Corrigé du TD : Fonctions simples Exercice : Fonctions élémentaires. Cas f(x) = Il est clair qu il n y a aucun problème de définition et que cette fonction est définie pour tout x réel. De plus, la fonction étant constante le domaine d arrivée est le singleton {} R. On a également immédiatement que pour tout x réel, f( x) = = f(x) donc la fonction f est paire. Il s agit d une fonction constante, ce qui permet immédiatement de tracer le graphe suivant : C f. Cas f(x) = x Là encore, pas de problème de définition, la fonction f est définie pour tout x réel. Le domaine d arrivée est R tout entier. En effet, si on se fixe y 0 un réel, alors l équation y 0 = f(x) = x a une solution qui est x = y 0+ et donc toute valeur réelle est atteinte par la fonction f (voir le tracé). On a même obtenu mieux, toute valeur réelle est atteinte une et une seule fois. Pour tout x R, on a f( x) = x f(x) et pour tout x réel f( x) = x f(x).
0-0 L SNV - Mathématiques Par conséquent, la fonction f n est ni paire ni impaire. On peut même déduire de ces calculs qu une fontion affine x ax + b est paire uniquement dans le cas où a = 0 et impaire dans le cas où b = 0. Il s agit d une fonction affine de pente qui est positif donc la fonction est croissante. Elle coupe l axe des abscisses en x = (cela correspond à y = 0) soit x = et d ordonnée à l origine y = (cela correspond à x = 0). On en déduit le tracé suivant : C f. Cas f(x) = x Il s agit à nouveau d une fonction affine, on reprend donc l étude précédente. Les domaines de définition et d arrivée sont à nouveau R tout entier et la fonction n est ni paire ni impaire. La courbe représentative de f coupe l axe des abscisses en x = et l ordonnée à l origine vaut ici y =. La pente vaut et en particulier, la fonction f est décroissante.
0-0 L SNV - Mathématiques C f. Cas f(x) = x Il s agit de la fonction carrée. Il n y a pas de problème de définition, le domaine de définition est R et le domaine d arrivée est R + puisqu un carré est toujours positif! On remarque que pour tout x réel, f( x) = ( x) = x = f(x) et ainsi on en déduit que f est paire. C est une fonction du cours. On sait que f(0) = 0, f() =, f (0) = 0 et que f est croissante sur R + et décroissante sur R. C f
0-0 L SNV - Mathématiques.5 Cas f(x) = x + Le domaine de définition est une fois encore clairement R tout entier. La fonction arrive également dans R et on va voir plus précisément qu elle arrive dans ],]. On a à nouveau pour tout x réel f( x) = x + = f(x) et f est donc paire. Pour le tracé, on sait que multplier la fonction carrée par - revient à effectuer une symétrie par rapport à l axe des abscisses. Ensuite, ajouter à une fonction a pour effet de la décaler de vers le haut. On en déduit que la fonction est décroissante sur R +. De plus, f (0) = 0, f(0) = et f() =. On en déduit le tracé partiel suivant : 0
0-0 L SNV - Mathématiques Puis le tracé total après symétrie par rapport à l axe des ordonnées : C f.6 Cas f(x) = x Cette fois-ci, il faut être prudent sur le domaine de définition. La racine carrée n est bien définie que sur R + et donc pour que f soit définie, il est nécessaire que x 0, soit x. On a donc I = [,+ [ comme domaine de définition et le domaine d arrivée est R + car la fonction racine carrée est toujours positive. La question de la parité ou de l imparité ne se pose pas ici puisqu elle n a pas de sens. En effet, si x I, alors x ],] et donc x I et f n est pas définie en x. Pour le tracé, on invoque le fait que, si g(x) = x, on a f(x) = g(x ) et que par conséquent le graphe de f est celui de g translaté du vecteur (,0) (soit de vers la droite). La fonction f est donc strictement croissante sur I et comme g, elle admet une tangente verticale en. De plus, f() = 0, f() =. D où, C f 0 5 6 7 8 9 5
