Les pourcentges. 1. Clculer un %. ) Cs générl. b) Exprmer une ugmentton sous l orme d un %. c) Exprmer une dmnuton sous l orme d un %. 2. Applquer un % 3. Augmentton exprmée sous l orme d un % ) Clculer l vleur près ugmentton. b) Clculer l vleur vnt ugmentton. 4. Dmnuton exprmée sous l orme d un %. ) Clculer l vleur près dmnuton. b) Clculer l vleur vnt l dmnuton.. Résumé. 6. Exercces non corrgés.
Clculer un %. 1) Cs générl : ) Introducton : L noton de % est une pplcton très utlsée de l noton de proportonnlté. Un % permet pr exemple de comprer deux proportons qu, sns être exprmées en %, sont mons spontnément comprbles. Exemple : Les tux de réusste des lycées u bcclurét sont dérents d un étblssement à l utre. Imgnons deux lycées : Lycée n 1 : Lycée n 2 : 10 bchelers pour 128 cnddts. 113 bchelers pour 14 cnddts. C est être trop rpde de conclure à l lecture de ces données que le lycée n 2 prépre meux ses élèves u bcclurét que le lycée n 1. Certes : 113 > 10. Ms là n est ps le plus mportnt. Il ut comprer les proportons d élèves reçus pr rpport u nombre de cnddts. Lycée n 1 : tux d élèves reçus : Lycée n 2 : t = 10 1 128 t = 113 2 14 Il ut mntennt comprer ces proportons, ce qu peut se re s elles ont le même dénomnteur. Clculer un %, c est smplement chosr comme dénomnteur commun et clculer le numérteur. t 10 p1 = = p 128 10 = 128 1 1 83% t 113 p2 = = p 14 113 = 14 2 2 78% Trnsormer les tux de réusste en % de réusste nous permet lors de comprer les lycées : Le % de réusste du lycée n 1 est supéreur à celu du lycée n 2.
b) Clcul d un % : Etpe n 1 : exprmer l proporton b Etpe n 2 : l convertr en un % p. p = p = % b b On remrque que : p = = = = % b b 1 b 1 b Ans : pour clculer le pourcentge, l sut multpler pr l écrture décmle ( ou une de ses vleurs pprochées ) de l proporton. b p = b % c) Exemples : Une personne mgrt de kg sute à une mlde. Avnt de mgrr, elle pest 72 kg. Clculons le % de perte de msse pr rpport à l msse vnt d être mlde. Etpe n 1 : trouver l proporton. L réponse est dns l queston. Perte de msse : kg : numérteur. Pr rpport : trt de rcton. Msse vnt : 72 kg. Dénomnteur. Proporton : 72 Clcul du % : p = % 7% 72 Le ltre d essence ugmente de centmes d euro. Avnt ugmentton, l coûtt 1,39. De quel % le prx ugmente-t-l? p = 139 3,6%
2) Exprmer une ugmentton sous l orme d un %. Sot une grndeur qu vut ntlement (vnt ugmentton) et qu vut, à l n du processus d ugmentton, Pour exprmer l ugmentton sous l orme d un % : ) Etpe 1 : clculer l vrton de l grndeur, souvent notée dns les ouvrges scentques ; = Comme l s gt d une ugmentton : > et = > 0. b) Etpe 2 : exprmer cette vrton en un % de l vleur ntle : p = % = % On remrque que : p = % = = 1 = c) Exemples : Une personne grosst. Elle psse de 69 kg à 78 kg. Le pourcentge de vrton p vut: 78 69 9 p = % = % 13%. 69 69 Fn jnver, un slre est de 1 630. Fn évrer, l est de 1 720. 1720 1630 90 L vrton en % est de : p = % =,% d ugmentton. 1630 1630 3) Exprmer une dmnuton sous l orme d un % : Sot une grndeur qu vut ntlement (vnt dmnuton) et qu v, à l n du processus de dmnuton, Pour exprmer l dmnuton sous l orme d un % : ) Etpe 1 : clculer l vrton de l grndeur, souvent notée dns les ouvrges scentques ; = Comme l s gt d une dmnuton : < et = < 0.
