Dimension des espaces vectoriels. () Dimension des espaces vectoriels 1 / 36

Dimension des espaces vectoriels () Dimension des espaces vectoriels 1 / 36

1 Familles libres, génératrices et bases 2 Espaces vectoriels de dimension finie 3 Sous-espaces vectoriel de dimension finie 4 Applications linéaires en dimension finie () Dimension des espaces vectoriels 2 / 36

Dans tout le chapitre, on travaille dans R, mais on peut aussi travailler avec C Rappelons qu une famille (v 1, v 2,..., v p ) d éléments de E est appelée famille à p éléments, que les v i soient distincts ou non. Dans une famille, l ordre des éléments compte. On va généraliser les notions de familles libres, génératrices et bases vues dans R n. () Dimension des espaces vectoriels 3 / 36

Plan 1 Familles libres, génératrices et bases 2 Espaces vectoriels de dimension finie 3 Sous-espaces vectoriel de dimension finie 4 Applications linéaires en dimension finie () Dimension des espaces vectoriels 4 / 36

Familles libres ou liées Définition Soit (x 1, x 2,..., x p ) une famille finie de vecteurs de E. On dit que la famille (x 1, x 2,..., x p ) est libre si et seulement si : Si il existe λ 1,..., λ p R tels que λ 1 x 1 + + λ p x p = 0 E alors λ 1 = = λ p = 0. Aucun vecteur de la famille n est combinaison linéaire des autres (lorsque p 2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants. On dit que la famille (x 1, x 2,..., x p ) est liée si et seulement s il existe des scalaires λ 1, λ 2,..., λ p R qui ne sont pas tous nuls tels que λ 1 x 1 + + λ p x p = 0 E c est-à-dire si, et seulement si l un au moins des vecteurs de la famille est une() combinaison linéaire Dimension des espaces autres vectoriels vecteurs de cette famille 5 / 36

Remarque: C est exactement la même définition (et les mêmes techniques) que dans R n. Exemple: 1 La famille (1, X, X 2,..., X n ) est une famille libre de R[X ]. En effet pour tous λ 0, λ 1,..., λ n R, le polynôme nul si, et seulement si, tous les λ k sont nuls. n k=0 λ k X k est le polynôme 2 Une famille qui contient deux vecteurs colinéaires est liée. Par exemple si x 1 = kx 2 (où k K), alors x 1 k.x 2 + 0.x 3 + + 0.x n = 0 E. La réciproque de ce résultat est fausse, il existe des familles liées qui ne contiennent pas de vecteurs colinéaires. () Dimension des espaces vectoriels 6 / 36

Proposition 1 Toute famille extraite d une famille libre est libre. 2 Toute famille contenant une famille liée est liée. () Dimension des espaces vectoriels 7 / 36

Démonstration. 1 Soit (u 1, u 2,..., u n ) une famille libre. On en extrait une famille, quitte à changer l ordre des vecteurs, on peut supposer qu on extrait (u 1, u 2,..., u p ) avec p n. Montrons que cette famille extraite est libre. Soient des scalaires λ 1,..., λ n K tels que λ 1 u 1 + + λ p u p = 0. On rajoute à cette somme 0.u p+1 + 0.u p+2 + + 0.u n. On a alors. λ 1 u 1 + + λ p u p + 0.u p+1 + 0.u p+2 + + 0.u n = 0 La famille (u 1, u 2,..., u n ) étant libre, tous les coefficients de l égalité sont nuls. Donc en particulier les λ 1,..., λ n. Donc la famille extraite est libre. 2 Soit une famille (u 1, u 2,..., u n ) contenant une famille liée. Quitte à changer l ordre des vecteurs, on peut supposer que la famille (u 1, u 2,..., u k ) est liée, avec k n. Ainsi, il existe λ 1,..., λ k non tous nuls tels que λ 1 u 1 + + λ k u k = 0. On rajoute à cette somme 0.u k+1 + + 0.u n. On a alors. λ 1 u 1 + + λ k u k + 0.u k+1 + + 0.u n = 0 et les coefficients () de cette Dimension égalité des espaces ne vectoriels sont pas tous nuls, puisque les8 / 36

