AL3 - Matrices Séance de TD n - Corrigés des exercices - QCM GI FC8/6 03 TEST - SYSTEME 3 GI FA 0 TEST - SYSTEME 3 4 GI FA 0 TEST SYSTEME 4 5 GI FA 03 TEST SYSTEME 5 6 GI FC 8/6 04 TEST VECTEURS, APPLICATION ET SYSTEME 6 7 GI FC 34 04 TEST VECTEURS ET CHANGEMENT DE BASE 7 8 GI FA 03 TEST VECTEURS ET CHANGEMENT DE BASE 8 9 GI FC 34 0 TEST COMPLEXES, CHANGEMENT DE BASE 9 Page sur 0
QCM ) Lorsqu il existe, le produit d une matrice carrée par un vecteur donne : une matrice carrée un vecteur un réel un déterminant ) Le carré de la matrice M (produit de M par elle-même) est : 0 0 0 0 a 0 a 3) Le déterminant de 0 a 0 est : a 0 a 0 a 3 a 3 3a 3 4) Parmi les propositions suivantes, laquelle est fausse? det(ab) = det(ba) det(ab) = det(a) det(b) det(a - ) = det(a) 5) La condition pour qu une matrice carrée A soit inversible est : det(a) = 0 termes diagonaux égaux det(a) = det(a) 0 6) Si une matrice carrée ne possède pas d inverse, c est que forcément elle est nulle son déterminant est nul sa trace est nulle 5 3 7) L inverse de est : 3 3 7 3 5 7 5 7 3 5 7 5 5 8) L inverse de la matrice est : 3 8 8 3 8 5 5 8 3 5 3 3 8 5 6 4 9) L inverse de la matrice 3 7 7 3 7 4 7 3 4 6 3 6 4 6 aucun des trois 0) AB est le produit de deux matrices carrées A et B inversibles. L inverse de AB est alors : AB - BA - A - B - B - A - GI FC8/6 03 Test - Système Résoudre, par la méthode matricielle de votre choix, le système suivant : 7 La matrice du système est A =. det(a) = 3. 3 5 7 5 3 5 3 x 4 ; y 3 3 3 3 x7y 5 x3y. Page sur 0
3 GI FA 0 Test - Système Une usine fabrique 3 types de vannes pour l'industrie pétrolière. Pour fabriquer le modèle V, il faut 0 h d'usinage et 0 h de montage. Pour fabriquer le modèle V, il faut 3 h d'usinage et 0 h de montage. Pour fabriquer le modèle V3, il faut 4 h d'usinage et 0 h de montage. Le personnel spécialisé dans ce domaine est occupé à raison de 640 h d'usinage par semaine et 360 h de montage par semaine. On désigne par : * x le nombre de vannes de type V fabriquées en une semaine, * y le nombre de vannes de type V fabriquées en une semaine, * z le nombre de vannes de type V3 fabriquées en une semaine. Le bénéfice réalisé sur une vanne de type V est de 500, le bénéfice sur une vanne de type V de 800 et le bénéfice sur une vanne de type V3 de 4 00. ) En sachant que le bénéfice total réalisé pendant une semaine est de 50 400, montrer que la situation 5x 8y 6z a ci-dessus se traduit par le système d'équations suivant : x y z b 5x 6y 4z c dans lequel a, b et c sont trois paramètres que l'on déterminera. On traduit mathématiquement les données ci-dessus : Temps total d'usinage pour les 3 types de vannes : 0x 3y 4z 640 Temps total de montage pour les 3 types de vannes : 0x 0 y 0z 360 Bénéfice total sur les 3 types de vannes : 500x 800y 400z 50400 Ces trois équations doivent être vérifiées simultanément et conduisent donc au système : 0x 3y 4z 640 0x 0 y 0z 360 500 x 800 y 400z 50400 qui équivaut à 5x 8y 6z 60 x y z 36, donc 5x 6y 4z 68 a 60 b 36 c 68 ) Une fois a, b et c déterminés, résoudre ce système par la méthode de Cramer et en déduire le nombre de vannes de chaque type fabriquées en une semaine. Résolution du système par la méthode de Cramer : 5 8 6 Déterminant du système : 9 5 6 4 Le déterminant est différent de 0, donc le système admet une solution unique. 60 8 6 36 68 6 4 60 4 36 36 68 6 6 736 x 8 9 9 5 60 6 36 5 68 4 5 504 336 40 008 5 30 6 04 y 9 9 Page 3 sur 0
