Actions de groupes. Exemples et applications

4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E. 4. Définitions et exemples Définition 4. On dit que G opère à gauche sur E si on a une application : G E E g, x) g x telle que : { x E, x = x g, g, x) G 2 E, g g x) = gg ) x Une telle application est aussi appelée action à gauche de G sur E. Remarque 4. On peut définir de manière analogue la notion d action à droite d un groupe sur un ensemble non vide comme une application : G E E g, x) x g telle que : { x E, x = x g, g, x) G 2 E, x g) g = x gg ) Pour tout g G, l application : ϕ g) : E E x g x est alors une bijection de E sur E, c est-à-dire que ϕ g) S E). En effet, de x = x pour tout x E, on déduit que ϕ ) = Id E et avec g g x) = gg ) x = x = x et g g x) = x on déduit que ϕ g) ϕ g ) = ϕ g ) ϕ g) = Id E, ce qui signifie que ϕ g) est bijective d inverse ϕ g ). 87

88 Actions de groupes. Exemples et applications De plus avec g g x) = gg ) x, pour tous g, g, x, on déduit que ϕ gg ) = ϕ g) ϕ g ), c est-à-dire que l application ϕ est un morphisme de groupes de G, ) dans S E), ). Le noyau de ce morphisme ϕ est le noyau de l action à gauche de G sur E. Réciproquement un tel morphisme ϕ définit une action à gauche de G sur E avec : g x = ϕ g) x) Exemple 4. G agit sur lui même par translations à gauche : g, h) G G g h = gh Exemple 4.2 Un groupe G agit sur lui même par conjugaison : g, h) G G g h = ghg le morphisme de groupes correspondant de G, ) dans S G), ) est noté : Ad g) : G G h ghg L image de Ad est le groupe Int G) des automorphismes intérieurs de G. Exercice 4. Montrer que Int G) est isomorphe au groupe quotient G/Z G), où Z G) est le centre de G. Solution 4. Le noyau du morphisme de groupes Ad : G S G) est formé des g G tels que Ad g) = Id G, c est-à-dire des g G tels que ghg = h pour tout h G, ce qui équivaut à gh = hg pour tout h G. Le noyau de Ad est donc le centre Z G) de G. Comme Im Ad) = Int G), on en déduit que G/Z G) = G/ ker Ad) est isomorphe à Im Ad) = Int G). Exemple 4.3 Un groupe G agit sur tout sous-groupe distingué H par conjugaison : g, h) G H g h = ghg H Exemple 4.4 Le groupe S E) agit naturellement sur E par : σ, x) S E) E σ x = σ x) E 4.2 Orbites et stabilisateurs Définition 4.2 Soit G un groupe opérant sur un ensemble non vide E. Pour tout x E, le sous-ensemble de E : G x = {g x g G} est appelé orbite de x sous l action de G. On vérifie facilement que la relation x y si, et seulement si, il existe g G tel que y = g x est une relation d équivalence sur E x = x donne la réflexivité, y = g x équivalent à x = g y donne la symétrie et y = g x, z = h y qui entraîne z = hg) x donne la transitivité) et la classe de x E pour cette relation est l orbite de x. Il en résulte que les orbites forment une partition de E.

Orbites et stabilisateurs 89 Exemple 4.5 Pour l action de S E) sur E il y a une seule orbite. En effet, pour tout x E, on a : S E) x = {σ x) σ S E)} = E tout y E s écrit y = τ x), où τ est la transposition τ = x, y) si y x, τ = Id si y = x). Exemple 4.6 Pour l action de G sur lui même par conjugaison, les orbites sont appelées classes de conjugaison : h G, G h = { ghg g G } Le groupe G est commutatif si, et seulement si, G h = {h} pour tout h G. Exemple 4.7 Si H est un sous-groupe de G, il agit par translation à droite sur G : h, g) H G h g = gh g = g = g et h h 2 g) = ) gh 2 h = g h h 2 ) = h h 2 ) g) et pour tout g G l orbite de g est la classe à gauche modulo H : H g = {h g h H} = { gh h H } = {gk k H} = gh L ensemble de ces orbites est l ensemble quotient G/H des classes à gauche modulo H. En utilisant les translation à gauche sur G : les orbites sont les classes à droite modulo H : h, g) H G h g = hg H g = {hg h H} = Hg Exemple 4.8 Soit E un ensemble non vide. Pour σ S E), on fait agir le groupe cyclique H = σ sur E par : σ r, x) H E σ r x = σ r x) et l orbite de x E pour cette action est l ensemble : H x = {γ x γ H} = {σ r x) r Z} On dit H x est l orbite de la permutation σ. On note, dans ce contexte, Orb σ x) une telle orbite. Un cycle est une permutation σ S E) pour laquelle il n existe qu une seule orbite non réduite à un point. En utilisant le fait que les σ-orbites forment une partition de E et que chaque σ-orbite non réduite à un point permet de définir un cycle, on déduit que toute permutation σ S E)\{Id E } se décompose en produit de cycles de supports deux à deux disjoints théorème 3.6). Définition 4.3 On dit que l action de G sur E est transitive [resp. simplement transitive ] si : x, y) E 2, g G y = g x resp. x, y) E 2,!g G y = g x

