Collège E. ATGET Vendredi 20 mai 2011 BREVET BLANC MATHEMATIQUES. CORRIGE Devoir de 2 heures, noté sur 40 (dont 4 points pour la qualité de la présentation et de la rédaction). La machine à calculer est autorisée. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. ACTIVITES NUMERIQUES : (12 points) Exercice 1 : QCM (Questionnaire à choix multiples). Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Recopier le tableau ci-dessous et donner la réponse choisie (A,B ou C) pour chaque question. Question 1 2 3 4 5 6 Réponse C C C C B C Question : Réponse A Réponse B Réponse C 1 4+16 est égal à : 10 6 2 5 2 3 4 5 6 180 8 50 est égal à : Pour x = 2 5, x 2 + 2x + 1 est égal à : (x 1)(x+3) (x 2) 2 est égal à : (x 4)(2x+5) =0 a pour solutions : x 2 = 28 a pour solution(s) : 268,32815 721 5 6 120 5 11+4 5 24 5 +1 21+4 5 2x+1 2x+1 6x 7 4 et 5 2 4 et 5 2 4 et 5 2 14 et 14 28 2 7 et 2 7 Exercice 2 : Les 3 questions sont indépendantes. 1 ) Dans une entreprise, les salaires ont augmenté de 5 %. Avant la hausse, un salarié gagnait 1 240. Calculer son salaire après la hausse. Salaire après la hausse : 1 240 ( 1 + 5 ) = 1 240 1,05 = 1 302. 100 Le salaire après la hausse de 5 % est de 1 302. 2 ) La population d une ville diminue chaque année de 1,5 %. Au 1 er janvier de l an 2000, elle était de 10 000 habitants. Calculer sa population au 1 er janvier 2001. Population au 1/1/01 : 10 000 ( 1 1,5 ) = 10 000 0,985 = 9 850. 100 Au 1 er janvier 2001, la population était de 9 850 habitants.
3 ) Un commerçant affiche une baisse de 20 % sur tous ses articles. Un objet a été payé 44. Quel était son prix avant la baisse? Soit x le prix avant la baisse : x ( 1 20 ) = 44 donc x 0,8 = 44 d où 100 x 0,8 0,8 = 44 0,8 donc x = 44 0,8 soit x = 55. L objet valait 55 avant la baisse. ****************************** Exercice 3 : On donne A = 3 12 2 75 + 5 27. Ecrire A sous la forme a 3, avec a entier naturel et donner le détail des calculs. A = 3 12 2 75 + 5 27. A = 3 4 3 2 25 3 + 5 9 3. A = 3 2 3 2 5 3 + 5 3 3. A = 6 3 10 3 + 15 3. A = 11 3. Exercice 4 : Utilisation d une formule. La distance de freinage d un véhicule jusqu à l arrêt total est donnée par la formule : D = 4V 2 1000K, où D est la distance de freinage (en m), et V est la vitesse du véhicule (en km/h) K est le cœfficient d adhérence de la route. Calculer la distance de freinage pour qu un véhicule roulant à 110 km/h puisse s arrêter sur une route dont le coefficient d adhérence est de 0,25. D = 4V 2 1000K donc D = 4 110 2 1000 0,25 donc D = 193,6. donc D = 4 12100 250 La distance de freinage est de 193,6 m. donc D = 48400 250 II. ACTIVITES GEOMETRIQUES : Exercice 1 : Octogone régulier 1 ) Quelle est la mesure des angles au centre d un octogone régulier? Justifier la réponse. Un octogone régulier est un polygone régulier à 8 côtés donc ses angles au centre ont pour mesure : 360 = 45. 8 La mesure des angles au centre d un octogone régulier est de 45.
2 ) Construire un octogone régulier ABCDEFGH, inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 3 cm. On construit un cercle de centre O et de rayon 3 cm. On place un point A sur le cercle puis on trace le rayon [OA]. On place un point B sur le cercle tel que AOB Æ = 45. On reporte la distance AB au compas à partir du point B tout le tour du cercle et on obtient les points C,D,E,F,G,et H que l on relie pour former l octogone ABCDEFGH. ****************************** Exercice 2 : Pour chacune des 2 figures ci-dessous, démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle, en utilisant les informations fournies. (on ne demande pas de reproduire les figures). pour la figure n 1 : Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [BC]. D une part : BC 2 = 50 2 = 2 500. D autre part : AB 2 + AC 2 = 30 2 + 40 2 donc AB 2 + AC 2 = 900 + 1 600 = 2 500. D où : BC 2 = AB 2 + AC 2. De la réciproque du théorème de Pythagore, on déduit que : figure n 2 le triangle ABC est rectangle en A. Pour la figure n 2, on précise que les points A,B,C et E sont situés sur le cercle. Pour la figure n 2 : Les angles ABC Æ et AEC Æ sont 2 angles inscrits dans le même cercle, qui interceptent le même petit arc de cercle ÈAC. Or : Si deux angles inscrits dans un même cercle interceptent le même arc de cercle, alors ces deux angles ont la même mesure.
