Option informtique MP 4 heures Clcultrices utorisées Mots synchronisnts 2017 Nottions Pour tout ensemle fini E, on note E son crdinl. On ppelle mchine tout triplet (Q, Σ, δ) où Q est un ensemle fini non vide dont les éléments sont ppelés étts, Σ un ensemle fini non vide ppelé lphet dont les éléments sont ppelés lettres et δ une ppliction de Q Σ dns Q ppelée fonction de trnsition. Une mchine correspond donc à un utomte déterministe complet sns notion d étt initil ou d étts finux. Pour un étt q et une lettre x, on note q.x = δ(q, x). L ensemle des mots (c est-à-dire des concténtions de lettres) sur l lphet Σ est noté Σ. Le mot vide est noté ε. On note ux le mot otenu pr l concténtion du mot u et de l lettre x. On note δ l extension à Q Σ de l fonction de trnsition δ définie pr { q Q, δ (q, ε) = q (q, x, u) Q Σ Σ, δ (q, xu) = δ (δ(q, x), u) Pour un étt q de Q et un mot m de Σ, on note encore q.m pour désigner δ (q, m). Pour deux étts q et q, q est dit ccessile depuis q s il existe un mot u tel que q = q.u. On dit qu un mot m de Σ est synchronisnt pour une mchine (Q, Σ, δ) s il existe un étt q 0 de Q tel que pour tout étt q de Q, q.m = q 0. L existence de tels mots dns certines mchines est utile cr elle permet de rmener une mchine dns un étt prticulier connu en lisnt un mot donné (donc en prtique de l «réinitiliser» pr une succession précise d ordres pssés à l mchine réelle). L prtie I de ce prolème étudie quelques considértions générles sur les mots synchronisnts, l prtie II est conscrée à des prolèmes lgorithmiques clssiques, l prtie III relie le prolème de l stisfiilité d une formule logique à celui de l recherche d un mot synchronisnt de longueur donnée dns une certine mchine et enfin l prtie IV s intéresse à l étude de l existence d un mot synchronisnt pour une mchine donnée. Les prties I, II et III peuvent être tritées indépendmment. L prtie IV, plus technique, utilise l prtie II. Dns les exemples concrets de mchines donnés plus loin, l ensemle d étts peut être quelconque, de même que l lphet (Σ = {0, 1}, {,, c}...). Pr contre, pour l modélistion en Cml, l lphet Σ ser toujours considéré comme étnt un intervlle d entiers 0, p 1 où p = Σ. Une lettre correspondr donc à un entier entre 0 et p 1. Un mot de Σ ser représenté pr une liste de lettres (donc d entiers). type lettre == int ; ; type mot == lettre list ; ; De même, en Cml, l ensemle d étts Q d une mchine ser toujours considéré comme étnt l intervlle d entiers 0, n 1 où n = Q. type ett == int ; ; Ainsi, l fonction de trnsition δ d une mchine ser modélisée pr une fonction Cml de signture ett -> lettre -> ett. On introduit lors le type mchine type mchine = { n_etts : int ; n_lettres : int ; delt : ett -> lettre -> ett} ; ; n_etts correspond u crdinl de Q, n_lettres à celui de Σ et delt à l fonction de trnsition. Pour une mchine nommée M, les syntxes M.n_etts, M.n_lettres ou M.delt permettent d ccéder à ses différents prmètres. Dns le prolème, on suppose que M.delt s exécute toujours en temps constnt. Pr exemple, on peut créer une mchine M0 à trois étts sur un lphet à deux lettres ynt comme fonction de trnsition l fonction f0 donnée ci-près. 2017-03-06 19:53:58 Pge 1/6