90 Actions de groupes. Exemples et applications Dans le cas d une action transitive ou simplement transitive, il y a une seule orbite. Définition 4.4 On dit que l action de G sur E est fidèle si le morphisme de groupes : est injectif, ce qui signifie que : ϕ : g G ϕ g) : x g x) S E) g G et x E, g x = x) g = ) Une action fidèle permet d identifier G à un sous-groupe de S E). Théorème 4. Cayley) L action de G sur lui même par translation à gauche est fidèle et G est isomorphe à un sous-groupe de S G). Démonstration. Pour g G, on a g h = gh = h pour tout h G si, et seulement si, g =, donc ϕ est injectif. Exercice 4.2 On considère, pour n, l action de O n R) sur R n définie par : A, x) O n R) R n, A x = A x) Montrer que les orbites sont les sphères de centre 0. Solution 4.2 Pour x R n, on a : O n R) x = {A x) A O n R)} Pour tout y O n R) x, il existe A O n R) telle que y = A x) et y = A x) = x, donc O n R) x S 0, x ). Réciproquement si y S 0, x ) avec x 0, on a y 0 et on peut construire deux bases orthonormées B = e i ) i n et B = e i) i n de R n telles que e = x x et e = y. La y matrice de base de B à B est alors orthogonale et y = y e = x A e ) = A x), donc y O n R) x. On a donc O n R) x = S 0, x ) pour x 0. Pour x = 0, on a O n R) x = {0} = S 0, x ). Exercice 4.3 Soient n, m deux entiers naturels non nuls et K un corps commutatif. On fait agir le groupe produit G = GL n K) GL m K) sur l ensemble E = M n,m K) des matrices à n lignes et m colonnes par : P, Q) G, A E, P, Q) A = P AQ Montrer que les orbites correspondantes sont les ensembles : où r est compris entre 0 et min n, m). O r = {A E rg A) = r}

Orbites et stabilisateurs 9 Solution 4.3 On rappelle qu une ) matrice A M n K) est de rang r si et seulement si elle est Ir 0 équivalente à A r =. 0 0 Rappelons une démonstration de ce résultat. Pour r = 0, on a A = 0 = A 0. Pour r, en désignant par u L K n ) l endomorphisme de matrice A dans la base canonique de K n, H un supplémentaire de ker u) dans K n, B = e i ) i r une base de H et B 2 une base de ker u), le système u B ) = u e )) i r qui est libre dans K n si λ k u e k ) = 0, alors λ k e k H ker u) = {0} et tous les λ k sont nuls) se complète en k= k= une base B = {u e ),, u e r ), f r+,, f n } de K n et la matrice de u dans les bases B B 2 et B a alors la forme indiquée. La réciproque est évidente. Il en résulte que : et : O r = {A E rg A) = r} = { A E P, Q) G A = P I r Q } = G I r E = ce qui nous donne toutes les orbites. minn,m) r=0 O r = minn,m) r=0 G I r Définition 4.5 Soit G un groupe opérant sur un ensemble non vide E. Pour tout x X, le sous-ensemble de G : G x = {g G g x = x} est le stabilisateur de x sous l action de G. On vérifie facilement que ces stabilisateurs G x sont des sous-groupes de G en général non distingués). Exemple 4.9 En faisant agir G = S E) sur un ensemble E non réduit à un point par σ x = σ x), le stabilisateur de x E est isomorphe à S E \ {x}). À σ G x, on associe la restriction σ de σ à E \ {x}, ce qui définit un isomorphisme de G x sur S E \ {x}). Théorème 4.2 Soit G, ) est un groupe opérant sur un ensemble E. Pour tout x E l application : ϕ x : G/G x G x g = gg x g x est bien définie et bijective. Dans le cas où G fini, on a : donc card G x) divise card G)). card G x) = [G : G x ] = card G) card G x ) Démonstration. En remarquant que pour g, h dans G et x E, l égalité g x = h x équivaut à h g) x = x, soit à h g G x ou encore à g = h dans G/G x, on déduit que l application ϕ x est bien définie et injective. Cette application étant clairement surjective, elle définie une bijection de G/G x sur G x. Dans le cas où G fini, on a : card G x) = card G/G x ) = card G) card G x )

92 Actions de groupes. Exemples et applications Exercice 4.4 En utilisant l action naturelle de S E) sur E, montrer que si E est un ensemble fini à n éléments, on a alors card S E)) = n! Solution 4.4 On utilise l action de S E) sur E définie par : σ, x) S E) E, σ x = σ x) Cette action est transitive il y a une seule orbite), donc S E) x = E pour tout x E. Le stabilisateur de x E est : S E) x = {σ S E) σ x) = x} et l application qui associe à σ S E) x sa restriction à F = E \ {x} réalise un isomorphisme de S E) x sur S F ). On a donc card S E) x ) = card S F )) et : card S E)) = card S E) x) card S E) x ) On conclut alors par récurrence sur n. = card E) card S F )) = n card S F )) 4.3 Équation des classes Théorème 4.3 équation des classes) Soit G, ) est un groupe fini opérant sur un ensemble fini E. En notant G x,, G x r toutes les orbites deux à deux distinctes, on a : card E) = card G x i ) = i= i= card G) card G xi ) Démonstration. Si E est fini, on a alors un nombre fini d orbites G x,, G x r qui forment une partition de E et : card E) = card G x i ). i= En utilisant la bijection de G/G x sur G x i, on déduit que si G est aussi fini, on a alors : card E) = i= card G) card G xi ). Si G, ) est un groupe opérant sur un ensemble E, on note alors : E G = {x E G x = {x}} C est l ensemble des éléments de E dont l orbite est réduite à un point. En séparant dans la formule des classes les orbites réduites à un point des autres, elle s écrit : card E) = card E G) + i= cardg x i ) 2 card G x i ) la somme étant nulle si toutes les orbites sont réduites à un point).

