Mathematical Methods for Neurosciences. ENS - Master MVA Paris 6 - Master Maths-Bio (2013-2014) Etienne Tanré - Olivier Faugeras INRIA - Team Tosca November 20th, 2013 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 1 / 12
Introduction aux grandes déviations Considérons une famille (X n ) n 0 de variables aléatoires i.i.d. centrées, de variance 1. S n = 1 n n i=1 X i 0. Soit η > 0, peut-on estimer P(S n > η)? Le TCL nous dit nsn L n G. P(S n > η) P(G > η n) = 1 2π η n e x2 2 dx E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 2 / 12
Un exemple : le cas gaussien On suppose X i N (0, 1). Alors S n N (0, 1 n ) P(S n > η) = P(G > η n) = 1 e x2 2 dx. 2π η n 1 n log P(S n > η) η2 n 2 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 3 / 12
Définitions Definition (Fonction de taux) Une fonction de taux I est une application semi-continue inférieurement I : χ [0, ] (telle que pour tout α [0, ), l ensemble de niveau Ψ I (α) = {x : I(x) α} est un fermé de χ). Une bonne fonction de taux est une fonction de taux telle que Ψ I (α) est un compact de χ. Definition (Principe de grandes déviations) Une famille de mesures de probabilités {µ ε } satisfait un principe de grandes déviations avec une fonction de taux I si, pour tout borélien Γ, inf x Γ ε 0 I(x) lim inf ε log µ ε(γ) lim sup ε log µ ε (Γ) inf I(x) ε 0 x Γ E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 4 / 12
Quelques remarques Si inf x Γ I(x) = inf x Γ I(x) = I Γ, on dit que Γ est un ensemble de continuité de I. inf x χ I(x) = 0 Formulation alternative Borne supérieure Pour tout α et tout Γ Ψ I (α) c, lim sup ε log µ ε (Γ) α ε 0 Borne inférieure Pour tout x D I (i.e. I(x) < ) et Γ tel que x Γ, lim inf ε log µ ε(γ) I(x). ε 0 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 5 / 12
Principe des grandes déviations sur un ensemble fini Considérons un ensemble fini Σ = {a 1, a 2,, a Σ }. Une mesure µ sur Σ vue comme un élément de R Σ, à composantes positives, de somme 1. Pour tout vecteur y = (y 1,, y n ) Σ n, on associe la mesure empirique L y n: L y n(a i ) = 1 n 1 ai (y j ), i = 1,, Σ. n Definition (Entropie) j=1 L entropie d une mesure de probabilité ν est Σ H(ν) = ν(a 1 ) log ν(a 1 ) L entropie relative d une mesure ν par rapport à une mesure µ est i=1 Σ H(ν µ) = ν(a 1 ) log ν(a 1) µ(a 1 ) i=1 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 6 / 12
Théorème de Sanov Theorem Pour tout sous-ensemble Γ de l ensemble des mesures de probabilités sur Σ (noté M 1 (Σ)), nous avons 1 inf H(ν µ) lim inf ν Γ n n log P µ(l Y n Γ) lim sup n 1 n log P µ(l Y n Γ) inf H(ν µ) ν Γ où L Y n désigne la mesure empirique associée à un échantillon (Y = (y 1,, y n ) de variables aléatoires indépendantes et toutes de loi µ. E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 7 / 12
Lemme technique Soit N un entier. Pour toute suite finie a i ε 0, lim sup ε log ε 0 ( N i=1 a i ε ) = max i lim sup ε log aε. i ε 0 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 8 / 12
Théorème de Cramer pour les ensembles finis (Y j ) j 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de loi µ X j = f (Y j ) On pose Ŝ n = 1 n n j=1 X j. On a Ŝn = f, L y n, où L y n est la mesure empirique associée au n échantillon (Y 1,, Y n ) Ŝ n A L y n {ν : f, ν A} = Γ Theorem Soit A R 1 inf I(x) lim inf x A n n log P µ(ŝn A) where I(x) = inf ν: f,ν =x H(ν µ). lim sup n 1 n log P µ(ŝn A) inf x A I(x), E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 9 / 12
Commentaires Le fonction de taux I satisfait I(x) = sup{λx Λ(λ)}, λ R où Σ Λ(λ) = log µ(a i )e λf (ai ). i=1 E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 10 / 12
Théorie de Freidlin-Wentzell Soit (X ε t ) le processus de diffusion solution de l équation différentielle stochastique dx ε t = b(x ε t )dt + εdw t, 0 t T, X ε 0 = x 0. le coefficient de dérive b est supposé globalement lipschitzien b(x) b(y) B x y On note H 1 l espace des fonctions absolument continues qui valent 0 en 0 et possèdent une dérivée dans L 2 H 1 = On équipe H 1 de la norme : { t } t f (s)ds : f L 2 ([0, T ]). 0 ( T g H1 = g (s) 2 ds 0 ) 1 2. E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 11 / 12
Theorem La famille de lois associées à (X ε ) satisfait un principe de grandes déviations sur l espace C 0 ([0, 1]) avec bonne fonction de taux 1 I(f ) = 2 T 0 f (t) b(f (t)) 2 dt si f H 1 sinon. E. Tanré (INRIA - Team Tosca) Mathematical Methods for Neurosciences November 20th, 2013 12 / 12