INTODUCTION La statique est la partie de la mécanique rationnelle qui a pour principal objet l étude des forces indépendamment du mouvement. Souvent, un corps est au repos ou peut être considéré comme tel. Il est alors important de savoir sous quelles conditions les forces agissant sur le corps garantissent l état de repos. La statique étudie ainsi les conditions d équilibre des forces appliquées au corps. On dit aussi, plus simplement, que la statique étudie «l équilibre des corps». L objectif du présent cours de statique est de rendre l étudiant capable de résoudre les principau problèmes qui se posent au ingénieurs dans l art de construire. C est pourquoi on lui préfère le nom de : STATIQUE APPLIQUEE. Afin d atteindre cet objectif, l étudiant veillera à ne pas succomber à la tentation de se contenter de «trucs», de «recettes», pour résoudre les nombreuses applications regroupées dans un second fascicule et proposées au séances de travau pratiques. Au contraire, il placera la «réfleion» avant le «calcul proprement» et étudiera l origine et la justification de toute méthode en se référant au présentes notes. Il devra également s habituer, lors des applications, à reconnaître le tpe de problème proposé et établir les «liens» avec les concepts théoriques, indispensables à la parfaite maîtrise de la matière. C est à ces conditions, que l étudiant deviendra à même de résoudre une infinité d applications différentes au départ de quelques principes fondamentau et qu il manifestera sa volonté de devenir «ingénieur». emarques : Le cours de statique est réparti sur les deu premières années (BA1 et BA2) de la formation ; le présent fascicule reprend les chapitres de BA1 : notions de forces, de moments, de couples, réduction d un sstème de forces coplanaires, équilibre dans le plan, poutres et ossatures planes, treillis plans, problèmes de frottement. Dans les présentes notes, toutes les grandeurs vectorielles sont représentées par des caractères gras : (= r ) et leurs normes par des caractères simples : (= r ). J. Dehard Professeur Ed. 2004
1.1 NOTION DE OCES Le concept de force permet d eprimer l action qu eerce un corps sur un autre. La force se rapporte toujours au corps sur lequel elle agit et elle n a de sens que relativement à ce corps. On ne peut, en effet, imaginer une force seule, dans l espace, détachée de tout. La force traduit en fait une action due à une cause, elle est provoquée par quelque chose: - on ressent le poids d un objet à cause de l attraction terrestre; OCE POPEMENT DITE ET TANSLATION Considérons l action d un câble de traction sur un massif de fondation: il est clair que l effet qu il produit, représenté par la force qu il eerce, dépend: - du point d attache du câble; - de sa direction (angle par rapport à l horizontale); - du sens de l action (traction); - de l intensité de l action eercée. Cette force eercée par le câble a donc, d un point de vue mathématique, les caractéristiques d un vecteur. Elle sera notée et on la représentera par une flèche de longueur proportionnelle à son intensité. A grandeur sens point d application ligne d action, direction L unité de force est le NEWTON (N). Une telle force, agissant sur un corps, tend à modifier l état de celui-ci vers une translation d ensemble de mêmes direction et sens que la force. Statique appliquée DEH 04 - page 1
La statique n étudie pas les mouvements mais il est important de retenir dès à présent qu à une force comme celle eercée par un câble par eemple, s associe l idée de translation de mêmes direction et sens, même si cette translation ne se produit pas. La force que l on vient de caractériser agit ponctuellement (ou sur une surface très petite vis à vis des dimensions du corps), c est une force concentrée (unité : N ou kn). Il eiste des forces agissant de manière continue sur une ligne (poids d un mur), une surface non négligeable (pression de l eau) ou un volume (poids de la matière ), ce sont des forces réparties (unités : N ou kn/m, N ou kn/m 2, N ou kn/m 3, respectivement). Eemple de force