0-0 L SNV - Mathématiques.7 Cas f(x) = e x La fonction exponentielle est une fonction du cours, elle est définie sur R tout entier donc f également et le domaine d arrivée de l exponentielle est R + donc celui de f est ],+ [. On sait que la fonction exponentielle n est ni paire ni impaire donc la fonction f n est ni paire ni impaire non plus. Ajouter - va décaler la courbe de vers le bas et on en déduit le tracé suivant : 6 C f 5 0 9 8 7 6.8 Cas f(x) = ln(x) On sait que la fonction logarithme néperien, qui est la réciproque de l exponentielle, n est définie que sur R + et donc f n est définie qu en les valeurs de x réel telles que x > 0 soit x > et ainsi f est définie sur J = ],+ [. La fonction ln arrive dans R et par conséquent f également. On a comme pour l exemple.6 que la question de la parité ou de l imparité n a pas de sens ici. Si on pose g(x) = ln(x), on a f(x) = g ( x ) donc la courbe cherchée est la translation de la courbe de g de vers la droite et on en déduit le tracé suivant : 6
0-0 L SNV - Mathématiques C f 0 5 6 7 8 9 Exercice : Fonctions élémentaires paramétriques. Cas f a (x) = x+a Ce premier cas est une fonction affine, les domaines de définitions sont donc R. Il n y a pas de valeur critique du paramètre a dans ce cas. Le coefficient directeur vaut toujours et la fonction est en particulier croissante et toutes les droites vont être parallèles. Seule l ordonnée à l origine dépend du paramètre a. Elle vaut y = a (faire x = 0). On en déduit donc les tracés suivants (on pourra noter que le cas. de l exercice précédent est le cas a = ) : 7
0-0 L SNV - Mathématiques 7 6 5 C f C f0 6 7 C f 8. Cas f a (x) = x +ax Il n y a pas de problème de définition et la fonction f a est définie sur R tout entier, à valeurs dans R a priori. On déduit les tracés suivants du cours sur les trinômes du second degré. ] ] En effet, le coefficient [ de x est positif donc la courbe est décroissante sur, a et croissante sur a,+ [. On a f a (0) = et le minimum de la fonction vaut f ( ) a = a < 0. On peut voir que la fonction f a change toujours de signe et qu il n y a pas de valeur critique de a et on peut observer que f 0 est paire tandis que les courbes de f a et f a sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées : 8
0-0 L SNV - Mathématiques 6 C f0 5 C f C f. Cas f a (x) = x a La fonction n est bien définie que lorsque x a 0 soit si x [ a,+ [. On en déduit comme précédemment la courbe par translation de vers la droite à partir de la courbe de g(x) = x et donc f a est strictement croissante et on a les tracés suivants : 9
0-0 L SNV - Mathématiques C f C f0 C f 5 6 7 8 9. Cas f a (x) = ln(ax+) La fonction logarithme étant définie sur R +, la fonction f a est définie pour les réels x tels que ax+ > 0. On voit qu il y a alors trois cas, soit a = 0 et la fonction est définie sur R tout entier et f 0 (x) = ln() = 0 est la fonction constante égale à 0, soit a > 0 et la condition ci-dessus se réécrit x > a et f a est définie sur I = ] a,+ [ à valeurs dans R. Enfin, le dernier cas correspond à a < 0 et dans ce cas la condition ax+ > 0 se réécrit (diviser par a renverse le sens de l inégalité) et la fonction est définie sur I = ], a[. x < a On n étudiera pas le cas a = 0 qui est facile et similaire au cas. de l exercice précédent. Traitons alors les cas a 0. Dans le cas a > 0, la fonction est la composée de deux fonctions x ax+ et ln qui sont croissantes, elle est donc croissante et la courbe est une translatée de vers la gauche de la courbe de la fonction x ln(ax). a Dans le cas a < 0, la fonction est la composée de deux fonctions x ax + et ln qui sont respectivement décroissante et croissante, elle est donc décroissante et la courbe est une translatée de vers la gauche de la courbe de la fonction x ln(ax). Pour tracer a la dernière courbe, on pourra remarquer que la courbe de ln( x) est la symétrique de celle de ln(x) par rapport à l axe des ordonnées. On peut donc en déduire les tracés suivants 0