let f0 ett lettre = mtch ett,lettre with 0,0 -> 1 0,1 -> 1 1,0 -> 0 1,1 -> 2 2,0 -> 0 2,1 -> 2 ; ; f0 : int -> int -> int = <fun> let M0 = { n_etts = 3 ; n_lettres = 2 ; delt = f0 } ; ; L figure 1 fournit une représenttion de l mchine M 0. 0,1 0 1 0 0 1 2 1 Figure 1 L mchine M 0 On pourr oserver que les mots 11 et 10 sont tous les deux synchronisnts pour l mchine M 0. Dns tout le sujet, si une question demnde l complexité d un progrmme ou d un lgorithme, on ttend une complexité temporelle exprimée en O( ). I Considértions générles I.A Que dire de l ensemle des mots synchronisnts pour une mchine ynt un seul étt? Dns toute l suite du prolème, on supposer que les mchines ont u moins deux étts. I.B On considère l mchine M 1 représentée figure 2. Donner un mot synchronisnt pour M 1 s il en existe un. Justifier l réponse. 1 2 Figure 2 L mchine M 1 I.C On considère l mchine M 2 représentée figure 3. Donner un mot synchronisnt de trois lettres pour M 2. On ne demnde ps de justifier s réponse. I.D Écrire une fonction delt_etoile de signture mchine -> ett -> mot -> ett qui, prennt en entrée une mchine M, un étt q et un mot u, renvoie l étt tteint pr l mchine M en prtnt de l étt q et en lisnt le mot u. I.E Écrire une fonction est_synchronisnt de signture mchine -> mot -> ool qui, prennt en entrée une mchine M et un mot u, dit si le mot u est synchronisnt pour M. I.F Montrer que pour qu une mchine it un mot synchronisnt, il fut qu il existe une lettre x et deux étts distincts de Q, q et q, tels que q.x = q.x. I.G Soit LS(M) le lngge des mots synchronisnts d une mchine M = (Q, Σ, δ). On introduit l mchine des prties M = ( Q, Σ, δ) où Q est l ensemle des prties de Q et où δ est définie pr P Q, x Σ, δ(p, x) = {δ(p, x), p P} I.G.1) Justifier que l existence d un mot synchronisnt pour M se rmène à un prolème d ccessiilité de certin(s) étts(s) depuis certin(s) étt(s) dns l mchine des prties. I.G.2) En déduire que le lngge LS(M) des mots synchronisnts de l mchine M est reconnissle. 2017-03-06 19:53:58 Pge 2/6
1 2, d, c d c c d, c 4 3, d Figure 3 M 2 : une mchine à 4 étts I.G.3) Déterminer l mchine des prties ssociée à l mchine M 0 puis donner une expression régulière du lngge LS(M 0 ). I.H Montrer que si l on sit résoudre le prolème de l existence d un mot synchronisnt, on sit dire, pour une mchine M et un étt q 0 de M choisi, s il existe un mot u tel que pour tout étt q de Q, le chemin mennt de q à q.u psse forcément pr q 0. II Algorithmes clssiques On ppeller grphe d utomte tout couple (S, A) où S est un ensemle dont les éléments sont ppelés sommets et A une prtie de S Σ S dont les éléments sont ppelés rcs. Pour un rc (q, x, q ), x est l étiquette de l rc, q son origine et q son extrémité. Un grphe d utomte correspond donc à un utomte non déterministe sns notion d étt initil ou d étt finl. Pr exemple, vec Σ = {, } S 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A 0 = {(0,, 0), (0,, 3), (0,, 2), (0,, 1), (1,, 1), (1,, 2), (2,, 1), (2,, 3), (2,, 4), (3,, 2), (4,, 1), (4,, 5), (5,, 1)} le grphe d utomte G 0 = (S 0, A 0 ) est représenté figure 4. Soient s et s deux sommets d un grphe (S, A). On ppelle chemin de s vers s de longueur l toute suite d rcs (s 1, x 1, s 1 ), (s 2, x 2, s 2 ),, (s l, x l, s l ) de A telle que s 1 = s, s l = s et pour tout i de 1, l 1, s i = s i+1. L étiquette de ce chemin est lors le mot x 1 x 2 x l et on dit que s est ccessile depuis s. En prticulier, pour tout s S, s est ccessile depuis s pr le chemin vide d étiquette ε. 0 1 3 2 4 5 Figure 4 Le grphe d utomte G 0 2017-03-06 19:53:58 Pge 3/6
