4.1 L ensemble des réels est un corps ordonné

Table des matières 4 Propriétés de R 4. L ensemble des réels est un corps ordonné....................... 4.. Propriétés d ordre de R............................. 4..2 Valeur absolue.................................. 4..3 Intervalles..................................... 2 4..4 Voisinages..................................... 2 4.2 Majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure............... 3 4.2. Définitions.................................... 3 4.2.2 Complétude de R................................. 3 4.2.3 Propriété archimédienne............................. 4 4.3 Les nombres rationnels dans R............................. 4 4.3. R Q....................................... 4 4.3.2 Densité de Q dans R............................... 5 4.4 Développement décimal d un nombre réel....................... 6

Chapitre 4 Propriétés de R Dans ce chapitre, nous allons analyser les propriétés fondamentales de l ensemble des nombres réels que nous noterons R. Bien que les nombres réels puissent être formellement construits à partir des nombres naturels (ou les nombres rationnels), nous avons décidé de présenter un autre point de vue. Nous donnons une liste des propriétés fondamentales associées aux nombres réels et nous montrons comment celles-ci en impliquent d autres. 4. L ensemble des réels est un corps ordonné L ensemble des réels R est muni de deux opérations binaires, l addition (+) et la multiplication ( ). Ces opérations ont les propriétés habituelles qui font de R un corps commutatif : commutativité, associativité, existence de l élément neutre, existence d inverse et distributivité. 4.. Propriétés d ordre de R Remarque 4.. Une notion fondamentale sur les réels est celle d ordre ; pour être utile la relation d ordre doit être compatible avec les opérations algébriques, plus précisément elle doit vérifier les règles suivantes : (A) Pour tous x, y, z réels, x y x + z y + z (compatibilité avec l addition) ; (M) Pour tous x, y réels, pour tout a réel positif x y ax ay (compatibilité avec la multiplication). On peut aussi en déduire :. 0 < x y 0 < y x ; 2. x y x y et x, x 2 0. Un corps satisfaisant ces règles est appelé un corps ordonné. L ordre est total : pour tous réels x et y, ou bien x y, ou bien y x. 4..2 Valeur absolue La relation d ordre permet aussi de définir la distance entre deux réels et donc de dire si deux réels sont proches :

PROPRIÉTÉS DE R 2 Définition 4.2. La valeur absolue d un nombre réel x est max{x, x} et se note x. La distance entre deux réels x et y est x y. La valeur absolue d un nombre est donc toujours positive. Rappelons les propriétés fondamentales de la valeur absolue : (a) xy = x y. (b) Si z 0, alors x z si, et seulement si, z x z. (c) (inégalité triangulaire) x + y x + y. Si on désigne par d(x, y) la distance entre deux nombres réels x et y, on peut aussi exprimer l inégalité (c) sous la forme plus géométrique d(x, z) d(x, y) + d(y, z). La notion de distance permet de formaliser l idée de tendre vers un point. 4..3 Intervalles La relation d ordre sur R détermine une famille naturelle de sous-ensembles appelés intervalles. On peut faire la distinction entre les intervalles bornés et les intervalles infinis. Si α, β sont deux nombres réels tels que α < β, on note : l intervalle borné ouvert par : ]α, β[:= {x R α < x < β} ; l intervalle borné fermé par : [α, β] := {x R α x β} ; les intervalles bornés mixtes par : [α, β[:= {x R α x < β}, ]α, β] := {x R α < x β}. Les intervalles infinis sont mixtes ou ouverts : ouverts : ]α, + [:= {x R α < x}, ], β[:= {x R x < β} ; mixtes : [α, + [:= {x R α x}, ], β] := {x R x β}. Notez que pour α = β les définitions ci-dessus ont un sens et donnent : [α, α] = {α}, ]α, α] = [α, α[ = ]α, α[ = et ], [ = R. Remarque 4.3. Les intervalles peuvent aussi s écrire en termes de valeur absolue. Ainsi un ensemble du type {x R x α β} (respectivement {x R x α < β}) est l intervalle fermé [α β, α + β] (respectivement ouvert ]α β, α + β[). Réciproquement un intervalle [α, β] peut aussi s écrire 4..4 Voisinages [α, β] = {x R x α+β 2 β α 2 }. Un voisinage d un point est intuitivement une zone de l espace qui entoure ce point. Plus précisément, en topologie, un voisinage d un point est un sous-ensemble qui contient un ouvert contenant ce point. Pour être en mesure de simplifier les preuves sur les limites du chapitre prochain, on admet les généralisations suivantes : les voisinages à l infini et les voisinages à gauche et à droite. Définition 4.4. Soit x R. Un voisinage de x est un sous-ensemble V R qui contient ]x ε, x + ε[ avec ε > 0 ; autrement dit V est un voisinage de x si, et seulement si, il existe ε > 0 tel que ]x ε, x + ε[ V. En particulier, si ε > 0, on dit que ]x ε, x + ε[ est un voisinage ouvert de x. On définit les voisinages à l infini par : V est un voisinage de + si, et seulement si, il existe β R tel que ]β, + [ V ;