uniformément répartie : P (kn/m) CLASSIICATION DES OCES Les forces que l on rencontre dans l étude de l équilibre des sstèmes de forces appliqués à un corps peuvent être classées en trois catégories: les forces appliquées Il s agit des forces connues qui agissent sur le corps à étudier; ce sont les données du problème. Elles sont produites soit par contact direct (action du vent, poussée de l eau, pression d un gaz, poids d objets solidaires...), soit par action à distance (forces électro-magnétiques ou gravitationnelles). les réactions d appuis Ce sont des forces, inconnues à priori, qui naissent au points de contact du corps avec le monde etérieur, empêchant tout mouvement d ensemble du corps. Elles disparaissent automatiquement si les forces appliquées n eistent plus. Elles portent aussi le nom d effets etérieurs dus au forces appliquées. les forces intérieures Ce sont des forces qui se produisent à l intérieur du corps par suite de l application des forces etérieures et qui sont dues à la cohésion de la matière. Statique appliquée DEH 04 - page 2
1.2 PINCIPES ONDAMENTAUX DE LA STATIQUE La statique repose sur trois principes fondamentau. PINCIPE DE L ACTION ET DE LA EACTION Il s agit de la troisième loi de NEWTON (1642-1727): «Un corps qui eerce sur un autre une «action» reçoit de celui-ci une «réaction» qui a mêmes support et grandeur que l action mais lui est de sens contraire». Les deu forces en jeu (action et réaction) sont dites «égales et directement opposées». Ce principe met en jeu deu forces, mais aussi deu corps, au repos ou en mouvement, en contact ou distants. Il s écrit : A = B. A A B B A A B A = action de A sur B Attraction planétaire B = réaction de B sur A PINCIPE DU PAALLELOGAMME (S. STEVIN 1548-1620) «Deu forces agissant en un même point ont une action équivalente à une force unique agissant au même point, représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deu forces». La force unique est appelée «résultante des deu forces 1 et 2» et on dit que 1 et 2 d une part et d autre part, sont «statiquement équivalentes». 2 β α Ce principe du parallélogramme correspond à la définition de l addition de deu vecteurs qui s écrit : = 1 + 2. Il revient au même de ne représenter qu un demi-parallélogramme : c est le triangle des forces. La résultante de deu forces peut alors s obtenir en dessinant les vecteurs 1 et 2 l un à la suite de l autre (dans n importe quel ordre) puis en joignant l origine du premier à la pointe du deuième. Statique appliquée DEH 04 - page 3
La grandeur de et son orientation peuvent être mesurées sur le graphique ou calculées à l aide des formules des triangles quelconques : 2 2 2 1 2 1 2 = + 2 cosβ 2 = sinβ sin α Si les forces 1 et 2 ne sont pas appliquées au même point, il est permis de les faire glisser sur leur ligne d action jusqu à leur point commun et d déterminer leur résultante. Ce procédé est justifié par le fait que les forces sont des vecteurs glissants, propriété qui sera démontrée ultérieurement. 2 PINCIPE D EQUILIBE Il s agit d une etension du principe d inertie de GALILEE (1564-1642) ou de la première loi de NEWTON : «Un sstème de forces est dit «en équilibre» si, appliqué à un corps, il ne modifie pas l état de repos ou de mouvement de ce corps». Un sstème de forces étant un ensemble de forces classiques et de moments, ce principe signifie donc que les diverses actions (forces) se neutralisent l une l autre, qu elles se réduisent à un effet nul. Notons qu équilibre ne signifie pas nécessairement immobilité. En génie civil cependant, les constructions sont immobiles et le concept d équilibre s est transféré du sstème de forces à la structure sur laquelle il agit et on parle alors de «l équilibre d une structure». Un sstème de forces en équilibre très simple est celui formé de deu forces égales et directement opposées agissant au même point. Elles forment en effet un sstème nul par application du principe du parallélogramme. A + = 0 Corollaire : on ne change rien à l action d un sstème de forces si on lui ajoute (ou retranche) tout autre sstème de forces en équilibre. C est une évidence vu la définition du principe d équilibre. Statique appliquée DEH 04 - page 4
