Antilles-Guyane juin 6 EXERCICE 1 1. Restitution organisée des connaissances Soit a un réel strictement positif et f la fonction définie et dérivable sur I=] ;+ [par: f x = lnax lnx Alors f x = a ax 1 x = 1 x 1 x = Ainsi, f est constante sur ] ;+ [, mais : cette constante vaut ln a.d où: f 1 = lna ln1 = ln a x I, f x = ln a lnax ln x = ln a C est à dire : x I,lnax = ln x + ln a. Pour tous réels strictement positifs a et b : 1 ln + lnb = ln b 1 ln b De plus,. On a 1 b b = ln1 = = lnb a ln = ln a 1 = lna + ln b b 1 b = ln a lnb,69 ln,7 et 1,9 ln 1,1,69 + 1,9 ln + ln,7 + 1,1 1,78 ln6 1,8 Ainsi 1 1,8 ln6 1,78 1,8 ln 1,78 6 De plus, ln8 = ln = lndonc,69 ln8,7,7 ln8,1 Et Ainsi,1 ln8,7 1,9,1 ln ln8 1,1,7 1,1 ln,97 8 EXERCICE
1. L équation e x e x = admet dans R une solution réponse b, car : e x e x = { X = e x X X = { X = e x X = 1ouX = e x = 1oue x = x = ln. L expression e x est toujours négative réponse b, car e x est toujours positive. e x 1. lim x + e x + = réponseccar: e x 1 e x + = ex 1e x e x 1 + e x = 1e x et lim 1 + e x x + e x =. L équation différentielle y = y 1 a pour ensemble de solutions x ke 1 x 1aveck R réponse c, car : y = y 1 y = 1 y + 1 EXERCICE Partie A Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. Alors : a PX a = λe λt dt = 1 e λa 1. La probabilité PX 1 s interprète comme étant l aire sous la courbe de la densité comprise entre les droites x =, x = 1ety =.. Comme la densité de X estlafonctiondéfiniesur[;+ [, par f t = λe λt,alorsf = λ. surlegraphique,leparamètreλ est l ordonnée du point de la courbe de f d abscisse. Partie B On pose λ = 1,. 1. PX 1 = 1 e 1, 1 = 1 e 1, =,777. PX = 1 PX = e 1, = e.. Comme P1 X = PX PX 1, alors à 1 près :. Calculons l intégrale F x = x Mais lim x xex = lim x ex =, donc P1 X = e 1, e =,17 1,te 1,t dt en utilisant une intégration par parties : u = 1,e 1,t u = e 1,t v = t v = 1 F x = [ te 1,t] x x e 1,t dt = [ te 1,t] x [ 1 1, e 1,t ] x = xe 1,x 1 1, e 1,x + 1 1, EX = lim x + F x = 1 1, Antilles-Guyane juin 6
Partie C Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l écart, en dixièmes de millimètre, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,. Si l écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l écart est compris entre 1 et, on procède à une rectification qui permet d accepter le cylindre dans 8 % des cas. Si l écart est supérieur à, le cylindre est refusé. 1. On prélève au hasard un cylindre dans la production. a La probabilité que le cylindre soit accepté est, à 1 près : p = PX 1 +,8 P1 X =,777 +,8,17 =,91 b Sachant que le cylindre est accepté, la probabilité qu il ait subi une rectification est :,8 P1 X PX 1 +,8 P1 X. a Comme on prélève de manière indépendante dix cylindres de la production, supposée suffisamment importante pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise, la probabilité que les dix cylindres soient acceptés, est : p 1 b La probabilité qu au moins un cylindre soit refusé, est en utilisant l événement contraire : 1 p 1 EXERCICE Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O; u, v, on considère les points A d affixe a, a R B d affixe b + i, b R C image de B dans la rotation de centre A et d angle π. a Comme C est l image de B dans la rotation de centre A et d angle π,alorsc apouraffixe: e i π 1 b + i a + a = = 1 = 1 1 + i b a + a b a + i + a + 1 i b a + 1 b + a + 1 i b a + 1 PourquelepointC appartienne à l axe O; v, il faut et il suffit que la partie réelle de l affixe dec soit nulle, donc : 1 b + a = b = a b Dans ce cas, l affixe du point C est, en fonction de a : 1 i a a + 1 = a i. Dans cette question, on pose a = etb =. On considère les points C d affixe c = ietd d affixe d = + i. Antilles-Guyane juin 6
