LES SUITES RÉELLES Exercice Soit (u n ) et (v n ), deux suites convergeant respectivement vers α et β. On pose : pour tout n N, m n = min(u n, v n ) et M n = max(u n, v n ) : ces deux suites convergent-elles nécessairement? Si oui, préciser leurs limites. ( ) (ln n)n un+ Exercice 2 Soit, pour n, u n =. Montrer que converge vers 0. n! Justifier alors qu il existe un entier N tel que : si n N, alors u n+ u n 2. Monotonie de (u n )? En déduire, par l absurde, que (u n ) converge vers 0. Exercice 3 Soit u 0 > 0 et u n+ = n e un pour tout n 0. Prouver : n 2, 0 < u n n. En déduire la limite de (u n) et un équivalent simple. u n Exercice 4 Soit u = (u n ) n N une suite à termes dans Z. Montrer l équivalence : u converge u est stationnaire. u Exercice 5 Soit (u n ) une suite de réels strictement positifs. On suppose que lim n+ n + u n = L > 0.. Montrer que, si L <, alors lim u n = 0. n + 2. Montrer que, si L >, alors lim u n = +. n + 3. Que peut-on dire si L =? Examiner les cas : u n = n, u n = n, u n = a + n, u n = 3 + sin ( π ) 2 n. 4. Applications. Etudier les limites de : (2n)! (n!) 2, (2n)! (, ln(n), + n. n!nn n) Exercice 6 Montrer que : x [0, + [, x x2 ln( + x) x. 2 En déduire la limite de la suite (u n ) où u n = n ( + kn ) 2. Exercice 7 On définit la suite u = (u n ) n par : n, u n = n+ n k= n + k.. Prouver que la suite u est bornée et monotone. Que peut-on en déduire? 2n+ 2n 2.Justifier l encadrement : t dt u n t dt. En déduire la valeur de lim u. Exercice 8. Montrer : x 0, x x3 6 2. On pose, pour n : u n = sin x x. n k= k= k n 2 et v n = n k= n ( ) k sin n 2. Montrer que (u n ) puis (v n ) convergent. /4
Exercice 9 Soit a et b, deux réels tels que 0 < a < b. Calculer la limite de la suite u définie par u n = an+ + b n+ a n + b n. Exercice 0 Déterminer les limites des suites de terme général : (. 2. ) n n + cos(n) n 3. ( ) n sin 2 n n 4. n Exercice ( théorème de Césaro) 2n e k. Montrer que, si (u n ) est une suite convergente de limite L, alors la suite (v n ) est également une suite convergente de limite L où v n = u 0 + u + + u n. n + Vérifier que la réciproque est fausse en étudiant le cas u n = ( ) n. 2. Montrer que, si (w n ) est une suite vérifiant lim (w w n n+ w n ) = L alors lim n + n + n = L. Exercice 2 On dit qu une suite (u n ) est de Cauchy si elle vérifie : ε > 0, N N, (n, p) N 2 : (n N et p N) u n u p ε.. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. 2. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée. 3. Soit (u n ) une suite réelle de Cauchy. On pose a n = inf{u p p n} et b n = sup{u p p n}. Montrer que les suites (a n ) et (b n ) sont des suites adjacentes. En déduire que (u n ) converge. ( n ) 4. Application : montrer que la suite (u n ) = diverge. k k= Exercice 3 Montrer que : n, n! n 2 n. En déduire la convergence de (u n) où u n = k!. Exercice 4 (Constante d Euler). Montrer que, pour tout k : k + ln(k + ) ln(k) k k=n k=0 (raisonner à l aide d intégrale). 2. En déduire que la suite de terme général u n = + 2 + 3 + + ln(n) est décroissante et positive. n Conclusion? Exercice 5 Déterminer deux réels a et b tels que : k, n Etudier alors la convergence de la suite (v n ) où v n = On définit (u n ) par u n = n k= k= k(k + ). k(k + ) = a k + b k +. k 2. Donner un encadrement de la suite (u n) utilisant des termes de la suite (v n ). Que peut-on en déduire concernant la convergence de (u n )? Exercice 6 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = et pour n 0, u n+ = u n +. u n. Montrer que la suite (u n ) diverge vers +. 2. On pose, pour tout n, S n = n k=0 u k : simplifier S n et déduire S n u n. Exercice 7 Soit (u n ) une suite définie par : u 0 quelconque et pour n 0, u n+ = u 2 n +. Montrer que la suite diverge vers +. En remarquant que u 2 n = u 2 0 + n, déterminer un équivalent simple de u n. 2/4