PROPRIÉTÉS DE R 3 V est un voisinage de si, et seulement si, il existe α R tel que ], α[ V. On définit les voisinages à gauche et à droite par : V est un voisinage à gauche de x si, et seulement si, il existe ε > 0 tel que ]x ε, x] V ; V est un voisinage à droite de x si, et seulement si, il existe ε > 0 tel que [x, x + ε[ V. Exemples 4.5. (a) L intervalle [0, [ est un voisinage de 2 revanche ce n est pas un voisinage à gauche de. et un voisinage à droite de 0 ; en (b) L ensemble ], π] {5} est un voisinage de, un voisinage de 2 et un voisinage à gauche de π ; en revanche ce n est pas un voisinage de 5. Habituellement on utilise l expression la proposition P est vraie au voisinage de α, pour dire que il existe un voisinage V de α tel que la proposition P (y) est vraie pour tout y V. Exemple 4.6. La fonction f(x) = x 2 ( x 2 ) est positive au voisinage de 0 et négative au voisinage de + et. 4.2 Majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure 4.2. Définitions Considérons maintenant un sous-ensemble E des nombres réels ; il est souvent intéressant de connaître un nombre réel qui est plus grand que tous les éléments de E ; on peut aussi chercher un tel nombre le plus petit possible. C est le but des définitions suivantes : Définition 4.7. Soit E R un sous-ensemble des nombres réels. Un élément m R est un majorant de E si pour tout x dans E on a x m. Le plus petit des majorants de E (s il existe) s appelle la borne supérieure de E (dans R). Si la borne supérieure de E appartient à E, elle s appelle le maximum de E (le plus grand élément de E). On peut bien sûr définir de la même façon un minorant et la borne inférieure comme le plus grand des minorants et le minimum si elle appartient à l ensemble. La borne supérieure (resp. inférieure) de F est notée sup F (resp. inf F ). Le minimum (resp. maximum) de F est noté max F (resp. min F ). Exemple 4.8. Soit E R l intervalle [0, [. On peut vérifier que 0 est la borne inférieure de E (et son minimum) et que est sa borne supérieure bien que E n ait pas de maximum. Une autre façon d exprimer la définition précédente est la suivante : un réel m est la borne supérieure d un ensemble E R si, et seulement si, (a) x E, x m ; (b) ε > 0, x E, m ε x. 4.2.2 Complétude de R Les propriétés d ordre que nous avons annoncées jusqu ici sont satisfaites par les nombres rationnels donc pas uniquement par les réels. Il faut imposer une propriété qui exprime la complétude de R pour le distinguer de l ensemble des nombres rationnels (nous verrons que Q ne satisfait pas cette propriété, Remarque 4.2).

PROPRIÉTÉS DE R 4 (C) Propriété de la borne supérieure. Tout sous-ensemble de R non vide et majoré admet une borne supérieure. Tout sousensemble de R non vide et minoré admet une borne inférieure. Cette propriété a de nombreuses conséquences. En particulier, on peut en déduire le Théorème de Cauchy qui dit qu une suite est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy (ceci est la formulation habituelle pour dire que R est complet). 4.2.3 Propriété archimédienne L intuition suivante une quantité, aussi petite soit-elle, ajoutée suffisamment de fois à elle-même dépasse n importe quelle quantité donnée est justifiée dans R (et aussi dans Q) : Proposition 4.9 (Propriété archimédienne). Pour tout nombre réel y et pour tout nombre réel x strictement positif il existe un entier n tel que nx = x +... + x > y. Il suffit de montrer que l ensemble N n est pas majoré, puisqu alors il existe n N, tel que n > y x. En raison de la familiarité avec l ensemble R et l image habituelle de la droite réelle, il peut sembler évident que l ensemble des nombres naturels n est pas borné dans R. Comment pouvonsnous prouver ce fait évident? Nous devons utiliser la propriété de la borne supérieure ainsi que le principe de récurrence de N (c est à dire, si n N, alors n + N). S il y avait un majorant x de N, il existerait une borne supérieure u R, par la propriété de la borne supérieure. En soustrayant à u, nous obtenons u qui est inférieur à la borne supérieure, donc u n est pas un majorant de N et il existe m N avec u < m. Ajoutant, nous avons u < m +, et puisque m + N, cette inégalité contredit le fait que u est une borne supérieure de N. Remarques 4.. On peut définir axiomatiquement les nombres réels comme les éléments d un corps avec un ordre total qui satisfait les propriétés (A), (M) et (C) et qui contient les nombres naturels. Si on veut éviter de supposer que les réels contiennent les nombres naturels, on peut remplacer cette hypothèse par la propriété archimédienne. Ainsi, les nombres réels forment un corps totalement ordonné, archimédien et possédant la propriété de la borne supérieure (complet). Ces propriétés caractérisent le corps ordonné (R, +,, ) à isomorphisme près. 4.3 Les nombres rationnels dans R 4.3. R Q Si on désigne par N l ensemble des entiers naturels, par Z les nombres entiers, par Q l ensemble des rationnels, on a les inclusions suivantes : N Z Q R. Il est clair que les deux premières inclusions sont strictes, puisque Z mais N et 2 Q mais 2 Z. On veut étudier maintenant l inclusion Q R. Pour montrer que cette inclusion est stricte, nous allons d abord démontrer qu il n existe pas de nombre rationnel r tel que r 2 = 2. Après, nous montrerons qu il existe un nombre réel positif x tel que x 2 = 2 que nous désignons par 2.