a D après l étude précédente, le triangle ABC est équilatéral car b = a = etc = a i = i b d a c a = + i i = 1 i i = 1 i + i + 1 = i d a AC ; AD = arg = argi = π c a Ainsi le triangle AC D est rectangle en A. c Comme E est l image de D dans la rotation de centre A et d angle π,alorssonaffixeest: e = e i π d a + a = 1 1 + i + i + = 1 1 + i i + = 1 + i 1 i + = 1 + + = + d Comme F est l image de D dans la translation de vecteur AC,alorssonaffixeest: f = + i + i = i 1 + e Le triangle BEF est équilatéral, car : BE = i + = 1 + + = 1 + 16 + 8 + = + 8 BF = i i 1 + = + i 1 + = + 1 + = + 8 EF = + + i 1 + = + + i 1 + = + + 1 + = + 8 A D et I E : il existe donc une unique similitude directe s transformant A en D et I en E. Le rapport de la similitude s est IE AD. Prenons OA = 1. 1 Dans le triangle EDI rectangle en D,lethéorèmedePythagores écrit:ie = 1 + = = IE = Dans le triangle rectangle ABD,lethéorèmedePythagores écrit:ad = + 1 = = AD =. Finalement IE AD = = 1. s est donc une similitude directe de rapport 1 et d angle +π. Antilles-Guyane juin 6
Soit B = sb. On a AB, IB =+ π,doncb appartientàlaperpendiculaireàladroiteab contenant I, donc appartient à la demi-droite [ID. De même en prenant les deux points D et B et leurs images pars : DB, EB =+ π,doncb appartient à la la perpendiculaire à BD contenant E. Finalement B appartient aux droites BDetDEetdoncB = D. Par hypothèse C est le milieu de [BD], donc son image par s est le milieu du segment image [DE]. 1. Soit Ω le centre de s ; on a par définition ΩA, ΩI = π,doncletriangleaiω rectangle en Ω est inscrit dans le cercle de diamètre [AI]; De même ΩD, ΩE = π,doncletriangledeω rectangle en Ω est inscrit dans le cercle de diamètre [DE].. J est le milieu de [OC], C le milieu de [BD]etOC est parallèle à AB, donc J est aussi le milieu de ΩJ, [AD]. Son imagej est le milieu du segment image [IE]et ΩJ = π,or HJ, HJ = π.conclusion : H n est pas le centre de la similitude s.. D après la question a. Ω appartient aux cercles de diamètres [AI]et[DE];cen estpaslepointh,c est donc l autre point commun aux deux cercles.. On sait que l écriture d une similitude directe est de la forme z = az + b avec a ; b C. En prenant les points A et D et leurs images I et E, on obtient le système : 1 = a + b = a i = 1 1 1 = a 1 + i+ b + i a = + i i = i Puis par différence b = 1 + i i = 1 + i. L écriture complexe de s est donc : z = 1 iz 1 + 1 i. 1 11 1 9 8 7 6 1-1 - - - D I C B C J E Ω H O -1-11-1-9 -8-7 -6 - - - - -1 1 6 7 8 9 1 11 J A 1. Figure associée : EXERCICE Partie A Antilles-Guyane juin 6
u A 1 A B B 1 6 8 1 1 A. On définit les suites a n etb n des abscisses respectives des points A n et B n. Or A n+1, d abscisse a n+1, est le barycentre des points pondérés A n,,avec A n d abscisse a n,etb n,1,,avecb n d abscisse b n, donc, grâce à la formule B,ona: Et de même que x An+1 = x A n + 1 x Bn + 1 a n+1 = a n + b n b n+1 = a n + b n Partie B 1. On considère la suite u n définie, pour tout entier naturel n,paru n = b n a n.alors: a u n+1 = b n+1 a n+1 = a n + b n a n + b n = a n + 9b n 8a n b n 1 = b n a n 1 = 1 b n a n = 1 u n la suite u n estgéométriquederaison 1. b Ainsi, pour tout entier naturel n, n n n u n = u = 1 = 1 1 1 1 n c Comme 1 < < 1, alors lim =, ainsi u 1 n convergevers. n + 1 lorsque n tend vers +, les points A n et B n sont très proches.. a a n+1 a n = a n + b n a n = a n + b n a n = b n a n = u n > Ainsi la suite a n est croissante. b b n+1 b n = a n + b n b n = a n + b n b n = a n b n = u n < Ainsi la suite b n est décroissante.. D après les trois points démontrés a n croissante, b n décroissante, lim b n a n =, alors les suites n + a n etb n sont adjacentes et donc convergent vers le même réel l. Partie C 1. v n+1 = a n+1 + b n+1 = a n + b n + a n + b n = a n + b n + a n + b n = a n + b n = v n Ainsi la suite v n est constante égale à v = a + b = 8. Antilles-Guyane 6 juin 6