Théorème Soit F = (v 1, v 2,..., v p ) une famille libre. Pour tout vecteur u Vect(v 1, v 2,..., v p ), il existe un unique p-uplet de scalaires (λ 1,..., λ p ) tels que u = λ 1 v 1 + + λ p v p. Autrement dit pour tous scalaires λ 1,..., λ p et µ 1,..., µ p, p λ i v i = i=1 p µ i v i = i [[1, p]], λ i = µ i. i=1 Cela signifie que la décomposition de tout vecteur u Vect(v 1, v 2,..., v p ) comme combinaison linéaire de la famille F est unique. () Dimension des espaces vectoriels 9 / 36

Familles génératrices Définition En toute généralité : une famille (v i ) i I (finie ou non, I étant un ensemble d indices) d éléments de E est dite génératrice de E si, et seulement si, tout élément de E s exprime comme une combinaison linéaire d un nombre fini d éléments de cette famille (v i ) i I. Dans le cas particulier d une famille finie : Une famille (v 1, v 2,..., v n ) de E est dite génératrice de E si, et seulement si, E = Vect(v 1, v 2,..., v n ) autrement dit si, et seulement si, tout élément de E s écrit comme une combinaison linéaire des éléments v 1, v 2,..., v n ou encore si, et seulement si, on a : u E, λ 1, λ 2,..., λ n R, u = n λ i v i. i=1 () Dimension des espaces vectoriels 10 / 36

Remarque: Si une famille est génératrice de E, il en est de même pour toutes les familles obtenues par permutation de ses éléments. Exemple: 1 (1, i) est une famille génératrice de C en tant que R-espace vectoriel car tout nombre complexe z s écrit z = a.1 + b.i avec a, b R. 2 (1, X, X 2,..., X n ) est famille génératrice de R n [X ] puisque tout polynôme de degré inférieur ou égal à n s écrit sous la forme n a k X k avec a 0,..., a n R. k=0 3 La famille infinie (X i, i N) est une famille génératrice de R[X ] puisque tout polynôme est une combinaison linéaire d un nombre fini de monômes. () Dimension des espaces vectoriels 11 / 36

Proposition Toute famille contenant une famille génératrice de E est génératrice de E. () Dimension des espaces vectoriels 12 / 36

Bases Définition Une famille (e 1,..., e n ) de vecteurs de E est une base de E si, seulement si, elle est libre et génératrice de E. Théorème Une famille B = (e 1,..., e n ) est une base de E si, et seulement si, pour tout vecteur x E, il existe un unique n-uplet (λ 1,..., λ n ) R n tel que x = n λ k e k. k=1 Le n-uplet de scalaires (λ 1,..., λ n ) est appelé le n-uplet de composantes ou de coordonnées de x dans la base B. () Dimension des espaces vectoriels 13 / 36

Exemple: 1 (1, i) est une base du R-espace vectoriel C. Les coordonnées d un nombre complexe dans la base (1, i) sont sa partie réelle et sa partie imaginaire. 2 Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires forment une base. 3 Dans l espace, trois vecteurs non coplanaires forment une base. 4 La famille (1, X,..., X n ) forme une base de R n [X ]. Cette base est appelé base canonique de R n [X ]. Les coordonnées du polynôme n a k X k dans la base canonique de R n [X ] sont (a 0,..., a n ). k=0 () Dimension des espaces vectoriels 14 / 36

Définition et propriété fondamentale Définition On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace vectoriel E possédant une famille génératrice de E formée d un nombre fini de vecteurs. Dans le cas contraire, on dit que E est n est pas de dimension finie. Exemple: R n, R n [X ] sont des espaces vectoriels de dimension finie, R[X ] n est pas de dimension finie. () Dimension des espaces vectoriels 16 / 36