0-0 L SNV - Mathématiques (où on peut remarquer la symétrie entre les courbes de f a et de f a ) : C f C f 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f0.5 Cas f a (x) = x x a Une telle fraction n est bien définie que lorsque son dénominateur ne s annule pas. Il y a donc à nouveau trois cas. Soit a < 0 et alors x a > 0 pour tout x réel et donc dans ce cas f a est définie sur I = R tout entier et à valeurs dans [,] comme on le verra. Le deuxième cas correspond à a = 0 et dans ce cas, f a (x) = x est définie sur I = R et f a est alors deux fois la fonction inverse définie dans le cours. On n effectuera donc pas ici l étude de ce cas particulier. Enfin, il reste le cas a > 0 et alors x a = 0 si, et seulement si, x = ± a et par conséquent la fonction f a est définie sur I = R\{ a, a}. On peut remarquer dans tous les cas que le domaine de définition est symétrique par rapport à l origine et que pour tout x dans I, on a f a ( x) = x ( x) a = x x a = f a(x). La fonction f a est donc impaire et il suffit de l étudier sur I + = R + si a < 0, I + = R + si a = 0 et I + = R + \ { a} lorsque a > 0. Les fonctions polynômiales et inverse étant
0-0 L SNV - Mathématiques dérivable sur leurs domaines de définition, on déduit par composition que f a est dérivable dans tous les cas et que pour tout x dans I +, on a en utilisant la formule de dérivation d un quotient, f a (x) = (x a) x x = x +a (x a) (x a). Le signe de f a ne dépend donc que de celui de x +a. Dans le cas où a > 0, on a toujours x +a > 0 et donc f a (x) < 0 pour x dans I+ et donc f a décroît strictement sur [0, a[ de f a (0) = 0 vers lim x a f a(x) = et décroît strictement sur ] a,+ [ de vers lim x +f a(x) = + a lim f a(x) = 0. x + Enfin, dans le cas où a < 0, on a x + a < 0 (et donc f a (x) > 0) si, et seulement si, x < a soit si, et seulement si, x [0, a[ tandis que sur [ a,+ [, on a x +a > 0 et donc f a (x) < 0. On en déduit que f a croît strictement sur [0, a[ de f a (0) = 0 vers f a ( a) = a et décroît strictement sur [ a,+ [ de f a ( a) vers lim f a(x) = 0. x + On a en particulier des asymptotes horizontales et verticales d équations y = 0 et x = 0 pour a = 0, y = 0 et x = ± a pour a > 0 et y = 0 pour a < 0. On a alors les tableux de variations suivants si a > 0 : x 0 a + f (x) + 0 0 f(x) et si a < 0 : x 0 a + f (x) + 0 a f(x) 0 0 On en déduit donc les tracés suivants sur I + :
0-0 L SNV - Mathématiques C f0 C f 0 C f 5 6 7 8 9 Puis par symétrie, on obtient les tracés complets : C f0 C f C f 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9
0-0 L SNV - Mathématiques.6 Cas f a (x) = e ax + Le domaine de définition est clairement I = R tout entier tandis que le domaine d arrivée est ],+ [, pour tout réel a. Deux cas se présentent alors, le cas a = 0 étant trivial puisque dans ce cas la fonction est constante égale à et on retrouve le cas. de l exercice précédent. Soit a > 0 et on a une fonction exponentielle classique translatée de vers le haut. En revanche, si a < 0, on a une fonction du type x e x translatée de vers le haut. On en déduit les tracés suivants : C f C f 7 6 5 C f0 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 Fonctions trigonométriques. Cas f(x) = sin(x π) On peut utiliser ici une formule de trigonométrie classique sin(x π) = sin(x) qui se retrouve grâce au dessin suivant et permettrait de ramener l étude de f à celle de la fonction bien connue x sin(x) :
0-0 L SNV - Mathématiques J sin(x) M cos(x π) N O x x π sin(x π) cos(x) I Si on ne connaît pas cette formule, on peut toujours procéder à l étude selon la méthode habituelle. On a que la fonction f est définie sur R tout entier, π-périodique puisque pour tout x réel, f(x+π) = sin(x π +π) = sin(x π) = f(x) car la foncion sinus l est et f est d amplitude puisque la fonction sinus l est. De plus par périodicité, il suffit d étudier la fonction sur une période [ π,π] et on remarque que f est impaire puisque pour tout réel x, f( x) = sin( x π) = sin(x+π) = sin(x+π π) = sin(x π) = f(x) en utilisant successivement l imparité et la π-périodicité de la fonction sinus. Il suffit donc d étudier la fonction sur [0,π] et on obtiendra toute la courbe par symétrie par rapport à l axe des ordonnées puis translation. Il s agit d un sinus déphasé de π (la courbe est translatée de π vers la droite), ce qui permet d obtenir le tableau de variations et les tracés suivants sur [0,π] : x 0 π π f (x) 0 + 0 0 f(x) 5