5 8 60 36 5 6 68 60 5 36 30 40 68 5 6 368 z 4 9 9 Il est donc fabriqué, par semaine, 8 vannes de type V, vannes de type V et 4 vannes de type V3 4 GI FA 0 Test Système Une entreprise de matériel électronique fabrique des Tablettes (T), des Smartphones (S) et des Ecrans LCD (E) à l'aide de trois machines M, M et M 3. Les consommations électriques (en kwh) par machine et par produit sont les suivantes : M M M 3 (T) 3 3 (S) 0 (E) 3 Au bout d'un certain temps, on relève les consommations totales de chaque machine : M : 56 kwh M : 63 kwh M 3 : 54 kwh En choisissant une méthode matricielle parmi la méthode de Cramer ou l'inversion de matrice, déterminer le nombre d'appareils de chaque type fabriqués durant cette période. Notons C, C et C 3 les consommations totales respectives des machines M, M et M 3 et x, y et z les quantités respectives de (T), (S) et (E) fabriquées. Ces consommations s'écrivent : Par la méthode de Cramer : Le déterminant du système est : 56 63 3 54 0 30 x 0 3 3 C 3x y z 56 C x y 3z 63 C3 3x z 54 3 3 3 0, d où une solution unique. On obtient : 3 0 3 56 63 3 Méthode par inversion de matrice : 3 54 9 y 7 3 3 3 56 63 Le système ci-dessus est équivalent à l'écriture matricielle : AX B Avec 3 A 3 ; 3 0 x X y z et 3 0 54 56 z 3 3 56 B 53 Le déterminant de la matrice A, calculé 54 ci-dessus, est différent de 0, donc A est inversible et on peut écrire : X A B. Calculons A à l'aide de la formule A det A T Com A Page 4 sur 0
3 3 0 3 3 0 5 3 3 3 4 5 ComA 4 3 6 et donc A 5 3 7 0 3 3 0 5 7 3 3 6 3 3 3 3 x 56 4 5 56 30 0 D'où X = y A 63 5 3 7 63 9 7 3 3 z 54 3 6 54 56 On retrouve bien les mêmes résultats que par la première méthode. Finalement, il est fabriqué : 0 appareils (T), 7 appareils (S) et appareils (E). 5 GI FA 03 Test Système ) Résoudre, par la méthode de Cramer, le système d'inconnues x, y, z : x y z a x y z b x y z c où a, b et c sont trois constantes réelles. Le déterminant du système est 3 ( 3) ( 3) 3 3 3 3 Le déterminant étant différent de 0, le système admet une solution unique donnée par : a x b a 3 b 3 c 3 a b c 3 3 c a y b a b c 0 a b 3 3 3 3 c a z b a b c 3 a b c 3 3 3 3 c x a b c y a b 3 3 z a b c 3 3 ) En déduire que la matrice A est inversible et donner A -. On reconnait en A la matrice associée au système précédent, qui peut s'écrire, sous forme matricielle : x a y b det(a) est différent de 0, donc la matrice A est inversible et l'on aura : z c Page 5 sur 0
a x A b y ce qui traduit matriciellement le résultat du système ci-dessus (fin de réponse c z précédente). On en déduit donc que A 3 3 0 3 3 0 0 Une rapide vérification montre que A A 0 0 I (matrice identité). 0 0 6 GI FC 8/6 04 Test Vecteurs, application et système 0 x On donne la matrice F 0 et on définit la fonction vectorielle f qui, à tout vecteur X y, 0 z 0 x associe le vecteur Y f X F.X 0 y. 0 z ) Soit les vecteurs X et X 0 a. Déterminer les vecteurs Y et Y, images des vecteurs X et X par la fonction f. 0 0 Y F.X 0 3 ; Y F.X 0 0 0 0 0 b. Déterminer le vecteur X X. X X 0 c. L égalité f f f f X X X X est-elle vraie? 0 5 3 X X 0 3 ; Y Y 3 0 3 0 4 Les deux résultats ne sont pas égaux. d. Quelle est la valeur de l angle formé par les vecteurs f X X et f f X X Y Y Page 6 sur 0 X X? 5 3 3 cos f X X Y Y 3 4 30 0, 897 f 5 3 3 3 4 43 6 Cet angle vaut donc environ,684 rad ou encore 53,8.
