Cours d Algèbre II Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 09 mai 2012 Corrigé 21 Exercice 1. Soit A un anneau intègre de cardinal fini. Montrer que A est un corps. Soient a A \ {0} et f : A A l homomorphisme de groupes défini par f(x) = ax. Puisque A un anneau intègre, on a ker f = {0}. Par conséquent, f est injectif. Donc, A = f(a). Puisque A est de cardinal fini, on en déduit que f(a) = A, c est-à-dire f est surjectif. En particulier, 1 f(a). Donc il existe b A tel que 1 = ab. D où a est un élément inversible. Comme a était un élément non-nul arbitraire de A, on déduit que A est un corps. Exercice 2. Soient p 2 un nombre premier et n 2 un entier. (1) Soit m un diviseur de n. Montrer que F p n a un unique sous-corps de cardinal p m. (2) Montrer qu un polynôme F F p [X] de degré n est irréductible si et seulement si F est scindé sur F p n et n a aucune racine dans F p m pour tout m < n. (3) En déduire que X pn X est le produit des polynômes irréductibles sur F p de degré divisant n. (4) Montrer que pgcd ( F, X pn X ) est le produit des facteurs irréductibles de F de degré divisant n. (5) En déduire une factorisation X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1 sur F 3. (6) Donner un corps de décomposition de X 5 + X 2 + 2X + 1 F 3 [X]. (1) Soit k F p n un sous-corps de cardinal p m de F p n. Alors k est de cardinal p m 1. En particulier, d après le théorème de Lagrange, tout x k est d ordre (pour la multiplication) divisant p m 1 i.e. tel que x pm 1 = 1. Ainsi tous les éléments de k sont racines de X pm X. Comme X pm X a au plus p m racines, k est l ensemble des éléments de F p n qui sont racines de X pm X. En appliquant ce qui précède avec m = n, on constate que F p n est un corps de décomposition de X pn X. Comme m divise n, on sait que p m 1 divise p n 1 et donc que X pm X divise X pn X. En particulier X pm X est scindé sur F p n. L ensemble des racines de X pm X dans F p n est donc de cardinal p m. Cet ensemble des racines de X pm X dans
2 F p n est bien un sous-corps de F p n puisque Frob m p : F p n F p n est un x x pm automorphisme de corps (obtenu en composant m fois l automorphisme de corps Frob p : F p n F p n avec lui-même). x x p Ainsi, F p n a un unique sous-corps de cardinal p m, à savoir l ensemble de racines dans F p n de X pm X. (2) On rappelle qu un polynôme est irréductible si et seulement s il est égal au polynôme minimal d une de ses racines. Supposons le polynôme F irréductible. Nous allons montrer que F p n est un corps de décomposition de F. Comme tout corps fini est isomorphe à F p m pour un certain entier m, il existe un entier r tel que F p r soit un corps de décomposition de F. Soit α F p r une racine de F. Comme F est irréductible, il est le polynôme minimal de α sur F p. On a donc n = deg(f ) = [F p (α) : F p ]. En particulier, F p (α) = F p n (d après la question précédente, F p r a un seul sous-corps de cardinal p n, à savoir F p n). On en conclut que toutes les racines de F sont dans le sous-corps F p n de F p r i.e. que le polynôme F est scindé sur F p n. Soient m n 1 et α une racine de F dans le corps F p m. On note P le polynôme minimal de α sur F p. Clairement deg(p ) m n 1. Comme F (α) = 0, le polynôme P divise F, ce qui contredit l irréductibilité de F. On conclut que F n admet pas de racines dans F p m pour m n 1. Supposons maintenant que le polynôme F est scindé sur F p n et n a aucune racine dans F p m pour m n 1. Soient α une racine de F et P le polynôme minimal de α sur F p. Alors F p [X]/(P ) est un corps fini, isomorphe à F p m pour un m N. Par hypothèse, on a m n. Comme F (α) = 0, le polynôme P divise F et donc deg(p ) = m n. Par conséquent m = n d où P = F. Le polynôme F est donc irréductible. (3) Soit f F p [X] un polynôme irréductible de degré divisant n. Alors [F p [X]/(f) : F p [X]] = n. On en déduit que F p [X]/(f) est isomorphe à F p n. En particulier, f a une racine α dans F p n. Le polynôme f étant irréductible, le polynôme minimal de α est f. Or α est racine de X pn X donc f divise X pn X. Soit g un polynôme unitaire et irréducible tel que g X pn X. Montrons que g I. Soit α une racine de g dans une extension convenable de F p. Alors F p (α) est un sous-corps de F p n. En particulier, deg g = [F p (α) : F p ]. On en déduit que [F p (α) : F p ] divise [F p n : F p ] i.e. que deg(g) divise n. On vient ainsi de montrer que les facteurs apparaissant dans une décomposition de X pn X en produit d éléments irréductibles de F p [X] sont exactement les polynômes irréductibles sur F p de degré divisant n.
