1 ère S. ch1. Introduction à la logique. J. TAUZIEDE. INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE. I- IMPLICATION- EQUIVALENCE. 1 ) Proposition. Définition 1. On appelle proposition mathématique, une phrase ou un énoncé qui peut être vrai ou faux dans le cadre d une théorie. Exemple 1. «1000>10» est un énoncé vrai. «1000 est impair» est faux. «1000 est un grand nombre» ne veut rien dire car «grand» par rapport à quoi? 2 ) Implication. Définition 2. On dit que la proposition (P) implique la proposition (Q) et on note Q Q l est aussi. ( P ) ( ), pour signifier que lorsque ( P ) est vraie, alors ( ) Remarque. ( P ) s appelle l hypothèse et ( Q ) la conclusion. On dit aussi que ( Q ) est une conséquence de ( P ). ( P ) est une condition suffisante pour ( Q ) et ( ) ( P ) ce qui signifie qu il faut que ( Q ) soit vraie pour que ( ) Q est une condition nécessaire pour P le soit. Exemples Si (j habite à Paris) alors (j habite en France). Il est nécessaire d habiter en France pour habiter Paris ou bien encore, il est suffisant d habiter Paris pour habiter en France. Si ( = 2) x alors ( 2 = 4) x. Si ( AB = DC ) alors (ABCD est un parallélogramme). 3 ) Implication réciproque. Définition 3. Soit l implication ( P ) ( Q ) ; alors l implication ( ) ( P ) implication réciproque de la proposition ( P ) ( Q ). Q est appelée L implication réciproque de si ( AB = DC ) alors (ABCD est un parallélogramme) est si (ABCD est un parallélogramme) alors ( AB = DC ). - 1 -
Attention. La réciproque d une implication n est pas toujours vraie. En reprenant l exemple de la proposition [Si (j habite à Paris) alors (j habite en France)], la réciproque qui est [Si (j habite en France) alors (j habite à Paris)] est fausse (on peut habiter en France sans habiter Paris). Prenons comme implication : (L entier naturel n est divisible par 6) (l entier naturel est divisible par 3) elle est vraie, mais (l entier naturel est divisible par 3) (L entier naturel n est divisible par 6) est fausse. En effet 15 est divisible par 3 mais n est pas divisible par 6. Remarque. On vient de trouver un contre-exemple à notre proposition ; ainsi, lorsqu on suppose qu une proposition mathématique est fausse, on se doit d exhiber un contre-exemple. 4 ) Equivalence. Définition 4. On dit que deux propositions ( P ) et ( ) simultanément : [( P ) ( Q )] et [( Q ) ( P )]. On note alors ( ) ( Q ) Remarques. Q sont équivalentes lorsque l on a P. On dit que [ ( P ) équivaut à ( Q ) ] ou bien encore que [ ( P ) si et seulement si ( ) On dit que ( P ) (respectivement ( ) ( Q ) (respectivement ( P )). Q ]. Q ) est une condition nécessaire et suffisante pour Ne jamais utiliser les symboles et dans un texte en français. Le premier a le sens de «donc» et non pas d «alors». (ABC est un triangle équilatéral) ( A ˆ = Bˆ = C ˆ = 60 ). (J habite le département 94) si et seulement si (j habite le val de Marne). II- CONJONCTION DISJONCTION. 1 ) «Et» ; «Ou». Définition 1 de la conjonction «et». Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur conjonction est la proposition notée (P et Q) qui est vraie si et seulement si les deux propositions (P) et (Q) sont toutes les deux vraies. Exemples. «1000>10» et «1000 est un entier pair) est vraie. «j habite à Brest» et «j habite à Marseille» est fausse. «Le triangle ABC est équilatéral» et «l angle BA ˆ C mesure 60 degré» est fausse. - 2 -
