires ssi où réel non nul. Les points A, B et C sont alignés ssi et sont colinéaires Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi et sont colinéaires 2. Caractérisation vectorielle d un plan Un plan est défini de deux façons équivalentes : par la donnée de 3 points A,B et C non alignés ou par la donnée d un point A et deux vecteurs non colinéaires et B A x C On note le plan (A ; ) et on dit que les vecteurs sont des vecteurs directeurs du plan. Application : démontrer qu un point appartient à un plan ABCD est un tétraèdre. est le point tel que Démontrer que le point appartient au plan (ABC) On exprime en fonction des vecteurs non colinéaires et Tout plan défini par un point A et par le même couple de vecteurs ( ) est parallèle au plan (ABC) précédent A A 1
3. Vecteurs coplanaires Définition Trois vecteurs et sont coplanaires ssi les points A, B, C et D sont coplanaires A x x C x D x B Exemple : Les vecteurs sont coplanaires car et les points A, B, E et F sont coplanaires Remarque : Les droites (AB) et ( EC) ne sont pas coplanaires mais les vecteurs le sont car. Deux vecteurs sont toujours coplanaires Preuve : et ne sont pas colinéaires sont coplanaires si et seulement si il existe deux nombres réels a et b tels que : On considère les points A, B, C et D tels que : Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un repère (A ; ; ) Si est coplanaire avec et alors D est coplanaire avec A, B et C et dans le repère précédent : où (a ;b) sont les coordonnées de D Réciproquement, si Soit M(a ;b) dans le repère (A ; ; ) : donc M=D et D appartient au plan (ABC) d où sont coplanaires Exemple : ABCDEFGH est un cube. I et J sont les centres respectifs des faces ADHE et BCGF. Démontrer que En déduire que les vecteurs sont coplanaires 2
Application : démonstration du théorème du toit Les droites (d) et (d ) sont parallèles donc elles ont un même vecteur directeur (P) est dirigé par ( et (P )par (P) et (P ) sont sécants donc, et ne sont pas coplanaires Soit un vecteur directeur de la droite d intersection de (P) et (P ) Dans le plan (P), les vecteurs et sont coplanaires donc il existe deux réels et tels que : Dans le plan (P ), les vecteurs et sont coplanaires donc il existe deux réels et tels que On en déduit : ( Or, ne sont pas coplanaires donc On obtient donc la droite d intersection de (P) et (P ) est parallèle à (d) et (d ) 4. Décomposition d un vecteur ( admise ) sont trois vecteurs non coplanaires de l espace Pour tout vecteur, il existe un unique triplet ( ; ; ) de nombres réels tels que II. Repérage dans l espace 1. Repère de l espace Un repère de l espace noté ( ) est constitué d un point origine du repère et d un triplet ( ) de vecteurs non coplanaires, appelé base de vecteurs. 2. Coordonnées ( ) est un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet ( tel que : ( ) sont les coordonnées du point M dans le repère ( ) est l abscisse, est l ordonnée et est la côte de M dans ce repère. 3
Exemple : placer les points A(-2 ; 3 ; 0), B( 0 ; 4 ; 1 ) et C( 1 ; -2 ; -1) dans un repère de l espace Définition ( ) est un repère de l espace. Soit le vecteur tel que. Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées ( ) de M. Ainsi, tout vecteur s écrit de manière unique : 3. Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent par adjonction d une troisième coordonnée. Dans un repère ( ) Soit et : le vecteur + a pour coordonnées ( soit un réel : le vecteur a pour coordonnées ( soit ) : le vecteur a pour coordonnées ( ) le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ( ) si le repère est orthonormal : Exemple : Dans le repère ( ) on considère les points a. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB] b. Déterminer les coordonnées du vecteur c. Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan 4. Représentation paramétrique d une droite La droite (d) passant par le point et admettant le vecteur pour vecteur directeur est l ensemble des points tels que (S) { Le système (S) est appelé représentation paramétrique de la droite (d). t est le paramètre de cette représentation. 4
Exemple : On donne le point et le vecteur a. Déterminer une équation paramétrique de la droite(d) passant par A et de vecteur directeur b. Le point appartient-il à la droite (? c. Vérifier que la représentation paramétrique suivante est aussi une représentation de la même droite{ Remarque : Une droite a une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point A ni le vecteur ne sont uniques 5