Doù : Æ ABC = Æ AEC = 50. D autre part, dans le triangle ABC : Ç A + Ç B + Ç C = 180 donc ÇA + 50 + 40 = 180 d où Ç A = 180 90 donc Ç A = 90 et le triangle ABC a un angle droit. Conclusion : le triangle ABC est rectangle en A. ****************************** Exercice 3 : 1 ) Construire un triangle ABC, rectangle en C, et tel que AC = 5 cm et ÆBAC = 40. Voir figure ci-contre. 2 ) Calculer la longueur BC. (On donnera la valeur arrondie au millimètre de BC.) Dans le triangle ABC, rectangle en C : tan Ç A = BC AC donc tan 40 = BC 5 d où : BC = 5 tan 40.(valeur exacte). BC 4,2 cm, arrondi au mm. 3 )a) Où se trouve le centre O du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC? Justifier la réponse. Le triangle ABC est rectangle en C. Or : le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC est le milieu de son hypoténuse. Donc : Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [AB] b) Tracer le cercle ( C ). Voir figure ci-dessus. 4 ) Calculer la mesure de l angle BOC. Æ L angle inscrit BAC Æ et l angle au centre BOC Æ interceptent le même petit arc de cercle ÈBC. Or : Dans un cercle, la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l angle au centre qui intercepte le même arc. D où : Æ BAC = Æ BOC 2 donc Æ BOC = 2 Æ BAC donc Æ BOC = 2 40. Conclusion : L angle Æ BOC mesure 80.
II. PROBLEME : Un viticulteur propose un de ses vins aux tarifs suivants : Tarif 1 : 7,50 la bouteille, transport compris. Tarif 2 : 6 la bouteille mais avec un supplément de 18 pour le transport. 1 ) Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de bouteilles Prix au tarif 1 (en ) Prix au tarif 2 (en ) 1 5 10 13 15 7,5 37,5 75 97,5 112,5 24 48 78 96 108 2 ) Exprimer le prix payé par le consommateur en fonction du nombre x de bouteilles achetées. Pour le tarif 1, le prix sera noté P 1 (x). Pour le tarif 2, le prix sera noté P 2 (x). Pour le tarif 1 : P 1 (x) = 7,5 x. Pour le tarif 2 : P 2 (x) = 6x + 18. 3 ) Tracer, sur la feuille de papier millimétré jointe en annexe, les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : f : x 7,5 x et g : x 6x + 18, pour des valeurs de x comprises entre 0 et 16. en abscisse : 1 cm représente 1 bouteille. en ordonnée : 1 cm représente 5. Voir feuille annexe. Pour les questions 4 ) et 5 ), on fera apparaître sur le graphique les pointillés et les flèches utilisés pour faciliter la lecture. 4 ) Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique : a) On veut acheter 6 bouteilles. Quel est le tarif le plus avantageux et quel est alors le prix à payer? Le tarif le plus avantageux correspond au prix le plus bas donc au tracé le plus bas. Donc, d après le graphique : Pour 6 bouteilles, le tarif le plus avantageux est le tarif 1.
Le prix à payer est alors de 45. (contre 54 avec le tarif 2) b) On dispose de 60. Quel est le tarif qui permet d acheter le plus grand nombre de bouteilles et quel est alors ce nombre de bouteilles? D après le graphique, avec 60, le tarif qui permet d acheter le plus grand nombre de bouteilles est le tarif 1 et on a alors 8 bouteilles (contre 7 avec le tarif 2). 5 ) Utilisation du graphique, puis vérification par le calcul. a) Déterminer graphiquement le nombre de bouteilles pour lequel le prix à payer est identique, quel que soit le tarif choisi et donner ce nombre de bouteilles, ainsi que le prix correspondant. D après le graphique, les deux droites se coupent au point d abscisse 12 donc : le prix à payer est le même quel que soit le tarif choisi si l on achète 12 bouteilles et on paye alors 90. b) Retrouver ces deux derniers résultats par des calculs. Par calcul, on cherche x tel que P 1 (x) = P 2 (x) donc on résout l équation : 7,5 x = 6 x + 18 donc 7,5 x 6 x = 6x + 18 6x donc 1,5 x = 18 d où 1,5x 1,5 = 18 1,5 donc x = 18 1,5 soit x = 12. Donc : P 1 (x) = P 2 (x) pour x = 12 bouteilles. Prix pour 12 bouteilles : P 1 (12) = 7,5 12 = 90, ou bien P 2 (12) = 6 12+18 donc P 2 (12)=90. tarif choisi. Le prix à payer pour 12 bouteilles est de 90, quel que soit le FIN.