Chapitre 7. Polynômes I.

Université de la Nouvelle Calédonie. Licence de Mathématiques. Semestre 3. Eric Edo et Bianca Travain. Programme 0-06. Polycopié d Algèbre 3 Ce cours est la suite des cours d Arithmétique et d Algèbre. La lettre K désigne un corps fixé. Les exemples de corps sont les ensembles de nombres Q, R, C et F p où p est un nombre premier. Chapitre 7. Polynômes I. 7. Multiplication des polynômes. Rappels et définitions (Degré, coefficient dominant). ) On note K[X] le K-e. v. des polynômes à coefficients dans K. L addition et la multiplication scalaire se font composante par composante. ) Soit A(X) K[X] {0}. Ecrivons A(X) = d n=0 a nx n avec a n K (n {0,..., d}) et a d 0. a) On note deg(a(x)) = d le degré de A(X) et par convention deg(0) =. b) On note cfd(a(x)) = a d le coefficient dominant de A(X) et par convention cfd(0) = 0. 3) Un polynôme dont le coefficient dominant est égal à est dit unitaire. Remarque : Tout polynôme non nul est proportionnel à un polynôme unitaire unique. 4) Si A(X) K[X] on a : A(X) K si et seulement si deg(a(x)) 0. On dit alors que A(X) est un polynôme constant. Exemples. ) Soit A(X) = 3 X X + 5 3 Q[X], on a : deg(a(x)) =, cfd(a(x)) = 3. Le polynôme unitaire proportionnel à A(X) est X 3 X + 0 9. ) Soient a, b R. Soit A(X) = (a b)x 3 + (a + b)x + a b + R[X]. Si a b alors deg(a(x)) = 3 et cfd(a(x)) = a b. Si a = b 0 alors deg(a(x)) = et cfd(a(x)) = a + b. Enfin si a = b = 0 alors deg(a(x)) = 0 et cfd(a(x)) =. 3) Soit A(X) = 0 k=0 (i)k X k C[X], on a : deg(a(x)) = 0 et cfd(a(x)) = (i) 0 = 0 i. Définition (Multiplication des polynômes). Soient A(X), B(X) K[X] deux polyômes non nuls, ils s écrivent : A(X) = d a n X n et B(X) = n=0 e b n X n avec pour n {0,..., d}, a n K et a d 0, pour n {0,..., e}, b n K et b e 0, on pose : d+e min{d,k} A(X)B(X) = a n b k n X k k=0 n=max{0,k e} Par ailleurs, pour tout polynôme A(X) K[X], on pose A(X)0 = 0A(X) = 0 (où 0 est le polynôme nul). Propriétés. Soient A(X), B(X), C(X) K[X] trois polynômes, on a : ) A(X)B(X) = B(X)A(X) (commutativité de la multiplication), ) A(X)(B(X)C(X)) = (A(X)B(X))C(X) (associativité de la multiplication), 3) A(X)(B(X) + C(X)) = A(X)B(X) + A(X)C(X) (distributivité de la multiplication sur l addition), 4) A(X)B(X) = 0 si et seulement si A(X) = 0 ou B(X) = 0 (intégrité). n=0

Exemple. Soient A(X) = X 4 +(+i)x X + i C[X] et B(X) = ix 5 +( i)x 3 +X X C[X]. Le coefficient de X 7 de A(X)B(X) est ( + i)i + ( i) = i. Le coefficient de X 3 de A(X)B(X) est ( i)( i) ( + i) = 4i. Propriétés. Soient A(X), B(X) K[X] deux polynômes, on a : ) a) deg(a(x)b(x)) = deg(a(x)) + deg(b(x)) et cfd(a(x)b(x)) = cfd(a(x))cfd(b(x)). b) En particulier, A(X)B(X) K si et seulement si A(X) K et B(X) K. ) a) deg(a(x) + B(X)) max{deg(a(x)), deg(b(x))}. b) deg(a(x) + B(X)) < max{deg(a(x)), deg(b(x))} si et seulement si deg(a(x)) = deg(b(x)) et cfd(a(x)) + cfd(b(x)) = 0. 7. Arithmétique des polynômes. Théorème et définition (Division euclidienne dans K[X]). Soient A(X), B(X) K[X] avec B(X) 0. Il existe Q(X), R(X) K[X] uniques, tels que : A(X) = B(X)Q(X) + R(X) et deg(r(x)) < deg(b(x)). Le polynôme Q(X) (resp. R(X)) s appelle le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de A(X) par B(X). On dit que K[X] est un anneau euclidien. Ses propriétés arithmétiques sont très proches de celles de Z. Définition (Multiple, diviseur). Soient A(X), B(X) K[X], on dit que A(X) est un multiple de B(X) ou que B(X) est un diviseur de A(X) et on note A(X) B(X)K[X] s il existe C(X) K[X] tel que A(X) = B(X)C(X). Propriété. Soient A(X), B(X) K[X]. On a : A(X) B(X)K[X] si et seulement si le reste de la division de A(X) par B(X) est 0. Exemple. Soit α K et soit m N. les polynômes unitaires diviseurs de (X α) m sont de la forme (X α) l avec l N tel que l m. Théorème (K[X] est principal). Soit I idéal de K[X]. Il existe P (X) K[X] tel que I = P (X)K[X]. (On dit que I est idéal de K[X] si 0 I et si pour tous A(X), B(X) I et tout C(X) K[X] on a : A(X) B(X) I et A(X)C(X) I.) Définition (PGCD). Soient A(X), B(X) K[X] non tous les deux nuls. On note PGCD(A(X), B(X)) et on appelle PGCD de A(X) et B(X) le polynôme unitaire divisant A(X) et B(X) de plus grand degré. Si PGCD(A(X), B(X)) = on dit que A(X) et B(X) sont premiers entre eux. Théorème (Algorithme d Euclide). Soient A(X), B(X) K[X] non tous les deux nuls. On calcul PGCD(A(X), B(X)) de la façon suivante : Si deg(a(x)) < deg(b(x)), on échange les rôles de A(X) et de B(X). On divise successivement A(X) par B(X), puis B(X) par le premier reste obtenu, puis chaque reste par le reste suivant, PGCD(A(X), B(X)) est le polynôme unitaire proportionel au dernier reste non nul. Exemple. Soient A(X) = X 5 + 3X 3 + X + X + Q[X] et B(X) = X 4 + X Q[X]. Alors PGCD(A(X), B(X)) = X +. Théorème. (Relation de Bézout). Soient A(X), B(X) K[X] {0} non tous les deux nuls. Il existe U(X), V (X) K[X] tels que A(X)U(X) + B(X)V (X) = PGCD(A(X), B(X)).

Théorème (de Gauss). Soient A(X), B(X), C(X) K[X]. ) Si A(X) divisent B(X)C(X) et si A(X) et B(X) sont premiers entre eux, alors A(X) divise C(X). ) Si A(X) et B(X) divisent C(X) et si A(X) et B(X) sont premiers entre eux, alors A(X)B(X) divise C(X). 7.3 Applications polynomiales, théorème de la racine. Définition. (Application polynomiale). Soit A(X) K[X] {0}. Ecrivons A(X) = d n=0 a nx n avec a n K (pour n {0,..., d}) et a d 0. L application polynomiale associée au polynôme A(X) est l application de K dans K qui a x associe d n=0 a nx n. Par ailleurs, l application polynomiale associée au polynôme nulle est la fonction nulle. Théorème. Notons ϕ : K[X] F(K, K) l application qui à un polynôme associe son application polynomiale associée. ) ϕ est une application linéaire. ) Pour tous A(X), B(X) K[X] on a : ϕ(a(x)b(x)) = ϕ(a(x))ϕ(b(x)). 3) L application ϕ est injective si et seulement si le corps K est infini. 4) a) L application ϕ est surjective si et seulement si le corps K est fini. b) En particulier, si K est un corps fini à q éléments, la restriction de l application ϕ au sous K-espace vectoriel K[X] q des polynômes de degré < q est bijective. Définitions. Soit α K et A(X) K[X]. Par abus de notation, on note A(α) = ϕ(a(x))(α) K. On appelle cette constante l évaluation de A(X) en α. Si A(α) = 0 on dit que α est une racine de A(X). Théorème (de la racine). Soit A(X) K[X] {0} et soit α K. La constante α est une racine de A(X) si et seulement si X α divise A. Corollaire. Soit A(X) K[X] et soit α K. On a : a) PGCD(A(X), X α) = X α si A(α) = 0 et b) PGCD(A(X), X α) = si A(α) 0. Définition (Racines multiples). Soit A(X) K[X] {0}, soit α K et soit m N. On dit que α est une racine d ordre m de A(X) si (X α) m divise A(X) et (X α) m+ ne divise pas A(X). Remarque. A la place de α est une racine d ordre m de A(X), on dit aussi que la multiplicité de α dans A(X) est m. A la place de la multiplicité de α dans A(X) est (resp., resp. 3), on dit aussi que α est une racine simple (resp. double, resp. triple). Corollaire. Soit A(X) K[X] {0}, soit α K et soit m N. On a : α est une racine d ordre m de A(X) si et seulement s il existe un polynôme B K[X] tel que A(X) = (X α) m B(X) et B(α) 0. On dit que m est la valuation (X α)-adique de A(X). Corollaire 3. Soit A(X) K[X], soit α K, soit m la multiplicié de α dans A(X) et soit n N. On a : c) PGCD(A(X), (X α) n ) = (X α) min(m,n). (Généralise le corollaire ). En particulier, si A(α) 0 (c est à dire m = 0) alors A(X) et (X α) n sont premiers entre eux. Théorème. Soit A(X) K[X] {0}. Soient α,..., α k des racines de A(X) dont les multiplicités respectives dans A(X) sont m,..., m k. Alors A(X) est divisible par (X α ) m... (X α k ) m k. En particulier, m +... + m k deg(a(x)) (le nombre de racine de A(X) comptées avec leur multiplicité est inférieur ou égal à deg(a(x))). 3

