Partie I - Calcul d une intégrale

3-- 29 JFC p EM LYON 29 S JF COSSUTTA Lcée Marcelin BERTHELOT SAINT-MAUR jean-francoiscossutta@wanadoofr PROBLÈME Partie I - Calcul d une intégrale f a,b : e a e b est continue sur ], + [ Au voisinage de : e a = a + o et e b = b + o donc e a e b = b a + o Ainsi e a e b = b a + o au voisinage de Dans ces conditions lim f a,b = b a f a,b est donc prolongeable par continuité en Par conséquent a et b sont strictement positifs donc comparée On a donc également De plus d 2 lim 2 f a,b = lim + + f a,b d converge a a e a b b e b lim 2 f a,b = et ainsi f a,b = o + 2 au voisinage de + converge et, f a,b et sont positives sur [, + [ 2 = par croissance Les règles de comparaison sur les intégrales généralisées de fonctions positives montrent alors la convergence de Finalement f a,b d f a,b d converge e a e b d converge 2 a Soit, X un élément de ], + [ 2 tel que X Notons que e a est continue sur [, X] et que la fonction a est de classe C sur R Ceci autorise le changement de variable = a dans ce qui suit e a d = ax /a a d = De manière analogue on obtient : ax e b d d = bx b d

JFC p 2 Pour tout, X appartenant à ], + [ 2 tel que X : e a d = ax d et e b d = bx b d b Soit, X un élément de ], + [ 2 tel que X e a e b d = e a e b d = e a e b d = e a b b d d + d e b ax b bx ax d = d d ax ax b bx d b d bx d ax d Pour tout, X appartenant à ], + [ 2 tel que X : e a e b d = b d bx ax d 3 a et sont continues sur ], + [ Par produit h est continue sur ], + [ e u u Alors donc u Finalement e Alors lim = = h Ceci suffit très largement pour dire que h est continue en si L application h de [, + [ dans R définie par [, + [, h = si = sur [, + [ est continue b Soit un réel strictement positif h est continue sur [, + [ Considérons alors une primitive H de h sur [, + [ b b d = b d + b d = b d = Hb H + lnb ln = Hb H + ln Or H est continue en donc lim Hb H = H H = + b Donc lim d = lim Hb H + ln b = ln b + + a a c Soit X un élément de ], + [ [ ] b h d + ln = Hb H + ln b ln b = Hb H + ln b a b lim + d = ln a b

JFC p 3 ], X], e a e b d = b Ce qui précède montre alors que : X e a e b b lim d = lim + + Donc e a e b d = ln b bx a ax bx d ax d bx d ax d = ln b bx a ax d d Pour tout élément X de ], + [, d Soit X un élément de ], + [ Nous avons vu que également Alors bx ax d = ax des réels strictement positifs De plus Ainsi Donc lim X + ax bx lim X + ax e a e b d = ln b bx a d converge donc pour tout réel z strictement positif ax d z d converge d d car ces deu intégrales convergent puisque ax et bx sont bx d = resp lim X + d = lim X + e a e b lim d = X + ax lim X + bx d d = comme reste d une intégrale convergente bx ln b a bx ax d d = = e a e b d = ln b a = ln b a Finalement : Partie II - Étude d un produit scalaire Notons E l espace vectoriel réel des applications de [, + [ dans R E est contenu dans E Posons [, + [, f = f est bornée sur [, + [, f est de classe C sur [, + [ et f = Ainsi f est un élément de E donc E n est pas vide Soient f et g deu éléments de E et soit λ un réel f resp g est bornée sur [, + [ Donc il eiste un réel positif M f resp M g tel que [, + [, f M f resp [, + [, g M g