Remarque: Le cardinal d une famille finie de vecteurs de E est le nombre de vecteurs (distincts ou non) qui la composent. Proposition Dans un espace vectoriel E de dimension finie, le cardinal de toute famille libre est inférieur ou égal au cardinal de toute famille génératrice de E. () Dimension des espaces vectoriels 17 / 36

Existence d une base- Dimension Théorème Un espace vectoriel E de dimension finie possède au moins une base. Plus précisément, toute famille génératrice finie de E contient une base de E. Démonstration. Soit F 1 = (e 1,..., e n ) une famille génératrice finie de E. Si F 1 est libre, alors c est une base de E, sinon, l un des vecteurs de la famille est une combinaison linéaire des autres (supposons que ce soit le cas de e n, quitte à changer la numérotation des vecteurs). Dans ce cas, F 2 = (e 1,..., e n 1 ) est à nouveau une famille génératrice de E et l on peut recommencer la discussion initiée au début de ce paragraphe. On continue ainsi à retirer des vecteurs tant que la famille F k est génératrice et après un nombre fini d étapes, la famille obtenue est libre, si bien que c est une base de E. () Dimension des espaces vectoriels 18 / 36

Définition Soit E un R espace vectoriel non réduit au vecteur nul (E {0}). Si E est de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le même nombre n d éléments. Cet entier n est appelé la dimension de E sur R. On convient que l espace vectoriel {0} est de dimension nulle. Démonstration. Soit B 1 et B 2 deux bases de E. Notons n 1 le nombre d éléments de B 1 et n 2 le nombre d éléments de B 2. Comme B 1 est libre et que B 2 est génératrice de E, on a n 1 n 2. Comme B 2 est libre et que B 1 est génératrice de E, on a n 2 n 1. Finalement, n 2 = n 1. () Dimension des espaces vectoriels 19 / 36

Exemples: 1 R n est un espace vectoriel de dimension n sur R et la base canonique de R n en est une base. 2 R n [X ] est une espace vectoriel de dimension n + 1 sur R et la base canonique de R n [X ] en est une base. 3 L ensemble des solutions d une équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 à coefficients constants forme un espace vectoriel de dimension 2. () Dimension des espaces vectoriels 20 / 36

Théorème Si E est un espace vectoriel de dimension n, alors : 1 toute famille libre a au plus n éléments. Si elle a exactement n éléments, c est une base ; 2 toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Si elle a exactement n éléments, c est une base. () Dimension des espaces vectoriels 21 / 36

Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Toute famille génératrice de E contient une base. On a même mieux : si G est une famille génératrice de E et si F est une famille libre de vecteurs de G, alors on peut compléter F avec des vecteurs de G pour obtenir une base de E. Toute famille libre peut être complétée en une base. ( Théorème de la base incomplète) () Dimension des espaces vectoriels 22 / 36

Dimension d un sous-espace vectoriel Théorème Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim(f ) dim(e). De plus si dim(f ) = dim(e) alors F = E. () Dimension des espaces vectoriels 24 / 36

Démonstration. Notons n la dimension de E. Si F = {0}, alors F est de dimension 0. Sinon, soit f 1 un vecteur non nul de F. Si F est engendré par f 1, alors F est de dimension 1 car (f 1 ) est alors une base de F. Sinon, soit f 2 un vecteur de F non colinéaire à f 1 de sorte que (f 1, f 2 ) est libre. Si (f 1, f 2 ) engendre F, alors F est de dimension 2. Sinon, on continue ainsi à ajouter des vecteurs à notre famille libre, jusqu à obtenir une famille libre (f 1,..., f p ) pour laquelle (f 1,..., f p, x) est liée quel que soit x dans F. Un tel moment survient forcément, car une famille d au moins (n + 1) éléments de F (donc de E) est liée. La famille libre (f 1,..., f p ) est alors une base de F. Donc F est de dimension finie. Cette famille libre de p éléments de E se complète en une base de E d après le théorème de la base incomplète. On en déduit : dim(f ) = p n = dim(e). Si dim(f ) = dim(e), une base de F est une famille libre de E à n éléments : c est aussi une base de E et donc F = E. () Dimension des espaces vectoriels 25 / 36

