Homographies et suites réurrentes 1 Une méthode lassique Commençons par exposer une méthode lassique pour l étude de ertaines suites réurrentes. Si une suite (u n ) n N est définie par réurrene par une formule du type u n+1 = f(u n ) ave f de la forme z az + b ( 0 sinon l étude est triviale), alors de deux hoses l une : Soit la fontion f admet deux points fixes α et β, auquel as on étudie la suite de terme général v n = u n α, et l on s aperçoit rapidement que u n β (v n ) n N est une suite géométrique. Sinon f n a qu un seul point fixe α, auquel as on étudie la suite de terme 1 général v n =, qui est alors une suite arithmétique. u n α Exemple : Soit à étudier la suite définie par u 0 = 1 et pour tout n : u n+1 = u n + 3 2u n On ommene par herher les points fixes de f : z z + 3. Ceux-i sont 2z les raines de l équation z + 3 = z(2z), est-à-dire 1 et 3/2. On étudie don u n + 1 la suite de terme général u n 3/2. On a : u n+1 + 1 u n+1 3/2 = = u n + 3 + 1 2u n u n + 3 3/2 2u n ( 3 2 ) un + 1 u n 3/2 ( 3 2 u n + 1 Par réurrene, on a immédiatement u n 3/2 = lim u n + 1 n + u n 3/2 = + ) n u 0 + 1, et don u 0 3/2 D où lim u n = 3/2 n + Cette méthode est ertes effiae, mais on ne omprend pas bien pourquoi elle marhe! On sait que la reherhe des points fixes de la fontion permet de 1
déterminer vers quoi la suite définie par réurrene peut tendre, si elle onverge. En revanhe, il est plus surprenant que ette méthode nous donne à oup sûr le omportement de la suite. 2 Pourquoi ette méthode? 2.1 Droite projetive et homographies Définition Une homographie est une fontion de la forme z az + b où a, b, et d sont des nombres omplexes, tels que ad b 0. (Sinon, f est une fontion onstante...) N.B. On obtient bien sûr la même fontion en multipliant tous les oeffiients par un même fateur non nul. Définition On rajoute à l ensemble C des nombres omplexes un point nommé, et l on notera S l ensemble C { }. S sera appelé droite projetive omplexe, et notée P 1 (C). Soit f une homographie. On prolonge f à S tout entier en posant : { a f( ) = si 0 sinon Et omme, pour 0, la fontion n était pas définie en d, on la prolonge ( alors en e point en posant f d ) =. Théorème 2.1 Toute homographie réalise une bijetion de S sur S. Démonstration : Soit f : z az + b une homographie, prolongée à S de la manière préédemment dérite. Le as = 0 est trivial : f est alors une appliation affine, don réalise une bijetion de C sur C. Comme on la prolonge alors par f( ) =, on obtient bien une bijetion de S sur S. On se plae don désormais dans le as 0. On a alors prolongé f en posant f( ) = a ( et f d ) =. { Tout élément de C \ d } a bien sûr une image dans C, est-à-dire que le point possède un et un seul antéédent par f, qui est d. Un omplexe z d a pour image a si et seulement si az + b = a (az + b) = a () b = ad Or, on a justement préisé dans la définition d une homographie que les omplexes a, b, et d vérifient ad b 0. Don a/ ne peut avoir d antéédent dans C, et don possède un et un seul antéédent par f, qui est le point. 2