0-0 L SNV - Mathématiques 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f Puis on effectue la symétrie : 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f 6
0-0 L SNV - Mathématiques Et enfin, les translations : 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f. Cas f(x) = cos ( x+ π ) La fonction f est clairement définie sur R et à valeurs dans [,]. De plus, la fonction cosinus étant π-périodique, on en déduit que f est π-périodique car pour tout x réel, ( f(x+π) = cos x+π + π ) ( = cos x+ π ) = f(x). On étudiera donc la fonction sur une période [0,π]. La fonction n est ici ni paire ni impaire (mais on verra sur la graphe et on pourrait montrer que sa courbe est symétrique par rapport à la droite d équation x = π ). L amplitude de la fonction est ici de car 8 c est le cas pour la fonction cosinus. On utilise le fait que la courbe est une translatée de celle de la fonction x cos(x) de π vers la gauche. On en déduit le tableau de variations 8 et le tracé suivant : x 0 f (x) f(x) π 8 7π 8 π 0 + 0 7
0-0 L SNV - Mathématiques 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f. Cas f(x) = cos ( x + ) π L étude est très similaire au cas précédent. La période vaut ici π et l amplitude. On peut donc étudier la fonction sur [ π, π +π]. La courbe est obtenue par translation de π vers la gauche à partir de celle de x cos( x ), ce qui permet d obtenir le tableau de variations et le tracé : x π π π π f (x) 0 + f(x) 8
0-0 L SNV - Mathématiques 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 0 C f. Cas f(x) = sin(x) Ici, on a clairement que la fonction est définie sur R tout entier, que la période vaut π, l amplitude et que la fonction est impaire. On peut donc directement en déduire le tracé de la fonction sinus. On aboutit au tableau de variations et au tracé suivant : x 0 π π f (x) + 0 f(x) 0 0 9
0-0 L SNV - Mathématiques 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C f.5 Cas f(x) = tan ( x π ) La fonction tangente est définie sur R\ { ± kπ k N} donc la fonction f est définie sur I = R\ { kπ, kπ k N }, à valeurs dans R. La fonction tangente est π-périodique donc 8 8 la fonction f est π -périodique et l amplitude n est pas définie pour la fonction tangente ou alors par convention elle est infinie. On peut alors comme souvent exploiter les symétries On a que la courbe est obtenu par translation de π vers la droite de celle de x tan(x) qui s obtient facilement à partir de celle de la tangente. Il peut alors être bon de noter que f ( π 8) = tan(0) = 0. On en déduit le tracé suivant : 0
0-0 L SNV - Mathématiques C f Résolution graphique d équations. Cas x x+ = x+ Il s agit pour le membre de droite d : x x + d une fonction affine de coefficient directeur - et d ordonnée à l origine tandis que le membre de gauche est un trinôme du second degré que l on peut étudier de manière similaire à l exercice. La fonction g : x x x+ décroît sur ] ], de + vers et croît sur ],+ ] de vers +. On obtient alors les tracés suivants : 5 C g C d 0.8 0.8
0-0 L SNV - Mathématiques On obtient alors qu il y a deux solutions : 0.86965809 et 0.86965809. Dans ce cas, on aurait pu résoudre explicitement uisque l équation est équivalente à x = et les deux solutions sont donc ±.. Cas e x+ = x Il s agit pour le membre de droite d : x x d une fonction affine de coefficient directeur et d ordonnée à l origine - tandis que le membre de gauche est une fonction exponentielle que l on peut étudier de manière similaire à l exercice ou. La fonction g : x e x+ croît sur R de 0 vers + et vaut e en 0. Onobtient alorsles tracés suivants : C g 5 0 5 C d Il n y a donc pas de solution réelle!. Cas ln(x) = x Il s agit pour le membre de droite d : x x d une fonction affine de coefficient directeur et d ordonnée à l origine - tandis que le membre de gauche g : x ln(x) est une fonction logarithme qui se traite comme dans l exercice. Elle est définie pour x > et croît strictement de vers +. On obtient alors les tracés suivants :
