M.Bosco BTS OL2 OP 3: Diffrction & réseux CH 3 : Le phénomène de diffrction Appliction ux réseux BTS ISO I. Le phénomène de diffrction I.1.Présenttion L diffrction est un phénomène physique qui été mis en évidence, expérimentlement, pour l première fois pr le Père Grimldi (itlien) vers 1660. Ce phénomène ne peut s expliquer qu en considérnt que l lumière est une onde : c est donc une preuve du crctère ondultoire de l lumière. C est un phénomène irréductible : on ne peut l éviter. Il présente l inconvénient mjeur de limiter l résolution des instruments d optique. Pr contre, il est utilisé en stronomie (pr exemple) pour réliser des spectres (décomposition de l lumière) de bonne qulité, grâce à l utilistion de réseux de diffrction. Ce phénomène églement été exploité pour mesurer l tille des cellules ou pour nlyser des empreintes digitles. I.2.Phénomènes observés Un fisceu (issu d une source ponctuelle S) limité pr un diphrgme D devrit fournir, dns le pln de l écrn E, une zone d ombre prfitement séprée de l zone éclirée. Or, on constte que l séprtion n est ps brutle : si on observe cette zone vec un grossissement suffisnt, on voit des frnges lternées sombres et brillntes qui rppellent des frnges d interférence : on les ppelle frnges de diffrction. De mnière plus générle, si l on plce un objet entre une source ponctuelle et un écrn, l ombre de cet objet est une figure complexe formée d une succession de régions sombres et brillntes, ssez différentes de ce qu on pourrit prévoir des principes de l optique géométrique. Ci contre est présentée l figure de diffrction d un trombone tenu entre les doigts. CH 3 : Diffrction, réseux - 1 Lycée Curie Vire
Autre exemple : Fil très fin de dimètre D Ecrn blnc LASER Figure de diffrction obtenue en interposnt un fil fin sur le trjet d un fisceu lser. I.3. Définition et spects théoriques Lorsque l lumière rencontre un obstcle quelconque, trnsprent ou opque (petit diphrgme, objet de petite tille, ), s propgtion est différente de celle prévue pr les lois de l optique géométrique : les imges géométriques sont remplcées pr des «figures de diffrction», dont l forme et l tille dépendent de celles de l obstcle rencontré. Ce phénomène est ppelé phénomène de diffrction. L théorie repose sur le principe d Huyghens (1678) et le postult de Fresnel (1818), que l on se contenter d interpréter de l mnière suivnte : Qund une onde rencontre une ouverture de très petites dimensions, cette ouverture se comporte comme une source d onde. Cette nouvelle source génère une onde qui se propge dns toutes les directions. (Ceci s observe isément vec une cuve à ondes, pour l propgtion d ondes à l surfce de l eu voir schém) Qund une onde rencontre un «obstcle» de dimensions plus importntes, chque «point» de cet obstcle émet une onde : l figure de diffrction observée est due à l interférence entre toutes les ondes qui se superposent en un point donné de l espce. Le phénomène de diffrction est en rélité une mnifesttion prticulière du phénomène d interférence. I.4.Diffrction pr une fente fine Le dispositif : CH 3 : Diffrction, réseux - 2 Lycée Curie Vire