Soit enfin α un omplexe différent de a. Un omplexe z d a pour image α si et seulement si az + b = α (a α) z = dα b Comme α a, on a également a α 0, et don l équation admet une et une seule solution dans C, qui est le omplexe dα b a α. On a montré que tout élément de S admet un unique antéédent par f. Corollaire 2.2 La omposée de deux homographies est une homographie. Démonstration : En effet, un alul élémentaire nous montre que la omposée de deux homographies f et g est enore de la forme : f g : z az + b La seule hose à montrer est que ette omposée vérifie enore ad b 0. Mais le as ontraire signifierait que f g est onstante sur S. Et omme f et g sont toutes deux des bijetions de S (théorème préédent), leur omposée est enore bijetive ; en partiulier f g ne peut être onstante, et don vérifie la ondition ad b 0. 2.2 Ation des homographies, points fixes Théorème 2.3 Soient α, β et γ trois points distints de S. Il existe une unique homographie f vérifiant : f(α) = 0, f(β) = 1, f(γ) = Démonstration : Il s agit de trouver quatre omplexes a, b, et d vérifiant : aα + b α + d = 0, aβ + b β + d = 1 et aγ + b γ + d = Supposons tout d abord que α, β et γ sont tous différents de. La première équation nous donne alors aα + b = 0 don b = aα. La troisième nous donne quant à elle γ = d/ soit d = γ. Remplaçant es oeffiients dans la seonde équation, on obtient a (β α) (β γ) = 1 e qui détermine le rapport a/, et don les nombres a, b, et d (à onstante multipliative près). Reste à étudier le as où l un des nombres α, β et γ est l élément. Si α =, la première équation f( ) = 0 nous donne en fait a/ = 0 don a = 0. La deuxième équation devient alors, après remplaement : b (β γ) = 1 e qui détermine les nombres b, et d à onstante multipliative près. 3
Si β =, on obtient a/ = 1, et don a, b, et d sont déterminés (toujours à onstante multipliative près). Enfin, si γ =, on a néessairement = 0. Reste à déterminer une fontion affine envoyant les omplexes α et β sur 0 et 1 respetivement, fontion qui existe et est unique. Corollaire 2.4 Toute homographie est inversible, et l inverse d une homographie est une homographie. Démonstration : Le fait que les homographies soient inversibles, en tant que fontions de S dans S, est évident : e sont des bijetions de S, elles admettent don des bijetions réiproques. Reste à montrer que la réiproque d une homographie est aussi une homographie. Soit don f une homographie. On pose α = f(0), β = f(1) et γ = f ( ). D après le théorème, il existe une unique homographie g telle que : g(α) = 0, g(β) = 1, g(γ) = Mais alors, on a g f(0) = 0, g f(1) = 1 et g f ( ) =. Toujours d après le théorème, il existe une unique homographie envoyant les points 0, 1, sur 0, 1,. L identité possède bien sûr ette propriété, et don g f = Id e qui montre que g est la fontion réiproque de f : g = f 1. Théorème 2.5 Toute homographie différente de l identité admet exatement 1 ou 2 point fixes dans S. Démonstration : Soit a, b, et d des omplexes vérifiant ad b 0, et f l homographie z az + b Si 0, l équation f(z) = z équivaut à az + b = z (), est-à-dire à une équation polynomiale de degré 2, qui admet en général 2 solutions dans C, une seule lorsque l on a une raine double. Sinon, est un point fixe de f. Quitte à multiplier les nombres a, b et d par un même fateur, on peut supposer d = 1. L équation f(z) = z est don de la forme az + b = z. Soit f est l identité, soit ette équation admet au plus une solution dans C, et l on a là enore, au total, 1 ou 2 points fixes. 2.3 Homographies à un seul point fixe L étude préédente des différents as nous fournit sans trop d effort la : Propriété 2.6 Les homographies ayant pour seul point fixe sont de la forme z z + b ave b 0 4