Équation des classes 93 Définition 4.6 Si p 2 est un nombre premier, on appelle p-groupe tout groupe de cardinal p α où α est un entier naturel non nul. Corollaire 4. Si p 2 est un nombre premier et G, ) est un p-groupe opérant sur un ensemble fini E, alors : card E G) card E) mod p). Démonstration. Dans le cas d un p-groupe de cardinal p α avec α, pour toute orbite G x i non réduite à un point s il en existe), on a : ) G card G) card G x i ) = card = card G xi ) 2 G xi donc card G xi ) = p β i avec 0 β i < α et card G x i ) = p α β i avec α β i α. Il en résulte que : card E) = card E G) + card G x i ) card E G) mod p) i= cardg x i ) 2 Corollaire 4.2 Soit G un groupe fini que l on fait opérer sur lui même par conjugaison g h = ghg, pour g, h) G G). En notant G h,, G h r toutes les orbites deux à deux distinctes, on a : card G) = card Z G)) + card G h i ) = card Z G)) + i= cardg h i ) 2 i= cardg h i ) 2 card G) card G hi ). Démonstration. Une orbite G h est réduite à {h} si et seulement si ghg = h pour tout g G, ce qui revient à dire que gh = hg, ou encore que h Z G). On a donc Z G) = G G et le résultat annoncé. Théorème 4.4 Pour tout nombre premier p, le centre d un p-groupe n est pas réduit à {}. Démonstration. Soit G un p-groupe à p α éléments. On a, avec les notations des corollaires qui précèdent : card Z G)) = card G G) card G) mod p) et comme card Z G)), il en résulte que card Z G)) p et Z G) est non trivial. Théorème 4.5 Tout groupe d ordre p 2 avec p premier est commutatif. Démonstration. Soit G d ordre p 2. On sait que Z G) est non trivial, il est donc de cardinal p ou p 2 et il s agit de montrer qu il est de cardinal p 2. Si Z G) est de cardinal p, il est alors cyclique, soit Z G) = g. Un élément h de G\Z G) ne pouvant être d ordre p 2 sinon G = h et G serait commutatif ce qui contredit l hypothèse G Z G)), il est d ordre p et Z G) h = {} exercice.2)

94 Actions de groupes. Exemples et applications En utilisant l application : ϕ : {0,,, p } 2 G i, j) g i h j nous déduisons que tout élément de G s écrit de manière unique g i h j. Pour ce faire il suffit de montrer que ϕ est injective. Si g i h j = g i h j, alors g i i = h j j Z G) h = {} et g i i = h j j = ce qui entraîne que p divise i i et j j et comme i i < p, j j < p, on a nécessairement i = i, j = j. Avec les cardinaux il en résulte que ϕ est une bijection. Si k, k sont dans G, il s écrivent k = g i h j et k = g i h j et comme g commute à tout G, on en déduit que k et k commutent. Le groupe G serait alors commutatif ce qui est contraire à l hypothèse G Z G). En définitive Z G) ne peut être de cardinal p, il est donc de cardinal p 2 et G est commutatif. Remarque 4.2 Si G d ordre p 2 a un élément d ordre p 2, il est alors cyclique isomorphe à ) 2 Z Dans le cas où tous ses éléments sont d ordre p, il est isomorphe à. pz 4.4 Le théorème de Cauchy Soient G un groupe fini de cardinal n 2, p 2 un nombre premier et : Lemme 4. Avec ces notations, on a : E = {g,, g p ) G p g g p = } card E) = n p. Z p 2 Z. Démonstration. L application g,, g p ) g,, g p, g g p ) ) réalise une bijection de G p sur E de l égalité g g p =, on déduit que la connaissance des g i pour i p détermine g p de manière unique). On a donc : card E) = n p. On désigne par H = σ le sous-groupe de S p engendré par le p-cycle σ =, 2,, p) et on fait agir H sur E par : σ k, g,, g p ) ) g σ k),, g σ kp)) Pour g = g,, g p ) E, on a : g 2 g p g = g g = donc g σ),, g σp) ) = g2,, g p, g ) E. Il en résulte que pour tout entier k compris entre 0 et p, g σ k ),, g σ k p)) E et l application : σ k, g,, g p ) ) σ k g,, g p ) = g σ k ),, g σ k p)) est bien à valeurs dans E. Cette application définit bien une action puisque : et Id g,, g p ) = g,, g p ) σ j σ k g,, g p ) ) = σ j g ) σ ),, g k σ p)) = k gσ ),, g j+k σ k+j p) = σ j+k g,, g p ) = σ j σ k) g,, g p )

Le théorème de Cauchy 95 Lemme 4.2 Avec ces notations, on a : E H = {x E H x = {x}} = et card E H) est divisible par p si p est un diviseur premier de n. Démonstration. En remarquant que x =,, ) est dans E H, on déduit que E H est non vide. Comme H est de cardinal p un p-cycle est d ordre p dans S p ), on a : card E H) card E) mod p) corollaire 4.) avec card E) = n p divisible par p comme n, ce qui entraîne que card E H) est également divisible par p. Théorème 4.6 Cauchy) Si G est un groupe fini d ordre n 2, alors pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G un élément d ordre p et donc un sous-groupe d ordre p). Démonstration. On utilise les notations qui précèdent. De card E H) et card E H) divisible par p, on déduit que card E H) p 2 et en remarquant que x = g,, g p ) E H équivaut à dire que g = = g p = g avec g G tel que g p =, on déduit qu il existe g tel que g p =, ce qui signifie que g est d ordre p. Exercice 4.5 Soit G, ) est un groupe fini opérant sur un ensemble fini E. Pour tout g G, on note : Fix g) = {x E g x = x} Montrer que le nombre d orbites est : formule de Burnside). r = card G) card Fix g)) g G Solution 4.5 L idée est de calculer le cardinal de l ensemble : de deux manières en utilisant les partitions : F = g G F = {g, x) G E g x = x} {g, x) x Fix g)} = x E {g, x) g G x } ce qui donne : card F ) = g G card Fix g)) et en notant G x,, G x r les orbites distinctes : card F ) = card G x ) = x E x E card G) = card G x) = i= x G x i = card G) i= card G) card G x) card G) i= x G x i card G x i ) ) = card G x) x G x i i= ) card G) = r card G) du fait que G x = G x i pour x G x i la relation x y si y = g x est d équivalence et les classes d équivalence sont les orbites). Ce qui donne le résultat annoncé.