Exemples. Dans Q[X]. ) Le polynôme A(X) = X 5 X 4 X 3 + X + X a deux racines dans Q qui sont : d ordre 3 et d ordre. ) Le polynôme B(X) = X 5 + 5X 4 + 9X 3 + 8X + 4X a deux racines dans Q qui sont : d ordre et 0 d ordre. 7.4 Dérivée d un polynôme, formule de Taylor. Définition (Dérivée d un polynôme). Soit A(X) K[X]. Ecrivons A(X) = d n=0 a nx n avec a n K (pour n {0,..., d}). On appelle dérivée de A(X) le polynôme A (X) = d n= na nx n où na n = a n +... + a n (n fois). Remarque : A (X) = d n=0 (n + )a n+x n. Remarques. ) Pour la distinguer de la notion dérivée d une fonction introduite en analyse, on appelle dérivée formelle la dérivée d un polynôme. ) Si A(X) R[X] alors ϕ(a(x)) = ϕ(a(x) ) (où ϕ : R[X] F(R, R) est l application qui à un polynôme associe son application polynomiale associée). Exemples. a) Dans C[X], soit P (X) = X 3 + ( + i)x 3i, on a : P (X) = 3X + ( + i)x. b) Dans F 3 [X], soit P (X) = X 3 + X +, on a : P (X) =. Théorème (Dérivation). L application D : K[X] K[X] définie par D(A(X)) = A (X) pour tout A(X) K[X] est une application linéaire. De plus, pour tous A(X), B(X) K[X], on a : D(A(X)B(X)) = D(A(X))B(X) + A(X)D(B(X)) (Règle de Leibniz). Définition (Dérivées successives). Soit A(X) K[X]. On définit par récurrence sur k N la dérivée k-ieme de A(X) par A (0) (X) = A(X) et A (k+) (X) = (A (k) ) (X) = (A ) (k) (X). Théorème (Formule de Taylor). Soit α K. Soit n N. Soit A(X) K[X] n (deg(a(x)) < n). Notons a 0. a n la matrice de A(X) dans la base (, (X α),..., (X α) n ). On a : ) A (k) (α) = k! a k, pour tout k {0,..., n }. ) La multiplicité de α dans A(X) est min{k {0,..., n } ; a k 0}. 3) Si Q K ou si K = F p avec p premier tel que n < p, alors k! 0 pour tout k {0,..., n } et on a : n A(X) = a k (X α) k = k=0 n k=0 A (k) (α) (X α) k. k! La multiplicité de α dans A(X) est alors min{k {0,..., n } ; A (k) (α) 0}. Exemples. a) Dans C[X], soit P (X) = X 4iX + i, on a : P (i) = + i, P (i) = i et P (i) = donc P (X) = (X i) i(x i) + + i. b) Dans F [X], soit P (X) = X 3 + X +, on a : P () =, P () =, P () = 0 et P (3) () = 0 par ailleurs P (X) = (X + ) 3 + (X + ) +. 4

TD 7. Polynômes I. Exercice. Déterminer les degrés et les coefficients dominants des polynômes suivants de C[X]. a) P (X) = (X + a) n (X + b) n C[X] en fonction de a, b C et n N. n b) Q(X) = (ax + k) C[X] en fonction de a C et n N. c) R(X) = k=0 n (ax + b) k C[X] en fonction de a, b C et n N. k=0 Exercice. Soient P (X), Q(X), R(X) R[X]. On suppose que P (X) XQ(X) = XR(X). Montrer que P (X) = Q(X) = R(X) = 0. Exercice 3. Effectuer la division euclidienne dans Q[X] a) de 3X 5 + 4X + par X + X + 3, b) de 3X 5 + X 4 X + par 3X 3 + X +, c) de X 4 X 3 + X par X X + 4. Exercice 4. Calculer P GCD(P (X), Q(X)) dans Q[X] avec a) P (X) = X 3 X X et Q(X) = X 5 X 4 + X X. b) P (X) = X 4 + X 3 X + et Q(X) = X 3 + X +. Exercice 5. Déterminer l ensemble des polynômes P (X) R[X] tels que P (X) + soit divisible par (X + ) 3 et P (X) soit divisible par (X ) 3. Indication : Utiliser la relation de Bézout entre (X + ) 3 et (X ) 3 ou considérer le polynôme dérivé P (X). Exercice 6. Déterminer l ensemble des polynômes P (X) C[X] tels que P (X) soit divisible par P (X). Exercice 7. Soit P (X) R[X] un polynôme réel. On note R(X) le reste de la division de euclidienne de P (X) par X +. a) Montrer que R(i) = P (i). b) En déduire que X + divise P (X) si et seulement si i est une racine de P (X) (considéré comme un polynôme de C[X]). c) Pour quelle valeurs de n N le polynôme X n + est-il multiple de X +? Exercice 8. Soit P (X) R[X] un polynôme réel tel que P (0) = 0 et P (X + ) = P (X) +. a) Calculer P (), P () et P (5). Quelle conjecture peut-on faire? b) On considère la suite (u n ) n N définie par récurrence par u 0 = 0 et u n+ = u n + pour tout n N. Montrer que P (u n ) = u n pour tout n N. c) En déduire que P (X) = X. Exercice 9. Déterminer a R tel que P (X) = (X + ) 7 X 7 + a ait une racine au moins double. Exercice 0. Soit n N {0}. Quelle est la multiplicité de dans le polynôme suivant de Q[X]? a) X n+ (n + )X + n, b) X n nx n+ + nx n, c) X n+ (n + )X n+ + (n + )X n, Exercice. Soit n N {0}. Quelle est la multiplicité de dans le polynôme suivant de Q[X]? nx n+ (4n + )X n+ + 4(n + )X n 4X n. 5

Chapitre 8. Polynômes II. 8. Polynômes irréductibles, polynômes scindés. Définition (Polynôme irréductible). Soit P (X) K[X] K un polynôme non constant. ) On dit que P (X) est irréductible si l ensemble des diviseurs de P (X) est K K P (X). ) On dit que P (X) est réductible s il existe A(X), B(X) K[X] K tel que P (X) = A(X)B(X). Propriété. Il y a quatre catégories de polynômes. 0) {0} (le polynôme nul est seul dans sa catégorie), ) K (les constantes non nulles qui sont les inversibles de K[X]), ) l ensemble des polynômes irréductibles, 3) l ensemble des polynômes réductibles. Ces catégories correspondent dans Z à : 0) {0} (le nombre 0 est seul dans sa catégorie), ) {, } (qui sont les inversibles de Z), ) l ensemble des nombres dont la valeur absolue est un nombre premiers, 3) l ensemble des nombres composés. Propriété. Soit P (X) K[X] un polynôme irréductible et unitaire. Soit A(X) K[X]. On a : PGCD(P (X), A(X)) = P (X) si A(X) P (X)K[X]. PGCD(P (X), A(X)) = si A(X) P (X)K[X]. Remarque. La notion de polynôme irréductible unitaire correspond dans Z à celle de nombre premier. Propriétés. Quelque soit le corps K. a) Les polynômes de K[X] de degré sont irréductibles. b) Les polynômes de K[X] de degré qui ont une racine sont réductibles. c) Les polynômes de K[X] de degré ou 3 qui n ont pas de racine sont irréductibles. Exemples. a) Dans Q[X], le polynôme X 3 est irréductible. b) Dans R[X], le polynôme X 3 + πx + 3 est réductible. c) Dans F [X], le polynôme X 3 + X + est irréductible. d) Dans R[X], le polynôme X 4 + X + est réductible. Théorème (Décomposition en produit d irréductibles). Soit Q(X) K[X] {0}. Il existe des polynômes P (X),..., P k (X) unitaires et irréductibles, deux à deux distincts et uniques à l ordre près et des entiers a,..., a k N {0} uniques tels que : Q(X) = cfd(p (X))P (X) a... P k (X) a k. Pour chaque i {,..., k}, l entier a i s appelle la valuation P i (X)-adique de Q(X) on le note a i = v Pi (X)(Q(X)) c est le plus grand entier tel que P i (X) a i divise Q(X). Pour tout P (X) (unitaire et) irréductible et tous Q(X), R(X) K[X] {0} on a : v P (X) (Q(X)R(X)) = v P (X) (Q(X)) + v P (X) (R(X)). Définition (Corps algébriquement clos). On dit qu un corps K est algébriquement clos si tout polynôme non constant A(X) K[X] K a au moins une racine dans K. 6