0-0 L SNV - Mathématiques.6 C d C g Il n y a donc pas deux solutions : et.5609.. Cas ln(x+) = ln(x+) La fonction g : x ln(x+) est un cas particulier de fonction étudiée dans le cas. de l exercice et la fonction d : x ln(x+) s étudie de la même façon. Ces fonctions sont respectivement définies pour x > et x > et sont strictement croissantes de vers +. On obtient les tracés :
0-0 L SNV - Mathématiques C g C d 5 6 7 8 9 Il y a donc une unique solution qui vaut. Là encore il est facile de démontrer ce résultat puisqu en prenant l exponentielle, on obtient que l équation devient x+ = x+ qui donne bien x =..5 Cas sin(x π) = x La fonctiond:x x est la même que celle du cas. et la fonctiong : x sin(x π) s étudie de manière tout à fait analogue au cas. de l exercice. On en déduit les tracés suivants :
0-0 L SNV - Mathématiques C d C g 0.5 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 Il y a donc une unique solution qui vaut 0.58... 5 Fonctions composées 5. Cas f(x) = x+ et g(x) = e x La fonction g est définie sur R à valeurs dans R + tandis que la fonction f est définie et à valeurs dans R. La composée f g est donc bien définie sur R et pour tout x réel, f g(x) = f (g(x)) = g(x)+ = e x + qui est donc à valeurs dans ],+ [. L étude est très similaire au cas.7 de l exercice. On obtient le tracé suivant : 5
0-0 L SNV - Mathématiques C f g 6 5 5 6 7 8 9 De même, la composée g f est définie sur R à valeurs dans R + x réel par (g f)(x) = g(f(x)) = e f(x) = e x. et est donnée pour tout 6
0-0 L SNV - Mathématiques On obtient le tracé suivant : C g f 6 5 5 6 7 8 9 5. Cas f(x) = sin(x) et g(x) = x π La fonction f est définie sur R à valeurs dans [,] et la fonction g est définie et à valeurs dans R. Les deux composées ont donc bien un sens et pour tout réel x, on a (f g)(x) = f(g(x)) = sin(x π) qui est exactement le cas. de l exercice dont on ne refait pas l étude ici. On a d autre part pour tout réel x (g f)(x) = sin(x) π. Cette fonction s étudie exactement comme la fonction sinus, sa courbe représentative est simplement obtenue grâce à une translation de vecteur (0, π). 7
0-0 L SNV - Mathématiques 0 9 8 7 6 5 6 7 8 9 C g f 5. Cas f(x) = ln(x) et g(x) = e x + La fonction f est définie sur R + à valeurs dans R tandis que la fonction g est définie sur R à valeurs dans R + donc les deux composées ont là encore bien un sens. La composée f g est définie sur R et pour tout x réel, on a (f g)(x) = ln(e x +). La fonction x e x + décroît strictement tandis que la fonction ln croît donc par composition, on en déduit que la fonction f g est décroissante. De plus, on pourra utiliser le fait que (f g)(0) = ln() = ln(). On en déduit le tracé suivant : 8
0-0 L SNV - Mathématiques C f g 0 5 6 7 8 9 Il reste alors à traiter g f qui est définie sur R + et pour tout x > 0, (g f)(x) = e ln(x) + = x +. Cette fonction s obtient par translation de la courbe de x déduit le tracé suivant : x de vers le haut. On en 9
0-0 L SNV - Mathématiques C g f 0 5 6 7 8 9 6 Problème Lorsque A = mmol, on aura q(a) = q() = ln( +) = ln(6).58mmol. Si on souhaite doubler la quantité produite, on cherche donc à obtenir ln(6) mmol de E. On cherche donc pour quelle valeur de A on a ln(6) = q(a) = ln(a+). On en déduit en prenant l exponentielle que le A cherché est donné par soit e ln(6) = A+ 6 = A+ qui se résout en A = mmol. Il faut donc produire fois plus de A! Si on veut être plus général, si on note a la quantité initiale de A et r la quantité produite de E correspondante. On cherche une valeur x telle que r = q(x) = ln(x+) et donc on obtient en prenant l exponentielle (x+) = e r 0
0-0 L SNV - Mathématiques qui fournit x = er. On a donc que la quantité de E produite dépend de B selon la loi : qui donne immédiatement le tracé suivant : r(b) = B 5 6 7 8 9 Si on souhaite doubler la quantité r de E produite à partir d une quantité b de B, on cherche à en produire r. On cherche donc la valeur de B telle que r = r(b). Or, on a r = b et donc en remplaçant dans l expression ci-dessus, on obtient b = r(b) = B soit B = b. Il faut donc fournir deux fois plus de B, ce qui est tout à fait normal puisque la relation entre les deux est linéaire!