96 Actions de groupes. Exemples et applications 4.5 Le groupe des isométries du cube On se place dans l espace vectoriel euclidien R 3 muni d un repère orthonormé, A,, A 8 sont les huit points de coordonnées ±, ±, ±) et C est le cube de sommets A,, A 8, où A A 4 et A 5 A 8 sont deux faces parallèles, comme indiqué sur la figure 4.. A 2 A A 3 A 4 A 6 A 7 A 5 A 8 Fig. 4. On a donc : A =, A 2 =, A 3 =, A 4 = et : A 5 = A 3, A 6 = A 4, A 7 = A, A 8 = A 2 De manière précise le cube C est l enveloppe convexe de l ensemble S = {A,, A 8 } de ses sommets, c est-à-dire l ensemble des combinaisons linéaires convexes M = 8 λ i A i avec λ i 0 pour tout i compris entre et 8 et 8 λ i = c est aussi l intersection de tous les convexes de i= R 3 qui contiennent S). On désigne par Is C) le groupe des isométries de R 3 qui conservent ce cube, soit : Is C) = { ϕ O R 3) ϕ C) = C } par Is + C) = Is C) O + R 3 ) le sous-groupe de O R 3 ) formé des rotations qui conservent C et par Is C) = Is C) O R 3 ) le sous-ensemble de O R 3 ) formé des isométries indirectes qui conservent C. i=

Le groupe des isométries du cube 97 Théorème 4.7 Le groupe Is C) des isométries qui conservent le cube C est aussi le groupe Is S) des isométries qui conservent l ensemble S de ses sommets et c est un groupe fini isomorphe à un sous groupe du groupe symétrique S 8. La symétrie de centre 0, σ 0 : x x, est dans Is C), l application ρ ρ σ 0 réalise une bijection de Is + C) sur Is C) et : card Is C)) = 2 card Is + C) ). Démonstration. En écrivant que S = C S 0, 3 ), où S 0, 3 ) est la sphère de centre 0 et de rayon A k = 3 et en remarquant que cette sphère est conservée par toute isométrie, on déduit que pour toute isométrie ϕ Is C), on a : ϕ S) = ϕ C S 0, 3 )) = ϕ C) ϕ S 0, 3 )) = C S 0, ) 3 = S Réciproquement si ϕ est isométrie qui conserve S, elle conserve C. En effet, pour tout M = 8 λ i A i C, on a : i= et : où σ S 8. On a donc : ϕ M) = 8 λ i ϕ A i ) = i= 8 λ i A σi) = i= 8 λ σ j)a j C 8 ) 8 ) 8 ) M = ϕ λ i ϕ A i ) = ϕ λ i A σ i) = ϕ λ σj) A j ϕ C) i= i= Is C) = Is S) En associant à toute isométrie ϕ Is S), la permutation des sommets : A A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 ϕ A ) ϕ A 2 ) ϕ A 3 ) ϕ A 4 ) ϕ A 5 ) ϕ A 6 ) ϕ A 7 ) ϕ A 8 ) et en notant, pour k compris entre et 8, ϕ A k ) = A σϕ k) où σ ϕ S 8, l application ϕ σ ϕ réalise un morphisme de groupes injectif de Is C) dans S 8. En effet, il est clair que cette application est un morphisme de groupes et si σ ϕ = Id, on a alors ϕ A k ) = A k pour k =, 2, 3 et ϕ = Id R 3 puisque A, A 2, A 3 ) est une base de R 3. Il en résulte que Is C) = Is S) est un groupe fini isomorphe à un sous-groupe de S 8. Il est clair que σ 0 Is S) et avec det ρ σ 0 ) = det ρ) det σ 0 ) = pour tout ρ Is + C), on déduit que l application ρ ρ σ 0 va de Is + C) dans Is C). Comme σ 0 est d ordre 2, on en déduit que cette application est bijective. En effet ρ σ 0 = ρ σ 0 donne ρ = δ σ 2 0 = ρ σ 2 0 = ρ et pour σ Is C), on a ρ = σ σ 0 Is + C) et ρ σ 0 = σ. On a donc card Is + C)) = card Is C)) et avec la partition Is S) = Is + C) Is C), on en déduit que card Is C)) = 2 card Is + C)). La description de Is C) = Is S) passe donc par celle de Is + C) = Is + S). Remarque 4.3 Si on s intéresse aux isométries qui conservent un cube dans un espace affine euclidien, en remarquant que le centre du cube, qui est l isobarycentre des sommets, est un point fixe de toute isométrie ϕ Is C), on est ramené au cas vectoriel. En fait, de manière plus générale, on peut remarquer qu une application affine qui conserve le cube est nécessairement une isométrie. j= j= )