Théorème (de d Alembert-Gauss). Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos. Remarque. Les corps Q, R et F p (où p est un nombre premier) ne sont pas algébriquement clos. Théorème (de Steinitz). Soit K un corps. Il existe un corps L algébriquement clos tel que K L. Théorème. Soit K un corps algébriquement clos (par exemple C). Les polynômes irréductibles de K[X] sont les polynômes de degré. Théorème. Soit K un corps algébriquement clos (par exemple C). Soit A(X) K[X] {0} un polynôme non nul. Le nombre de racine de A(X) comptées avec leur ordre de multiplicité est égal à deg(a(x)). Théorème. Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré et les polynômes de degré de la formes ax + bx + c avec a R, b, c R et b 4ac < 0. Définition. Soit A(X) K[X] {0} un polynôme non nul. On dit que A(X) a toutes ses racines dans K ou que A(X) est scindé dans K si A(X) = cfd(a(x))(x α ) m... (X α n ) mn où α... α n sont les racines de A de multiplicité respectives m,..., m n. Propriété. Un polynôme non nul A(X) K[X] {0} est scindé dans K si et seulement si les seuls polynômes irréductibles qui divise A(X) dans K[X] sont de degré. Remarque. Si K est algébriquement clos, tous les polynômes de K[X] sont scindés sur K. Exemples. a) Dans Q[X], X est scindé mais X n est pas scindé (il est irréductible). b) Dans R[X], X est scindé mais X 3 + X + X n est pas scindé (divisible par X + X + qui est irréductible de degré ). c) Dans C[X], X 3 + X + X est scindé (comme tous les polynômes de C[X]). d) Dans F p [X] (où p P est un nombre premier), le polynôme X(X )... (X (p )) + n est pas scindé (il n a aucune racine dans F p ). 8. Polynômes d endomorphisme. Dans tout ce paragraphe, E est un K-e. v. de dimension finie n N {0} et ϕ L(E) est un endomorphisme de E. Définition (Polynômes d endomorphisme). Soit P (X) K[X] un polynôme. On définit un endomorphisme de E noté P (ϕ) de la façon suivante : Si P (X) = d n=0 a nx n alors P (ϕ) = d n=0 a nϕ n où ϕ n est défini par récurrence sur n par ϕ 0 = Id et ϕ n+ = ϕ n ϕ pour tout n N. Propriété. Avec les notations précédentes. Si M est la matrice de ϕ dans une base donnée, alors la matrice de P (ϕ) dans cette base est P (M) = d n=0 a nm n. Propriétés. Soient P (X), Q(X) K[X] deux polynômes et soit α K un scalaire. On a : ) (αp + Q)(ϕ) = αp (ϕ) + Q(ϕ) et ) (P Q)(ϕ) = P (ϕ) Q(ϕ). En particulier, deux polynômes d un même endomorphisme commutent. 3) Si, de plus, ψ est un automorphisme de E alors P (ψϕψ ) = ψp (ϕ)ψ. 7

( ) Exemple. Soit ϕ l endomorphimse de R ayant M = pour matrice dans la base canonique. Soit 0 ( ) 4 4 P (X) = X +X 3. Alors P (ϕ) est l endomorphimse de R ayant P (M) = M +M 3Id = 4 4 pour matrice dans la base canonique. Définition et exemple (Endomorphisme nilpotent). On dit que ϕ est nilpotent s il existe k N {0} tel que ϕ k = 0. On appelle indice de nilpotence l entier m = min{k N {0} ; ϕ k = 0}. Pour tout scalaire m α K, l endomorphisme id αϕ est un automorphisme. En effet, on a : ( αx) (αx) k = α m X m. m Donc : (id αϕ) (αϕ) k = id α m ϕ m = id. k=0 Théorème (Lemme des noyaux). Soient P (X), Q(X) K[X] deux polynômes premiers entre eux. On a : ker((p Q)(ϕ)) = ker(p (ϕ)) ker(q(ϕ)). Exemple. Soient α, β K deux scalaires distincts. Soit P (X) = (X α)(x β) le polynôme unitaire ayant α et β pour racines. On a : ker(p (ϕ)) = ker(ϕ αid) ker(ϕ βid). Proposition et définitions (Polynômes annulateurs, polynôme minimal). ) Soit P (X) K[X] un polynôme. On dit que P (X) est un polyôme annulateur de ϕ si P (ϕ) = 0 (endomorphisme nul). Autrement dit, P (X) est un polyôme annulateur de ϕ si ker(p (ϕ)) = E. ) Il existe un unique polynôme unitaire non constant M ϕ tel que l ensemble de tous les polynômes annulateurs de ϕ soit l ensemble des multiples de M ϕ, on appelle ce polynôme le polynôme minimal de ϕ. Propriété (Endomorphisme central). Il y a équivalence entre : i) Il existe α K tel que ϕ = αid. On dit que ϕ est une homothétie vectorielle. ii) Pour tout ψ L(E), on a : ϕ ψ = ψ ϕ On dit que ϕ est central. iii) deg(m ϕ ) =. Remarque. Pour démontrer que ii) implique i), on utilise pour i, j {,..., n} les endomorphismes e i,j de L(E) de matrice E i,j (un en position (i, j) et 0 ailleurs) dans la base canonique qui vérifient la relation E i,j E k,l = δ j,k E i,l pour tous i, j, k, l {,..., n} (où δ j,k = si j = k et 0 sinon). Exemple (Endomorphismes en dimension ). On suppose n =. Le polynôme P (X) = X tr(ϕ)x + dét(ϕ) est un polynôme annulateur de ϕ. Ce polyôme s appelle le polynôme caractéristique de ϕ. Le polynôme minimal est un diviseur unitaire de P (X). ) S il existe α K tel que ϕ = αid alors le polynôme minimal de ϕ est X α et la matrice de ϕ est αid dans toutes les bases. ) Si ϕ n est pas homothétie vectorielle le polynôme minimal de ϕ est P (X). 3) Si P (X) admet deux racines simples distinctes α et β dans K alors P (X) = (X α)(x β) avec P GCD(X α, X β) = donc E = ker(p (ϕ)) = ker(ϕ αid) ker(ϕ βid). De plus, dim ker(ϕ αid) = et dim ker(ϕ βid) =. Soit v un vecteur non nul de ker(ϕ αid) et w un vecteur non nul de ker(ϕ βid), alors (v, w) est une base de E dans laquelle ϕ a une matrice diagonale. a b c Exemple. Soient a, b, c, d K. Considérons l endomorphisme ϕ ayant M = 0 a d pour matrice 0 0 a dans la base canonique. On a : (M aid) 3 = 0 donc (X a) 3 est un polynôme annulateur de ϕ. k=0 8

) Si (b, c, d) = (0, 0, 0) alors le polynôme minimal de ϕ est X a. ) Si (b, c, d) (0, 0, 0) et (b = 0 ou d = 0) alors le polynôme minimal de ϕ est (X a). ) Si (b, c, d) (0, 0, 0) et (b 0 et d 0) alors le polynôme minimal de ϕ est (X a) 3. 8.3 Fractions rationnelles. Définition (Fractions rationnelles). On note K(X) = { P (X) ; P (X) K[X], Q(X) K[X] {0} } Q(X) l ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans K. Remarques. ) Soient P (X), P (X) K[X] et Q(X), Q (X) K[X] {0} on a P (X) Q(X) = P (X) si et seulement si Q (X) P (X)Q (X) = P (X)Q(X). ) Pour toute fraction rationnelle F (X) K(X) {0} il existe P (X), Q(X) K[X] uniques tels que P (X) et Q(X) soient premiers entre eux, Q(X) soit unitaire et F (X) = P (X) Q(X). Théorème (Corps des fractions rationnelles). L ensemble K(X) des fractions rationnelles muni des quatres opérations suivantes est un corps : a) addition : P (X) Q(X) + P (X) Q (X) = P (X)Q (X) + P (X)Q(X), Q(X)Q (X) b) soustraction : P (X) Q(X) P (X) Q (X) = P (X)Q (X) P (X)Q(X), Q(X)Q (X) c) multiplication : P (X) Q(X) P (X) Q (X) = P (X)P (X) Q(X)Q (X), d) division par un élément non nul : P (X) Q(X) P (X) Q (X) = P (X)Q (X) Q(X)P (X). Définition (Dérivée d une fraction rationnelle). Soit P (X) K[X] et Q(X) K[X] {0}. On appelle dérivée de P (X) la fraction rationnelle suivante : Q(X) ( ) P (X) = P (X) Q(X) P (X)Q(X) Q(X) Q(X). Définition (Elément simple). Soit F (X) K(X). On dit que F (X) est un élément simple si F (X) = Q(X) avec k N et P (X), Q(X) K[X] premiers entre eux tels que B(X) soit unitaire et irréductible P (X) k et deg(q(x)) < deg(p (X)). En particulier (k = 0) un polynôme est un élément simple. Exemples. ) Si K = C les éléments simples sont les polynômes et les fractions rationnelles de la forme où c, α C et k N {0}. c (X α) k c ) Si K = R les éléments simples sont les polynômes, les fractions rationnelles de la forme (X α) k où ax + b c, α R et k N {0} et celle de la forme (X + αx + β) k où a, b, α, β R sont tels que α 4β < 0 et k N {0}. 9