JFC p 4 [, + [, λ f + g λ f + g λ M f + M g donc λ f + g est bornée sur [, + [ f et g sont de classe C sur [, + [ donc λ f + g est de classe C sur [, + [ λ f + g = λ f + g = λ + = Par conséquent λ f + g appartient à E Ceci achève de montrer que : E est un sous-espace vetoriel de l espace vectoriel réel des applications de [, + [ dans R 2 [, + [, f = sin donc f est bornée sur [, + [ f est de classe C sur [, + [ car sin est de classe C sur R f = sin = Donc f appartient à E f 2 = cos = f 2 n appartient pas à E lim f 3 = lim + + e = + donc f 3 n est pas bornée sur [, + [ f 3 n appartient pas à E [, + [, e donc [, + [, f 4 = e f 4 est bornée sur [, + [ e est de classe C sur R donc f 4 est de classe C sur [, + [ f 4 = e = Par conséquant f 4 appartient à E f et f 4 sont deu éléments de E f 2 et f 3 n appartiennent pas à E 3 a Soit f un élément de E f est de classe C sur [, + [ Donc f est dérivable en f f f En remarquant que f est nulle en il vient : lim = lim = f Pour tout élément f de E : lim f = f b Soient f et g deu éléments de E Posons ], + [, ϕ = f g 2 ϕ est continue sur ], + [ car f, g et sont continues sur ], + [ 2 f g f g lim ϕ = lim 2 = lim = f g Ainsi ϕ est prolongeable par continuité en donc ϕ d converge f resp g est bornée sur [, + [ Donc il eiste un réel positif M f resp M g tel que

[, + [, f M f resp [, + [, g M g [, + [, ϕ = f g 2 M f M g 2 et M f M g 2 d converge car d 2 JFC p 5 converge Les règles de comparaison sur les intégrales généralisées de fonctions positives montrent alors la convergence de Finalement ϕ d ϕ d est absolument convergente donc convergente ϕ d converge Si f et g sont deu éléments de E, f g 2 4 Notons que pour tout élément f, g de E 2, f g appartient à R Soient f, g et l trois éléments de E Soit λ un réel λ f + g l + λ f + g l = 2 d = λ f + g l = λ f l 2 d+ f, g, l E 3, λ f + g l = λ f l + g l Soient f et g deu éléments de E f g = f, g E 2, f g = g f Soit f un élément de E ], + [, f E, f f Soit f un élément de E tel que f f = 2 f 2 d = 2 f est continue sur ], + [ 2 f 2 2 +! est positive sur ], + [ g l 2 λ f l + g l 2 Les quatre points précédents permettent de dire que ], + [, Alors ], + [, f 2 = donc ], + [, f = Comme f = : [, + [, f = Ainsi f = E f E, f f = f = E Les cinq points précédents montrent que : d converge d d = λ f l+g l car toutes les intégrales convergent f g + g f 2 d = 2 d = g f f f + f f 2 donc f f = 2 d f 2 2 =

JFC p 6 est un produit scalaire sur E 5 Soient f et g deu éléments de E Soient A et B deu réels strictement positifs Posons u = fg et ], + [, v = u et v sont de classe C sur ], + [ De plus ], + [, u = f g + f g et v = 2 Ceci légitime l intégration par parties suivantes B [ ] B B A B A f g 2 d = f g 2 d = f g fa ga A A A fb gb B f g + f g d B f g + f g + d A f resp g est bornée sur [, + [ Donc il eiste un réel positif M f resp M g tel que [, + [, f M f resp [, + [, g M g Alors fb gb fb gb B = M f M g B B Comme M f M g lim B + B fa ga De plus lim = lim A A A résultat de 3 a et la continuité de g en fb gb fa ga lim =, lim B + B A A Il résulte alors de que Ainsi f g = fb gb = il vient par encadrement lim B + B fa A f g 2 d = = ga = f g = f = d après le = et f g 2 d converge f g + f g d converge et vaut Pour tout couple f, g d éléments de E, f g = f g = f g + f g 6 a Soit α un réel strictement positif d f g + f g d f g + f g f g 2 d d converge et [, + [, e α donc [, + [, u α = e α u α est bornée sur [, + [ e α est de classe C sur R donc u α est de classe C sur [, + [ u α = e α = = Ceci achève de montrer que u α appartient à E α ], + [, u α E