98 Actions de groupes. Exemples et applications Exercice 4.6 Soit C un cube dans l espace affine euclidien R 3.. Montrer que si ϕ est une application affine qui conserve le cube, c est alors un automorphisme. 2. Montrer que le groupe GA C) des applications affines qui conservent le cube est contenu dans le groupe Is R 3 ) des isométries de R 3. On a donc GA C) = Is C). Solution 4.6. De ϕ C) = C, on déduit que ϕ C) contient un repère affine de R 3, elle est donc surjective et c est une bijection affine. 2. On utilise le repère orthonormé R = A, A A 2, A A 4, ) A A 5, où A A k = A A k A A k pour k = 2, 4, 5. Si ϕ est une bijection affine qui conserve le cube, l image du plan P qui contient la face A A 2 A 3 A 4 est un plan, ϕ C) est dans l un des demi-espaces délimités par ϕ P) et comme ϕ C) = C, il est aussi dans l un des demi-espaces délimités par P, donc une face de C est transformé en face et le repère R est transformé en un repère orthonormé. En définitive, ϕ est une isométrie. L application : ϕ, A k ) Is + S) S ϕ A k ) définit une action du groupe Is + S) sur S. Pour calculer le cardinal de Is + S) nous allons décrire le stabilisateur Is + S) Ak et l orbite Is + S) A k d un sommet et utiliser la formule : card Is + S) ) = card Is + S) Ak ) card Is + S) A k ) Exercice 4.7 Montrer que la rotation ρ = 0 0 0 0 0 0 est dans le stabilisateur Is + S) A. Solution 4.7 Avec ρ Id R 3, ρ t ρ = Id R 3 et det ρ) =, on déduit que ρ est une rotation d angle non nul modulo 2π). L axe de cette rotation est obtenu en résolvant le système linéaire ρ Id R 3) X = 0, soit : x + z = 0 x y = 0 y z = 0 ce qui donne x = y = z et l axe D de u est la droite dirigée par A = Avec Tr u) = 0 = 2 cos θ) +, on déduit que cos θ) = 2 et θ = ±2π 3. ± ± Avec ρ A ) = A et ρ A k ) = pour A k = ±, on déduit que ρ Is + S) A. ± Précisément, on a : ρ A 2 ) = = A 4, ρ A 3 ) = = A 8, ρ A 4 ) =. = A 5

Le groupe des isométries du cube 99 et : ρ A 5 ) = ρ A 3 ) = A 2, ρ A 6 ) = ρ A 4 ) = A 3, ρ A 7 ) = ρ A ) = A 7, ρ A 8 ) = ρ A 2 ) = A 6 Sa représentation dans S 8 étant : σ = 2, 4, 5) 3, 8, 6) Lemme 4.3 Pour tout sommet A k du cube C k 8), l orbite sous l action de Is + S) est : Is + S) A k = S Il y a donc une seule orbite et l action de Is + S) sur S est transitive. Démonstration. On rappelle que : Is + S) A k = { ϕ A k ) ϕ Is + S) } S 0 0 En désignant par ρ = 0 0 la rotation d axe Oz et d angle de mesure π 2 0 0 0 0 ρ 2 = 0 0 la rotation d axe Oy et d angle de mesure π 2, on a : 0 0 et par ρ A k ) = A k+ pour k =, 2, 3, 5, 6, 7 et ρ A 4 ) = A, ρ A 8 ) = A 8 et : ρ 2 A ) = A 2, ρ A 2 ) = A 6, ρ A 6 ) = A 5, ρ A 5 ) = A ρ 2 A 4 ) = A 3, ρ A 3 ) = A 7, ρ A 7 ) = A 8, ρ A 8 ) = A 4 ce qui se voit mieux en disant que ρ et ρ 2 sont associées aux permutations : Utilisant ces rotations, on a : σ =, 2, 3, 4) 5, 6, 7, 8) et σ 2 =, 2, 6, 5) 4, 3, 7, 8) A = Id A ), A 2 = ρ A ), A 3 = ρ 2 A ), A 4 = ρ 3 A ) A 5 = ρ 3 2 A ), A 6 = ρ 2 2 A ), A 7 = ρ 2 ρ 2 A ), A 8 = ρ 2 2ρ 2 A ) et donc Is + C) A = S. Comme ces orbites forment une partition de S, on en déduit que Is + S) A k = S pour tout k. Lemme 4.4 Une rotation ϕ O + R 3 ) est uniquement déterminée par ϕ A ) et ϕ A 2 ) ou plus généralement par les images de deux sommets d une même arête). Démonstration. Si ϕ O + R 3 ) est telle que ϕ A ) = A et ϕ A 2 ) = A 2, sa restriction au plan engendré par A et A 2 est l identité et ϕ = Id R 3 du fait que l ensemble des points fixes d une rotation distincte de Id R 3 est une droite. Si ϕ, ψ dans O + R 3 ) sont telles que ϕ A ) = ψ A ) et ϕ A 2 ) = ψ A 2 ), on a alors ϕ ψ A ) = A et ϕ ψ A 2 ) = A 2 avec ϕ ψ O + R 3 ), donc ϕ ψ = Id R 3 et ϕ = ψ.