1 ère S. Ch1. Introduction à la logique. Définition 2 de la disjonction «ou». Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur disjonction est la proposition notée (P ou Q) qui est vraie si et seulement si l une au moins des deux propositions (P) ou (Q) est vraie. Exemples. «1000>10» ou «1000 est un entier pair) est une proposition vraie. «1000 10» ou «1000 est impair» est une proposition fausse. 2 2 Si a et b sont deux réels, ( a + b = 0) ( a = 0 et b = 0) est une proposition vraie. Si a et b sont deux réels ab = 0 a = 0 ou b = 0 a = 0 et b 0 ou a 0 et b = 0 ou a = 0 et b = ( ) ( ) [( ) ( ) ( 0) ] III- ENSEMBLES. 1 ) Elément d un ensemble. Définition 1. Pour le mathématicien Cantor, un ensemble est une «collection d objets». Définition 2 (de l appartenance à un ensemble). Soit E un ensemble et x un objet. On dit que x appartient à l ensemble E, et on note x E, pour signifier que l objet x est un élément de E. Lorsque x n est pas un élément de E, on note : x E. x E y Ici, x E y E 2 ) Sous ensemble. Définition 3. Soient E et F deux ensembles. On dit que l ensemble F est inclus dans l ensemble E et on note F E, lu F inclus dans E, si tout élément de F est un élément de E. On dit que F est un sous-ensemble ou une partie de l ensemble E. E F On peut donner l inclusion qui existe entre les différents ensembles que vous avez étudié au collège et au lycée :. - 3 -
Exemple 2. Considérons l ensemble des mammifères. L ensemble constitué des humains ou d une partie des humains est un sous ensemble de l ensemble des mammifères. Si on note H l ensemble des humains et M l ensemble des mammifères alors, H M. En notant R l ensemble des reptiles, on a : R M (mais aussi M R). Définition 4. Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont exactement les mêmes éléments, on note E=F. Propriété. Soient E et F deux ensembles : [(E=F) (E F et F E]. Remarque. Cette propriété est très importante car elle indique comment démontrer que deux ensembles sont égaux ; Il s agit de démontrer une double inclusion. On peut soit raisonner directement sur les ensembles, soit raisonner sur les éléments des ensembles en montrant que, tout élément de E est un élément de F et que tout élément de F est un élément de E. Considérons l ensemble E constitué des élèves de la classe de 1 ère L spé math du lycée Epin et l ensemble F constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie. Lorsqu un ensemble contient un nombre fini d éléments que l on peut lister, on écrit les éléments de cet ensemble entre accolades, ainsi F={Aurélia ; Stéphanie}. Pour montrer que E=F c est à dire que l ensemble des élèves de 1 ère L spé math n est autre que l ensemble constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie, il faut appliquer la propriété, c est à dire, montrer une double inclusion. Montrons que E F. E (ensemble des élèves de première L qui font spé math) est constitué de deux éléments (car seul 2 élèves sur 10 en première L font spé math) qui sont Aurélia et Stéphanie donc (Aurélia F et Stéphanie F). Ainsi {Aurélia ; Stéphanie} F soit encore E F. Montrons que F E. Aurélia et Stéphanie sont deux élèves de la classe de première L qui suivent l option math donc Aurélia E et Stéphanie E. Or, F={Aurélia ; Stéphanie} donc F E. Comme E F et F E on en déduit que E=F. Remarque. Un ensemble qui ne possède qu un seul élément est appelé un singleton. Si A est un ensemble constitué d un seul élément a, l ensemble A peut être caractérisé d une autre façon en écrivant {a}. ainsi, A={a}. Attention à ne pas confondre : l élément : a est un élément de A (c est le seul d ailleurs) et on note a A. et le singleton {a} qui est un ensemble. Dans IR, un intervalle réduit à un seul élément est un singleton. - 4 -