b) Etpe 2 : exprmer cette vrton en un % de l vleur ntle : p = % = % On remrque que : p = % = = 1 = c) Exemples : Une personne mgrt. Elle psse de 87 kg à 72 kg. Le pourcentge de vrton p vut: 72 87 1 p = % = % 17%. 87 87 87 72 1 Remrque : On peut très ben clculer p = % = % 17% et conclure en 87 87 dsnt que l dmnuton est de 17%. Ms surtout ne ps dre que l dmnuton est de 17 %. En eet, une dmnuton négtve sert une ugmentton L populton d une vlle psse de 10 810 hbtnts en 2 012 à 97 80 hbtnts en 2 013. 9780 10810 7960 L vrton en % est de : p = % = 7,% 10810 10810
APPLIQUER UN % Applquer un % correspond à pplquer une proporton à un nombre k. Donc : Clculer % de k équvut à clculer : % k = k % de k = k Exemple 1: Un vendeur de voture t une remse de 1 % sur le prx d un véhcule coutnt vnt rems 12 800. Clcule le montnt en de l remse. 1 Sot m cette remse : m = 12800 = 0,1 12800 = 1920 Exemple n 2: L populton d une vlle de 248 000 hbtnts dmnue de 4, % Clculons l nouvelle populton, une os le nombre d hbtnts dmnués. 4, 4, 248000 Sot n le nombre d hbtnts en mons : n = 248000 = = 4, 2480 = 11160 (Je n explque ps l smplcton pr. L mentonner, c est l explquer.) Sot N l nouvelle populton : N N = 248000 11160 = 236840 Exemple n 3: Le prx de l essence est ugmenté de %. Avnt l ugmenton, 1 ltre coûtt 1,42. Clcule le prx près ugmentton : sot p l ugmentton en et P le nouveu prx du ltre d essence. p = 1,42 = 0,071. P = 1,42 + 0,071 = 1, 491.
AUGMENTATION EXPRIMEE SOUS LA FORME D UN % 1. Générlté : ) Découverte : Utlsons l exercce d ugmentton du prx de l essence de l secton précédente : Le prx de l essence est ugmenté de %. Avnt ugmentons, 1 ltre coûtt 1,42. Clcule le prx près ugmentton: Sot p l ugmentton en et P le prx près ugmenton. p = 1,42 = 0,071. P = 1,42 + 0,071 = 1, 491. On remrque que: P = 1,42 + 0,071 = 1,491 P = 1,42 + 1,42 P = 1,42 1+ 1,42 Fctorsons pr 1,42 : P = 1,42 1 + = 1,42 ( 1+ 0,0) = 1,42 1,0 = 1, 491 Concrètement : Le prx près ugmentton se clcule à prtr du prx ntl en le multplnt pr un nombre donné : 1,0. Que ce sot le prx de l essence qu ugmente de % ou les mpôts ou l populton d un pys ou que ss-je encore : notons pr x l vleur vnt ugmentton et pr y l vleur près ugmentton. y = x + % de. x = x + x = x 1+ x 0,0 = x = 0 ( 1+ 0,0) 1, x Concluson : l vleur près ugmenton de % est proportonnelle à l vleur vnt ugmentton et le coecent de proportonnlté est égl à 1 + = 1, 0
2. Générlston : Sot x l vleur d une grndeur vnt ugmentton de % Sot y l vleur de l grndeur près ugmentton de % On : y = x + %. de. x y = x + x y = x 1+ x y = x 1 + Remrque : on utlse les nottons x et y pour re un len vec l noton de oncton. Sot l oncton mthémtque modélsnt une ugmentton de % (correspondnt à une ugmentton de %) x : vleur vnt ugmentton de % x ntécédent. y : vleur près ugmentton de % y mge On : : x x 1 +, sot : : x ( x) = x 1 + 3. Exemples de clculs de coecents lés à une ugmentton exprmée en %. Sot α le coecent de proportonnlté lé à une ugmentton de % % α 37% 37 1 + = 1+ 0,37 = 1, 37 : x 1, 37x % 1 + = 1, 0 : x 1, 0x 48% 48 1 + = 1, 48 : x 1, 48x 30% 30 1 + = 1,30 = 1, 3 : x 1, 3x 140 % 140 1+ = 1+ 1,4 = 2, 4 : x 2, 4x