00 Actions de groupes. Exemples et applications Lemme 4.5 Pour tout sommet A k du cube C k 8), le stabilisateur de A k sous l action de Is + S) est un sous-groupe d ordre 3 de Is + S). Démonstration. On peut supposer que k = quitte à réordonner les sommets). Si ϕ Is + S) A, elle uniquement déterminée par ϕ A 2 ) et avec A ) ϕ A 2 ) ϕ A A 2 = A A 2 = 2, on déduit que ϕ A2 ) {A 2, A 4, A 5 } on a A A j > 2 pour j / {2, 4, 5}). Il en résulte que card ) Is + S) A 3. 0 0 La rotation ρ = 0 0 d axe dirigé par A et d angle 2π 3 ou 2π 3 0 0 Is + S) A et d ordre 3, on en déduit que Is + S) A est d ordre 3 engendré par ρ. On en déduit alors le résultat suivant. Théorème 4.8 Le groupe Is S) agit de façon transitive sur S et a 48 éléments. Le groupe Is + S) est isomorphe à S 4 et le groupe Is S) est isomorphe à S 4 Z 2Z. étant dans Démonstration. Comme Is + S) agit de façon transitive sur S, il en est de même de Is S). On a : card Is + S) ) = card Is + S) A ) card Is + S) A ) = 3 8 = 24 et card Is S)) = 2 card Is + S)) = 48. On vérifie ensuite que tout élément ϕ de Is S) induit une permutation de l ensemble D = {[A, A 7 ], [A 2, A 8 ], [A 3, A 5 ], [A 4, A 6 ]} des grandes diagonales du cube, ce qui permet de définir un morphisme de groupes Φ de Is S) dans S D). Par conservation des normes par une isométrie, une diagonale est transformée en diagonale de même longueur, donc D est globalement invariant par tout élément de Is S) et l application Φ qui associe à ϕ Is S) la permutation correspondante des grandes diagonales réalise un morphisme de groupes de Is S) dans S D). Si ϕ ker Φ), elle conserve alors chaque diagonale. On a donc ϕ A ) = A ou ϕ A ) = A 7 et même chose pour les autres grandes diagonales. Si ϕ A ) = A, on a alors ϕ [A, A 2 ]) = [A, A k ] avec k = 2, 4 ou 5 puisque les arêtes sont conservées et ϕ A 2 ) = A 2 puisque la diagonale [A 2, A 8 ] est conservée. De même, on a ϕ A 4 ) = A 4 et ϕ = Id puisqu elle laisse fixe la base A, A 2, A 4 ). Si ϕ A ) = A 7, on a alors ϕ [A, A 2 ]) = [A 7, A k ] avec k = 3, 6 ou 8 puisque les arêtes sont conservées et ϕ A 2 ) = A 8 puisque la diagonale [A 2, A 8 ] est conservée. De même, on a ϕ A 4 ) = A 6. Donc ϕ est la symétrie σ 0 = Id R 3, puisque ces deux isométries coïncident sur la base A, A 2, A 4 ). En définitive, ker Φ) = {Id R 3, Id R 3} et ker Φ Is + S)) = {IdR 3}. Il en résulte que Φ Is + S) est un morphisme injectif de Is + S) dans S D) et c est un isomorphisme puisque ces deux groupes ont même cardinal. Le groupe S D) étant isomorphe à S 4, il en est de même pour Is + S). En désignant par θ un isomorphisme de groupes de S 4 sur Is + S), l application : Ψ : {, } S 4 Is S) ε, σ) εθ σ) est un morphisme de groupes surjectif. En effet, pour ε, σ) et ε, σ ) dans {, } S 4, on a Ψ ε, σ) ε, σ )) = εε, σσ ) = εε θ σσ ) = εθ σ) ε θ σ )

Sous groupes finis de O + E) pour dim E) = 2 et dim E) = 3 0 et pour ϕ Is + S) [resp. ϕ Is S)], on a ϕ = Ψ, θ ϕ))) [resp. ϕ Is + S) et ϕ = Ψ, θ ϕ)))]. Comme ces groupes ont même cardinal, Ψ est un isomorphisme. En fait, en utilisant le fait qu une isométrie qui conserve le cube va conserver les grandes diagonales, on en déduit facilement le cardinal de Is S) voir l exercice 3.42). On peut donner la liste de tous les éléments de Is + S) en fonction de leurs ordres. Comme élément d ordre, il n y a que Id R 3. Comme éléments d ordre 2, on a les 3 rotations d axes respectifs Ox, Oy et Oz ce sont les axes qui passent par le milieu de deux faces opposées), d angle de mesure π retournements) : ρ = 0 0 0 0 0 0, ρ 2 = 0 0 0 0 0 0, ρ 3 = 0 0 0 0 0 0 et les 6 rotations d axes respectivement dirigés par les milieux des arêtes [A, A 4 ], [A, A 2 ], [A 2, A 3 ], [A 3, A 4 ], [A, A 4 ], [A, A 5 ], [A 4, A 8 ], d angle de mesure π. Elles correspondent aux permutations :, 8) 2, 7) 3, 6) 4, 5), Comme éléments d ordre 3, on à les 8 rotations d axes respectifs les 4 grandes diagonales et d angles de mesure ± 2π 3. Comme éléments d ordre 4, on a les 6 rotations d axes respectifs Ox, Oy et Oz, d angles de mesure ± π 2. Ce qui donne un total de + 9 + 8 + 6 = 24 et on les a toutes. 4.6 Sous groupes finis de O + E) pour dim E) = 2 et dim E) = 3 On désigne par E, ) un espace euclidien de dimension n 2, par S = {x E x = } la sphère unité de E et par O E) le groupe orthogonal de E ou groupe des isométries de E). On rappelle que : u O E)) u GL E) et x E, u x) = x ) O + E) est le sous-groupe de O E) formé des automorphismes orthogonaux positifs ou rotations vectorielles). Lemme 4.6 L application u, x) O + E) S u x = u x) définit une action transitive de O + E) sur S. Démonstration. Comme u O + E) conserve la norme, on a u x) S pour tout x S et il est clair qu on a une action. Dire que cette action est transitive revient à dire que pour tous x, y dans S, il existe une rotation u O + E) telle que y = u x). Si x = ±y, u = ±Id convient, sinon on désigne par H le plan vectoriel engendré par {x, y}. Comme x, y) est lié, on a x y < x y = et il existe un unique réel θ ] π, π[ tel que cos θ) = x y. Une base orthonormée de H est donnée par le procédé de Gram-Schmidt : e = x, e 2 = ± y x y x) = y cos θ) x) y x y x sin θ)