Corollaire Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a F G et dim(f ) = dim(g) = F = G. () Dimension des espaces vectoriels 26 / 36

Sous-espaces supplémentaires en dimension finie Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Il existe alors dans E un sous-espace vectoriel G tel que F et G soient supplémentaires. On a de plus : dim(e) = dim(f ) + dim(g). Remarque: Attention, il n y a pas unicité du supplémentaire d un sous-espace vectoriel. () Dimension des espaces vectoriels 27 / 36

Théorème Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E de dimension finie n. 1 Si F et G sont supplémentaires, alors dim(e) = dim(f ) + dim(g). 2 Si on a : dim(e) = dim(f ) + dim(g) et F G = {0}, alors F et G sont supplémentaires. 3 Si on a : dim(e) = dim(f ) + dim(g) et F + G = E, alors F et G sont supplémentaires. Dans tous les cas, on obtient une base de E en réunissant une base de F et une base de G. () Dimension des espaces vectoriels 28 / 36

Exercice 1 Dans R 3, on considère G = {(x, y, z) R 3 tels que x + y + z = 0} et F = Vect{(1, 1, 1)}. Montrer que E et F sont supplémentaires dans R 3. () Dimension des espaces vectoriels 29 / 36

Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G). Démonstration. Il suffit de compléter une base B de F G en une base B F de F et en une base B G de G. La réunion des vecteurs des bases B F et B G (où l on élimine les doublons : les vecteurs de B) forme une base de F + G. On compte alors les vecteurs des différentes bases, et l on obtient le résultat. () Dimension des espaces vectoriels 30 / 36

Dans ce chapitre, E et F sont deux R-espaces vectoriels, l espace E étant supposé de dimension finie (F peut ne pas être de dimension finie). () Dimension des espaces vectoriels 32 / 36

Image d une base Théorème Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E et (f 1,..., f n ) une famille de vecteurs de F. Il existe une unique application linéaire u de E dans F telle que k [[1, n]], u(e k ) = f k. Autrement dit une application linéaire est entièrement caractérisée par l image d une base de l espace vectoriel de départ. () Dimension des espaces vectoriels 33 / 36

Corollaire Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E et u et v deux applications linéaires de E dans F. Si l on a : k [[1, n]], u(e k ) = v(e k ), alors les applications u et v sont égales ( x E, u(x) = v(x)). Autrement dit, deux applications linéaires qui coïncident sur une base de E sont égales. () Dimension des espaces vectoriels 34 / 36

Théorème (dit du rang ) Théorème Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel quelconque. Soit f une application linéaire de E dans F. On a : dim(ker(f )) + dim(im(f )) = dim(e) Remarque: dim(im(f )) est le rang de f. () Dimension des espaces vectoriels 35 / 36

Théorème Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application linéaire de E vers F. 1 On a : dim(im(f )) = dim(f ) si et seulement si f est surjective. 2 Si les espaces E et F sont de même dimension n, alors on a les équivalences suivantes : f est un isomorphisme dim(im(f )) = n dim(ker(f )) = 0. () Dimension des espaces vectoriels 36 / 36

Corollaire Soit E et F deux espaces vectoriels de même dimension finie n et f une application linéaire de E vers F. On a les équivalences : f est bijective f est injective f est surjective. En particulier, si f est injective ou surjective, alors f est bijective. Remarque: Si on prend F = E (endomorphisme), alors ça marche aussi. Ce résultat n est pas vrai pour un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension qui n est pas de dimension finie. () Dimension des espaces vectoriels 37 / 36

Par exemple, l endomorphisme ϕ : R[X ] R[X ] de l espace vectoriel P P R[X ], qui n est pas de dimension finie est surjectif (car pour tout polynôme Q de R[X ], on peut trouver un polynôme P tel que P = Q), mais il n est pas injectif (en effet, l image par ϕ de tout polynôme constant est le polynôme nul). () Dimension des espaces vectoriels 38 / 36