Démonstration : On a vu en effet que, si 0, alors on a au moins un point fixe dans C. Une homographie ayant pour seul point fixe est don de la forme z az + b. b Mais si a 1, alors est point fixe. Don néessairement a = 1. Enfin 1 a b 0 sinon f est l identité, don admet beauoup de points fixes... Théorème 2.7 Soit f une homographie ayant un seul point fixe. Alors il existe une homographie ω et une onstante C telle que z S, f (ω(z)) = ω (z + C) Démonstration : Soit don f une homographie n ayant qu un seul point fixe α, et ω une homographie envoyant sur α (une telle homographie existe, prendre pour ela l inverse d une homographie envoyant α sur, e qui existe d après le théorème 2.3). Considérons l homographie ω 1 f ω. On a ω( ) = α, don f ω( ) = α, et don : ω 1 f ω ( ) = Soit x C et y = ω(x). Comme ω est une bijetion de S, on a néessairement y α (sinon α aurait deux antéédents par ω, à savoir x et ). Mais alors, α étant le seul point fixe de f, on a f(y) y. Par injetivité de ω 1, on a don ω 1 (f(y)) ω 1 (y), est-à-dire ω 1 f ω(x) x x C On a montré que l homographie ω 1 f ω a pour seul point fixe. D après la propriété préédente, est don une translation, de la forme z z + C (ave C un omplexe non nul). On a bien montré que pour tout z, on a f (ω(z)) = ω (z + C). Appliation : expliation de notre méthode dans le as d un point fixe double. Soit don à étudier la suite définie par réurrene par u n+1 = f(u n ), où f est une homographie n ayant qu un seul point fixe α. L homographie z 1 envoie α sur. Elle onvient don pour jouer le z α rôle de ω 1 dans la démonstration qui préède. Il existe don un omplexe C non nul tel que l on ait z S, ω 1 f ω(z) = z + C Composant à droite par l homographie ω 1, on obtient z S, ω 1 f(z) = ω 1 (z) + C Autrement dit, il existe une onstante C telle que pour tout élément z de S, on ait : Et don la suite de terme général 1 f(z) α = 1 z α + C 1 u n α 5 est une suite arithmétique.
2.4 Homographies à deux points fixes Commençons là aussi par étudier une lasse partiulière d homographies à deux points fixes : elle qui fixent 0 et. Propriété 2.8 Les homographies ayant pour points fixes 0 et sont de la forme : z az ave a 1 Démonstration : Soit en effet f : z az + b une telle homographie. La ondition f(0) = 0 nous donne b = 0, la ondition f ( ) = nous donne = 0. f est don de la forme z az. Si enfin a = 1, est que f est l identité, auquel as f possède bien d autres points fixes... Théorème 2.9 Soit f une homographie ayant deux points fixes. Alors il existe une homographie ω et une onstante C telle que z S, f (ω(z)) = ω (Cz) Démonstration : Soit don f une homographie ayant deux points fixes α et β. Soit ω une homographie envoyant 0 sur α et sur β. Alors ω 1 f ω(0) = ω 1 f (α) = ω 1 (α) = 0 De même ω 1 f ω ( ) = L homographie ω 1 f ω possède pour points fixes 0 et, est don une homothétie z Cz. On a bien montré qu il existe une onstante C telle que : z S, f (ω(z)) = ω (Cz) Appliation : expliation de notre méthode dans le as de deux points fixes. Soit don à étudier la suite définie par réurrene par u n+1 = f(u n ), où f est une homographie ayant deux points fixes α et β. L homographie z z α envoie α sur 0 et β sur. Elle onvient don z β en tant que ω 1 dans la démonstration qui préède. C est-à-dire qu il existe un omplexe C non nul tel que l on ait z S, ω 1 f ω(z) = Cz Composant à droite par l homographie ω 1, on obtient z S, ω 1 f(z) = Cω 1 (z) Autrement dit, il existe une onstante C telle que pour tout élément z de S f(z) α f(z) β = Cz α z β Cei montre que la suite de terme général u n α u n β 6 est géométrique.