02 Actions de groupes. Exemples et applications et on complète cette base en une base orthonormée e i ) i n de E. La rotation v du plan H ayant pour matrice : ) cos θ) sin θ) R = sin θ) cos θ) dans la base e, e 2 ) est telle que v x) = v e ) = cos θ) e + sin θ) e 2 = y et la rotation u O + E) définie par u e k ) = v e k ) pour k =, 2 et u e k ) = e k pour k = 3,, n convient. Du lemme précédent, on déduit aussi que l application u, x) O E) S u x = u x) définit une action transitive de O E) sur S. Comme l action de O + E) sur S est transitive, S est l unique orbite et pour tout x S, l ensemble quotient O + E) / O + E)) x est en bijection avec S. 4.6. Le cas de la dimension 2 On suppose ici que dim E) = 2. Lemme 4.7 Pour tout x S, on a O + E)) x = {Id} on dit que l action de O + E) sur S est simple) et en conséquence O + E) est en bijection avec S. Démonstration. Le vecteur nul est l unique point fixe d une rotation u Id d un plan euclidien E ce qui se vérifie facilement en utilisant la représentation matricielle d une rotation du plan dans une base orthonormée). Théorème 4.9 Tout sous groupe d ordre n de O + E) est cyclique, donc isomorphe à Z nz. Démonstration. O + E) est en bijection avec S lui même en bijection avec le groupe Γ des nombres complexes de module égal à une base orthonormée e, e 2 ) de E étant choisie tout élément de S s écrit x = x e + x 2 e 2 avec x 2 + x 2 2 = et l application x x + ix 2 est bijection de S sur Γ) et on connaît les sous-groupes finis de Γ exercice 2.3). 4.6.2 Le cas de la dimension 3 On suppose ici que dim E) = 3. Lemme 4.8 Toute rotation u Id a exactement deux points fixes x et x dans S. Démonstration. Résulte du fait que, pour dim E) = 3, l ensemble des points fixes de u O + E) \ {Id} est une droite D = Rx avec x S voir la leçon sur les isométries d un espace euclidien de dimension 2 ou 3 au chapitre 7) et D S = { x, x}. Définition 4.7 Les points fixes x et x dans S d une rotation u Id d un espace euclidien de dimension 3 sont appelés les pôles de u. On se donne un sous-groupe fini G de O + E) de cardinal n 2 et on note P l ensemble des pôles des éléments de G \ {Id}. L ensemble P est fini avec : 2 card P ) 2 n ). L action de O + E) sur S que nous avons considéré induit une action de G sur S.

Sous groupes finis de O + E) pour dim E) = 2 et dim E) = 3 03 Lemme 4.9 L application u, x) G P u x = u x) définit une action de G sur P et le nombre d orbites pour cette action est 2 ou 3. Démonstration. Pour u, x) G P, il existe une rotation v G \ {Id} telle que { x, x} soit l ensemble des points fixes de v dans S et on a : u v u ) u x)) = u v x)) = u x) c est-à-dire que u x) est un pôle de u v u G \ {Id} u v u = Id si, et seulement si, v = Id), donc u x) P et G agit sur P. En notant, pour tout u G : Fix u) = {x P u x) = x} le théorème de Burnside nous dit que le nombre d orbites pour cette action de G sur P est : r = card G) card Fix u)) = card P ) + 2 n )) n u G pour u = Id, Fix u) = P et pour u Id, Fix u) a exactement deux éléments). Tenant compte du fait que 2 card P ) 2 n ), on a : 2 r 4 ) < 4 n donc r = 2 ou r = 3. Définition 4.8 L ordre d un pôle x P sous l action de G est le cardinal du stabilisateur G x. Théorème 4.0 Dans le cas où le nombre d orbites, pour l action de G sur P, est r = 2, le groupe G est cyclique d ordre n, donc isomorphe à Z nz. Démonstration. Pour r = 2, la formule de Burnside nous dit que : card P ) + 2 n ) = 2n et card P ) = 2, soit P = { x, x}, ce qui signifie que toutes les rotations de G \ {Id} ont le même axe D = Rx. Ces rotations laissent stable le plan H = P et l application qui associe à u G sa restriction à H réalise un isomorphisme de G sur un sous groupe d ordre n de O + H) qui est cyclique d ordre n. On suppose maintenant que le nombre d orbites, pour l action de G sur P, est r = 3. Théorème 4. Dans le cas où le nombre d orbites, pour l action de G sur P, est r = 3, le groupe G est isomorphe soit à D n groupe diédral d ordre n), soit à A 4, soit à S 4, soit à A 5. Démonstration. La formule de Burnside nous dit que : card P ) + 2 n ) = 3n soit que card P ) = n + 2. On note G x k ces orbites avec x k P pour k =, 2, 3 et : n k = card G x k ), m k = card G xk ) = card G) card G x k ) = n n k.