1 ère S. Ch1. Introduction à la logique. Exercice. Déterminer l ensemble des solutions dans IR, si elles existent, des équations suivantes : + 1 = 0 x = 1 S = 1. ( x ) ( ) Conclusion : { } IR [( x + 1 )( x 2) = 0] [(x+1=0) ou (x 2=0)] [(x= 1) ou (x=2)] = { 1;2} S. IR Définition 5. On appelle ensemble vide, et on note, l ensemble qui ne contient aucun élément. Exemples. i- Existe t-il un ensemble constitué de nombres réels à la fois strictement négatifs et strictement positifs? la réponse est bien sûr négative, cet ensemble est donc l ensemble vide. On peut écrire cela de la façon suivante : {x /x>0 et x<0}=. ii- Le système suivant { x x + 1 > = 0 0 { x x = > 0 1 est un système impossible dans IR d où S =. IR Exercice. Déterminer l ensemble A des entiers naturel qui sont à la fois pairs et impairs. La question est de chercher s il existe un entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : n=2p et n=2p+1. Cela amène à résoudre : existe-t-il un entier naturel p tel que : Conclusion : A=. 2p=2p+1 0=1 impossible. Notation commode. Soient E et F deux ensembles. On note (x;y) E F pour signifier que x E et y F, dans cet ordre. Si E=F, on note (x;y) E 2. IV- LES QUANTIFICATEURS. 1 ) Quantificateur universel. Définition 1. Soit E un ensemble et (P) une proposition. Si pour tout élément x de E, la proposition P(x) est vraie, on écrit : x E, P(x). Le symbole est appelé quantificateur universel et se lit «Pour tout» ou «quel que soit». Exemple : x [0;1] : x 2 x. Pour démontrer cela, appliquer la méthode : pour comparer deux réels, on étudie le signe de la différence. - 5 -
2 Soit x [0;1]. On a x = x( x 1) x. Un tableau de signes pour des élèves de seconde ou le théorème sur le signe du trinôme du 2 second degré, affirme que x x est de signe négatif à l intérieur des racines que sont 0 et 1 ce qui démontre que : x [0;1] : x 2 x. On a aussi, x [1;+ [ : x x 2. 2 ) Quantificateur existentiel. Définition 2. Soit E un ensemble et (P) une proposition. S il existe au moins un élément x de E tel que la proposition P(x) est vraie, on écrit : x E, P(x). Le symbole est appelé quantificateur existentiel et se lit «il existe au moins.» La proposition ( IR : x 2 > 4) 3 2 = 9 et 9 > 4 mais, on ne peut pas écrire ( IR : x 2 > 4) x est vraie puisque satisfaite pour x=3 par exemple. On a x. En effet, l inégalité x 2 > 4 n est pas satisfaite pour x=1 par exemple. Remarque. Lorsqu il n existe qu un seul élément de l ensemble E vérifiant la proposition (P), on note (! x E : P( x) ). Dans IR, l équation x ( x +1 ) = 0 admet deux solutions qui sont 0 et 1 mais dans l ensemble IN des entiers naturels, il n existe qu une unique solution à l équation à savoir,! x IN : x x + 1 = 0. x=0. On note : ( ( ) ) V- NEGATION D UNE PROPOSITION. 1 ) Négation. Définition 1. Si (P) est une proposition, sa négation est la proposition notée ( P), lue non P, qui est vraie si et seulement si P est fausse. Remarque de notation : on note aussi P la négation de la proposition P. Exemples : (1000>10) est une proposition vraie ; sa négation est (1000 10) est une proposition fausse. (1000 est un entier impair) est une proposition fausse ; sa négation (1000 est un entier pair) est une proposition vraie. (Le tableau de la classe est noir) est une proposition dont la négation est (le tableau de la classe n est pas noir). - 6 -
1 ère S. Ch1. Introduction à la logique. 2 ) Négation de la proposition [(P) et (Q)]. Définition 2. Soient (P) et (Q) deux propositions. La négation de la proposition [(P) et (Q)] est la proposition [( P) ou ( Q)]. La négation de la proposition (Il pleut et je n habite pas en Bretagne) est (il ne pleut pas ou j habite en Bretagne). La négation de la proposition (le triangle ABC est rectangle isocèle) est la proposition (le triangle ABC est non rectangle ou non isocèle) c est à dire 3 cas possibles. 3 ) Négation de la proposition [(P) ou (Q)]. Définition 3. Soient (P) et (Q) deux propositions. La négation de la proposition [(P) ou (Q)] est la proposition [( P) et ( Q)]. La négation de la proposition : «la carte tirée d un jeu de carte est un pique ou une figure» est «la carte tirée n est pas un pique et n est pas une figure». La négation de la phrase «J habite à Paris ou j habite à Brest» est «je n habite pas Paris et je n habite pas à Brest». 