Théorème (Décomposition en éléments simples). Toute fraction rationnelle F (X) K(X) est la somme d éléments simples. Plus précisément, écrivons F (X) = A(X) avec A(X), B(X) K[X] premiers entre eux et B(X) unitaire. B(X) Alors F (X) est la somme d éléments simples de la forme Q(X) P (X) k avec k N, et P (X), Q(X) K[X] premiers entre eux tels que B(X) soit un facteur unitaire et irréductible de B(X), k v P (X) (B(X)) et deg(q(x)) < deg(p (X)). Remarque. La détermination d une décomposition en éléments simple d une fraction rationnelle n a d intérêt que dans le cas K = R lorsque l on veut déterminer la primitive d une fonction rationnelle. Exemples. Décomposition en éléments simples dans R. X + X + ) F (X) = (X + )(X ) = a X i + b X + i + c X + d X +. Pour trouver a, on multiplie par (X i) et on évalue en i : a = i + i + (i + i)(i ) =. On calcule b, c, et 4 d de la même façon. Pour obtenir la décomposition dans R, on regroupe les termes complexes conjugués. X + X + F (X) = (X + )(X ) = 4 X i + 3 4 X + i + 4 X + 4 X + = X 3 X + + 4 X + 4 X +. ) F (X) = (X + )(X + X + ) = a X + + bx + c X + X + + dx + e (X + X + ). Pour trouver a, on multiplie par (X + ) et on évalue en : a = ( ) + =. Pour trouver d et e, on multiplie par (X +X +) et on évalue en j (racine de X +X +) : dj +e = j+ donc d = et e = 0. Pour trouver b, on remarque que a + b = lim t + tf (t) = 0 donc b = a =. Pour trouver c, on évalue en 0, d où = a + c + e donc c = a e = 0. F (X) = (X + )(X + X + ) = X + X X + X + X (X + X + ). X + 3) F (X) = X 4 + X + = ax + b X + X + + cx + d X X +. En utilisant que F (X) est paire (c est à dire que F ( X) = F (X)), on a : a = c et b = d. En évaluant en 0, on a : = b + d donc b = d =. En évaluant en i, on a : 0 = ( i)(ai + b) + i(ci + d) donc a = c = 0. X + F (X) = X 4 + X + = / X + X + + / X X +. 4) F (X) = X + (X ) 7 = a X +... + a 7 (X ) 7. On utilise la formule de Taylor pour obtenir X + = (X ) + (X ) +. F (X) = X + (X ) 7 = (X ) 5 + (X ) 6 + (X ) 7. TD 8. Polynômes II. Exercice. Racines évidentes des polynômes de Q[X]. ) Soit P (X) = n i=0 a ix i Z[X] avec a n 0 un polynôme à coefficients entiers de degré n N {0}. On suppose que P (X) a une racine α Q et on écrit α = a b avec a, b Z {0} premiers entre eux. Montrer que a divise a 0 et que b divise a n. 0

) Factoriser les polynômes suivants en produit de polynômes irréductibles, en les considérant comme polynômes de R[X] puis comme un polynômes de C[X]. a) 7X 3 + 5X + 5X, b) X 4 9X 3 + 30X 44X + 4, c) X 6 7X 3 8, d) X 7 3X 6 + 3X 5 X 4 + X 3 3X + 3X, e) X 4 + X 3 + 3X + X +, f) X 7 5X 6 + 8X 5 4X 4 4X 3 + 8X 5X +. Exercice. Factoriser les polynômes suivants en produit de polynômes irréductibles, en les considérant comme polynômes de R[X]. a) X 6 +, b) X 9 + X 6 + X 3 +, c)( X ) 3 + 8X 3, d) X 8 cos(α)x 4 + où α R. Exercice 3. Parmi les polynômes suivants, lesquels sont scindés? n ont que des racines simples? a) X 3 X + X Q[X], b) X 3 + X + X + F 5 [X], c) X 6 + X 3 6X + C[X], d) X 4 + 3X 3 + 4X + 3X + F 5 [X]. Exercice 4. Soit p un nombre premier. ) Montrer qu il existe un unique polynôme unitaire de F p [X] de degré p scindé et n ayant que des racines simples. ) Montrer qu il n existe aucun polynôme de F p [X] de degré > p scindé et n ayant que des racines simples. Exercice 5. Polynôme exponentiel. Soit n N {0}, on pose : E n (X) = n k=0 k! Xk = n! Xn + (n )! Xn +... + X + C[X]. ) Déterminer les racines de E et E. ) Soit n N {0}. Montrer que toutes les racines de E n sont simples. 3) Soit n N {0}. Combien E n a-il de racines dans C? Exercice 6. Polynôme solution d une équation différentielle. Soit P (X) R[X] {0} un polynôme non nul tel qu il existe trois polynômes A(X), B(X), C(X) R[X] avec A(X) 0 tel que : A(X)P (X) + B(X)P (X) + C(X)P (X) = 0 ) Démontrer par récurrence que pour tout k N {0, } il existe, pour l {0,..., k }, des polynômes A k,l (X) tels que k A(X)P (k) (X) = A k,l (X)P (l) (X). l=0 ) Montrer que les racines multiples (au moins doubles) de P (X) sont des racines de A(X). Indication. Soit α une racine multiple de P (X). Supposer par l absurde que A(α) 0. Démontrer par récurrence que pour tout k N on a P (k) (α) = 0.

3) Que peut-on dire si les polynômes P (X) et A(X) sont premiers entre eux? Exercice 7. Inverse d un automorphisme. Soit ϕ un automorphisme d un K-e. v. de dimension finie. Montrer qu il existe P (X) K[X] tel que ϕ = P (ϕ). Exercice 8. Polynôme minimal d un vecteur. Soit f un endomorphisme d un K-e. v. E de dimension finie. ) Soit x E, on pose I x = {P K[X] ; P (f)(x) = 0}. Montrer qu il existe un unique polynôme unitaire P x (X) tel que I x = P x (X)K[X]. Indication : Montrer que I x = {P K[X] ; P (f)(x) = 0} est un idéal de K[X]. ) Soit x E, montrer que E x = {P (f)(x) ; P (X) K[X]} est un sous-k-e. v. de E de dimension deg(p x (X)). 3) Soient x, y E, montrer que si E x E y = alors P x+y (X) = P P CM(P x (X), P y (X)). Généraliser à k vecteurs x,..., x k. 4) Soient x, y E, montrer que si P x (X) et P y (X) sont premiers entre eux alors E x+y = E x E y. Généraliser à k vecteurs x,..., x k. 5) Soit Q(X) un facteur irréductible du polynôme minimal M f de f. Notons v = v Q(X) (M f ) la valuation Q(X)-adique de M f. Montrer qu il existe x ker(q v (f)) tel que P x (X) = Q(X) v. 6) Montrer qu il existe x E tel que P x (X) = M f. Exercice 9. Endormorphisme nilpotent. Soit f un endomorphisme non nul nilpotent d indice m N {0} d un K-e. v. E de dimension finie. ) a) Soit x E tel que f m (x) 0. Montrer que la famille (x, f(x),..., f m (x)) est libre. b) Comparer m et dim K (E). ) a) On considère h = id f. Calculer h n en fonction de n N. 3 0 b) Soit A = 0 3 0. Calculer A n en fonction de n N. 0 0 3 3) a) Montrer que l endomorphisme exp(f) = m k=0 k! ϕk est un automorphisme. b) Soit g un endomorphisme nilpotent de E qui commute avec f. Montrer que f + g est nilpotent et que exp(f + g) = exp(f) exp(g). c) Soient θ R. On considère les endomorphismes b et c de E ayant B = Déterminer exp(a), exp(b) et exp(a + b). ( ) 0 0 et C = θ 0 ( ) 0 θ. 0 0 Exercice. Décomposer les fractions rationnelles suivantes de R(X) en somme d éléments simples : a) X 3 b) (X ) c) X(X 4 ). Exercice 3. Soit n N {0}. Décomposer les fractions rationnelles suivantes de C(X) en somme d éléments simples : a) n (X k) k= b) X n. Exercice 4. Soit n N {0}. Décomposer les fractions rationnelles suivantes de F 5 (X) en somme d éléments simples : a) X + (X + ) (X 3 + X + ) b) X 5 X.

