Licence de maths, 3e me anne e Analyse nume rique, semestre 5 Projet Scilab Projet a rendre le jour de l examen final. L objectif de ce projet est la ge ne ration d ensembles fractals en utilisation des techniques d ite rations. On e tudiera en particulier la convergence de la me thode de points fixes et la me thode de Newton pour l obtention de racines de polyno mes a valeurs dans C. Les bassins d attraction de ces me thodes forment des ensembles de Julia, qui sont des exemples d ensembles fractals. Il vous est demande de re diger un rapport de projet qui re ponde aux diffe rentes questions pose es ci-dessous, et d envoyer par courrier e lectronique les programmes scilab effectue s. 1 Ensembles fractals dans la nature La notion d ensemble fractal est associe e a de nombreux phe nome nes naturels ou des ensembles mathe matiques dont la frontie re irre gulie re est compose de motifs invariants par changements d e chelle. On peut penser dans la nature a la surface d un chou romanesco, aux motifs que l on peut voir sur certains coquillages, aux cristaux de glaces, a l architecture complexe du poumon, a la structure de glande mammaire ou encore a certaines tumeurs cance reuses. On peut e galement penser a des objets plus mathe matiques comme le tamis de Sierpinsky ou le flocon de Koch ou encore les ensembles de Julia.
L objectif de ce projet est de générer quelques uns de ces motifs fractals en utilisant des techniques d itération. Un point important que l on abordera de façon très limitée ici mais qui a de nombreuses applications (notamment en cancérologie) est la mesure de la complexité de ces objets. On parle de mesure de Hausdorff (voir par exemple [?]). 1.1 Construction du tamis de Sierpinsky On considère l application φ qui à un triangle T 0 de sommets (a, b, c) associe les trois triangles T a = (a, 1 2 (a + b), 1 2 (a + c)), T b = (b, 1 2 (a + b), 1 2 (b + c)), T c = (c, 1 2 (c + b), 1 2 (a + c)). A partir de cette application φ, on peut définir l application Φ définie sur l ensemble des ensembles de triangles qui à un ensemble de triangles T 1 T n associe l ensemble de triangles φ(t 1 ) φ(t n ). Le tamis de Sierpinsky de profondeur n associé à un triangle T 0 est l ensemble Φ n (T 0 ). 1-1 Ecrire sous scilab une fonction récursive qui à un triangle T de sommets (a, b, c) et un entier n associe Φ n (T ) et les tracer. 1-2 Ecrire sous scilab une fonction récursive qui à un triangle T de sommets (a, b, c) et un réel tol associe le tamis Φ n (T ) le plus grossier composé de triangles de diamètre supérieur à tol. Tracer le tamis obtenu. 1-3 Calculer le périmètre et la surface de Φ n (T 0 ). Dans ce cas particulier, la mesure de Hausdorf est le plus petit réel s R tel que lim diam(t i ) s < + Calculer cette mesure. n + T i Φ n (T 0) 2
1.2 Construction du flocon de Koch On considère l application θ qui à un segment I de R 2 d extrémités les points a et b associe l union des quatre segments définis par I 1 = (a, a + 1 3 (b a)), I 2 = (a + 1 3 (b a), c), I 3 = (c, a + 2 3 (b a)), I 4 = (a + 2 3 (b a), b), où c = a + 1 3 (b a) + 1 3 R π (b a) où R π désigne la rotation d angle π 3 3 3. On peut alors définir l application Θ définie sur l ensemble des ensembles de segments qui à un ensemble de segments I 1 I n associe l ensemble de segments θ(i 1 ) φ(i n ). La n ième courbe de Koch associé à un segment I 0 est l ensemble Θ n (I 0 ). 1-3 Ecrire sous scilab une fonction récursive qui à un intervalle I de sommets (a, b) et un entier n associe l union de segments Θ n (I). Tracer la courbe obtenue. On remarquera que l on obtient une courbe sans auto-intersection. Que se passerait-il si l on utilisait comme motif à la place du triangle équilatéral un autre polygône régulier? 1-4 Le flocon de de Koch consiste à itérer la fonction Θ à trois segments qui définissent un triangle équilatéral en portant attention à l orientation des segments de sorte que l expansion se fasse vers l extérieur du triangle. Dessiner les flocons correspondant à n = 0, 1, 2, 3. 1-5 Calculer le périmètre et la surface du n ième flocon. Que se passe-t-il lorsque n tend vers +? Dans ce cas particulier, la mesure de Hausdorf est le plus petit réel s R 3