Dns les progrmmes à écrire, un grphe ur toujours pour ensemle de sommets un intervlle d entiers 0, n 1 et l ensemle des rcs étiquetés pr Σ (comme précédemment supposé être un intervlle 0, p 1 ) ser codé pr un vecteur de listes d djcence V : pour tout s S, V.(s) est l liste (dns n importe quel ordre) de tous les couples (s, x) tel que (s, x, s ) soit un rc du grphe. Pour des risons de comptiilité ultérieure, les sommets (qui sont, rppelons-le, des entiers) seront codés pr le type ett. Ainsi, vec l lphet Σ = {, }, l lettre est codée 0 et l lettre est codée 1 ; l ensemle des rcs du grphe G 0, dont chque sommet est codé pr son numéro, dmet pour représenttion Cml : V0 : (ett * lettre) list vect = [ [(0,1) ; (3,0) ; (2,1) ; (1,0)] ; [(1,0) ; (2,0)] ; [(1,1) ; (3,1) ; (4,1)] ; [(2,0)] ; [(1,0) ; (5,1)] ; [(1,0)] ] II.A On veut implémenter une file d ttente à l ide d un vecteur circulire. On définit pour cel un type prticulier nommé file pr type ' file={t :' vect ; mutle de : int ; mutle fin : int ; mutle vide : ool} de indique l indice du premier élément dns l file et fin l indice qui suit celui du dernier élément de l file, vide indiqunt si l file est vide. Les éléments sont rngés depuis l cse de jusqu à l cse précédent fin en reprtnt à l cse 0 qund on rrive u out du vecteur (cf exemple). Ainsi, on peut très ien voir l indice fin plus petit que l indice de. Pr exemple, l file figure 5 contient les éléments 4, 0, 1, 12 et 8, dns cet ordre, vec fin=2 et de=9. fin de 12 8 7 2 5 3 1 16 3 4 0 1 Figure 5 Un exemple de file où fin < de On rppelle qu un chmp mutle peut voir s vleur modifiée. Pr exemple, l syntxe f.de <- 0 ffecte l vleur 0 u chmp de de l file f. II.A.1) Écrire une fonction joute de signture ' file -> ' -> unit telle que joute f x joute x à l fin de l file d ttente f. Si c est impossile, l fonction devr renvoyer un messge d erreur, en utilisnt l instruction filwith "File pleine". II.A.2) Écrire une fonction retire de signture ' file -> ' telle que retire f retire l élément en tête de l file d ttente et le renvoie. Si c est impossile, l fonction devr renvoyer un messge d erreur. II.A.3) Quelle est l complexité de ces fonctions? On considère l lgorithme 1 s ppliqunt à un grphe d utomte G = (S, A) et à un ensemle de sommets E (on note n = S et, vide et rien des vleurs prticulières). II.B Justifier que l lgorithme 1 termine toujours. II.C Donner l complexité de cet lgorithme en fonction de S et A. On justifier s réponse. II.D Justifier qu u déut de chque pssge dns l oucle «tnt que F n est ps vide», si F contient dns l ordre les sommets s 1, s 2,, s r, lors D[s 1 ] D[s 2 ] D[s r ] et D[s r ] D[s 1 ] 1. II.E Pour s sommet de G, on note d s l distnce de E à s c est-à-dire l longueur d un plus court chemin d un sommet de E à s (vec l convention d s = s il n existe ps de tel chemin). II.E.1) Justifier rièvement qu à l fin de l lgorithme, pour tout sommet s, D[s] si et seulement si s est ccessile depuis un sommet de E et que d s D[s]. Que désigne lors c? II.E.2) Montrer qu en fit, à l fin, on pour tout sommet s, D[s] = d s. Que vut lors P [s]? II.F Écrire une fonction ccessiles de signture ((ett*lettre) list) vect -> ett list -> int * int vect * (ett*lettre) vect prennt en entrée un grphe d utomte (sous l forme de son vecteur de listes d djcence V) et un ensemle E de sommets (sous l forme d une liste d étts) et qui renvoie le triplet (c, D, P ) clculé selon l lgorithme précédent. Les constntes, vide et rien seront respectivement codées dns l fonction ccessiles pr -1, (-2,-1) et (-1,-1). 2017-03-06 19:53:58 Pge 4/6