b Soient α et β deu réels strictement positifs u α u β = u α u β = u α u β + u α u β d = α e α e α+β + β e β e α+β d α e α e β + e α β e β d JFC p 7 e α e α+β α, β et α + β étant strictement positifs, I3d montre que les intégrales d et e β e α+β d convergent et valent respectivement ln α + β et ln α + β α β Alors u α u β = α u α u β = α ln α + β α e α e α+β d + β + β ln α + β β e β e α+β = α + β lnα + β α ln α β ln β Pour tout couple α, β d éléments de ], + [ : u α u β = α ln α + β α d = α ln α + β α + β ln α + β β + β ln α + β β Pour tout couple α, β d éléments de ], + [ : u α u β = α + β lnα + β α ln α β ln β c Soient α et β deu réels strictement positifs α + β α > et α + β β Ainsi u α u β = α ln α + β α > donc ln α + β α + β ln α + β β > et ln α + β β > > Pour tout couple α, β d éléments de ], + [ : u α u β > Partie III - Étude de densités de variables aléatoires ], ], v =! Soit un un élément de ], + [ 4 c 2 c 2 donc e c2 e 4 c2 Alors e c2 e 4 c2 e 4 Comme ln 4 est strictement positif : v = e c2 c2 ln 4 Finalement R, v v est nulle sur ], ] donc v est continue sur ], ] e c2 e 4 c2 et ln 4 sont continues sur ], + [ Par produit v est continue sur ], + [ Finalement v est au moins continue sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points

v d eiste et vaut car v est nulle sur ], ] c 2 et 4 c 2 sont des réels strictement positifs donc, d après I3d : ln 4 c2 c 2 ou ln 4 Alors v d eiste et vaut Les trois points précédents montrent que : ln 4 ou Finalement ln 4 JFC p 8 e c2 e 4c2 d eiste et vaut v d eiste et vaut 2 ], ], v = donc v est une densité d une variable aléatoire réelle ], + [, v = e c 2 e 4c2 ln 4 v d eiste et vaut Si λ est un réel strictement positif le cours sur les lois eponentielles nous autorise à dire que eiste et vaut Ainsi pour tout réel strictement positif λ, Donc Alors Finalement e c2 d et v d eiste et vaut e λ d eiste et vaut λ e 4c2 d eistent et valent respectivement c 2 et 4c 2 ln 4 v d converge et vaut c 2 ln 4 4 c 2 ou 3 4 c 2 ln 4 3 4 c 2 Par conséquent : ln 4 X admet une espérance qui vaut 3 4 c 2 ln 4 3 a Nous noterons F X et F Y les fonctions de répartition de X et de Y Y prend ses valeurs dans R + donc ], [, F Y = [, + [, F Y = P Y = P X = P X 2 = F X 2 { FX 2 si [, + [ R, F Y = sinon Montrons que F Y est continue sur R et de classe C au moins sur R λ e λ d 2 et F X sont continues sur R donc par composition F X 2 est continue sur R Alors F Y continue sur [, + [ donc continue en tout point de ], + [ et continue à droite en est F Y est nulle sur l intervalle ouvert ], [, donc F Y est continue en tout point de ], [