Chapitre 9. Réduction des endomorphismes. Notation. Dans ce tout chapitre, K est un corps, E est un K-espace vectoriel de dimension fini n N et u un endomorphisme de E. On note id l identité de E. 9.. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Définition. (Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espace propre). Soit λ K. ) On dit que λ est une valeur propre de u s il existe x E {0} tel que : u(x) = λx. ) Tout x E {0} vérifiant cette égalité s appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre λ. 3) Le sous K-espace vectoriel E(λ) = ker(u λ id) de E s appelle sous-espace propre associé à la valeur propre λ (c est l ensemble de tous les vecteurs propres associés à la valeur propre λ augmenté de 0). Propriétés. ) L endomorphisme u n est pas inversible si et seulement s il admet 0 pour valeur propre. ) Le sous-espace propre associé à la valeur propre 0 est alors le noyau de u. Définition. (Polynôme caractéristique d un endomorphisme). On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme de K[X] de degré n suivant : P u (X) = dét(u X id). Propriétés. ) Soit B une base de E. Si M est la matrice de u dans la base B on a : P u (X) = dét(m X Id n ) = ( ) n X n + ( ) n tr(m)x n +... + dét(m). ) En particulier, pour n = on a : P u (X) = X tr(m)x + dét(m). 3) Pour n = 3, on a : P u (X) = X 3 + tr(m)x (tr(m) + dét(m) dét(m Id))X + dét(m). Propriété. Soit B une base de E. Si v est l endomorphisme ayant pour matrice la transposée de la matrice de u dans la base B alors u et v ont le même polynôme caractéristique. Théorème. (Caractérisation des valeurs propres). Les valeurs propres de u sont les racines de son polynôme caractéristique. Remarque. Si le polynôme caractéristique de u est scindé dans K alors la trace (resp. le déterminant) de u est la somme (resp. le produit) des valeurs propres comptées avec leur multiplicité dans le polynôme caractéristique de u. Remarque (Valeurs propres évidentes). Quand n = 3 on peut déterminer l ensemble des valeurs propres en utilisant la remarque précédente et en déterminant une valeur propre évidente d une des trois façons suivantes, en observant la matrice de u : a) La sommes s des lignes est constante. Alors s est une valeur propre et (,, ) est un vecteur propre associé. b) Il y a deux coefficients non diagonaux nuls sur une même ligne ou sur une même colonne. Le coefficient diagonal correspondant est une valeur propre. c) Il existe une valeur λ telle que M λ Id ait deux lignes ou deux colonnes proportionnelles. Alors λ est valeur propre. 3

Bien entendu il arrive qu il n y ait aucune valeur propre évidente. 5 3 0 8 0 3 5 Exemples. a) M = 5 7 4 b) M = 4 9 0 c) M 3 = 4 0. 4 5 7 3 9.. Endomorphismes triangularisables et diagonalisables. Définition. (Endomorphisme triangularisable). On dit qu un endomorphisme u est triangularisable s il existe une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire. Définition. (Matrice triangularisable). On dit qu une matrice carrée est triangularisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. Remarque. L endomorphisme u est triangularisable si et seulement si c est le cas de sa matrice dans la base canonique. Théorème. (Endomorphismes triangularisables, Théorème de Jordan). ) Un endomorphisme u est triangularisable si et seulement si P u (X) est scindé dans K. ) Si P u (X) est scindé dans K, alors il existe une base dans laquelle u a une matrice avec sur la diagonale les valeurs propres de u, juste au dessus de la diagonale des 0 ou des et des 0 partout ailleurs. Alors E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u : E = ker((u λ id) µ )... ker((u λ k id) µ k ) où λ,..., λ k sont les valeurs propres de u de multiplicité µ,... µ k. 3 3 Exemple. Considérons l endomorphisme ayant M = 9 3 pour matrice dans la base canonique 3 7 0 de R 3. Son polynôme caractéristique est P (X) = (X 4) 3. La valeur propre 4 est triple. Le 4 0 sous-espace propre associé est de dimension. La matrice M est semblable à la matrice 0 4. 0 0 4 Définition. (Endomorphisme diagonalisable). On dit qu un endomorphisme u est diagonalisable s il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale. Définition. (Matrice diagonalisable). On dit qu une matrice carrée est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. Remarque. L endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si c est le cas de sa matrice dans la base canonique. Théorème. (Endomorphismes diagonalisables). Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées : a) P u (X) est scindé dans K. b) Pour toute valeur propre λ de u, la dimension du sous-espace propre E(λ) est égale à la multiplicité de λ dans P u (X). Autrement dit, u est diagonalisable si et seulement si E est la somme directe des sous-espaces propres 4

de u : où λ,..., λ k sont les valeurs propres de u. E = ker(u λ id)... ker(u λ k id) Remarque. Si M est la matrice de u dans une base donnée, la dimension du sous-espace propre E(λ) est égale dim(e) rg(ker(m λid)). Théorème. L endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé et n a que des racines simples. Exemple. Soit p un endomorphisme de E tel que p = p (on dit que p est un projecteur). Alors le polynôme minimal de p est un diviseur de X(X ) donc un polynôme scindé et n ayant que des racines simples. Donc p est diagonalisable. Théorème. (Cayley-Hamilton). On a : P u (u) = 0. Autrement dit, le polynôme caracatéristique de u est un polynôme annulateur de u. En particulier, c est un multiple du polynôme minimal. Remarque. Par ailleurs le polynôme minimal est un multiple du polynôme radical du polynôme caracatéristique (le polynôme unitaire qui a les mêmes facteurs irréductible que le polynôme caracatéristique mais chacun avec multiplicité. Application. Soit α = arccos( 3 5 ). Pour tout n N exprimons les suites a n = 5 n cos(nα) et b n = 5 n sin(nα) en fonction de n. On a : cos(α) = 3 5 et sin(α) = cos (α) = 4 5. Soit n N, on a : ei(n+)α = e iα e inα donc : { an+ = 3a n 4b n b n+ = 4a n + 3b n ( ) ( ) an 3 4 Posons V n = et M =. On a : V b n 4 3 n+ = MV n. Le polynôme caractéristique de M est X 6X + 5. Le théorème de Cayley-Hamilton donne M 6M + 5Id = 0 puis V n+ 6V n+ + 5V n et a n+ 6a n+ + 5a n = 0. Les valeurs propres dans C de M sont 3 + 4i et 3 4i et finalement a n = ((3 + 4i)n + (3 4i) n ). On peut dire que le théorème de Cayley-Hamilton permet dans l étude des suites récurrentes linéaires de séparer les suites. Ceci vaut aussi pour les systèmes différentiels linéaires. Application. Supposons que l endomorphisme u est nilpotent, c est à dire qu il existe k N tel que u k = 0. Montrons que u n = 0 (n est la dimension de l espace E dont u est un endomorphisme). Si k n alors u n = u n k u k = 0. Supposons par l absurde que k soit le plus petit entier tel que u k = 0 et que k > n. Notons n i=0 a ix i le polynôme caractéristique de u (on a : a n = ( ) n. D après le théorème de Cayley- Hamilton, n i=0 a iu i = 0 ( ). Considérons j = min{i {0,..., n} ; a i 0}. Léquation ( ) s écrit n i=j a iu i = 0. En composant avec u k j on obtient a j u k = 0 donc u k = 0 ce qui contredit la minimalité de u. Théorème. Soit M une matrice symétrique réelle. Alors M est diagonalisable. 5

TD 9. Réduction des endomorphismes. Exercice. Diagonalisation ou triangularisation. Pour chacune des matrices suivantes, diagonaliser ou triangulariser (sous forme de Jordan) quand c est possible sur R ou sur C. 5 3 0 0 4 6 5 4 3 a) M = 6 4 4 b) M = 4 4 0 c) M = 3 4 d) M = 3. 4 4 5 3 8 3 7 7 3 0 3 3 4 0 0 0 3 d) M = 6 0 3 0 3 3 e) M = 4 5 4 0 0 3 f) M = 0 0 3 0. 4 0 8 0 0 3 3 3 Exercice. Soit K un corps. Soient a, b K. On considère la matrice : a a M(a, b) = b a a b b a a + b M 4(K). 0 a a 0 ) Calculer le polynôme caractéristique de M(a, b) et vérifier qu il est indépendant de a et b. La matrice M(a, b) est-elle triangularisable? ) Déterminer le(s) couple(s) (a, b) tels que M(a, b) soit diagonalisable. 3) Dans cette question on suppose que M(a, b) est diagonalisable. a) Calculer le polynôme minimal de M(a, b), en déduire une expression M(a, b) n pour n N {0}. b) Montrer que M(a, b) + Id 4 est inversible si et seulement si le corps K est tel que + 0. Exercice 3. Soit K un corps. Soit E est un K-espace vectoriel de dimension fini n N. ) Soit u un endomorphisme diagonalisable et soit P (X) K[X] un polynôme. Montrer que u et P (u) sont diagonalisables dans une même base. ) Soient u, v deux endomorphismes. Montrer que u v et v u ont les mêmes valeurs propres. Exercice 4. Soit K un corps. On considère la matrice : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M = 0 0 0 0 0 0 M 7 (K). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Montrer que le polynôme caractéristique de M est (X 3 )(X 4 ). ) Montrer que M n est pas diagonalisable sur R ni sur F. 3) Montrer que M est diagonalisable sur C et sur F 3 et la diagonaliser. Exercice 5. Soit K un corps. Soit E est un K-espace vectoriel de dimension fini n N. Soit u, v deux endomorphismes tels que u v = v u (on dit que u et v commutent). On suppose que v admet n valeurs propres distinctes notées λ,..., λ n et on note B = (v,..., v n ) la base de vecteurs 6