1.3 OPEATIONS SU LES OCES DANS LE PLAN DECOMPOSITION D UNE OCE COMPOSANTES QUELCONQUES Si deu forces appliquées en un même point peuvent être, en vertu du principe du parallélogramme, remplacées par leur résultante, inversement, on peut remplacer une force par deu autres 1 et 2 de direction quelconque. On dit alors que 1 et 2 sont les deu composantes (vectorielles) de la force ou que celleci a été décomposée en ses deu composantes (vectorielles) suivant les directions 0.1 et 0.2. 2 β α 0 1 Les composantes (scalaires) 1 et 2, c est-à-dire les grandeurs de 1 et 2 se déterminent graphiquement ou à l aide de la formule des sinus : = 2 = sin α sin β sin( π α β) COMPOSANTES OTHOGONALES Si l on choisit les aes et d un sstème orthonormé du plan comme direction de décomposition d une force, le parallélogramme à dessiner sera un rectangle et les composantes (vectorielles) et de seront perpendiculaires l une à l autre : En désignant par, l intensité (la grandeur) de la force et par, l angle entre et l ae des, mesuré dans le sens trigonométrique depuis la partie positive de l ae des, les composantes (scalaires) de selon les aes et (confondues ici avec leurs projections orthogonales sur ces aes) s obtiennent, avec compris entre 0 et 360, par les relations suivantes : Statique appliquée DEH 04 - page 5
= cos et = sin et seront positives si les composantes et de ont le même sens que les aes de référence. On a également : 2 = + 2 tg = EMAQUE : Il faut prendre garde et ne pas confondre les composantes d une force suivant des aes précisés et ses projections orthogonales sur ces même aes. Sur le dessin suivant, on voit que les composantes a et b diffèrent des projections orthogonales 1 et 2 : b b 0 a a Il n a que lorsque les aes sont perpendiculaires entre eu que composantes et projections sont égales! ESULTANTE DE PLUSIEUS OCES CONCOUANTES Il est clair, qu en répétant l application du principe du parallélogramme, on peut déterminer la résultante de n forces agissant en un même point. Cette opération correspond à la somme vectorielle : = 1 + 2 +... + n. La représentation graphique de cette opération est très malaisée lorsque les forces sont quelconques dans l espace, mais si celles-ci sont coplanaires, la résultante pourra s obtenir en construisant plusieurs parallélogrammes, ou mieu, en répétant l application du triangle des forces. 12 3 1 2 123 12 123 4 4 3 Statique appliquée DEH 04 - page 6
On peut, dans ce cas, facilement observer que la recherche des résultantes intermédiaires est inutile et que l on peut obtenir la résultante finale directement, en dessinant tous les vecteurs les uns à la suite des autres (dans n importe quel ordre), puis en joignant l origine du premier vecteur à la pointe du dernier : c est le polgone des forces. 2 3 4 Notons que, même dans ce cas, il n est guère pratique de déterminer la grandeur de la résultante et son orientation à l aide de la trigonométrie. C est pourquoi, on préfère utiliser une autre méthode, epliquée ci-après. Soit à rechercher la résultante de plusieurs forces coplanaires P, Q, S appliquées au même point O. Choisissons un sstème d aes (, ) orthonormé et recherchons les composantes ou projections orthogonales de chacune des forces sur ces aes : P P S S S Q P Q On peut alors faire la somme des composantes sur l ae des par sommation algébrique des valeurs puisqu il s agit de vecteurs de même direction horizontale (avec le signe + pour celles qui ont le même sens que le sens positif de l ae et le signe dans le cas contraire). On procède de même sur l ae. On obtient alors deu vecteurs qui ne sont rien d autre que les composantes orthogonales de la résultante des trois forces de départ : = P + Q + S ou, de façon plus générale : = i = P + Q + S ou, de façon plus générale : = i La grandeur de la résultante et sa direction sont alors fournies par : Q = 2 + et 2 tg = Statique appliquée DEH 04 - page 7