Observons que F Y = F X = gauche en v d = Alors lim F Y = = F Y ; F Y JFC p 9 est continue à Ceci achève de montrer que F Y est continue en tout point de R v est continue sur R donc F X est au moins de classe C sur R et R, F X = v 2 est de classe C sur R et R, 2 R Donc par composition F X 2 est de classe C sur R Ainsi F Y est de classes C sur ], + [ F Y étant nulle sur ], [ elle est également de classe C sur ], [ F Y est donc au moins de classe C sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Ceci achève de montrer que : Y = X est une variable aléatoire à densité ], [, F Y = donc ], [, F Y = ], + [, F Y = F X 2 donc ], + [, F Y = 2 F X 2 = 2 v 2 ], + [, F Y 2 e = 2 e c2 4c2 2 2 e 2 = 2 e c2 4c2 2 ln 4 2 2 ln 2 e c2 2 e 4c2 2 Posons R, f Y = si ], + [ ln 2 sinon 2 e = e c2 4c2 2 ln 2 f Y est positive sur R et coïncide avec F Y sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Ainsi f Y est une densité de Y e c2 2 e 4c2 2 La fonction f Y définie par : R, f Y = si ], + [ ln 2, est une densité de Y sinon b Y 2 = X et X possède une espérance Ainsi EY 2 eiste donc Y possède un moment d ordre 2 donc une espérance et une variance EY = R, Ainsi 2 2 c f d = c e c2 2 = e π 2π 2 c c π e c2 2 f d = ln 2 2 2 2 2c e c2 2 e 4c2 2 d est une densité d une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres et

JFC p Donc Par parité c π e c2 2 d eiste et vaut Alors e c2 2 d eiste et vaut En remplaçant c par 2c on peut dire que EY = ln 2 EY = ln 2 π 2c e c2 2 e 4c2 2 d = ln 2 π π π 2c = 4c 4 c ln 2 e c2 2 d eiste et vaut e 4c2 2 d eiste et vaut e c2 2 d ln 2 Y possède une espérance qui vaut : π c π 4c Alors : π 4 c ln 2 e 4c2 2 d V Y = EY 2 EY 2 2 2 3 π = EX EY = 4 c 2 ln 4 3 = 4 c ln 2 4 c 2 ln 4 π 6 c 2 ln 2 2 Y possède une variance qui vaut : 3 4 c 2 ln 4 π 6 ln 2 π 6 c 2 ou ln 2 2 6 c 2 ln 2 2 PROBLÈME 2 Partie I - Deu eemples cos θ sin θ cos θ sin θ R θ 2 cos = = 2 θ + sin 2 θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ R θ 2 = = I 2 cos θ sin θ sin θ cos θ sin 2 θ + cos 2 θ R θ 2 = I 2 La fonction cos prend une infinité de valeurs donc {R θ, θ R} est un ensemble infini et tous ses éléments sont des racines carrées de I 2 Ainsi : I 2 admet une infinité de racines carrées a b 2 Supposons qu il eiste une matrice R = de M c d 2 R telle que R 2 = a b a b a Alors = R 2 = = 2 + bc ab + bd c d c d ca + dc cb + d 2 Donc a 2 + bc = ca + d = d 2 + bc = et ba + d =

JFC p Nécessairement a + d n est pas nul Ainsi c = Alors a 2 = d 2 = Donc a = d =, ce qui contredit a + d n admet pas de racine carrée Partie II - Racine carrées d une matrice de la forme I n + N avec N nilpotente + t = + t 2 = + 2 t + /2/2 2! t 2 + + t = + 2 t 8 t2 + 6 t3 + ot 3 au voisinage de 2 Version On calcule! /2/2 /2 2 3! + t = + 2 t 8 t2 + 6 t3 + ot 3 au voisinage de t 3 + ot 3 au voisinage de Posons S = + X a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 2 Alors S = + X + 2 X 8 X2 + 6 X3 2 S = + X + 4 X2 + 64 X4 + 256 X6 + X 4 X2 + 8 X3 8 X3 + 6 X4 64 X5 S = 64 X4 256 X6 6 X4 + 64 X5 = 5 64 X4 + 64 X5 256 X6 = X 4 Donc + X = + 2 X 8 X2 + 6 X3 2 + X 4 5 64 + 64 X 256 X2 Q = 5 64 + 64 X 256 X2 est un élément de R[X] tel que : +X = ou tel que + X = a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 2 + X 4 QX 5 64 + 64 X 256 X2 + 2 X 8 X2 + 6 X3 Version 2 Avec peu de calculs et surtout avec la possibilité de généraliser à l ordre p Posons P = a + a X + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 P = + 2 X 8 X2 + 6 X3 + t = + 2 t 8 t2 + 6 t3 + ot 3 = P t + ot 3 au voisinage de 2 +X 4 QX Alors il eiste un réel α appartenant à ], [ et une application de ] α, α[ dans R tels que t ] α, α[, + t = P t + t 3 t et lim t t = t ] α, α[, + t = P t 2 + 2 P t t 3 t + t 6 t 2 + t P t 2 t ] α, α[ {}, t 3 = 2 P t t + t 3 t 2 2 + t P t Ainsi lim t t 3 = 2 P + 3 2 =