Le même dispositif vu de dessus : L écrn est plcé dns le pln focl imge de l lentille objective (L 2 ) : on observe insi sur l écrn les frnges qui se formerient à l infini (diffrction de Frunhofer) Ce qu il fut retenir : L figure ci-contre représente l évolution de l intensité lumineuse en fonction de l direction θ dns lquelle l lumière est diffrctée. Elle résume l ensemble des propriétés à connître : - L figure de diffrction observée dns ce cs est un ensemble de bndes (ou frnges) lterntivement sombres et brillntes. - L frnge centrle est dns l direction de l lumière incidente ; elle est deux fois plus lrge que les frnges périphériques, et beucoup plus lumineuse. - L lrgeur de l bnde centrle est inversement proportionnelle à l lrgeur D de l fente ; - Les directions θ des minim d intensité sont telles que : sin θ = I.5.Diffrction pr une ouverture circulire Le dispositif est identique u précédent, mis l fente fine est remplcée pr un diphrgme circulire de dimètre d. m. λ D (vec m entier reltif 0 ) L figure de diffrction est lors constituée : CH 3 : Diffrction, réseux - 3 Lycée Curie Vire
- d un disque centrl très lumineux, ppelé tche d Airy, de ryon noté ρ - et d un ensemble d nneux concentriques lterntivement sombres et brillnts, entournt ce disque centrl (l intensité lumineuse de ces nneux périphériques décroît très rpidement). 2ρ Des clculs très compliqués permettent d obtenir l expression du ryon de l tche centrle, 1,22. λ. f ' dns le pln focl de l lentille (L) : ρ = (f : distnce focle de l lentille) d Cette formule (ps à retenir) montre que l tche centrle est d utnt plus grnde que : - le dimètre d ouverture du diphrgme est petit (plus on veut «limiter» l lumière, plus elle «s étle» ) ; - l longueur d onde λ est grnde (d où l intérêt d utiliser des filtres violets pour limiter les effets de l diffrction). II. Les réseux de diffrction II.1.Définition Un réseu est constitué d un ensemble de «trits» fins, prllèles, régulièrement espcés, contenus dns un même pln. Un réseu est crctérisé pr son nombre de trits pr mètre, noté n (et souvent exprimé en nombre de trits pr mm). On peut lors en déduire le ps du réseu, noté, qui représente l distnce entre deux «trits» consécutifs : = n 1 Exemple : Pour un réseu comportnt 500 trits pr mm : n = 500 trits/mm = 500 000 trits/m 1 1 Son ps est donc égl à : = = = 2.10-6 m = 2 µm n 500000 Remrque : Ces «trits» peuvent ussi être des fils, des fentes, ou des surfces réfléchissntes. Il y donc des réseux pr trnsmission, et des réseux pr réflexion : Réseux vu de dessus CH 3 : Diffrction, réseux - 4 Lycée Curie Vire
II.2.Quel est l effet d un réseu sur l lumière? Chque «trit» diffrcte l lumière, et devient insi une source d onde lumineuse (selon le principe d Huyghens - Fresnel). Toutes les ondes, produites pr cette multitude de «trits», se superposent et interfèrent en tout point de l espce : en certins points (ou dns certines directions), l interférence est constructive, et on observe un mximum de lumière. En d utres points, l interférence est destructive, et il y un minimum de lumière. Les directions dns lesquelles il y un mximum de lumière seront déterminées grâce à l reltion fondmentle des réseux que nous llons mintennt étblir. II.3.Formules fondmentles des réseux II.3..Réseux pr trnsmission On considère deux ryons incidents, rrivnt sur deux «trits» voisins, de centres S 1 et S 2. Leur direction d incidence pr rpport à l normle u pln du réseu est repérée pr l ngle orienté i. i H 1 S 1 i H 2 (1 ) (2 ) Ces deux ryons sont issus d une même source située «à l infini» (u foyer d un collimteur). Le ryon (1) doit prcourir plus de chemin que le ryon (2) pour tteindre le réseu : ce chemin supplémentire est : (H 1 S 1 ) (1) (2) S 2 On étudie ensuite l lumière diffrctée dns une direction quelconque, repérée pr l ngle orienté i. Ces deux ryons diffrctés (1 ) et (2 ) sont prllèles : ils interfèrent à l infini. Or, pour «tteindre» l infini, c est le ryon (2 ) qui prcourt le plus de chemin, soit une différence (S 2 H 2 ). Globlement, l différence de mrche entre ces deux ryons est : δ = (S 2 H 2 ) (H 1 S 1 ) H S Dns l ir, on donc : δ = S 2 H 2 H 1 S 1 or, d près le schém : sin i = 1 1 2 H Et : sin i = On en déduit : δ =. ( sin i - sin i ) Or, l interférence ser constructive si : δ = k.