créer une file d ttente F, vide u déprt créer un tleu D dont les cses sont indexées pr S et initilisées à créer un tleu P dont les cses sont indexées pr S et initilisées à vide créer une vrile c initilisée à n pour tout s E fire insérer s à l fin de l file d ttente F fixer D[s] à 0 fixer P [s] à rien diminuer c de 1 fin pour tnt que F n est ps vide fire extrire le sommet s qui est en tête de F pour tout rc (s, y, s ) A tel que D[s ] = fire fixer D[s ] à D[s] + 1 fixer P [s ] à (s, y) insérer s à l fin de l file d ttente F diminuer c de 1 fin pour fin tnt que renvoyer (c, D, P ) Algorithme 1 II.G Écrire une fonction chemin de signture ett -> (ett*lettre) vect -> mot qui, prennt en entrée un sommet s et le vecteur P clculé à l ide de l fonction ccessiles sur un grphe G et un ensemle E, renvoie un mot de longueur minimle qui est l étiquette d un chemin d un sommet de E à s (ou un messge d erreur s il n en existe ps). III Réduction SAT On s intéresse dns cette prtie à l stisfiilité d une formule logique portnt sur des vriles propositionnelles x 1,, x m. On note clssiquement le connecteur logique «et», le connecteur «ou» et f l négtion d une formule f. On ppelle littérl une formule constituée d une vrile x i ou de s négtion x i, on ppelle cluse une disjonction de littérux. Considérons une formule logique sous forme normle conjonctive c est-à-dire sous l forme d une conjonction de cluses. Pr exemple, F 1 = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 ) (x 2 x 3 x 4 ) est une formule sous forme normle conjonctive formée de trois cluses et portnt sur qutre vriles propositionnelles x 1, x 2, x 3 et x 4. Soit F une formule sous forme normle conjonctive, composée de n cluses et fisnt intervenir m vriles. On suppose les cluses numérotées c 1, c 2,, c n. On veut rmener le prolème de l stisfiilité d une telle formule u prolème de l recherche d un mot synchronisnt de longueur inférieure ou égle à m sur une certine mchine. On introduit pour cel l mchine suivnte ssociée à F : Q est formé de mn + n + 1 étts, un étt prticulier noté f et n(m + 1) utres étts qu on noter q i,j vec (i, j) 1, n 1, m + 1 ; Σ = {0, 1} ; δ est défini pr f est un étt puits, c est-à-dire δ(f, 0) = δ(f, 1) = f, pour tout entier i de 1, n, δ(q i,m+1, 0) = δ(q i,m+1, 1) = f, pour tout i dns 1, n et j dns 1, m, δ(q i,j, 1) = { f δ(q i,j, 0) = { f q i,j+1 q i,j+1 si le littérl x j pprît dns l cluse c i sinon si le littérl x j pprît dns l cluse c i sinon III.A Représenter l mchine ssociée à l formule F 1. 2017-03-06 19:53:58 Pge 5/6
III.B Donner une distriution de vérité (v 1, v 2, v 3, v 4 ) 0, 1 4 (l vleur v i étnt ssociée à l vrile x i ) stisfisnt F 1. Le mot v 1 v 2 v 3 v 4 est-il synchronisnt? III.C Montrer que tout mot u de longueur m + 1 est synchronisnt. À quelle condition sur les q i,1.u un mot u de longueur m est-il synchronisnt? III.D Montrer que si l formule F est stisfile, toute distriution de vérité l stisfisnt donne un mot synchronisnt de longueur m pour l utomte. III.E Inversement, prouver que si l utomte dispose d un mot synchronisnt de longueur inférieure ou égle à m, F est stisfile. Donner lors une distriution de