3 Qu est-e que P 1 (C)? Nous avons défini dans la préédente partie P 1 (C) omme C augmenté d un point à l infini. Une représentation géométrique possible de P 1 (C) onsiste à onsidérer le plan omplexe ave un «point à l infini», qui se ramène en fait à une sphère (dans l espae à 3 dimensions), la sphère de Riemann : on passe de l un à l autre de es modèles par projetion stéréographie à partir d un point de la sphère. Cette définition est don parfaitement légitime, mais pas entièrement satisfaisante. Le modèle de la sphère, par exemple, nous onduit à nous demander e que le point à l infini a de spéial par rapport aux autres. D ailleurs, les homographies doivent être définies d une manière partiulière au point, et pourtant rien ne le distingue ensuite : il peut être envoyé sur n importe quel point de C par une homographie, tout point de C peut quant à lui être envoyé sur. Bref, les homographies sont des transformations de P 1 (C) qui «hangent» de point à l infini. Une «bonne» façon de se représenter P 1 (C) est de le voir omme l ensemble des droites vetorielles de C 2. Étant donnée une base de C2, une droite vetorielle peut être définie par un ouple non nul (x 1, x 2 ) de omplexes : la droite vetorielle engendrée est l ensemble des multiples du veteur est-à-dire l ensemble {( ) } kx1, k C kx 2 Et toute droite vetorielle est de ette forme là. Mais alors, on est tenté d aller plus loin, et de aratériser notre droite par le seul rapport x 1 /x 2, elui-i ne dépendant pas du représentant de la droite hoisi (il est invariant par multipliation par une onstante). Mais ette représentation nous impose de distinguer une droite partiulière, elle engendrée par le ouple (1, 0), puisque le rapport 1/0 n est a priori pas défini. On ajoute alors à C un point supplémentaire, noté. Enfin, ette représentation dépend de la base de C 2 hoisie au départ. Si l on hange de base, on hange de point à l infini. Définition Lorsque l on représente un point de P 1 (C) par un ouple de omplexe (x 1, x 2 ), on parle de oordonnées homogènes de e point. Sa représentation par le rapport x 1 /x 2 orrespond à une oordonnée non homogène. Regardons maintenant e qu il advient des appliations linéaires lorsque l on passe de C 2 à P 1 (C). Cette question est légitime ar, par linéarité justement, une appliation linéaire f de C 2 dans C 2 envoie une droite vetorielle sur une droite vetorielle, ou alors sur le point (0, 0). C est-à-dire que f définit une appliation de P 1 (C) dans P 1 (C) (non définie en les droites envoyées sur le point (0, 0)). Mais e dernier as n est justement pas très intéressant : lorsqu une droite vetorielle est envoyée sur le point (0, 0), ela signifie que l appliation linéaire f est de rang au plus 1, est-à-dire à valeur dans une droite vetorielle. Dans P 1 (C), ela signifie que toutes les droites vetorielles (sauf elle qui est envoyée sur (0, 0)) sont envoyées sur la même droite, est-à-dire que l appliation est onstante sur son domaine de définition. 7
Nous nous intéressons don uniquement aux appliations linéaires de C 2 dans C 2 injetives, à savoir les appliations linéaire de déterminant non nul. Celles-i définissent une fontion de P 1 (C) dans P 1 (C), définie sur P 1 (C) tout entier. Si l on représente une appliation linéaire f par sa matrie dans la base anonique de C 2, ei revient à onsidérer les matries : ( ) a b ave ad b 0 d Cette ondition doit déjà nous rappeler quelquehose, à propos des homographies! On s était déjà restreint à elles qui vérifient ad b 0, les autres étant onstantes sur leur domaine de définition... Si l on revient à la oordonnée non homogène z = x 1 /x 2, voyons e qu il ( advient ) des appliations linéaires. ( ) a b x1 L appliation linéaire f de matrie ( ax1 + bx veteur 2 x 1 + dx 2 z = x 1 /x 2 en transforme le veteur en le d x ) 2, l appliation orrespondante de P 1 (C) transforme don ax 1 + bx 2 = az + b x 1 + dx 2 C est-à-dire que les homographies ne sont rien d autres que les appliations de P 1 (C) orrespondant aux appliations linéaires dans C 2. Deux appliation multiples l une de l autre définissent sur P 1 (C) la même appliation, puisque la multipliation par une onstante (non nulle) laisse les droites vetorielles invariantes. On retrouve ainsi l idée que les nombres a, b, et d définissant une