Géométrie vetorielle dans l espae Table des matières I Géométrie vetorielle du plan 2 II Veteurs oplanaires 2 III Repérage dans l espae 3 III.1 Définitions.................................................. 3 III.2 Caluls dans l espae............................................ 4 IV Représentation paramétrique d une droite et d un plan 4
I Géométrie vetorielle du plan La notion de veteur du plan se généralise à l espae. Remarques : Définition 1 A tout ouple de points distints (A,B) de l espae, on définit le veteur AB par : sa diretion, elle de la droite (AB); son sens, elui de A vers B; sa norme, égale à la distane AB. Si les deux points sont égaux, on parle de veteur nul 0, qui a seulement une norme nulle; Deux veteurs égaux ont le même sens, la même diretion et la même norme et réiproquement. Proposition 1 Deux veteurs u et v sont olinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u= k v. La olinéarité est importante en géométrie. Elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles ou que des points sont alignés ou non.on retrouvera naturellement es appliations dans l espae. Ce dernier résultat permet la aratérisation paramétrique d une droite dans le plan. En effet onsidérons deux points distints A et B du plan. Il existe une unique droite passant par es points. Un point M quelonque du plan appartient à la droite (AB) si et seulement si les points A,B et M sont alignés. Ce qui se traduit par la olinéarité des veteurs AM et AB par exemple. Proposition 2 Soit t un réel et A et B deux points distints du plan. L ensemble des points M du plan tels que AM = t AB est la droite (AB). Le veteur AB est une base de la droite et... saurez-vous nommer le réel t dans ette base? II Veteurs oplanaires On onsidère trois veteurs u, v et w de l espae. Définition 2 Les veteurs u, v et w sont oplanaires s ils peuvent être ontenus dans un même plan. H G D C Les veteurs AB, BF et HC sont oplanaires. En revanhe les veteurs AB, BF et FG ne le sont pas. E F A B 2/5
On peut aussi remarquer que si deux veteurs sont olinéaires alors les trois sont néessairement oplanaires. Proposition 3 Les veteurs u, v et w( u et v non olinéaires) sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : w = a u b v Dans l exemple préédent, les veteurs AB, BF et HC sont oplanaires et on a : HC = AB BF. Dans e as, on dit que le ouple ( u, v ) forme une base du plan et que a et b sont les oordonnées du veteur w dans ette base. Il est essentiel de omprendre ette notion : trois veteurs de l espae non oplanaires forment une base de l espae. On le verra mais la déomposition de tous veteurs de l espae dans ette base est unique. Soient A,B et C trois points distints de l espae.alors il existe un unique plan de l espae passant par es trois points, on le note (ABC).On le aratérise ainsi : Proposition 4 Soient x et y deux nombres réels et A,B,C trois points non alignés. L ensemble des points M de l espae tels que AM = x AB yac est le plan (ABC). Démonstration : Les points A,B et C ne sont pas alignés don les veteurs AB et AC ne sont pas olinéaires.si M est dans e plan alors les veteurs AM, AB et AC sont oplanaires. Don d après la proposition préédente,il existe une unique paire de réels telle que : AM = x AB yac. Réiproquement soit M un point de l espae vérifiant la relation : AM = x AB yac. Puisque (A, AB, AC) est un repère du plan (ABC), il existe don un point N dans e plan tel que AN = x AB yac. Don AN = AM, d où M = N et M appartient à (ABC). III Repérage dans l espae III.1 Définitions On munit l espae d un repère pour y repérer les objets (points,veteurs,plan,...). Un repère de l espae est onstitué d un point Origine et de trois veteurs non oplanaires. En règle générale, on appelle (O, i, j, k) un repère de l espae. Théorème 1 Soit (O, i, j, k ) un repère de l espae. Tout point M de l espae admet des uniques oordonnées (x, y, z) dans e repère Cela revient à déterminer le point M par la relation : De la même façon, on peut énoner le résultat suivant : OM = x i y j z k Théorème 2 Tout veteur V de l espae se déompose de manière unique dans une base de l espae C est-à-dire qu il existe trois uniques réels x,y et z tels que : V = x i y j z k 3/5
dès que le triplet ( i ; j ; k) onstitue une base de l espae. Dans la résolution des problèmes de géométrie vetorielle dans l espae omme dans le plan, on s attahera à déterminer les omposantes des veteurs étudiés dans une base de l espae bien hoisie. En partiulier, le ube, le parallélépipède retangle ou le tétraèdre fournissent des repères naturels. III.2 Caluls dans l espae Les résultats du plan s étendent à l espae. Aussi si (O, i, j, k ) un repère de l espae alors : Si u et x x v ont pour oordonnées respetives y et y alors le veteur k u a pour oordonnées z z kx ky et le veteur somme u xx v y y ; kz z z Si A et B ont pour oordonnées respetives (x A ;y A ;z A ) et (x B ;y B ;z B ) alors les oordonnées du veteur AB x B x A sont y B y A ; z B z A Si de plus le repère est orthonormé alors : u = x 2 y 2 z 2 ; AB = AB = (xb x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2 IV Représentation paramétrique d une droite et d un plan Soit (O, i, j, k) un repère quelonque de l espae. On onsidère un point A de l espae de oordonnées (x 0 ;y 0 ;z 0 ) et un veteur a u de oordonnées b. On rappelle que l ensemble des points M de l espae tels que AM = t u où t est un réel, est la droite passant par M et dirigée par le veteur u. Cette olinéarité se traduit sur les oordonnées par : x x 0 = at y y 0 = bt z z 0 = t x = x 0 at, soit enore y = y 0 bt z = z 0 t Théorème 3 L ensemble des points M(x;y;z) de l espae tels que : x = x 0 at y = y 0 bt z = z 0 t est la droite passant par le point A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) et de veteur direteur u a b Attention :La représentation paramétrique d une droite de l espae n est pas unique. En effet il suffit de hoisir les oordonnées d un autre point et un autre veteur direteur de la droite pour onstruire une autre représentation paramétrique. Exemples : 4/5
1. L ensemble des points M(x;y;z) de l espae tels que : x = 4t y = 2 t z = 2t est la droite d 1 passant par le point A(4;2;0) et de veteur direteur u 1 1 ; 2 2. La représentation paramétrique de la droite d 2 passant par B(3; 1;5) dirigée par le veteur direteur u 2 x = 32t 5 est : y = 1 5t 1 z = 5t 3. L ensemble des points M(x;y;z) de l espae tels que : x = 2t y = 10 t z = 202t est la droite d 3 passant par le point C( 2;10;20) et parallèle à d 1. De la même façon, on peut paramétrer un plan.un plan étant parfaitement défini par la donnée d un point et de deux veteurs non olinéaires, on a : Théorème 4 L ensemble des points M(x;y;z) de l espae tels que : x = x 0 at 1 a t 2 y = y 0 bt 1 b t 2 z = z 0 t 1 t 2 est le plan ontenant le point A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) et de veteurs direteurs u Exemple : L ensemble des points M(x;y;z) de l espae tels que : a b et v a b x = t 1 t 2 y = 42t 1 t 2 z = 14t 1 2t 2 est le plan ontenant le point D(0,4, 1) dirigé par les deux veteurs 1 u 2 et 1 v 1. 4 2 Remarquez que les veteurs u et v ne sont pas olinéaires. Le plan est don parfaitement défini. 5/5