propres associés. On note U et V les matrices de u et v dans la base B. ) On considère la matrice λ... λ n λ... λ n M =...... M n(k). λ n... λ n n Montrer que M est inversible. Indication : Supposer par l absurde que M n est pas inversible, considérer la matrice X = t( a 0 a... a n ) d un vecteur non nul du noyau de l endomorphisme ayant M pour matrice dans la base canonique et montrer que λ,..., λ n sont des racines du polynôme a 0 + a X +... + a n X n. ) Montrer que (Id n, V,..., V n ) est une base du sous K-e. v. D n (K) des matrices diagonales. 3) Montrer que U est diagonale et en déduire qu il existe un polynôme P (X) K[X] tel que P (u) = v. Exercice 6. Soit K un corps. Soit E est un K-espace vectoriel de dimension fini n N. ) Soit u endomorphisme diagonalisable soit F un sous K-e. v. stable par u. Montrer que la restriction de u à F est encore diagonalisable. Indication : Utiliser la question de l exercice précédent. ) Soit u, v deux endomorphismes diagonalisables tels que u v = v u (on dit que u et v commutent). a) Montrer que les sous-espaces propres de u sont stables par v. b) En déduire que u, v sont diagonalisables dans une même base. Exercice 7. Classification des éléments de Sl (R). Soit G = Gl (R) le groupe des matrices réelles inversibles. On note H = Sl (R) = {M G; dét(m) = }. ) Soit M H tel que tr(m) > (cas hyperbolique). Montrer qu il existe P G et t R {, 0, } tels que : ( ) P t 0 MP = 0 /t ) Soit M H tel que tr(m) < (cas elliptique). Montrer qu il existe P G et t R tels que : ( ) P cos t sin t MP = sin t cos t 3) Soit M H tel que tr(m) = (cas parabolique). Montrer qu il existe P G et a {, } et b R tels que : ( ) P a b MP =. 0 a Exercice 8. Limite d une suite de matrices. Soit α R et soit n N {0}. On considère : Calculer la limite de A n n lorsque n. A n = ( ) α n α n 7

Exercice 9. Espace vectoriel de matrices. Soit (x, y, z, t) R 4, on considère : x z y t M(x, y, z, t) = z x t y t y x z M 4(R). y t z x On pose A = M(0,, 0, 0) et E = {M(x, y, z, t) ; (x, y, z, t) R 4 }. ) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 4 (R). ) Montrer que (Id, A, A, A 3 ) est une base de E. 3) Vérifier que A est diagonalisable sur C. En déduire les valeurs propres de M(x, y, z, t) en fonction de (x, y, z, t) R 4. Exercice 0. Système différentiel. Déterminer l ensemble des fonctions x, y, z : R R (de t R) dérivables telles que : x = 4x 3y + 9z + y = 3x + 4y 9z + t z = 3x + 3y 8z + t Exercice. Diagonalisation des matrices symétiques réelles. Soient n, l, c, c N {0}. ) Soit M M l,c (C). On note M la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de M, autrement dit si M = (a i,j ) (i,j) alors M = (a i,j ) (i,j). a) Soient M, N M l,c (C). Montrer que M + N = M + N. b) Soient M M l,c (C) et N S c,c (C). Montrer que MN = M N. c) Soit Z M l, (C). Montrer que t Z Z M, (R) et que t Z Z = 0 si et seulement si Z = 0. ) Soit M S n (R) une matrice symétique réelle et soit u (resp. v) l endomorphisme de C n (resp. de R n ) ayant M pour matrice dans la base canonique. a) Pourquoi u a-t-il au moins une valeur propre λ C? b) On note Z M n, (C) la matrice dans la base canonique d un vecteur propre associé à la valeur propre λ. Montrer que λ R. Indication : Utiliser b et c. c) Montrer que λ est une valeur propre de v. 3) Pour x = (x,... x n ) R n et y = (y,... y n ) R n, on note < x, y >= n k= x ky k le produit scalaire. a) Soient x, y R n. On note X, Y M n, (R) les matrices des vecteurs x, y dans la base canonique. Montrer que t XY = (< x, y >). b) Soient x R n. Montrer que l application f x : R n R définie par f x (y) =< x, y > est une forme linéaire. c) Soit M S n (R) et soit v l endomorphisme de R n ayant M pour matrice dans la base canonique. Soient x R n {0} un vecteur propre de v associé à une valeur propre λ R. Montrer que ker(f x ) = {y R n ; < x, y >= 0} est un sous R-e. v. stable par v. d) Montrer que R n = Vect R (x) ker(f x ). 4) Démontrer par récurrence sur n que toute matrice M S n (R) est diagonalisable.. 8

Contrôle continu (008). Les exercices, et 3 sont interdépendants. Chaque question, peut être admise pour traiter les suivantes. Exercice. Soit n N tel que n 3. On considère le polynôme P n (X) = X n X C[X]. ) Montrer que si P n (X) a une racine multiple (au moins double) α C alors α = n n. ) Montrer que P n ( n n ) 0. 3) En déduire que P n (X) n a que des racines simples dans C. Combien le polynôme P n (X) a-t-il de racines dans C? Exercice. Soit n N tel que n 3. On considère le polynôme P n (X) = X n X R[X]. ) Etudier les variations de l application (de R dans R) polynomiale associe à P n (X). Indication : Distinguer les cas n pair et n impair. ) En déduire que le nombre de racines de P n (X) dans R est inférieur ou égal à 3. 3) Tracer le tableau de variations de l application (de R dans R) polynomiale associe à P 3 (X) en précisant le signe (positif, nul ou négatif) des extréma locaux. 4) Combien le polynôme P 3 (X) a-t-il de racines dans R? 5) Montrer que P n (X) n est pas scindé dans R[X]. Indication : Utiliser l exercice précédent. Exercice 3. Soit n N tel que n 3. On considère la matrice de format n n : 0 0... 0. M n =. 0...... 0 M n (R)........ 0. 0 0 0 ) Montrer que le polyôme caractéristique de M n est ( ) n (X n X ). Indication : Développer par rapport à la première ligne. ) L endomorphisme ayant M n pour matrice dans la base canonique est-il diagonalisable sur R? Est-il diagonalisable sur C? Indication : Utiliser les exercices précédents. 3) Calculer Mn n. x z y Exercice 4. Soit (x, y, z) C 3, on considère : M(x, y, z) = y x z M 3 (C). z y x On pose A = M(0,, 0) et E = {M(x, y, z) ; (x, y, z) C 3 }. ) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (C). Montrer que (Id, A, A ) est une base de E. Quelle est la dimension de E sur C? ) A quel élément σ du groupe symétrique S 3 la matrice A correspond elle? Est-ce que σ est un cycle? Quelle la signature de σ? Quel est l ordre de σ? 3) Montrer que A est diagonalisable sur C. En déduire les valeurs propres de M(x, y, z) en fonction de (x, y, z) C 3. 9

Licence MI Algèbre linéaire E. Edo Contrôle continu (008). (Corrigé) Exercice. ) Supposons que P n (X) ait une racine multiple (au moins double) α C. On a : P n (α) = 0 et P n(α) = 0. Or P n(x) = nx n donc 0 = np n (α) αp n(α) = ( n)α n, d où : α = n n. ) On a : n P n ( n ) = ( n n n )n ( n ) = ( n n )n n = nn ( n) n ( n) n. Supposons par l absurde que P n ( n n ) = 0. Alors nn = ( n) n (n ) n < n n < n n, ce qui est impossible. Donc P n ( n n ) 0. n 3) D après ), si P n (X) a une racine multiple (au moins double) alors ce ne peut être que n or d après n ), n n est pas une racine de P n(x) donc P n (X) n a que des racines simples dans C. Puisque C est algébriquement clos P n (X) admet, dans C, n = deg(p n (X)) racines comptées avec multiplicités. Puisque les racines de P n (X) sont toutes simples, P n (X) a n racines simples dans C. Exercice. ) Pour tout x R, on a : P n (x) = x n x et P n(x) = nx n. Donc P n(x) = 0 x n = n. Si n est pair P n(x) s annule uniquement en x = n n. Si n est impair P n (x) s annule en x 0 = n n et x = n n et les variation de Pn sont : n est pair x x + P n(x) 0 + P n n est impair x x 0 x + P n(x) + 0 0 + P n ) Si n est pair, P n (x) est strictement décroissante sur ], x 0 ] et strictement croissante sur [x 0, + [. Donc P n s annule au plus une fois sur chacun de ces intervalles donc au plus deux fois sur R. Si n est impair, P n (x) est strictement décroissante sur [x 0, x ] et strictement croissante sur ], x 0 ] et sur [x, + [. Donc P n s annule au plus une fois sur chacun de ces intervalles donc au plus trois fois sur R. Dans tous les cas, le nombre de racines de P n (X) dans R est inférieur ou égal à 3. 3) Le tableau de variations de l application polynomiale P 3 est : n = 3 x x 0 x + P 3 (x) + 0 0 + P 3 (x 0 ) + P 3 P 3 (x ) Dans ce tableau x 0 = 3 et P 3 (x 0 ) = 3 3 3 3 < 0 et x = 3 et P 3 (x ) = 3 3 3 3 < 0. 4) Pour x ], x ] on a : P 3 (x) < 0 donc P 3 ne s annule pas sur cet intervalle. Sur [x, + [, P 3 est strictement croissante et P 3 (x ) < 0 et lim P 3(x) = + donc P 3 s annule une unique fois sur cet x + intervalle. Finalement le polynôme P 3 (X) a une unique racine dans R. 5) D après l exercice, P n (X) n a que des racines simples dans C donc dans R. Si P n (X) était scindé sur R, le nombre de racines de P n (X) dans R serait égal à deg(p n (X)) = n ce qui n est pas le cas ni quand 0