4 ) Négation d une implication. Définition 4. La négation d une proposition [(P) (Q)] est la proposition [(P) et ( Q)] c est à dire que P est vraie et simultanément Q est fausse. Exemple : la négation de la proposition «Si j habite à Paris alors j habite en France» est «j habite Paris et je n habite pas en France». On rencontre en mathématique des raisonnements reposant sur cette définition. Ils sont appelés raisonnements par l absurde. Un exercice classique consistant à montrer que 2 est irrationnel peut se démontrer en effectuant un raisonnement par l absurde. On suppose que 2 est rationnel donc peut s écrire sous forme d une fraction irréductible. On aboutit alors à une contraction en montrant que la fraction est simplifiable. - 7 -
4 ) Négation d une proposition universelle. Définition 5. La négation d une proposition universelle : «x E, x vérifie une propriété P(x)» est la proposition «x E tel que x ne vérifie pas la propriété P(x)». La négation de la proposition : «Tous les candidats au baccalauréat auront leur bac» est la proposition : «il existe au moins un candidat au baccalauréat qui n aura pas son bac». Remarque. Pour prouver qu une proposition avec un quantificateur universel n est pas vraie, il suffit d exhiber un contre-exemple c est à dire de trouver un élément qui contredit la proposition. Montrer que la fonction f définie sur IR par f ( x) x + x = 2 n est pas paire. On rappelle qu une fonction f est paire si et seulement si elle vérifie les deux propriétés : i- Pour tout réel x de son domaine de définition, l opposé de x, c est à dire x est aussi dans le domaine de définition, ii- Et que la propriété f ( x) = f ( x) doit être satisfaite. Or, la fonction f est définie sur IR, donc si on prend un réel x dans IR, son opposé y est aussi. Toutefois f ( 1 ) = 1+ ( 1) = 0 et f ( 1 ) = 1+ 1 = 2 comme 0 2 on a f ( 1) f ( 1) ce qui prouve que la fonction f n est pas paire. En revanche, si f avait été une fonction paire, on ne pouvait pas se contenter de quelques exemples, il fallait raisonner en prouvant la propriété pour tout réel x ; comme par exemple avec f ( x) = x 2 + x. 2 2 2 2 2 On a f ( x) = ( x) + x = ( 1 ) ( x) + 1 x = 1 x + 1 x = x + x = f ( x) Ce qui prouve bien que pour tout réel x : f ( x) = f ( x) et montre que f est une fonction paire sur IR. Prendre des exemples n était pas suffisant et ce qui justifie la remarque sur certaines copies : «un exemple ne constitue pas une démonstration» On prendra donc garde dans les énoncés de définition au théorème, aux hypothèses faisant intervenir des «Pour tout» «quel que soit» etc.. 5 ) Négation d une proposition existentielle. Définition 6. La négation d une proposition existentielle : «x E, x vérifie une propriété P(x)» est la proposition «x E, x ne vérifie pas la propriété P (x)». La négation de la proposition : «il existe un entier n tel que l écriture décimale de n 2 se termine par 3» est «un tel entier n existe pas» c est à dire : «pour tout entier n, l écriture décimale de n 2 ne se termine pas par 3». - 8 -
1 ère S. Ch1. Introduction à la logique. 6 ) Contraposée d une implication. Définition 7. Soient (P) et (Q) deux propositions et supposons [(P) (Q)]. La contraposée de la proposition [(P) (Q)] est la proposition [( Q) ( P)]. La contraposée de la proposition : (Si j habite à Brest alors j habite en France) est la proposition (Si je n habite pas en France alors je n habite pas à Brest). Soit la proposition [(ABC est un triangle rectangle en A) (ABC est un triangle tel que AB 2 +AC 2 =BC 2 ) ; sa contraposée est la proposition : [(ABC est un triangle tel que AB 2 +AC 2 BC 2 ) (ABC n est pas un triangle rectangle en A)] - 9 -