homographie sont déterminés à un fateur multipliatif ommun près. Tous les résultats de la deuxième partie s interprètent alors failement. Soit f une appliation linéaire et f l homographie assoiée. Les points fixes de f orrespondent aux droites vetorielles fixées par f, est-à-dire aux droites engendrées par les veteurs propres de f. Or une appliation linéaire f de C 2 dans C 2 qui n est pas une homothétie admet exatement un ou deux veteurs propres (à onstante multipliative près), selon que f est diagonalisable ou non. Don f a exatement un ou deux points fixes. Soient α, β et γ trois points distints de P 1 (C). Ces points orrespondent dans C 2 à des droites vetorielles distintes. Soit u, v et w des veteurs direteurs de es droites. (u, w) forme une base de C 2, don il existe λ et µ deux omplexes tels que v = λu + µw. L appliation linéaire f qui envoie le veteur (0, 1) sur λu et le veteur (1, 0) sur µw envoie don par linéarité le veteur (1, 1) sur λu + µw = v. Dans P 1 (C), ela signifie que l homographie f assoiée à f envoie 0 sur α, 1 sur β et sur γ. Réiproquement, une homographie vérifiant ette propriété est unique à onstante multipliative près. En effet, si l on onsidère l appliation linéaire f assoiée, les diretions des veteurs images des veteurs de base sont imposées, ainsi que la diretion de l image de la somme de es ve- 8
teurs. Et ei détermine une appliation linéaire, à onstante multipliative près. Lorsque f admet deux points fixes, l appliation f a deux veteurs propres non olinéaires, don est diagonalisable. Si l on prend pour base de C 2 une base de veteurs propres de f, alors dans ette base, la droite engendrée par un veteur (x 1, x 2 ) sera envoyée par f sur la droite engendrée par (λ 1 x 1, λ 2 x 2 ), où λ 1 et λ 2 sont les valeurs propres de f. Dans P 1 (C), ela signifie que le point x 1 /x 2 sera envoyé sur le point (λ 1 x 1 )/(λ 2 x 2 ) : notre homographie f est alors la multipliation par une onstante, dans la oordonnée non homogène définie. En effet, nous nous sommes plaés dans une base de C 2 adaptée à f, base dans laquelle la matrie de f est diagonale. Si l on note M la matrie de f dans la base anonique, M la matrie de f dans ette base, et P la matrie de passage de la base anonique à ette base, on a M = P 1 MP. En terme d homographie, ela signifie que, si l on appelle ω l homographie orrespondant à la matrie P, alors ω 1 f ω est l homographie assoiée à M. C est don une homothétie, est-à-dire qu il existe une onstante C telle que ω 1 f ω : z Cz Et la onstante C est, d après e qui préède, le rapport des deux valeurs propres de l appliation linéaire f assoiée à f. De la même façon, lorsque f n a qu un seul point fixe, ela signifie que l appliation linéaire f n a qu un seul veteur propre. Dans une base adaptée (on prend e veteur propre omme premier veteur de base), f a alors une matrie de la forme : ( ) λ µ 0 λ Quitte à multiplier f par une onstante, on peut également supposer λ = 1. Dans ette base, la droite engendrée par un veteur (x 1, x 2 ) sera envoyée par f sur la droite engendrée par (x 1 + µx 2, x 2 ). Dans P 1 (C), ela signifie que le point x 1 /x 2 sera envoyé sur le point x 1 /x 2 + µ : l homographie f est alors une translation. Si ω désigne l homographie orrespondant à la matrie de hangement de base, on a don une onstante C telle que ω 1 f ω : z z + C Conlusion : Derrière ette méthode extrêmement lassique, enseignée omme une «reette» à nombre d étudiants, se ahe un domaine des mathématiques on ne peut plus vaste. Nous n avons présenté ii qu une toute petite introdution à la géométrie projetive, dans les as bien partiulier de la droite projetive omplexe. Pour une étude plus détaillée de elle-i, on pourra se reporter à [1], qui étudie également les dimensions supérieures, et relie la géométrie projetive aux géométries riemanniennes, hyperboliques et elliptiques. On trouvera des introdutions plus générales à la géométrie projetive dans [2] (approhe plus «géométrique» justement, par le biais de résultats de géométrie lassique du plan) ou dans [3] (approhe par l algèbre linéaire). 9
Référenes [1] E. Cartan, Leçons sur la géométrie projetive omplexe, Gauthier-Villars, 1931. [2] H. Coxeter, Projetive Geometry, Springer, 1987. [3] K. Borsuk, Foundations of geometry, North-Holland, 1980. 10