JFC p 2 + X P 2 est un polnôme de degré au plus 6 en fait de degré 6 + X P 2 = b, b,, b 6 R 6 6 b k X k k= où Supposons qu il eiste un élément i de [, 3] tel que b i Notons alors j le plus petit élément de {k [, 3] b k } + X P 2 = 6 b k X k et b j n est pas nul k=j Alors + t P 2 t b j t j Donc + t P 2 t t t 3 2 + t P t Or lim t t 3 b j t j 3 t = donc lim t bj t 3 j = Comme b j n est pas nul : lim t t 3 j = En particulier lim t t3 j = Or lim + t t3 j = + si j < 3 et lim + t t3 j = si j = 3 Une légère contradiction + apparaît!! Ainsi j [, 3], b j = Donc + X P 2 = 6 6 b j X j = X 4 b j X j 4 Ainsi Q = 6 j=4 j=4 b j X j 4 est un élément de R[X] tel que + X = P 2 + X 4 QX donc tel que + X = a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 2 + X 4 QX j=4 Il eiste un élément Q de R[X] tel que + X = a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 2 + X 4 QX 3 I n + N = a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 2 + N 4 QN et N 4 = MnR Donc a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 2 = I n + N Par conséquent a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 ou I n + 2 N 8 N 2 + 6 N 3 est une racine carrée de I n + N I n + 2 N 8 N 2 + 6 N 3 est une racine carrée de I n + N Partie III - Racines carrées d une matrice de M n R admettant n valeurs propres strictement positives et deu à deu distinctes a Soit SEP f, λ un sous-espace propre de f et un élément de ce sous-espace propre f = λ f g = g f Donc f g = g f = g λ = λ g Donc g appartient à SEP f, λ Pour tout élément de SEP f, λ, g appartient à SEP f, λ ; SEP f, λ est stable par g

JFC p 3 Chaque sous-espace propre de f est stable par g Remarque De même chaque sous-espace propre de g est stable par f b Notons que f est un endomorphisme de R n admettant n valeurs propres deu à deu distinctes et que n est la dimension de R n Alors non seulement f est diagonalisable mais ses sous espaces propres sont des droites vectorielles Soit un vecteur propre de f et λ la valeur propre associée est un vecteur non nul de SEP f, λ et SEP f, λ est une droite vectorielle Ainsi SEP f, λ = Vect D après ce qui précède g appartient à SEP f, λ donc à Vect Alors il eiste un réel α tel que : g = α Comme n est pas nul, est un vecteur propre de g Tout vecteur propre de f est vecteur propre de g c f est un endomorphisme de R n admettant n valeurs propres deu à deu distinctes et n est la dimension de R n Ainsi : f est diagonalisable Soit B une base de R n constituée de vecteurs propres de f B est encore une base de R n constituée de vecteurs propres de g Ainsi la matrice de g dans la base B est diagonale La matrice de g dans une base B de R n constituée de vecteurs propres de f est diagonale f est diagonalisable donc il eiste au moins une base B de R n constituée de vecteurs propres de f La matrice de g dans cette base étant diagonale, nécessairement : g est diagonalisable 2 a A est une matrice de M n R aant n valeurs propres deu à deu distinctes donc A est diagonalisable Ainsi : il eiste une matrice inversible P de M n R telle que D = P AP soit une matrice diagonale Remarque Si nous ne le redisons pas, dans la suite P est une matrice inversible de M n R telle que la matrice D = P AP soit diagonale et D = Diagd, d 2,, d n