λ 0 ( k étnt un entier reltif ) On obtient insi l reltion fondmentle des réseux pr trnsmission : k.λ 0 =. ( sin i - sin i ) où k est un entier reltif, ppelé ordre de diffrction S 2 Les directions i clculées grâce à cette reltion correspondent ux directions des mxim d intensité lumineuse. CH 3 : Diffrction, réseux - 5 Lycée Curie Vire
Remrques : - D près cette reltion, à l ordre de diffrction k = 0, il y un mximum de lumière dns l direction i = i, donc dns le prolongement de l lumière incidente (et ce quelle que soit l longueur d onde). - En incidence normle (i=0), l reltion devient simplement : k.λ 0 =. sin i - II.3.b.Réseux pr réflexion On considère deux ryons incidents, rrivnt sur deux «trits» voisins, de centres S 1 et S 2. Leur direction d incidence pr rpport à l normle u pln du réseu est repérée pr l ngle orienté i. Ces deux ryons sont issus d une même source située «à l infini» (u foyer d un collimteur). (1) (2) (1 ) i i H 1 H 1 S 2 S 1 Le ryon (1) doit prcourir plus de chemin que le ryon (2) pour tteindre le réseu : ce chemin supplémentire est : [H 1 S 1 ] (2 ) On étudie ensuite l lumière diffrctée dns une direction quelconque, repérée pr l ngle orienté i. Ces deux ryons diffrctés (1 ) et (2 ) sont prllèles : ils interfèrent à l infini. Or, pour «tteindre» l infini, c est le ryon (1 ) qui prcourt le plus de chemin, soit une différence [S 1 H 1 ]. Globlement, l différence de mrche entre ces deux ryons est : δ = [H 1 S 1 ] + [S 1 H 1 ] Dns l ir, on donc : δ = H 1 S 1 + S 1 H 1 or, d près le schém : H S sin i = 1 1 Et : S 1 H1' sin i = On en déduit : δ =. sin i +. sin i =. ( sin i + sin i ) Or, l interférence ser constructive si : δ = k.λ 0 ( k étnt un entier reltif ) On obtient insi l reltion fondmentle des réseux pr réflexion : k.λ 0 =. ( sin i + sin i ) où k est un entier reltif, ppelé ordre de diffrction Les directions i clculées grâce à cette reltion correspondent ux directions des mxim d intensité lumineuse. Remrque : En incidence normle ( i = 0 ), l reltion devient simplement : k.λ 0 =. sin i (comme en trnsmission) CH 3 : Diffrction, réseux - 6 Lycée Curie Vire
II.4. Conséquences de l formule fondmentle des réseux II.4..En lumière monochromtique Exemple 1 : Soit un réseu pr trnsmission, de ps = 2 µm, écliré en lumière monochromtique (λ 0 = 546 nm), sous une incidence i = 30. Déterminer les directions i dns lesquelles on pourr observer des mxim d intensité lumineuse, insi que les ordres de diffrction k correspondnts. Réponses : Exemple 2 : Pour le même réseu pr trnsmission (de ps = 2 µm), toujours écliré en lumière monochromtique (λ 0 = 546 nm), mis en incidence normle (i = 0 ), déterminer les directions i des mxim d intensité lumineuse, insi que les ordres de diffrction k correspondnts. Réponses : II.4.b.En lumière polychromtique Ordre k -5-4 -3-2 -1 0 +1 Angle i -59,9-36,3-18,6-2,64 +13,1 +30 +50,6 Exemple 3 : Pour le même réseu pr trnsmission (de ps = 2 µm), écliré en incidence normle (i = 0 ) pr un fisceu de lumière blnche (400 nm < λ < 750 nm) : ) Clculer l vleur mximle de l ordre de diffrction pour le rouge (λ R = 750 nm). Même question pour le violet (λ V = 400 nm). Combien de spectres entiers (du violet u rouge) pourr-t-on lors observer? b) Clculer les directions i des mxim d intensité pour le rouge, ux ordres de diffrction