Exercice 8 On pose u n = n E( n).. Etudier la suite a où a n = u n 2. Conséquence? 2. Etudier la suite b où b n = u n 2 +3n : on pourra utiliser l encadrement (n + ) 2 n 2 + 3n < (n + 2) 2. 3. Que peut-on en déduire concernant la convergence de la suite u? Exercice 9 Sur l ensemble E = R N des suites réelles, on définit la relation binaire R par : (u, v) E 2, urv si u est une suite extraite de v. R est-elle une relation d ordre sur E? Indication : étudier le cas des suites u et v avec u n = ( ) n = v n+2 et v n = ( ) n+ = u n+. Exercice 20 SUITES EXTRAITES. Montrer que : (u n ) converge si et seulement si (u 2n ) et (u 2n+ ) convergent et ont même limite. 2. Montrer que : si (u 2n ), (u 2n+ ) et (u 3n ) convergent, alors (u n ) est convergente. Indication : on pourra considérer les suites extraites (u 6n ) et (u 3(2n+) ). Exercice 2. Montrer que si (u n ) est une suite convergente, alors (u 2n u n ) 2. On pose S n = n k= Exercice 22 On définit : u n = n + 0. k. Montrer que : n, S 2n S n 2. Conclusion concernant la suite (S n)? n k=0 SUITES ADJACENTES k! et v n = u n + n.n! (pour n ).. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. On note l leur limite commune. 2. Justifier que, pour tout n, u n < l < v n. 3. On suppose que l = p q, avec (p, q) N 2 : on pose A = q!u q (q )!p. Justifier que A est un entier et que 0 < A <. Conclure à une absurdité. Qu a-t-on prouvé? q 4. On pose α n = e Conclusion? 0 ( t) n e t dt : vérifier que α = u et, pour tout n, α n+ α n = u n+ u n. n! 5. Justifier : pour tout n, e u n e n!. Conclusion? Exercice 23 Montrer que les suites suivantes sont adjacentes et conclure : n. u n = n + k et v n = u n + n. n 2. u n = k 2 et v n = u n + n. k= Exercice 24 Soit la suite u = (u n ) n : n, u n = k= n ( ) k k= k = 2 + 3 4 + + ( )n. n. Montrer que les suites p = (p n ) n = (u 2n ) n et i = (i n ) n 0 = (u 2n+ ) n 0 sont des suites adajcentes. 2. Montrer que la suite u converge. On note L sa limite. 3. Comment obtenir une valeur approchée de L à 0 2 près? n 4. Simplifier f n (x) = ( x) k, calculer k=0 0 f(x)dx de deux manières, en déduire la valeur de L. n 3/4
Exercice 25 Soit deux réels 0 < a < b et les suites (u n ) et (v n ) définies par : u 0 = a, v 0 = b, pour tout n 0, u n+ = u n + v n et v n+ = u n+ v n. 2. Démontrer que, pour tout n 0, 0 < u n v n. En déduire les monotonies de ces deux suites. 2. Prouver que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite l. Exercice 26 Pour n 2 : u n = SUITES RECURRENTES n k=2 ( π ) ( π ) cos 2 k et v n = u n sin 2 n. Montrer que (v n ) est une suite géométrique, en déduire une expression de u n et la convergence de u n. Exercice 27 Soit u 0 = et, pour n 0, u n+ =. Prouver : n N, u n > 0. 8 + 2u n. 2. SI (u n ) converge, quelle est sa limite l? Montrer qu on a : n N, u n+ l 32 u n l. 3. En déduire que (u n ) converge. Exercice 28 Soit u 0 < u, deux réels fixés, et pour tout n N : u n+2 = 2 (u n+ + u n ).. ère méthode : on pose v n = u n+ u n. Montrer que cette suite v est géométrique. En déduire une expression de u n en fonction de n. 2. 2 nde méthode : on pose w n = u n+ + 2 u n. Montrer que cette suite w est constante. Retrouver une expression de u n en fonction de n. Exercice 3 n n+. Soit u n = k : en encadrant xdx, montrer que un 2 3 n n. k= 2. En déduire un équivalent de v n = n n n COMPARAISON Exercice 29 Donner un équivalent simple de u n = Exercice 30 n E( k). k= ln(n + ) n ln(n) n +.. Rappeler le développement limité à l ordre au voisinage de 0 de + x. 2. En déduire un équivalent puis la limite de u n = cos(π n 2 + n) lorsque n +. Exercice 32 Pour n, on pose H n =. En encadrant l intégrale k k n k= k. t dt, prouver : k 2, k 2. En déduire : n, ln(n) + n H n + ln(n). ln(k) ln(k ) k. 3. Montrer alors l équivalent H n ln(n), et en déduire la valeur de lim(h n ). 4. On pose, pour n : u n = H n ln(n) et v n = u n n. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. On note γ (constante d Euler) leur limite commune : justifier l écriture : H n = ln(n) + γ + o(). 5. On pose ε n = H n ln(n) γ : vérifier que, pour n, on a 0 ε n n. 6. Méthode pour obtenir une valeur approchée de γ à 0 2 près? Déterminer-la après avoir élaboré un algorithme puis traduiser-le en langage machine(maple ou C ) 4/4
7. Pour n, on pose K n = 2n k=n+ k. Etudier la monotonie de la suite (K n ) et en déduire qu elle converge. Puis chercher une relation entre K n, H n et H 2n et établir K n = ln(2) + o(). n ( ) k+ 8. On pose, pour n, A n = : à l aide d un raisonnement par récurrence, prouver que k k= A 2n = K n. En déduire la convergence de la suite (A 2n ), sa limite, puis la convergence de (A n ). SUITES COMPLEXES Exercice 33 Etudier la convergence et la limite éventuelle de la suite u = (u n ) n où u n = n + n n n + i. Exercice 34 Etudier la convergence et la limite éventuelle de la suite u = (u n ) n 2 où u n = n i n n ln(n). Exercice 35 Déterminer les limites, si elles existent, des suites suivantes :. (e n + n + n + n + i 4n 2 + 5 2n 2 n ) 2. ( ) i n i 3. ( + 3 n )ein π 3 4. ( + n ) n2 e in π 3 ( + i ) n n 5. j 3n+2 et j n + j n+ + j n+2 6. (n + )e i(2+ n ) 7. lim n + 5