PROPRIÉTÉS DE R 5 Proposition 4.. Il n existe pas de nombre rationnel r tel que r 2 = 2. Remarque 4.2. Cet énoncé permet de justifier le fait que Q ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure en considérant l exemple suivant : sup{x Q x 2 < 2} = 2. Démonstration. Raisonnons par l absurde : supposons qu il existe des entiers p et q tels que ( p q ) 2 = 2. On peut supposer que p et q sont positifs et n ont pas de facteurs communs. Comme p 2 = 2q 2, p 2 est pair. Cela signifie que p est également pair (parce que si p = 2n + est impair, alors p 2 = 4n 2 + 4n + = 2(2n 2 + 2n) + est aussi impair). Comme p et q n ont pas de facteurs communs, q doit être impair. Puisque p est pair, alors p s écrit 2m pour un certain entier m et, par conséquent, 4m 2 = 2q 2, d où 2m 2 = q 2. Alors, q 2 est pair, et par un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent, q est un nombre pair. Ceci conduit à une contradiction avec la conclusion du paragraphe précédent. Proposition 4.3. Il existe un nombre réel x tel que x 2 = 2. Démonstration. L ensemble A = {s R s > 0 et s 2 < 2} est non-vide ( A) et il est majoré par 2 (car si s > 2, s s > 2 s > 4 et s n appartient pas à A). Par la propriété de la borne supérieure, A admet une borne supérieure qu on note x. On verra que x 2 = 2 en écartant les autres deux possibilités x 2 < 2 et x 2 > 2. Supposons que x 2 < 2. On va trouver un n N tel que x + n A, contredisant le fait que x soit une borne supérieure. Pour tout n N, remarquez que n 2 n. Alors, ( x + 2 n) = x 2 + 2x n + n x 2 + 2 n (2x + ). Par conséquent, si on peut choisir n tel que n (2x + ) < 2 x2 ou, de façon équivalente, 2x + < n(2 x 2 ), alors, ( x + n) 2 < x 2 + (2 x 2 ) = 2. Et on sait qu on peut atteindre un tel n par la propriété archimédienne. Supposons maintenant que x 2 > 2. On va trouver un m N tel que x m est encore un majorant, contredisant le fait que x soit une borne supérieure. Remarquons que ( x m) 2 = x 2 2x m + m 2 > x 2 2x m. Par conséquent, si on peut choisir m tel que 2x m < x2 2 ou, de façon équivalente, 2x < m(x 2 2), alors, ( x m) 2 > x 2 (x 2 2) = 2. Par hypothèse x 2 2 > 0, donc, on peut atteindre un tel m par la propriété archimédienne. 4.3.2 Densité de Q dans R Les nombres rationnels sont strictement inclus dans les nombres réels et, en fait, en termes de cardinalité il y a beaucoup plus de nombres réels que de nombres rationnels. Mais Q est dense dans R, ce qui signifie qu entre deux réels il existe toujours un rationnel, ou de façon équivalente, tout intervalle ouvert non vide contient un nombre rationnel. Proposition 4.4. Q est dense dans R, i.e. entre deux réels il existe toujours un rationnel.