k = 0 ;1 ;2. Même question pour le violet, ux ordres k = 0 ;1 ;2 ;3. Comprer et conclure. Réponses : ) Pour le rouge, il fut : k < 2,67 Pour le violet, il fut : k < 5 On pourr donc observer 4 spectres entiers, d ordres -2 ;-1 ;1 ;2 (à l ordre 0, lumière blnche) b) Pour le rouge : i k=0 (R) = 0 i k=1 (R) = 22 i k=2 (R) = 48,6 Pour le violet : i k=0 (V) = 0 i k=1 (V) = 11,5 i k=2 (V) = 23,6 i k=3 (V) = 36,7 On constte que : i k=2 (R) > i k=3 (V) donc les spectres d ordre 2 et 3 vont se chevucher II.5.Qulités d un spectre obtenu vec un réseu Ordre k -3-2 -1 0 +1 +2 +3 Angle i -55-33,1-15,8 0 + 15,8 + 33,1 + 55 II.5..Condition de non chevuchement des spectres Considérons un fisceu de lumière polychromtique (longueurs d onde λ comprise entre λ min et λ mx ) rrivnt sur un réseu R pr trnsmission (en incidence normle dns le cs du schém). Fisceu incident polychromtique Après le réseu, on obtient plusieurs spectres dns des directions bien définies. Réseu λ mx λ min Spectre d ordre (k+1) λ mx λ min Spectre d ordre k Ordre k = 0 dns le prolongement du fisceu incident CH 3 : Diffrction, réseux - 7 Lycée Curie Vire
On considère lors deux spectres successifs, d ordres positifs k et (k+1). Il n y ur ps chevuchement de ces spectres si : i k (λ mx ) < i k+1 (λ min ) Donc si : sin i k (λ mx ) < sin i k+1 (λ min ) Or : sin i = k.λ 0 k.λ + sin i donc il fut : mx + sin i < ( k + 1). λ min + sin i Après simplifiction, il reste : k.λ mx < (k+1).λ min! k.(λ mx λ min ) < λ min Donc, pour qu il n y it ps chevuchement des spectres, il fut : k < λmin λ λ mx min Appliction numérique : En lumière blnche : λ min = 400 nm λ mx = 750 nm les spectres sont isolés sont tels que : 400 k < 750 400! k < 1,14 Donc les seuls spectres isolés ont pour ordre k = +1 et k = -1. II.5.b.Le pouvoir de résolution du réseu Qund on étudie un spectre obtenu vec un réseu, on devrit, pour chque longueur d onde, observer une bnde très fine, idélement un trit. En rélité, pour chque couleur, on obtient une bnde d une certine lrgeur. Cette lrgeur dépend du réseu, de l ordre k observé, et de l mnière dont est écliré le réseu. Pour svoir si deux longueurs d onde très proches, λ et λ, donnent des «bndes» séprées pr le réseu, il fut clculer l grndeur : λ min = éclirés pr le fisceu incident) λ k.n ( où N est le nombre de trits Si l différence ( λ λ ) est supérieure à ce «plus petit écrt séprble» pr le réseu λ min,lors ces deux longueurs d onde sont effectivement séprées pr le réseu. Plus générlement, on peut utiliser l grndeur notée R, ppelée pouvoir de résolution du réseu, égl à : R = λ λ min = k.n ( R n ps d unité) Ordres de grndeur : Pour un réseu usuel : R 25 000 Pour un prisme : R 1 000 CH 3 : Diffrction, réseux - 8 Lycée Curie Vire
II.5.c.Comprison vec le prisme Dispersion de l lumière blnche pr un prisme : Ecrn Lumière blnche Violet Rouge Comprison de l dispersion d un prisme et d un réseu : Prisme Réseu Crctéristiques A = 60 Au minimum de dévition Ps : = 2µm Ordre : k = 1 Incidence normle Angle de dévition pour le violet Angle de dévition pour le rouge Pouvoir dispersif pour le violet Pouvoir dispersif pour le rouge D = 39,78 D = 38,99 7,42 /µm 3,03 /µm i = 13,89 i = 18,78 29,51 /µm 30,26 /µm Biln : > Le réseu «dévie» plus le rouge que le bleu (c est l inverse pour le prisme). > Le spectre obtenu vec un réseu est plus «lrge» (lrgeur ngulire plus grnde). > Le réseu un meilleur pouvoir dispersif. > Avntge du prisme : il fournit un seul spectre, donc ce spectre est plus lumineux que ceux obtenus vec un réseu. CH 3 : Diffrction, réseux - 9 Lycée Curie Vire