n = 3 d après 4), ni pour n 4 d après ). Finalement P n (X) n est pas scindé dans R[X]. Exercice 3. ) Caculons le polynôme caractéristique de M n, en développant deux fois successives par rapport à la première ligne : X 0 0 X..... P Mn (X) = dét 0......... 0.......... (format n n). 0........ X 0 0 0 X X 0 0....... 0 = X dét. 0..... 0. + ( ) n+ (format (n ) (n ))........ X 0 0 0 X = X( X( X) n + ( ) n ) + ( ) n+ = ( ) n (X n X ) = ( ) n P n (X). ) D après l exercice, P n (X) donc P Mn (X) n est pas scindé dans R[X] donc l endomorphisme ayant M n pour matrice dans la base canonique n est pas diagonalisable sur R. D après l exercice, P n (X) donc P Mn (X) est scindé dans R[X] et n a que des racines simples donc l endomorphisme ayant M n pour matrice dans la base canonique est diagonalisable sur C. 3) D après le théorème de Cayley-Hamilton on a : P Mn (M n ) = 0 d où ( ) n (Mn n M n Id n ) = 0. On en déduit : 0 0.... Mn n. = M n + Id n = 0......... 0........... 0........ 0 0 0

Exercice 4. ) Soit (x, y, z) C 3, on a : M(x, y, z) = xid + ya + za (car A = M(0, 0, )), donc E = Vect(Id, A, A ) est un sous-espace vectoriel de M 3 (C). Soit (x, y, z) C 3, supposons = xid + ya + za = 0 donc M(x, y, z) = 0 donc x = y = z = 0. Donc (Id, A, A ) libre. Finalement (Id, A, A ) est une base de E (car libre et génératrice) et la dimension ( de E sur ) C est 3. 3 ) La matrice A correspond σ = S 3 3 qui est un 3-cycle. La signature de σ est ( ) 3 = et son ordre est 3. 3) Le polynôme caractéristique de A est : X 0 P A (X) = dét X 0 = X 3 +. 0 X Les valeurs propres de A sont, j et j où j = e i π 3, elles sont simples donc A est diagonalisable sur C. Il existe P Gl 3 (C) telle que A = P DP où D = diag(, j, j ). Soit (x, y, z) C 3, on a : M(x, y, z) = xid + ya + za = xp Id P + yp DP + zp D P = P (xid + yd + zd )P où xid + yd + zd = diag(x + y + z, x + jy + j z, x + j y + j z ). Donc les valeurs propres de M(x, y, z) sont x + y + z, x + jy + j z et x + j y + j z.

Examen terminal 008 (session ) Exercice. Soient a, b, c R, on considère la matrice : a b c M = a b b c b c a ) Déterminer l ensemble des valeurs propres de M. En déduire que M est diagonalisable sur R si et seulement si M est diagonalisable sur C. ) On suppose que a + c, b + c,a b c sont non nuls. Montrer que M est diagonalisable sur R. 3) On suppose que a + c = 0 et b 0. Montrer que M n est pas diagonalisable sur R. Exercice. ) Décomposer X 8, en produit d irréductibles dans R[X]. ) On considère la matrice : ( ) 0 M = M (R). a) Déterminer le polynôme caractéristique de M. b) Montrer que M 8 = Id. Exercice 3. Soit M Sl (R) (c est à dire que M est une matrice réelle telle que dét(m) = ). ) On suppose que tr(m) >. a) Montrer qu il existe P Gl (R) et t R {, 0, } tels que : ( ) P t 0 MP = 0 t b) En déduire que, pour tout n N {0}, on a : M n Id. ) On suppose que tr(m) = et que M {, Id}. a) Montrer qu il existe P Gl (R), a {, } et b R {0} tels que : ( ) P a b MP =. 0 a b) Montrer que, pour tout n N {0}, on a : ( ) n a b = 0 a ( a n na n ) b 0 a n. c) En déduire que, pour tout n N {0}, on a : M n Id. Examen terminal 008 (session ) (Corrigé) Exercice. ) La sommes des lignes de la matrice M est constante égale à a + b + c donc (,, ) est un vecteur propre associé à la valeur propre a + b + c. Par ailleurs, M bid a ses deux premières lignes identiques donc b est une valeur propre évidente. La dernière valeur propre est tr(m) (a + b + c) b = a c. Finalement l ensemble des valeurs propres est {a + b + c, b, a c}. Toutes les valeurs propres de M sont dans R donc M est diagonalisable sur R si et seulement si M est diagonalisable sur C. ) Puisque a + c 0 équivaut à a + b + c b, b + c 0 équivaut à a + b + c a c et a b c 0 3

équivaut à b a c, l hypothèse de la question implique que toutes les valeurs propres de M sont simples donc M est diagonalisable sur R. 3) Puisque a+c = 0, la valeur propre b est double si a b et triple si a = b. La dimension du sous-espace propre associé est d = 3 rg(m bid). Or rg(m bid) < implique a + ab b = ab a = a = 0, c est à dire a = b = 0 ce qui est impossible. Donc d = et M n est pas diagonalisable. Exercice. ) Dans C, on a : X 8 = 7 (X r k ) où r = e i π 4. En regroupant les racines conjuguées et en remarquant k=0 que r 0 =, r + r 7 = cos π 4 =, r + r 6 = i i = 0, r 3 + r 5 = cos 3π 4 = et r 4 =, on a : X 8 = (X )(X X + )(X + )(X + X + )(X + ). ) a) Le polynôme caractéristique de M est X tr(m)x + dét(m) = X X +. b) D après le théorème de Cayley-Hamilton, on a : X X + est un polynôme annulateur de M et dáprès M ce polynôme divise X 8 donc X 8 est aussi un polynôme annulateur de M c est à dire M 8 = Id. Exercice 3. Le polynôme caractéristique de M est P M (X) = X tr(m)x +dét(m) = X tr(m)x +. ) a) Si tr(m) > alors P M (X) a deux racines réelles distinctes donc M est diagonalisable sur R. Notons t R une des racines. Le produit des valeurs propres est égal au déterminant, c est à dire donc t 0 et l autre racine est t. La somme des valeurs propres est tr(m) donc t {, }. Si P Gl (R) est la matrice de passage dans la base diagonalisante on a : ( ) P t 0 MP = 0 t b) Supposons par l absurde qu il existe n N {0} tel que M n = Id. Alors ( ) Id = P P = P M n t n 0 P = 0 t n. En particulier t n = donc t {, }, ce qui est impossible. ) a) Si tr(m) = alors P M (X) a une racine réelles double donc M est trigonalisable sur R. Notons a la racine de P M (X). Le produit des valeurs propres (comptées avec multiplicités) est égal au déterminant, donc a = c est à dire a {, } Si P Gl (R) est la matrice de passage dans la base trigonalisante on a : ( ) P a b MP =. 0 a où b R. Puisque M {, Id} on a b 0. b) Démontrons par récurrence sur n N {0}, que : ( ) n a b = 0 a ( a n na n b 0 a n Pour n = c est évident. Soit n N {0}, supposons la formule au rang n, alors : ( ) n+ a b = 0 a ( a b 0 a ) n ( ) a b = 0 a ( a n na n b 0 a n ). ) ( a b 0 a ) = ( a n+ (n + )a n ) b 0 a n+. c) Supposons par l absurde qu il existe n N {0} tel que M n = Id. Alors na n b = 0, ce qui est impossible. 4

