Calcul intégral. 0-NYB-05. Examen Final. CEGEP St-Jean-sur-Richelieu Instructions Matériel non-autorisé : notes de cours, livre, calculatrice programmable, ordinateur. Matériel autorisé : crayon, règle, gomme, simple calculatrice. La durée de l examen est de 3h00. Le total des points de cet examen est 00 et vaut 40% de la session. Justifiez vos réponses. Les solutions doivent être complètes et conformes aux méthodes vues au cours. Les réponses doivent être exprimées sans exposant fractionnaire ou négatif. Nom : Groupe : Date : mai 008 3 4 5 6 7 8 9 boni total
Question [0 points] Évaluer la limite suivante : ( lim + ) x x x
Question [0 points] Trouver la longueur de la courbe décrite par f(x) = [ x + ] 3/ mesurée de x = 0 à x = a. 3 Déterminer ensuite pour quelle valeur de a cette longueur atteint 4a.
Question 3 [0 points] Évaluer l intégrale suivante à l aide de deux méthodes d intégration différentes : x 4 x dx Méthode : Méthode : 3
Question 4 [0 points] Dans la ferme à Mathurin, place une taure (une jeune vache) dans un enclos. La figure suivante montre une section de cet enclos ainsi que la taure. Il y a une loi qui stipule que le volume minimal de l enclos doit être de 45 m 3. Si l enclos est obtenu par la rotation de la fonction f(x) = 4 9 x autour de l axe des x, est-ce que l enclos de la taure respecte cette loi? (Les dimensions de l enclos sont en mètres.) 4
Question 5 [8 points] Dans cette question, on vous demande de poser l intégrale qui permet de calculer l aire ou le volume de révolution de certaines régions du plan ou de l espace. Ne pas résoudre ces intégrales. Exprimer vos intégrales selon une seule variable. Pour les intégrales impropres, vous devez les écrire à l aide de limites appropriées. Les régions du plan sont délimitées par certaines parties des fonctions de la liste suivante : f (x) = x f (x) = lnx f 3 (x) = sin x f 4 (x) = + x f 5 (x) = e x f 6 (x) = e x f 7 (x) = e x f 8 (x) = x f 9 (x) = cosx Pour les problèmes a) b) et c), déterminer l intégrale qui donnera l aire des régions ombrées. Indiquer également sur les graphiques les fonctions qui délimitent les régions. a) b) 5
c) Pour les questions d) et e), déterminer l intégrale permettant de calculer le volume de révolution des régions ombrées. d) autour de l axe y π e) autour de l axe x = π f) Le volume du solide du numéro d) est-il plus petit, plus grand ou égal au volume du solide du numéro e)? 6
Question 6 [ points] Pour les numéros a), b) et c), déterminer le changement de variable à effectuer pour résoudre l intégrale et réécrire cette dernière en terme de u. Pour d) et e), on vous demande de choisir le u et le dv qui vous permettraient de calculer l intégrale par parties. Ne pas résoudre. e y a) dy = u = du = y3 b) e x e x dx = u = du = + c) tan 3 θ secθ dθ = u = du = d) x 7 lnx dx u = dv = du = v = e) sec 5 θ dθ u = dv = du = v = 7
Question 7 [7 points] Supposons que dans une culture de bactéries, le nombre N de bactéries s accroît à un taux proportionnel en tout temps au nombre de bactéries présentes, t représente le nombre d heures écoulées depuis le début de l observation. a) Donner l équation différentielle que satisfait N(t). b) Trouver la solution particulière de cette équation si au début de l observation nous comptions 0 000 bactéries et que deux heures après le nombre était de 4 000. c) Trouver le nombre de bactéries après 5 heures. d) Déterminer le temps nécessaire pour que le nombre initial de bactéries triple. 8
Question 8 [5 points] Trouver l intervalle de convergence de la série n= (x 4) n n lnn. 9
Question 8 (suite) 0
Question 9 [8 points] Trouver le développement en série de MacLaurin de la fonction f(x) = ln( + x), x sans calculer son intervalle de convergence.
Question boni [4 points] Soit une fonction f(x) dont la dérivée seconde est continue et telle que f() =, f(4) = 8, f () = 0 et f (4) = 3. Trouver l intégrale suivante : 4 xf (x) dx.
Formules Identités trigonométriques sin(a ± B) = sin AcosB ± cosasin B cos(a ± B) = cosacosb sin AsinB sin A = cos(a) cos A = + cos(a) sin(a) = sinacosa Formules d intégration tanu du = ln secu + C cotu du = ln sin u + C secu du = ln secu + tanu + C cscu du = ln cscu cotu + C a u du = arcsin u a + C a + u du = a arctan u a + C u u a du = a arcsecu a + C 3