4. Utlston : Dns toute cette prte : on noter pr x l vleur vnt ugmentton et pr y l vleur près ugmentton.. Clculer l vleur près ugmentton : sot clculer l mge à prtr de l ntécédent. Exemple n 1: En 2012 : l populton d une vlle est de 140 000 hbtnts. En 2013 : l populton ugmenté de 4%. Clcule l populton en 2013. Etpe n 1 : Clculerα, le coecent de l oncton «ugmentton de 4 %» pour dénr cette oncton notée. 4 α = 1 + = 1,04. L oncton est déne de l mnère suvnte : : x 1, 04x. x, l ntécédent, est l vleur vnt ugmentton. Notons pr y l vleur près ugmentton : y est l mge de x. ( x) y = vec x = 140 000. y = ( 140000) = 1,04 140000 = 14600. Concluson : l populton de l vlle est en 2013 de 14 600 hbtnts. Exemple N 2 : Une personne pe 1 40 d mpôts en 2012. Ses mpôts vont ugmenter en 2 013 de 1%. 1 ( x) = 1 + x = 1, 1x x = 140 ( 140) = 1,1 140 = 1667, Concluson : Les mpôts de Monseur X seront en 2 013 de 1 667,. Résumé : Pour clculer l vleur près ugmentton de % : on multple l vleur vnt ugmentton pr le coecent de proportonnlté égl à : 1+
b. Clculer l vleur vnt dmnuton : sot clculer l ntécédent à prtr de l mge. Comme y = αx lors x = y α Pusqu l s gt de retrouver l vleur vnt ugmentton, l sut de revenr en rrère sur l multplcton. Il ut donc dvser pr le coecent α Exemple n 1 : Après une ugmentton de 30 %, les ventes de tblettes numérques d une socété sont de 3 120 tblettes. Comben cette socété vendt-elle de tblettes vnt l ugmentton? Attenton : ben qu l s gsse de retrouver un nombre plus pett, nous sommes toujours dns un contexte d ugmentton de ventes. 30 Clcul du coecent : α = 1 + = 1, 3 : x 1, 3x 3120 ( x) = 1,3x = 3120 x = = 2400. 1,3 Concluson : vnt ugmentton de ses ventes, celles-c étent de 2 400 tblettes. Exemple n 2 : Après vor gross de 7 % de s msse, une vche ltère pèse 909, kg. Quelle étt s msse vnt de grossr? 7 Augmentton de 7 %. : x 1 + x = 1, 07x. 909, Notons pr x l vleur vnt l ugmentton de msse : ( x) = 1,07 x = 909, x = = 80. 1,07 Concluson : vnt de grossr, l vche ltère pest 80 kg. Résumé : pour clculer l vleur vnt ugmentton de %, on dvse l vleur près ugmentton pr le coecent de l ugmentton, α = 1+.
DIMINUTION EXPRIMEE SOUS LA FORME D UN %. 1) Découverte: Utlsons l exemple N 2 de l secton «pplquer un %» pour découvrr l méthode. L populton d une vlle de 248 000 hbtnts dmnue de 4, % Clculons l nouvelle populton, une os le nombre d hbtnts dmnués. 4, 4, 248000 Sot n le nombre d hbtnt en mons : n = 248000 = = 4, 2480 = 11160 Sot N l nouvelle populton : N N = 248000 11160 = 236840 Dns N = 248000 11160, nous llons remplcer 11 160, l dmnuton du nombre d hbtnt, pr le clcul condusnt à ce nombre : 4, N = 248000 11160 vec 11160 = 248000 4, N = 248000 248000 Fctorston pr 248 000 4, N = 248000 1 248000 4, N = 248000 1 N = 248000 0,9 N = 236840 Concrètement : Le prx près dmnuton se clcule en multplnt l populton ntle pr un nombre donné : 0,9 Que ce sot une populton, ou une msse ou que ss-je encore qu dmnue de 4, % : notons pr x l vleur vnt dmnuton et pr y l vleur près dmnuton. 4, y = x 4,%. de. x = x x = x 1 x 0,04= x = 9 ( 1 0,04) 0, x Concluson : l vleur près dmnuton de 4,% est proportonnelle à l vleur vnt dmnuton et le 4, coecent de proportonnlté est égl à 1 = 0, 9
2) Générlston : Sot x l vleur d une grndeur vnt dmnuton de % Sot y l vleur de l grndeur près dmnuton de % On : y = x %. de. x y = x x y = x 1 x y = x 1 Remrque : on utlse les nottons x et y pour re un len vec l noton de oncton. Sot l oncton mthémtque modélsnt une dmnuton de % x : vleur vnt dmnuton de % x ntécédent. On : y : vleur près dmnuton de % y mge : x x 1, sot : : x ( x) = x 1. Exemples de clculs de coecents lés à une dmnuton exprmée en %. Sot α le coecent de proportonnlté lé à une dmnuton de % % α 37% 37 1 = 1 0,37 = 0, 63 : x 0, 63x % 1 = 0, 9 : x 0, 9x 48% 48 1 = 0, 2 : x 0, 2x 30% 30 1 = 0, 7 : x 0, 7x Remrque : S une grndeur est dmnuée de 30%, l est logque qu l n en reste que les 70%. Clculer l vleur près dmnuton de 30% revent à clculer 70% de l vleur vnt dmnuton.