JFC p 4 b Soit P une matrice inversible de M n R telle que D = P AP soit une matrice diagonale D = Diagd, d 2,, d n Sp A = Sp D = {d, d 2,, d n } Comme les valeurs propres de A sont des réels strictement positifs : i [, n], d i Posons = Diag d, d 2,, d n et R = P P Notons que A = P DP De plus : 2 = Diag d, d 2,, d n 2 d 2, 2, 2 = Diag d2, dn = Diagd, d 2,, d n = D Alors R 2 = P P 2 = P 2 P = P DP = A R est une racine carrée de A Soit P une matrice inversible de M n R telle que D = P AP soit une matrice diagonale Si D = Diagd, d 2,, d n alors P Diag d, d 2,, d n P est une racine carrée de A c AR = R 2 R = R 3 = RR 2 = RA Si R est une racine carré de A : AR = RA Soit B la base canonique de R n Notons f et g les endomorphismes de R n de matrices A et R dans la base B f a n valeurs propres deu à deu distinctes car c est le cas pour A par hpothèse De plus f g = g f car AR = RA P est une matrice inversible de M n R il eiste une base B de R n et une seule telle que P soit la matrice de passage de B à B Remarque Si B = e, e 2,, e n et si P = p i,j, B = e, e 2,, e n avec, pour tout j dans [, n], e j = n p i,j e i D = P AP est alors la matrice de f dans la base B Comme D est diagonale, B est une base de R n constituée de vecteurs propres de f c permet alors de dire que la matrice de g dans la base B est diagonale Or la matrice de g dans la base B est P RP Ainsi P RP est diagonale Si R est une racine carré de A et si P est une matrice inversible de M n R telle que D = P AP soit diagonale alors P RP est diagonale d P est toujours une matrice inversible de M n R telle que D = P AP soit une matrice diagonale D = Diagd, d 2,, d n

Notons que Sp A = Sp D = {d, d 2,, d n } positives Par conséquent les réels d, d 2,, d n sont strictement positifs JFC p 5 Par hpothèse les valeurs propres de A sont strictement Ce qui précède montre que si R est une racine carrée de A alors il eiste une matrice diagonale de M n R telle que P RP = ou R = P P Ainsi les racines carrées de A sont du tpe P P où est une matrice diagonale de M n R Il est donc légitime de rechercher les racines carrées de A sous la forme P P où est une matrice diagonale Soit alors une matrice diagonale = Diagδ, δ 2,, δ n de M n R Posons R = P P R 2 = A P P 2 = P DP P 2 P = P DP 2 = D Notons que la dernière équivalence est justifiée par le fait que P est inversible R 2 = A Diagδ, δ 2,, δ n 2 = Diagd, d 2,, d n Diagδ 2, δ 2 2,, δ 2 n = Diagd, d 2,, d n R 2 = A i [, n], δ 2 i = d i i [, n], i {, }, δ i = i di Ainsi l ensemble des racines carrées de A est l ensemble R = { P Diag d, 2 d2,, n dn P ;, 2,, n {, } n} Comme {, } n a 2 n éléments il semble assez clair que R a également 2 n éléments Démontrons le cela ne s impose pas le jour du concours!! en prouvant que {, } n et R sont équipotents c est à dire qu il eiste une bijection de l un vers l autre Posons, 2,, n {, } n, ψ, 2,, n = P Diag d, 2 d2,, n dn P Le résultat obtenu plus haut indique clairement que ψ est une application surjective de {, } n dans R Montrons qu elle est injective Soient, 2,, n et, 2,, n deu éléments de {, } n tels que ψ, 2,, n = ψ, 2,, n P Diag d, 2 d2,, n dn P = P Diag d, 2 d2,, n dn P En multipliant à droite par P et à gauche par P il vient : Diag d, 2 d2,, n dn = Diag d, 2 d2,, n dn Alors i [, n], i di = i di Or i [, n], d i Ainsi i [, n], i = i Donc, 2,, n =, 2,, n Ceci achève de montrer l injectivité de ψ ψ est donc bijective et ainsi le cardinal de R est celui de {, } n c est à dire 2 n A possède eactement 2 n racines carrées