Pour conclure il suffit maintenant de montrer que X pn X est sans facteur carré i.e. qu il n existe aucun polynôme non constant g F p [X] tel que g 2 divise X pn X. Supposons l existence d un polynôme g irréductible sur F p tel que g 2 divise X pn X. Soit h F p [x] tel que X pn X = g 2 h. En dérivant les deux membres de l égalité définissant h, on obtient 1 = p n X pn 1 1 = 2gg h + g 2 h, En particulier 1 est divisible par g, ce qui n est possible que si g est un polynôme constant. (4) Soient P = pgcd ( F, X pn X ), et P = p 1...p l la factorisation de P en facteurs irréductibles. Comme P divise F, les p i sont des facteurs irréductibles de F. De plus, comme P divise X pn X, d après la question précédente, chaque p i est un polynôme irréductible de degré divisant n. Si G est un polynôme irréductible de degré divisant n, alors, d après la question préc dente, G divise X pn X. Si de plus G divise F, alors G = p i pour un certain indice i. Les polynômes irréductibles divisant P sont donc exactement les polynômes irréductibles divisant F et de degré divisant n. Pour conclure il suffit de remarquer que P = pgcd(f, X pn X) est sans facteur carré puisque X pn X est sans facteur carré. (5) D après le point précédent, il suffit de calculer P n := pgcd ( X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1, X 3n X ) pour différentes valeurs de n. Dans le cas n = 1, on a P 1 = 1 (on peut aussi rearquer directement que le polynôme X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1 n admet pas de racines dans F 3 ). Dans le cas n = 2, on a P 2 = X 2 +X +2, qui est irréductible dans F 3 [X], donc le seul facteur irréductible de degré 2 de X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1 est X 2 +X+2. En effectuant une division euclidienne de X 5 +2X 4 +X 2 +2X+1 par X 2 + X + 2 on obtient X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1 = (X 2 + X + 2) (X 3 + X 2 1) et comme le polynôme X 3 +X 2 1 est irréductible dans F 3 [X] (car il est de degré 3 et il n admet pas de racines dans F 3 ), on a obtenu la décomposition de X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 1 en facteurs irréductibles. (6) On commence par factoriser X 5 + X 2 + 2X + 1 en calculant Q n := pgcd ( X 5 + X 2 + 2X + 1, X 3n X ) pour différentes valeurs de n. Dans le cas n = 1, on a Q 1 = 1. Dans le cas n = 2, on a Q 2 = X 2 + 1, qui est irréductible dans F 3 [X]. On a X 5 + X 2 + 2X + 1 = (X 2 + 1) (X 3 X + 1) 3
4 et comme le polynôme X 3 X +1 est irréductible dans F 3 [X] (car il est de degré 3 et il n admet pas de racines dans F 3 ), on a obtenu la décomposition de X 5 + X 2 + 2X + 1 en facteurs premiers. Un corps de décomposition de X 2 +1 est K 1 = F 3 (α), où α est une racine de X 2 + 1. Comme X 2 + 1 est irréductible de degré 2, on a [K 1 : F 3 ] = 2. Un corps de décomposition de X 5 + X 2 + 2X + 1 est donc K 2 = K 1 (β), où β est une racine de X 3 X + 1. Comme X 3 X + 1 est irréductible sur F 3, on déduit de la