vérité convenle. IV Existence On reprend dns cette prtie le prolème de l existence d un mot synchronisnt pour une mchine M. IV.A Soit M = (Q, Σ, δ) une mchine. Pour toute prtie E de Q et tout mot u de Σ, on note E.u = {q.u, q E}. IV.A.1) Soit u un mot synchronisnt de M et u 0, u 1,, u r une suite de préfixes de u rngés dns l ordre croissnt de leur longueur et telle que u r = u. Que peut-on dire de l suite des crdinux Q.u i? IV.A.2) Montrer qu il existe un mot synchronisnt si et seulement s il existe pour tout couple d étts (q, q ) de Q 2 un mot u q,q tel que q.u q,q = q.u q,q. On veut se servir du critère étli ci-dessus pour déterminer s il existe un mot synchronisnt. Pour cel, on ssocie à l mchine M l mchine M = ( Q, Σ, δ) définie pr : Q est formé des prties à un ou deux éléments de Q ; δ est définie pr (E, x) Q Σ, δ(e) = {δ(q, x), q E}. IV.B Si n = Q, que vut n = Q? IV.C On dit que pour l modélistion informtique, l ensemle d étts d une mchine doit être modélisée pr un intervlle 0, n 1. Q doit donc être modélisé pr l intervlle 0, n 1. Soit φ n une ijection de Q sur 0, n 1. On suppose qu on dispose d une fonction set_to_n de signture int -> (ett list) -> ett telle que set_to_n n l pour n élément de N et l liste d étts renvoie { φ n({i}) si l = [i] vec i 0, n 1 φ n ({i, j}) si l = [i; j] vec (i, j) 0, n 1 2, i < j On suppose qu on dispose ussi d une fonction réciproque n_to_set de signture int -> ett -> (ett list) telle que n_to_set n q pour n élément de N et q élément de 0, n 1 renvoie une liste d étts de l forme [i] ou [i; j] (vec i < j) correspondnt à φ 1 (q). Ces deux fonctions de conversion sont supposées gir en n temps constnt. Enfin, pour ne ps confondre un étt de Q vec s représenttion informtique pr un entier, on noter q l entier ssocié à l étt q. Écrire une fonction delt2 de signture mchine -> ett -> lettre -> ett qui prennt en entrée une mchine M, un étt q de Q et une lettre x, renvoie l étt de Q tteint en lisnt l lettre x depuis l étt q dns M. IV.D Il est clir qu à l mchine M, on peut ssocier un grphe d utomte G dont l ensemle des sommets est Q et dont l ensemle des rcs est {(q, x, δ(q, x)), (q, x) Q Σ}. On ssocie lors à G le grphe retourné G R qui les mêmes sommets que G mis dont les rcs sont retournés (i.e (q, x, q ) est un rc de G R si et seulement si (q, x, q) est un rc de G). Écrire une fonction retourne_mchine de signture mchine -> ((ett*lettre) list) vect qui à prtir d une mchine M, clcule le vecteur V des listes d djcence du grphe G R. IV.E Justifier qu il suffit d ppliquer l fonction ccessiles de l prtie II u grphe G R et à l ensemle des sommets de G R correspondnt à des singletons pour déterminer si l mchine M possède un mot synchronisnt. IV.F Écrire une fonction existe_synchronisnt de signture mchine -> ool qui dit si une mchine possède un mot synchronisnt. Jn Černý, chercheur slovque, conjecturé u milieu des nnées 60 que si une mchine à n étts possédit un mot synchronisnt, elle en vit un de longueur inférieure ou égle à (n 1) 2. L construction fite dns l prtie III ffirme que l recherche, dns une mchine, d un mot synchronisnt de longueur inférieure ou égle à une vleur m fixée est u moins ussi difficile en terme de complexité que celui de l stisfiilité d une formule logique à m vriles sous forme normle conjonctive (qu on sit être un prolème «difficile»). FIN 2017-03-06 19:53:58 Pge 6/6