04 Actions de groupes. Exemples et applications Comme chaque x k P est point fixe de Id et d une rotation de G \ {Id}, on a 2 m k n. La formule des classes nous donne : card P ) = n + 2 = 3 card G x k ) = ou encore : + + = + 2 m m 2 m 3 n En ordonnant ces orbites de sorte que m m 2 m 3, on a : k= 3 n m k k= donc m < 3 et m = 2. Il en résulte que : donc 2 m 2 < 4 et m 2 = 2 ou 3. < + 2 n 3 m 2 m 2 m 2 + m 3 = 2 + 2 n > 2 Pour m 2 = 2, on a m 3 = n 2 n est donc nécessairement pair) et pour m 2 = 3, on a m 3 = 6 + 2 n > 6 avec m 3 m 2 = 3 donc m 3 = 3, 4 ou 5. En définitive, les seules possibilités sont : m = 2, m 2 = 2, m 3 = n 2, donc n 4 ; 2 m = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, 2 + 3 + 3 = + 2 n, donc n = 2 et n = 6, n 2 = n 3 = 4 ; m = 2, m 2 = 3, m 3 = 4, 2 + 3 + 4 = + 2 n, donc n = 24 et n = 2, n 2 = 8, n 3 = 6 ; m = 2, m 2 = 3, m 3 = 5, 2 + 3 + 5 = + 2 n, donc n = 60 et n = 30, n 2 = 20, n 3 = 2.. Pour m = m 2 = 2, on a : n 3 = card P ) n n 2 = n + 2 n 2 n 2 = 2 soit G x 3 = {x 3, x 3 } et les rotations u G x3 ont toutes le même axe Rx 3, donc G x3 est cyclique d ordre m 3 = n 2. Le groupe quotient G/G x 3 est alors d ordre 2, il existe donc σ / G x3 tel que G/G x3 = σ = {G x3, σg x3 } et on a la partition G = G x3 σg x3. Comme G x3 est cyclique d ordre m 3, on a G x3 = ρ = {Id, ρ,, ρ m3 } et : G = { Id, ρ,, ρ m 3 } { σ, σρ,, σρ m 3 }. Pour toute rotation u G \ G x3 on a u x 3 ) G x 3 = {x 3, x 3 } avec u x 3 ) x 3, donc u x 3 ) = x 3 et si x P \ {x 3, x 3 } est un pôle de u, on a u 2 y) = y pour y {x 3, x 3, x}, donc u 2 = Id puisqu il a au moins trois points fixes distincts dans S. On a donc σ 2 = Id et ρσ) 2 = Id ρσ x 3 ) = ρ x 3 ) = x 3 x 3, donc ρσ G \ G x3 ) et G est un groupe diédral d ordre n. 2. Pour m = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, on a n = 2 et n = 6, n 2 = n 3 = 4. L orbite G x 2 étant stable par toute rotation u G si v x 2 ) G x 2, alors u v x 2 )) = u v) x 2 ) G x 2 puisque u v G), chacune de ces rotation induit une permutation ϕ u) de G x 2 et l application ϕ est un morphisme de groupes injectif de G sur le groupe

Sous groupes finis de O + E) pour dim E) = 2 et dim E) = 3 05 des permutations S G x 2 ) il est clair que ϕ est un morphisme de groupes et u ker ϕ) entraîne que u a plus de deux points fixes dans S, c est donc l identité), donc G est un groupe d ordre 2 isomorphe à un sous-groupe de S 4, il est donc isomorphe à A 4 qui est l unique sous-groupe d ordre 2 de S 4. 3. Pour m = 2, m 2 = 3, m 3 = 4, on a n = 24 et n = 2, n 2 = 8, n 3 = 6. card G) Pour x P, on a G x = G x, donc card G x) = = card G x)) et comme card G x ) les trois orbites sont de cardinal différent, on en déduit que : G x 2 = {±x 2, ±y 2, ±z 2, ±t 2 } Cette orbite est stable par toute rotation u G et chacune de ces rotation induit une permutation ϕ u) de l ensemble E = {Rx 2, Ry 2, Rz 2, Rt 2 }. Si ϕ u) = Id E, on a alors u x 2 ) = ±x 2, u y 2 ) = ±y 2, u z 2 ) = ±z 2, u t 2 ) = ±t 2. Si u x 2 ) = x 2, on a alors u G x2 qui est d ordre 3 et y 2 = u 3 y 2 ) = ±y 2 donne u y 2 ) = y 2 et u = Id puisqu il a trois points fixes x 2, x 2 et y 2 dans S. Si u x 2 ) = x 2, on a alors u y) = y pour tout y {y 2, z 2, t 2 } puisque u y) = y entraîne u G y qui est d ordre 3 on a G y = G x 2, donc card G y ) = card G x2 ) = 3) et u 3 = Id est incompatible avec u 3 x 2 ) = x 2. Mais l espace vectoriel H engendré par {x 2, y 2, z 2, t 2 } est de dimension 3. En effet, sinon il est de dimension 2 stable par G ainsi que la droite D = H et la restriction de v G x2 \ {Id} à D est ±Id D et comme v est d ordre 3, on a nécessairement v D = Id D et v = Id du fait qu elle a plus de 2 points fixes dans S x 2, x 2 et un vecteur directeur unitaire de D), ce qui contredit v Id. Donc H est de dimension 3 et u = Id, ce qui est incompatible avec u O + E). En définitive ϕ est injective de G dans S E), ces deux groupes étant de même cardinal égal à 24, donc G est isomorphe à S 4. 4. Enfin, dans le dernier cas, on montre de façon analogue que G est isomorphe à A 5 en réalité c est un peu plus difficile et on peut consulter le livre de Nourdin pour les détails).

06 Actions de groupes. Exemples et applications