question (2) que X 3 X + 1 n a pas de racine dans K 1. Or tout polynôme de degré 3 sans racine dans K 1 est irréductible sur K 1, donc X 3 X +1 est irréductible sur K 1. Par suite, [K 2 : K 1 ] = deg(x 3 X + 1) = 3. Ainsi on a [K 2 : F 3 ] = [K 2 : K 1 ][K 1 : F 3 ] = 6. Par conséquent K 2 est isomorphe à F 3 6. Exercice 3. On note Z[i] := {a + ib : a, b Z}. Montrer que les anneaux suivants sont isomorphes F p [X]/(X 2 + 1), Z[X]/(p, X 2 + 1), Z[i]/(p). On note I = (p, X 2 + 1) l idéal de Z[X] engendré par p et X 2 + 1. On considère l homomorphisme d anneaux f : Z[X] Z[i]/(p) obtenu par composition de l homomorphisme d évaluation en i φ : Z[X] Z[i] P P (i) et de la surjection canonique πz[i] Z[i]/pZ[i]. Comme φ et π sont surjectives, il en va de même de f = π φ. Montrons maintenant que Ker(f) = I. On vérifie sans difficultés que p Ker(f) et X 2 + 1 Ker(f) et donc que I Ker(f). Soit P Ker(f). On a alors P (i) pz[i]. Comme X 2 + 1 est unitaire on peut effectuer la division euclidienne de P par X 2 + 1 dans Z[X] : P = (X 2 + 1)Q + ax + b avec Q Z[X] et a, b Z. On a alors P (i) = ai + b. Or P (i) pz[i] donc a et b sont divisibles par p. Par suite ax+b pz[x] et donc P = (X 2 +1)Q+aX+b I. Ainsi, Ker(f) I. Par passage au quotient, f va donc induire un isomorphisme d anneaux de Z[X]/I sur Z/pZ[i].
On vérifie aisément que l application de réduction modulo p ψ : Z[X] F p [X] n a i X i n [a i ] p X i i=0 est un homomorphisme d anneaux. Soit g : Z[X] F p [X]/(X 2 + [1] p ) la composée de ψ et de la surjection canonique η : F p [X] F p [X]/(X 2 + [1] p ). Alors g est un un homomorphisme d anneaux surjectif puisque c est la composée de deux homomorphismes d anneaux surjectifs. Montrons maintenant que Ker(g) = I. On vérifie sans difficultés que I Ker(g). Soit P Ker(g). Alors ψ(p ) (X 2 + [1] p )F p [X]. Il existe donc T Z[X] tel que ψ(p ) = (X 2 + [1] p )ψ(t ). Maintenant, puisque ψ(p (X 2 + 1)T ) = 0, tous les coefficients de P (X 2 + 1)T sont divisibles par p, autrement dit il existe S Z[X] tel que P (X 2 + 1)T = ps. On a donc P = ps + (X 2 + 1)T I. Ainsi, Ker(g) I. Par passage au quotient, g va donc induire un isomorphisme d anneaux de Z[X]/I sur F p [X]/(X 2 + [1] p )F p [X]. En composant f 1 par g, on obtient un isomorphisme d anneaux g f 1 de Z[i]/pZ[i] sur F p [X]/(X 2 + [1] p )F p [X]. Exercice 4. Soit α F 27 avec α / { 1, 0, 1}. Montrer que { α, α} contient un générateur de F 27. On a F 27 = 26. Tout élément de F 27 est donc d ordre 1, 2, 13 ou 26. On sait que 1 est le seul élément d ordre 1 et que 1 est le seul élément d ordre 2. Par conséquent, si α / { 1, 0, 1}, alors α est d ordre 13 où 26. Si l ordre de α est 26, alors α est un générateur de F 27. Si l ordre de α est 13, alors i=0 α = ppcm( α, 1 ) = ppcm(13, 2) = 26, (où x désigne l ordre de x k pour la multiplication dans k) car α = α ( 1) et pgcd( α, 1 ) = 1. Ainsi, α est un générateur de F 27. Donc dans les deux cas, { α, α} contient un générateur de F 27. 5