tel que Calculer cette mesure. lim n + I i Θ n (I 0) diam(i i ) s < + 2 La méthode de point fixe pour des polynômes quadratiques L histoire de l itération des polynômes ou fractions complexes commence au début du 20-ème siècle : en 1915, l Académie des Sciences annonce qu un prix sera donné en 1918 à celui qui fera la meilleure contribution concernant l itération complexe. Gaston Julia et Pierre Fatou (celui du fameux lemme... ) avaient d`jà travaillé tous deux indépendamment sur cette théorie. Fatou ayant renoncé à concourir, Le grand prix de l Académie des Sciences est donné à Julia. Avec l arrivée des ordinateurs et du développement des outils graphiques, cette théorie prend son essor avec notamment Benoît Mandelbrot, Adrien Douady et John Hubbard dans les annés 1980, voir [?] pour un historique de cette théorie et dans [?] une introduction la théorie. L objectif dans cette section est d étudier la convergence des suites z n+1 = f(z n ), n 0, z 0 C donné, f(z) = z 2 + c, c C donné. Lorsque le module de z 0 est assez grand, la suite z n tend vers l infini lorsque n tend vers l infini. Le complémentaire des données initiales pour lesquelles z n part à l infini est un compact appelé ensemble de Julia rempli. Sa frontière est en général un ensemble de fractal appelé ensemble de Julia. 2-1 Montrer que si il existe m tel que z m > 1 2 (1 + 1 + 4 c ) alors z n n + 2-2 Montrer que pour c = 0, l ensemble de Julia est le cercle unité. 2-3 Montrer que si z n = x n + iy n et c = a + ib alors x n+1 = x 2 n y 2 n + a y n+1 = 2x n y n + b 2-4 On s intéresse au comportement de la suite (x n, y n ) lorsque n tend vers l infini en fonction de la donnée initiale (x 0, y 0 ). 2-5 Créer une fonction sous scilab avec en entrée : un couple (a, b) de réels représentant le nombre complexe c, une donnée initiale (x 0, y 0 ) R 2, un entier n, et en sortie le couple (x n, y n ) de réels représentant le complexe z n. 2-6 Pour constuire une famille d itérés z n, on se donne une famille de conditions initiales. Pour cela on définit une discrétisation de [ 2, 2] 2 de pas h = 4 N, N N \ {0} : et on pose η k = 2 + kh et ζ l = 2 + lh, pour k, l = 1,..., N. Pour k, l = 1,..., N et n 0, on note le n-ième itéré par f de z 0 (k, l). z 0 (k, l) = η k + iζ l pour k, l = 1,..., N. z n (k, l) = f n (z 0 (k, l)) = x n (k, l) + iy n (k, l) 4
(a) Créer une fonction sous scilab avec en entrée : des entiers n et p, un entier N qui détermine le pas de discrétisation h = 4/N, un couple (a, b) R 2 définissant le complexe c = a + ib, un seuil s > 0, qui représente sur la figure numéro p, le graphe de la fonction (η k, ζ l ) B n (k, l), k, l = 1,..., N. où B n (k, l) = min (s, ) x n (k, l) 2 + y n (k, l) 2. On pourra utiliser la fonction scilab Sgrayplot. (b) Reproduire l allure des ensembles de Julia suivant c = 0.0 c = 0.3 c = 0.8 c = 5 c = 0.3 + i0.6 c = 0.8 + i0.156 c = 1.755 L avion c = 0.123 + i0745 Le lapin de Douady c = 0.285 + i0.01 Le chou-fleur 2-7 Dans les dessins précédents, on a du mal à distinguer certains ensembles de Julia, notamment pour c = 5 ou pour c = 1.755. Pour améliorer la qualité des graphiques, plutôt que de faire tracer z n pour un n fixé, on va visualiser le nombre d itérations nécessaires pour sortir du disque qu on a défini à la question 2-1. (a) Créer une fonction sous scilab avec en entrées : des entiers n max et p, un entier N donnant le nombre de points de discrétisation (et le pas h = 4/N), un couple (a, b) R 2 définissant le complexe c = a + ib, un seuil s > 0, qui représente sur la figure numéro p, le graphe de la fonction (η k, ζ l ) Iter(k, l), k, l = 1,..., N. 5
