FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- Comparaison de deux nombres réels Exemple On veut comparer les nombres a et a 2 pour a nombre réel positif on nul quelconque. Si a = 0, 5, alors a 2 = 0, 25 et on a a 2 < a. Si a = 2, alors a 2 = 4 et on a a < a 2. Comment établir une règle générale? Soit a et b deux nombres réels. a < b a b < 0 a b négatif a > b a b > 0 a b positif Méthode Pour comparer deux nombres réels a et b, on étudie le signe de leur différence (indiféremment b a ou a b). Supposons qu on ait choisi de calculer b a. si b a est négatif, alors b < a ; si b a est positif, alors a < b. Retour à l exemple a est un réel positif ou nul. Pour comparer a et a 2, on va étudier le signe de a 2 a = a(a 1). On dresse le tableau de signe du produit sur [0; + [. a 0 1 + a 0 + + a 1 0 + a(a 1) 0 0 + si a = 0 ou a = 1, alors a 2 a = 0 donc a = a 2 ; si 0 < a < 1, alors a 2 a est négatif, donc a 2 < a ; si a > 1, alors a 2 a > 0 donc a < a 2. II- Fonction «carré» On étudie la fonction f définie sur R par = x 2. 1. Etude du sens de variation Théorème La fonction f : x x 2 est strictement croissante sur l intervalle [0; + [ et strictement décroissante sur l intervalle ] ; 0]. Démonstration Soit a et b deux nombres réels quelconques tels que a < b, on va comparer f(a) et f(b). f(b) f(a) = b 2 a 2 = (b a)(b + a). Comme a < b, on a b a > 0. 1
Fonctions usuelles Si a et b sont dans l intervalle [0; + [, soit 0 a < b, alors a + b > 0. On en déduit que f(b) f(a) > 0, soit f(a) < f(b), f est donc strictement croissante sur [0; + [. Si a et b sont dans l intervalle ] ; 0], soit a < b 0, alors a + b < 0. On en déduit que f(b) f(a) < 0, soit f(a) > f(b), f est donc strictement décroissante sur ] ; 0]. Propriété Soit deux nombres réels a et b. Si a < b 0, alors a 2 > b 2. Si 0 a < b, alors a 2 < b 2. 2. Tableau de variation et courbe représentative Tableau de variation de f : x + 0 0 Courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; i, j ) : y = x 2 j O i La courbe représentative de f est une parabole. L origine O du repère est son sommet. Elle admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. 3. Résolution d équations et d inéquations Soit a un nombre réel strictement positif. 2
Fonctions usuelles y = x 2 y = a j a O i a (a) x 2 = a x = a ou x = a (b) x 2 < a x ] a; a[ (c) x 2 > a x ] ; a[ ] a; + [. Exemple Résoudre dans R l inéquation (x 5) 2 < 3 (x 5) 2 < 3 3 < x 5 < 3 5 3 < x < 5 + 3. L ensemble des solutions de l inéquation est : S =]5 3; 5 + 3[. Autre méthode : (x 5) 2 < 3 (x 5) 2 3 < 0. On factorise le premier membre et on utilise un tableau de signes. 3
III- Fonction trinôme du second degré Définition Une fonction trinôme du second degré est une fonction définie surrpar = ax 2 +bx+c, où a, b et c sont trois nombres réels tels que a 0. Théorème 1 (admis) Il existe deux réels α et β tels que, pour tout x réel, = a(x α) 2 +β. Cette expression est la forme canonique de. Théorème 2 La fonction f : x a(x α) 2 + β avec a, α et β réels tels que a 0 admet le tableau de variations suivant : (1) a>0 x α + β (2) a<0 x α + β Démonstration La fonction f se décompose de la manière suivante : x x α (x α) 2 a(x α) 2 a(x α) 2 + β (1) a>0 Etudions le sens de variation de f sur [α; + [ : Soit x 1 et x 2 deux réels tels que α x 1 < x 2. 0 x 1 α < x 2 α 0 (x 1 α) 2 < (x 2 α) 2 car la fonction x x 2 est strictement croissante sur [0; + [ 0 a(x 1 α) 2 < a(x 2 α) 2 car a > 0 β a(x 1 α) 2 + β < a(x 2 α) 2 + β d où f(x 1 ) < f(x 2 ). On a donc démontré que f est strictement croissante sur [α; + [. Etudions maintenant le sens de variation de f sur ] ; α] : Soit x 1 et x 2 deux réels tels que x 1 < x 2 α. x 1 α < x 2 α 0 (x 1 α) 2 > (x 2 α) 2 0 car la fonction x x 2 est strictement décroissante sur ] ; 0] a(x 1 α) 2 < a(x 2 α) 2 0 car a > 0 a(x 1 α) 2 + β < a(x 2 α) 2 + β β d où f(x 1 ) > f(x 2 ). On a donc démontré que f est strictement décroissante sur ] ; α]. 4
De plus on a bien f(α) = β d où le tableau de variation donné dans le théorème. (2) a<0 Etudions le sens de variation de f sur [α; + [ : Soit x 1 et x 2 deux réels tels que α x 1 < x 2. 0 x 1 α < x 2 α 0 (x 1 α) 2 < (x 2 α) 2 car la fonction x x 2 est strictement croissante sur [0; + [ 0 a(x 1 α) 2 > a(x 2 α) 2 car a < 0 a(x 1 α) 2 + β > a(x 2 α) 2 + β β d où f(x 1 ) > f(x 2 ). On a donc démontré que f est strictement décroissante sur [α; + [. Étudions maintenant le sens de variation de f sur ] ; α] : Soit x 1 et x 2 deux réels tels que x 1 < x 2 α. x 1 α < x 2 α 0 (x 1 α) 2 > (x 2 α) 2 0 car la fonction x x 2 est strictement décroissante sur ] ; 0] 0 a(x 1 α) 2 < a(x 2 α) 2 car a < 0 β a(x 1 α) 2 + β < a(x 2 α) 2 + β d où f(x 1 ) < f(x 2 ). On a donc démontré que f est strictement croissante sur ] ; α]. De plus on a bien f(α) = β d où le tableau de variation donné dans le théorème. Définition et propriété La courbe représentative de f est une parabole de sommet S(α; β) et qu elle admet la droite d équation x = α comme axe des symétrie. 5