JFC p 6 Partie IV - Racine carrée smétrique positive d une matrice smétrique positive de M n R Dans la suite est la norme associée au produit scalaire canonique de M n, R Soit λ une valeur propre de S Soit X un vecteur propre associé Comme S est positive : t XSX Alors t XSX = t Xλ X = λ t XX = λ X 2 Donc λ X 2 et X 2 > car X n est pas nul Par conséquent : λ Toutes les valeurs propres de S sont positives ou nulles 2 S est une matrice smétrique de M n R D après le cours : il eiste une matrice orthogonale P de M n R telle que la matrice D = P SP soit diagonale 3 Posons D = Diagd, d 2,, d n Sp A = Sp D = {d, d 2, d n } Comme les valeurs propres de S sont positives ou nulles, les réels d, d 2,, d n sont positifs ou nuls Posons = Diag d, d 2,, d n et R = P P Notons que S = P DP De plus : 2 = Diag d, d 2,, d n 2 d 2, 2, 2 = Diag d2, dn = Diagd, d 2,, d n = D Alors R 2 = P P 2 = P 2 P = P DP = S R est une racine carrée de S Montrons alors que R est smétrique et positive Rappelons que P est orthogonale ; ainsi P = t P Notons également que est smétrique car elle diagonale t R = t P P = t P t P = t t P t t P = P t t P = P t P = P P = R ; R est smétrique Soit X un élément de M n, R Posons Y = P X Il eiste un élément, 2,, n de R n tel que Y = 2 n De plus Y = t P X Alors t XR X = t XP P X = t XP t P X = t t P X t P X = t Y Y d d2 t XR X = 2 n Diag d, d 2,, d n 2 = 2 n 2 = n i di i n dn n

JFC p 7 Alors t XR X = n di i 2 donc t XR X est positif ou nul Ceci achève de montrer que R est positive Donc R est une racine carrée smétrique et positive de S Soit P une matrice orthogonale de M n R telle que D = P SP soit une matrice diagonale Si D = Diagd, d 2,, d n alors P Diag d, d 2,, d n P est une racine carrée smétrique et positive de S 4 a Soit λ une valeur propre de R Soit X un élément de SEP R, λ SX = R 2 X = RRX = RλX = λrx = λλx = λ 2 X ; SX = λ 2 X Ainsi SEP R, λ {X M n, R SX = λ 2 X} Comme SEP R, λ n est pas réduit au vecteur nul de M n, R, il en est de même pour {X M n, R SX = λ 2 X} Alors λ 2 est une valeur propre de S et : SEP R, λ {X M n, R SX = λ 2 X} = SEP S, λ 2 Si λ est une valeur propre de R, λ 2 est une valeur propre de S et SEP R, λ SEP S, λ 2 b Soit X un élément de p SEP R, λ i Il eiste un élément X, X 2,, X p de p SEP R, λ i tel que X = X i Or i [, p], SEP R, λ i SEP S, λ 2 i donc i [, p], Xi SEP S, λ 2 i Alors X = n X i p SEP S, λ 2 i Finalement : p SEP R, λ i p SEP S, λ 2 i p p c SEP R, λ i SEP S, λ 2 p p i donc dim SEP R, λ i dim SEP S, λ 2 i Ces sommes étant directes : dim SEP R, λ i dim SEP S, λ 2 i λ, λ 2,, λ p sont LES valeurs propres de R et R est diagonalisable car R est une matrice smétrique de M n R, alors : dim SEP R, λ i = n