PROPRIÉTÉS DE R 6 Démonstration. On montre que pour tous x, y R, x < y, il existe r Q tel que x < r < y. Sans perdre de généralité on peut supposer que x > 0. La propriété archimédienne assure l existence d un entier n tel que n(y x) >. Avec cet n, on a ny nx >. L ensemble S = {p N nx < p} est non vide parce que N n est pas majoré. Soit m l élément minimal dans cet ensemble S. Alors m S, donc, m nx < m. Remarquez qu on a aussi m < ny, puisque m nx + < ny. Alors nx < m < ny, d où r := m n est le nombre rationnel recherché. Pour finir ce chapitre, nous montrons que la même propriété de densité est vrai pour l ensemble des nombres irrationnels. Proposition 4.5. R Q est dense dans R, i.e. entre deux réels il existe toujours un irrationnel. Démonstration. On montre que pour tous x, y R, x < y, il existe z R Q tel que x < z < y. En appliquant la Proposition 4.4 aux nombres x y 2 et 2, on obtient un nombre rationnel r tel que x 2 < r < y 2. Alors, z := r 2 est irrationnel et il satisfait x < z < y. 4.4 Développement décimal d un nombre réel On appelle chiffre un élément de C := {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (on pourrait d ailleurs faire les mêmes raisonnements dans une autre base que ). Considérons une suite α, α 2, α 3,... de chiffres et associons lui la suite de nombres rationnels s n := α + α2 2 +... + αn n, qu on notera aussi s n := 0, α α 2... α n. La suite s n est croissante puisque s n s n = αn > 0. Par ailleurs, s n n est majorée, par exemple par, puisque s n = α + α2 2 +... + αn n 9 + 9 2 +... + 9 n = n <. Par conséquent, la suite s n converge vers un réel x [0, ]. On introduit la notation : x = 0, α α 2 α 3... α n... et on appelle cette écriture un développement décimal de x. On veut montrer que tout nombre réel admet un développement décimal (existence des développements décimaux). En remarquant que y y [0, [, on peut se borner à considérer les réels dans l intervalle [0, [. Soit, donc, x [0, [, est-ce qu il admet un développement décimal x = 0, α α 2 α 3... α n...? On fabrique la suite α := x, α 2 := 2 x α,... α n := n x n α... α n,

PROPRIÉTÉS DE R 7 et ensuite on définit s n := α + α2 +... + αn 2. n On va montrer par récurrence que α n 9 (i.e. l entier α n est un chiffre) et 0 x s n <. n D abord, comme x <, alors x < et α 9. Par ailleurs, α x < α +, et par conséquent α x < α +. Rappelons que s = α donc 0 x s <. Maintenant, on suppose que l assertion est vraie pour α n et x s n et on veut le prouver pour α n et x s n. Si 0 x s n < alors 0 n x n s n n = n x n α... α n < donc 0 α n <, et α n est un chiffre. Ensuite α n n x n α... α n < α n + donc, ce qu il fallait démontrer. 0 x α... αn n αn n < n ; Par conséquent, nous avons construit une suite {s n } n N qui converge vers x, c est à dire le nombre x admet un développement décimal 0, α α 2 α 3... α n.... Etant donné un nombre réel x on a montré l existence d un développement décimal, ensuite on voudrait montrer que ce développement décimal est unique. Mais si on considère par exemple le développement décimal x := 0, 99999... 9..., on obtient que x =. En fait, x = lim s n où s n = 9 + 9 +... + 9 2. Donc x = lim s n n = lim ( ) = lim n =. n On a vu que le développement décimal n est pas unique parce que, par exemple, 0, 234 = 0, 23399... 9.... Mais on va voir que c est l unique construction qui cause une ambiguïté. à savoir, le développement décimal est unique si l on impose la condition : x = 0, α α 2 α 3... α n... N N, n > N, α n 9. Pour montrer l affirmation précédente, on raisonne par l absurde et on suppose que x = 0, α α 2 α 3... α n... = 0, β β 2 β 3... β n... où α = β,..., α r = β r mais α r < β r. Alors on obtient que βr αr = 0, 0... 0α r r+... 0, 0... 0β r+.... Le membre à gauche vaut au moins car β r r α r mais si on considère ( αr+ 0, 0... 0α r+... = lim n +... + αn ( r+ ) 9 < lim n +... + 9 r+ ( n = lim ) n r = n, r n )

PROPRIÉTÉS DE R 8 l inégalité est stricte (même avec les limites) car il existe des α n < 9 par hypothèse. En effet, si α k < 9, la suite αr+ +... + αn r+ est majorée par αr+ n +... + α k+ qui est strictement plus petit r+ k que. r On a donc obtenu que r βr αr r = 0, 0... 0a r+... 0, 0... 0β r+... 0, 0... 0α r+... < r, ce qui nous mène à une contradiction. La solution au problème de la duplicité des développements décimaux est l exclusion des développements du type 0, α α 2... α n 9999... 9... (avec α n 9) que l on remplace par 0, α α 2... (α n + )0....