où Iter(k, l) est le minimum entre le nombre d itérations maximum admis n max et le nombre d itérations nécessaires pour sortir de de la boule de rayon s. (b) Tracer les nouveaux graphes obtenus pour les polynômes précédents. On pourra jouer avec la valeur de n max et prendre comme seuil la valeur proposée dans la question 2.1. Challenge : Améliorer la représentation l ensemble de Julia pour c = 5. c = 0.0 c = 0.3 c = 0.8 c = 5 c = 0.3 + i0.6 c = 0.8 + i0.156 c = 1.755 L avion c = 0.123 + i0745 Le lapin de Douady c = 0.285 + i0.01 Le chou-fleur 3 La méthode de Newton pour les polynômes cubiques L objectif dans cette section est d étudier la convergence de la méthode de Newton associée à des polynômes de degré 3 sur C. Si P (z) = z 3 + cz 2 + bz + a, avec (a, b, c) R 3 alors la méthode de Newton pour chercher les racines de P s écrit : 3-1 En remarquant que z n+1 = f(z n ), n 0, z 0 C donné, avec f(z) = z P (z) P (z). f(z) = z P (z)p (z) P (z) 2 exprimer les parties réelles et imaginaires de f en fonction des parties réelles et imaginaires de P et P, qu on notera respectivement R et I et R 1, I 1. 3-2 Montrer que si z n = x n + iy n alors (x n+1, y n+1 ) = F (x n, y n ) 6
où F est une fonction que l on explicitera en fonction de R, I et R 1, I 1, considérées maintenant comme fonctions de R 2 dans R 2. 3-3 (a) Calculer R(x, y), I(x, y), R 1 (x, y) et I 1 (x, y). (b) On considère l application G : R 2 R 2 définie par : G(x, y) = (x 3 3x 2 y + c(x 2 y 2 ) + bx + a, 3x 2 y y 3 + 2cxy + by). Vérifier que que z = x + iy est racine de P si et seulement si (x, y) annule G. Ecrire l algorithme de Newton pour la fonction G. Que remarquez-vous? 3-4 On s intéresse au comportement de la suite (x n, y n ) lorsque n tend vers l infini en fonction de la donnée initiale (x 0, y 0 ). (a) Créer une fonction sous scilab qui à un triplet (a, b, c), une donnée initiale (x 0, y 0 ), un entier n, détermine (x n, y n ). (b) On reprend les notations de la question 2-4(b). i. Créer une fonction sous scilab avec en entrée : des entiers n et p, un entier N qui détermine le pas de discrétisation h = 4/N, un triplet (a, b, c) R 3 définissant le polynôme P, un couple (α, β) R 2, un seuil s > 0, qui représente sur la figure numéro p, le graphe de la fonction (η k, ζ l ) B n (k, l), k, l = 1,..., N. où B n (k, l) = min (s, ) (x n (k, l) α) 2 + (y n (k, l) β) 2. On rappelle que x n et y n sont tels que z n = f n (z 0 ) = x n + iy n. L introduction du couple (α, β) à pour objectif de séparer les trois racines du polynôme P. ii. Déterminer les racines des polynômes P 1 (z) = z 3 z, P 2 (z) = z 3 z + 1 2 et P 3 (z) = z 3 3 2 z2 + 1 2 z. iii. Tracer les graphes (η k, ζ l ) B n (k, l), k, l = 1,..., N correspondant aux polynômes P 1, P 2 et P 3 pour n = 20. Références a = 0, b = 1, c = 0 a = 1 2, b = 1, c = 0 a = 0, b = 1 2, c = 3 2 [1] Michèle Audin Fatou, Julia, Montel, le grand prix des sciences mathématiques de 1918, et après..., Springer, 2009. 7
[2] Olivier Bodart, Michel Zinsmeister, Quelques résultats sur la dimension de Hausdorff des ensembles de Julia des polynômes quadratiques, Fundamenta Mathematicae, 151, 1996. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm151/fm15123.pdf [3] J. Y. Briend, P. Roesch, Une introduction aux systèmes dynamiques holomorphes, Journal des élèves de l ENS LYON, Vol 2 (1),1994. http://www.umpa.ens-lyon.fr%2fjme% 2FVol1Num2%2FartBriendRoesch%2FartBriendRoesch.pdf 8