JFC p 8 λ 2, λ 2 2,, λ 2 p sont DES valeurs propres de S et la somme des dimensions des sous-espaces propres de S n eède pas n en fait elle vaut ici n, car S est diagonalisable! ; ainsi dim SEP S, λ 2 i n n = dim SEP R, λ i dim SEP S, λ 2 i n d Dans ces conditions dim SEP S, λ 2 i = n Comme la somme des dimensions des sous-espaces propres de S est inférieure ou égale à n, S ne peut pas avoir d autres valeurs propres que λ 2, λ 2 2,, λ 2 p λ 2, λ 2 2,, λ 2 p sont les seules valeurs propres de S i [, p], SEP R, λ i SEP S, λ 2 i donc i [, p], dim SEP R, λi dim SEP S, λ 2 i Rappelons que dim SEP R, λ i = n = dim SEP S, λ 2 i Supposons alors qu il eiste un élément i de [, p] tel que dim SEP R, λ i < dim SEP S, λ 2 i dim SEP R, λ i = dim SEP R, λ i + SEP R, λ i i [,p ] {i } dim SEP R, λ i dim SEP S, λ 2 i + SEP R, λi i [,p ] {i } dim SEP R, λ i < dim SEP S, λ 2 i + SEP S, λ 2 i i [,p ] {i } Alors dim SEP R, λ i < dim SEP S, λ 2 i D où une légère contradiction Ainsi i [, p], dim SEP R, λ i = dim SEP S, λ 2 i De plus i [, p], SEP R, λi SEP S, λ 2 i M n, R étant un espace vectoriel de dimension finie, on a alors : pour tout élément i de [, p], SEP R, λ i = SEP S, λ 2 i e Pour tout i dans [, n], notons C i la ième colonne de P Comme P est une matrice orthogonale de M n, R, C, C 2,, C n est une base orthonormée de M n, R Notons que P est alors la matrice de passage de la base canonique de M n, R à la base C, C 2,, C n De plus P SP est une matrice diagonale donc C, C 2,, C n est une base de M n, R constituée de vecteurs propres de S Sp R = {λ, λ 2,, λ p }, Sp S = {λ 2, λ 2 2,, λ 2 p} et i [, p], SEP R, λ i = SEP S, λ 2 i Alors R et S ont les mêmes vecteurs propres

JFC p 9 Ainsi C, C 2,, C n est une base de M n, R constituée de vecteurs propres de R Comme P est alors la matrice de passage de la base canonique de M n, R à la base C, C 2,, C n : P RP est une matrice diagonale f Supposons que que R soit une seconde racine carrée smétrique et positive de S D après ce qui précède : P RP et P R P sont deu matrices diagonales Posons P RP = Diagr, r 2,, r n et P R P = Diagr, r 2,, r n Diag r, 2 r2, 2, rn 2 = Diagr, r 2,, r n 2 = P RP 2 = P R 2 P = P SP De même Diag r 2, r 22,, r n2 = P SP Ainsi Diag r, 2 r2, 2, rn 2 = Diag r 2, r 22,, r n2 Alors i [, n], ri 2 = r i2 R est une matrice smétrique positive On montre alors comme dans que ses valeurs propres sont positives ou nulles Or : {r, r 2,, r n } = Sp Diagr, r 2,, r n = SpP RP = Sp R Ainsi r, r 2,, r n sont des réels positifs ou nuls On montre de même que r, r 2,, r n sont des réels positifs ou nuls i [, n], ri 2 = r i2 donne alors i [, n], r i = r i Dans ces conditions Diagr, r 2,, r n = Diagr, r 2,, r n et ainsi P RP = P R P En multipliant à droite par P et à gauche par P il vient R = R S admet une unique racine carrée smétrique positive Remarque Résultat on ne peut plus classique mais obtenu de manière bien laborieuse