Examen terminal 008 (session ) Exercice. Soient a, b R. On considère la matrice : a b 0 0 M(a, b) = b a b 0 0 b a b M 4(R). 0 0 b a ) Montrer que le polynôme caractéristique de M(a, b) est P M(a,b) (X) = (X a) 4 3b (X a) + b 4. ) Soient ϵ, µ {, }. Montrer que a + ϵ + µ 5 b est une valeur propre de M(a, b). 3) Pour quelles valeurs de a, b R la matrice M(a, b) est-elle diagonalisable sur R? 4) On suppose a = 0 et b < + 5. Montrer que lim M(a, n b)n = 0 (matrice nulle). Exercice. On considère la matrice : 0 A = 0 M 3 (R). ) Calculer le polynôme caractéristique de A et déterminer les valeurs propres de A. ) La matrice A est-elle diagonalisable sur R? 3) Déterminer une matrice inversible P Gl 3 (R) et une matrice triangulaire T M 3 (R) telles que A = P T P. Exercice 3. ) Soit M M (R). Montrer que : M 3 = (tr(m) dét(m))m tr(m)dét(m)id. ) Soit M M (R) une matrice qui n est pas diagonale. Montrer que : M 3 est diagonale si et seulement si tr(m) = dét(m). 3) Donner un exemple d une matrice M M (R) qui n est pas diagonale mais telle que M 3 soit diagonale. Examen terminal 008 (session ) (Corrigé) Exercice. ) En développant par rapport à la première colonne, on a : X b 0 0 dét b X b 0 X b 0 ( 0 b X b = Xdét b X b b X b 0 b X 0 0 b X ) b = X 4 3b X + b 4. X Donc P M(a,b) (X) = (X a) 4 3b (X a) + b 4. ) On a : P M(a,b) (a + ϵ + µ 5 donc a + ϵ + µ 5 b) = (ϵ + µ 5 b) 4 3b (ϵ + µ 5 b est une valeur propre de M(a, b). b) + b 4 = ( 7 + 3µ 5 3 3 + µ 5 + )b 4 = 0 5

3) Si b = 0 la matrice M(a, 0) est diagonale donc diagonalisable sur R. Supposons b 0. D après la question, les quatre valeurs propres de M(a, b) sont a + ϵ + µ 5 b avec ϵ, µ {, }. Supposons par l absurde que deux de ces valeurs propres soient égales. Il existerait ϵ, µ, ϵ, µ {, } tel que a + ϵ + µ 5 b = a + ϵ + µ 5 b, ce qui implique (puisque b 0) que ϵ +µ 5 = ϵ +µ 5, ce qui est impossible car les quatres nombre + 5, + 5, 5 et 5 sont deux à deux distincts. Finalement M(a, b) a quatre valeurs propres distinctes dans R donc M(a, b) diagonalisable sur R. 4) Soit ϵ, µ {, }, on a : a + ϵ + µ 5 b = + µ 5 b < + 5 + µ 5 = La matrice M(a, b) est semblable à une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont, en valeur absolue plus petit que donc lim n M(a, b)n = 0. Exercice. ) Les deux premières colonnes de la matrice A Id sont proportionnelles, donc est une valeur propre évidente. Notons λ et µ les deux autres valeurs propres de A dans C comptées avec multiplicité. On a : + λ + µ = tr(a) = et λµ = dét(a) = 3. On en déduit {λ, µ} = { 3, }. Les valeurs propres de A sont (double) et 3 (simple). Le polynôme caractéristique de A est P A(X) = (X ) (X + 3 ). ) On a : 0 0 rg(a Id) = rg 0 =. donc la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre est. Donc la matrice A n est pas diagonalisable sur R (ni sur C). 0 3) En prenant : P = 0 8 Gl 3 (R) et T = 0 0 M 3 (R) on a : A = P T P. 0 5 0 0 3 Exercice 3. ) Par Cayley-Hamilton, on a : M tr(m)m + dét(m)id = 0. En multipliant par M, puis en réutilisant cette égalité pour simplifier par M on obtient M 3 = (tr(m) dét(m))m tr(m)dét(m)id. ) L ensemble des matrices diagonales est un sous-espace vectoriel de M (R) et tr(m)dét(m)id est une matrice diagonale. Donc M 3 est diagonale si et seulement si (tr(m) dét(m))m est diagonale donc si et seulement si tr(m) ( = dét(m) ) (puisque M n est pas diagonale). 3) La matrice M = M 0 (R) n est pas diagonale mais est telle que tr(m) = = = dét(m) donc M 3 est diagonale (en fait M 3 = Id). 6

Contrôle continu (008). Exercice. ) Soient C[X] le C-e. v. des polynômes. Soient A(X) et B(X) deux polynômes. Montrer que l application ψ : C[X] C[X] définie par ψ(p (X)) = A(X)P (X) + B(X)P (X) est linéaire. ) Pour tout n N on note C[X] n = {P (X) C[X] ; deg(p (X)) < n}. a) Soient x, y, z C, on pose P (X) = x + yx + zx, développer ( + X )P (X) + ( X 3 )P (X). En déduire que l application ϕ : C[X] 3 C[X] 4 qui à P (X) C[X] 3 associe : ϕ(p (X)) = ( + X )P (X) + ( X 3 )P (X) est bien définie et qu elle est linéaire. b) Ecrire la matrice M M 4,3 (C) de ϕ relativement aux bases canoniques de C[X] 3 et C[X] 4. c) A l aide des déterminants, déterminer le rang de M. d) Déterminer une base de l image de ϕ. L application ϕ est elle surjective? e) Que vaut la dimension du noyau de ϕ? L application ϕ est elle injective? Exercice. Dans R 3, on considère les sous R-e. v. D = Vect(v ) et P = Vect(v, v 3 ) où v = (,, 0), v = (, 3, 4) et v 3 = (0,, ). ) Montrer que R 3 = D P. ) Ecrire la matrice M dans la base canonique de R 3 de la projection sur D parallèlement à P. 3) Ecrire la matrice N dans la base canonique de R 3 de la projection sur P parallèlement à D. 4) Quelle relation y a-t-il entre les matrices M et N? 5) Ecrire la matrice T dans la base canonique de R 3 de la projection orthogonale sur P. Exercice 3. ) Donner un exemple d une matrice de M (Q) ayant une trace égale et un déterminant nul. ) Soit A M (Q) une matrice telle que tr(a) = et dét(a) = 0. a) Montrer que A ( = A. ) a b Indication : Ecrire A = avec a, b, c, d Q. c d b) Soit ϕ : M (Q) M (Q) l application définie par ϕ(m) = AM. Montrer que ϕ est linéaire. c) Montrer que ker(ϕ) im(ϕ) = {0}. Indication : Utiliser a) d) En déduire que M (Q) = ker(ϕ) im(ϕ). 7

Contrôle continu (008). Exercice. Soit P le plan de R 3 d équation x + y + z = 0. Ecrire la matrice M dans la base canonique de R 3 de la projection orthogonale sur P. Exercice. ) On considère le polynôme P (X) = X 3 + X X R[X]. a) Calculer le pgcd de P (X) et de P (X). b) Quelles sont les racines de P (X)? Préciser l ordre de chaque racine. ) On considère le polynôme Q(X) = X 0 + X + R[X]. a) Déterminer le reste R (X) de la division euclidienne de Q(X) par Q (X). b) Montrer que le reste R (X) de la division euclidienne de Q (X) par R (X) est une constante non nulle. c) En déduire que le polynôme Q(X) n a que des racines simples. Exercice 3. On considère le R-espace vectoriel E = R 3 et l application ϕ : R 3 R 3 définie par : ϕ(x, y, z) = ( 4x + y 6z, 3x 4y + 3z, 9x 8y + z ) ) Expliquer pourquoi ϕ est un endomorphisme et écrire la matrice M de ϕ dans la base canonique (e, e, e 3 ). L endomorphisme ϕ est-il un automorphisme? ) On considère les vecteurs v = (,, ), v = (, 0, ) et v 3 = (,, 3). a) Montrer que la famille (v, v, v 3 ) est une base de R 3 et écrire la matrice de passage P de la base canonique à cette base. b) Ecrire la matrice D de ϕ dans base la base (v, v, v 3 ) (verifier que cette matrice est diagonale). c) Quelle relation y a-t-il entre les matrices D, M et P? 3) On considère le polynôme Q(X) = X X R[X]. a) Factoriser Q(X) en produit de polynômes de degré un. b) Montrer que Q(X) est un polynôme annulateur de D. Quel est le polynôme minimal de D. c) Déduire des questions précédentes que Q(X) est un polynôme annulateur de M. Quel est le polynôme minimal de ϕ? Tourner la page svp. 8

Exercice 4. ) Soit E un R-e. v. Soient F et G deux sous R-e. v. de E. Montrer que E = F G équivaut à : pour tout x E il existe y F et z G uniques tels que x = y + z. ) On considère le R-espace vectoriel E = R[X]. Soit a R. On considère F a = {P (X) E ; P (a) = 0} et G = Vect R () (le sous R-e. v. des constantes). a) Montrer que F a est un sous R-e. v. de E. b) Montrer que E = F a G. Indication : On pourra utiliser un théorème du cours concernant les polynômes et la carcatérisation de la question. c) Déterminer U(X), V (X) E tels que U(X)(X )+V (X)(X ) =. En déduire que E = F +F. d) Les sous R-e. v. F et F sont-ils en somme directe? e) Soit H = F F. La somme G + H est elle directe? Montrer que E G + H. Indication : On pourra considérer le polynôme X +. 9