) Quel vecteur est l antécédent de X? 0 x Autrement dit : résoudre matriciellement le système 0 y. z 0 Déterminant de la matrice du système : 0 0 0 0 0 4 0 5, non nul : solution unique pour le système. 0 Résolution par la méthode de Cramer : 0 0 0 0 0 0 7 x 0,4 ; y,4 ; z 0, 5 5 5 5 5 5 0,4 0 0,4 L antécédent de X est le vecteur,4. On pourra vérifier que 0,4. 0, 0 0, 7 GI FC 34 04 Test Vecteurs et changement de base 3 ) On donne la matrice P =. a. Calculer le déterminant de P. det(p) = +3 = 5 b. Donner la matrice inverse de P. P - = 3. 5 ) Dans une base, i j, on donne les vecteurs M 3 0, u et v 3. a. Déterminer les coordonnées du vecteur M dans la base uv,. 3 3 3 On remarque que P = uv ij. M uv i j. M ij. M ij P uv. 5 0 5 3 x x b. On note les coordonnées d un vecteur dans la base i, j et celles du même vecteur dans y y la base uv,. Si x et y dépendent l une de l autre par la relation y = x + 3, donner alors une relation qui unit x et y. x 3 x 7x 9. On constate par exemple que 7y = 3x + 3. y 5 x 3 5 3x 6 Page 7 sur 0
8 GI FA 03 Test Vecteurs et changement de base La figure ci-contre décrit un cube dont le côté mesure une unité, auquel on a associé un repère orthonormé O, i, j, k. Les points O (origine du repère), A et B sont trois sommets de ce cube et le point M est le milieu de [AB]. On définit les vecteurs u OA, v OB et w u v (où désigne le produit vectoriel). ) a. Donner les coordonnées des vecteurs u, v, w et OM dans ce repère. u 0, v, w 0, 0 0 OM. b. Représenter ces quatre vecteurs dans la figure. Page 8 sur 0 ) Calculer le produit scalaire OM w. Que peut-on en déduire quant aux orientations relatives des vecteurs u, v et OM? w OM 0. Ces deux vecteurs sont orthogonaux ; comme w u v est orthogonal à u et à v, on en déduit que les vecteurs u, v et OM sont coplanaires. 3) Par une méthode vectorielle, calculer l aire du triangle OAB. 3 Aire(OAB) = u v. 4) On envisage un changement de base, considérant la nouvelle base u, v, w. a. Justifier que la matrice est la matrice de passage de i, j, k vers u, v, w, c est à dire 3 la matrice des coordonnées des vecteurs i, j et k dans la base u, v, w. La matrice P de passage de u, v, w vers i, j, k est la matrice des coordonnées des vecteurs u, v et w dans la base i, j, k : P 0. Il faut donc vérifier que la matrice donnée dans 0
l énoncé de la question est son inverse, P -, c est à dire que le produit des deux donne la matrice identité, ce qui est le cas. b. Calculer alors les coordonnées de OM dans la base u, v, w. OMuvw P. OM ijk. 3 0 c. Ces coordonnées sont-elles en adéquation avec vos résultats obtenus en question? La troisième coordonnée de OM uvw est nulle, ce qui confirme que OM est dans le plan, 9 GI FC 34 0 Test Complexes, changement de base ) On donne, dans le plan complexe, les nombres za i 3 et zb i. a. Représenter précisément les points A et B dans la figure ci-dessous. uv. b. Calculer les modules de ces deux nombres complexes. z A 3 4 ; z B c. Donner leurs écritures exponentielles, puis grâce à ces écritures, déterminer les réels positifs et tels que z e i. z B A. 3 3 i i z 3 4 za i e ; zb i e, donc z voit les valeurs des réels et. d. A l aide de leurs écritures cartésiennes, calculer z. zb i i 3 zb i i i 3 3 3 3 i za i 3 i 3 i 3 4 4 4 A B A 3 i 5 i 4 3 e e où l on Page 9 sur 0
e. En déduire la valeur exacte du cosinus de l angle La partie réelle de z zb A est 5. 5 5 3 cos. Donc cos 4 ) Soit O l origine du repère correspondant à la première partie de l exercice et les points A et B tels que définis plus haut. On définit l application linéaire du plan f : vecteur V F. U où F est la matrice 3 3 4 3 3 transformations du plan : la rotation de centre O et d angle. UV qui, à tout vecteur U, associe le (l application f est la composée de deux 5 et l homothétie de centre O et de rapport ). a. Vérifier que OB F. OA. 3 3 3 3 3 4 F. OA OB 4 3 3 3 4 3 3 3 4 4 b. On se propose d utiliser F comme matrice de passage d une base, plan, telle que, donc, u F. i et v. j uv vers la base i, j de notre F. Donner les coordonnées de u et v dans la base, i j puis représenter ces deux vecteurs sur la figure de la question )a. Les coordonnées de u et v dans la base i, j constituent par définition respectivement chaque colonne de la matrice F. On peut le vérifier : 3 3 3 u F. i 4 3 3 0 4 3 3 3 0 3 v F. j 4 3 3 4 3 c. Calculer, par le changement de base, les coordonnées du point B dans la base uv, puis confronter la cohérence de votre réponse avec ce que la figure montre. OB uv i j uv Recherche de F - : det F. OB où i j ij = F -, matrice de passage de ij vers uv. 3 3 3 3 uv 8 6 3 3 6 6 T 3 3 3 3 ComF F 4 3 3 3 3 3 3 Ainsi, OB. uv, ce qui correspond à la figure. 3 3 3 3 Page 0 sur 0