6. Utlston : Dns toute cette prte : on noter pr x l vleur vnt dmnuton et pr y l vleur près dmnuton.. Clculer l vleur près dmnuton : sot clculer l mge à prtr de l ntécédent. Exemple n 1: En 2012 : l populton d une vlle est de 140 000 hbtnts. En 2013 : l populton dmnué de 4%. Clcule l populton en 2013. Etpe n 1 : Clculerα, le coecent de l oncton «dmnuton de 4 %» pour dénr cette oncton notée. 4 α = 1 = 1 0,04 = 0,96. L oncton est déne de l mnère suvnte : : x 0, 96x. x, l ntécédent, est l vleur vnt dmnuton. Notons pr y l vleur près dmnuton : y est l mge de x. ( x) y = vec x = 140 000. y = ( 140000) = 0,96 140000 = 134400. Concluson : l populton de l vlle est en 2013 de 134 400 hbtnts. Exemple N 2 : Une personne pe 1 00 d mpôts en 2012. Ses mpôts vont dmnuer en 2 013 de 1%. 1 ( x) = 1 x = 0, 8x x = 100 ( 100) = 0,8 100 = 127 Concluson : Les mpôts de Monseur X seront en 2 013 de 1 27. Résumé : Pour clculer l vleur près dmnuton de % : on multple l vleur vnt dmnuton pr le coecent de proportonnlté égl à : 1
b. Clculer l vleur vnt dmnuton : sot clculer l ntécédent à prtr de l mge. Comme y = αx lors x = y α Pusqu l s gt de retrouver l vleur vnt dmnuton, l sut de revenr en rrère sur l multplcton. Il ut donc dvser pr le coecent α Exemple n 1 : Après une dmnuton de 30 %, les ventes de tblettes numérques d une socété sont de 2 184 tblettes. Comben cette socété vendt-elle de tblettes vnt l dmnuton? Attenton : ben qu l s gsse de retrouver un nombre plus grnd, nous sommes toujours dns un contexte de dmnuton de ventes. 30 Clcul du coecent : α = 1 = 1 0,3 = 0, 7 : x 0, 7x 2184 ( x) = 0,7x = 2184 x = = 3120 0,7 Concluson : vnt dmnuton des ventes, celles-c étent de 3 120 tblettes. Exemple n 2 : Après vor mgr de 8 % de s msse, une vche ltère pèse 782 kg. Quelle étt s msse vnt d vor mgr? Dmnuton de 8 %. 8 : x 1 x = (1 0,08) x = 0, 92x. Notons pr x l vleur vnt ugmentton 782 ( x) = 0,92x = 782 x = = 80 0,92 Concluson : vnt de mgrr, l vche ltère pest 80 kg. Résumé : pour clculer l vleur vnt dmnuton de %, on dvse l vleur près dmnuton pr le coecent de l dmnuton, α = 1.
Résumé On note pr x l vleur vnt vrton. On note pr y l vleur près vrton Contexte Augmentton Dmnuton Coecent α = 1+ α = 1 On connît x Clcul de y y x = α y = α x On connît y Clcul de x. x = y α x = y α
Exercce n 1: Exercces Entre 1970 et 2010, le nombre de tués en moto sur les routes rnçses, pr n, bssé de 92,2%. Il étt de 2 819 en 1970. Quel étt-l en 2010? Exercce n 2: Après vor négocé une husse de slre de 3 %, un slré est rémunéré 29 046 pr n. Quel étt son slre nnuel vnt ugmentton? Exercce n 3: Entre 2 012 et 2 013, l producton d échlotes d un producteur ugmente de 7%. Elle étt de 8 00 kg en 2 012. Quelle est l producton de 2 013? Exercce n 4: Un ceberg vogue psblement dns les eux et ond progressvement. Après vor perdu 27% de s msse, celu-c pèse 29 60 tonnes. Quelle étt s msse de déprt? Exercce n : Le tbleu c-dessous donne les évolutons en % des chres d re de 4 socétés, et ce entre les nnées 2 011-2 012 et 2 012-2013. Clcule les % de vrton sur l seule pérode 2 011 2 013, en précsnt ben s l s gt d une ugmentton ou d une dmnuton. Vrton en % du chre d re sur les pérodes : 2 011 2 012 2 012 2 013 2 011-2 013. S.A Kerboule. - 20 % + 20%? G.A.E.C Troumc h + 30 % + 40 %? S.A.R.L An T Vrc h + 2 % - 20 %? Socété Enlguen. - 40 % - 0 %? Exercce n 6 :. En temps norml, une personne roule à l vtesse moyenne de 60 km/h pour se rendre sur son leu de trvl. Elle prt à 7 h 4 mn et roule 20 mn pour rrver ple-pole à l heure. Un lendemn de ête, c est le drme: elle ne prt qu à 7 h 49 mn. Elle ugmente lors s vtesse de 2 %. Arrve-t-elle à l heure? b. Pour une dstnce donnée: s l vtesse ugmente de 2 %, de quel % vre le temps de route? c. Démontre que pour une dstnce donnée, s l vtesse ugmente de %, lors le temps de route dmnue de % +