Propagation des ondes dans un milieu poreux saturé par deux fluides non-miscibles: formulation et analyse.

Propagation des ondes dans un milieu poreux saturé par deux fluides non-miscibles: formulation et analyse. Rapport de stage de Gilles Grégoire Master sciences et technologies, mention ingénierie mécanique et acoustique. Année universitaire 2004-2005 Maître de Stage: Mr. Claude Depollier, professeur. Laboratoire d'acoustique de l'université du Maine

Un grand merci à Claude Depollier, mon maître de stage, d avoir écrit une thèse agréable à lire et de m avoir soufflé l idée de fluide équivalent sans laquelle tout cela n aurait pas été possible.

Table des matières Introduction 1 1 Matériau triphasique 2 1.1 Principes et hypothèses.............................. 3 1.2 Grandeurs utiles à la description......................... 3 1.2.1 Porosité et volume relatif......................... 4 1.2.2 Masses volumiques............................ 4 1.2.3 Coefficients de compressibilité et souplesses.............. 4 1.2.4 Facteur de structure............................ 5 1.2.5 Méthodes de mesure........................... 6 1.3 Équations du mouvement............................. 6 1.4 L opérateur B................................... 8 1.4.1 Interprétation des termes, premières simplifications........... 8 1.4.2 Matrice de masse ρ ij........................... 9 1.4.3 Matrices d élasticité : λ ij et µ 11..................... 10 1.5 Conclusion.................................... 13 2 Résolution des équations 14 2.1 Ondes de compression.............................. 14 2.2 Ondes de cisaillement............................... 15 2.3 Étude d un cas particulier............................. 16 Conclusion 17 A Lagrangiens 19 A.1 Lagrangien d un système triphasique....................... 19 A.2 Cas de n phases quelconques........................... 20 i

Table des matières B Grandeurs utiles à la description 21 B.1 Perméabilité.................................... 21 B.2 Tortuosité et rayon effectif............................ 22 C Coefficients de compressibilité λ ij 23 C.1 Phases équivalentes................................ 23 C.1.1 Phases 1 et 2 réunies........................... 23 C.1.2 Phases 1 et 3 réunies........................... 24 C.1.3 Phases 2 et 3 réunies........................... 24 C.2 Matériau triphasique............................... 25 D Programme Octave 27 ii

Introduction Il n existe pas actuellement de procédé simple pour le suivi régulier de l évolution de l ostéoporose. Pourtant, l accès à une grandeur caractéristique de l ostéoporose est un enjeu important car cela permettrait de prévenir les risques liés à cette maladie. Afin de répondre à cette demande, plusieurs modèles acoustiques basés sur le modèle de Biot ont été développés. L objectif étant l évaluation de l ostéoporose par méthode ultrasonore. En effet, l os est un matériau poreux, et la théorie de Biot permet de rendre compte du comportement acoustique des matériaux poreux qui ont une phase solide élastique et une phase fluide. Cependant, pour certains matériaux poreux, le modèle à deux phases peut sembler insuffisant ou inadapté. C est le cas de l os qui est constitué d une partie solide, et de deux parties fluides : la moelle et le sang. Par suite, l objectif de ce travail est de formuler la propagation des ondes mécaniques dans un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Il s agit de tirer parti des travaux réalisés autour de la théorie de Biot afin d élaborer un modèle valable dont les paramètres soient des grandeurs connues. C est en effet le défi de ce problème que de lier les coefficients intervenants dans les équations à des paramètres mesurables. La première partie de l étude consiste à établir les équations du mouvement du système en question et à expliciter les grandeurs introduites. Cette étape n est pas triviale, et en pratique, les difficultés sont surmontées en développant le concept de phase équivalente. Dans la seconde partie, les solutions des équations sont étudiées, notamment en terme de vitesse. Une étude succincte d un cas particulier permet de mettre en évidence les différentes ondes se propageant dans le matériau. 1

1 Matériau triphasique Cette section vise à reformuler les équations du mouvement, notions, et grandeurs couramment utilisées pour l étude de la propagation des ondes dans les matériaux poreux afin de les appliquer au cas particulier d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. La démarche consiste à définir d abord les concepts liés à la description d un milieu poreux ; il s agit d adapter les définitions utilisées par Biot au cas d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Ensuite, les équations du mouvement du système triphasique sont établies à partir d une formulation lagrangienne, avec seulement des suppositions très générales sur les propriétés du milieu. Enfin, après plusieurs simplifications par la prise en compte des caractéristiques du milieu, des liens sont explicités entre les coefficients introduits dans les équations du mouvement et les grandeurs définies au début. Afin de pouvoir expliciter les coefficients introduits dans la formulation des équations du mouvement, il est nécessaire de développer le concept de phase équivalente tout au long de la réflexion. La notion de grandeur équivalente apparaît donc dès le début, malgré que la nécessité de faire appel à ces grandeurs est évidente seulement à la fin. Remarques sur les notations : Pour un matériau poreux classique, il existe une phase solide et une phase fluide, mais pour un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles, il y a une phase solide, et deux phases fluides. Par conséquent, les grandeurs relatives à chaque phase sont indicées par un numéro. Le numéro 1 est toujours attribué à la phase solide. Cette convention permet l écriture des équations du mouvement sous forme matricielle. Par ailleurs, deux phases peuvent être réunies (par la pensée) pour former une phase équivalente. La phase équivalente aux phases A et B est notée eab et les grandeurs relatives à cette 2

1.1. Principes et hypothèses 1. Matériau triphasique phase sont indicées par eab. Les équations font intervenir de multiples indices et exposants. Dans un soucis de lisibilité, les vecteurs déplacement de chaque phase sont toujours notés en majuscules avec une flèche ( U a est le vecteur déplacement de la phase a). La composante suivant x i du vecteur U a est notée (u i ) a. La dérivation partielle est indiquée par une virgule ; ainsi la dérivée par rapport à x j de la composante précédente est notée (u i,j ) a. D autre part, la convention de sommation sur l indice répété dans un monôme est utilisée. Ainsi : a i u i = a i u i. i 1.1 Principes et hypothèses La théorie de Biot est valable si certaines hypothèses sont respectées, ces hypothèses sont les suivantes : - La longueur d onde est grande devant le volume élémentaire dv. Cela permet l approximation quasi-hydrostatique de la contrainte dans le fluide, et les outils de la mécanique des milieux continus sont alors applicables sous la forme de plusieurs "calques" de propagation. - Hypothèse des petits déplacements. C est ce qui implique que les équations du mouvement sont linéaires. - Les effets de porosité dus à la présence de fluide dans la porosité occluse sont négligeables. La phase fluide est la porosité connectée. Pour plus de simplicité dans l exposé, mais sans nuire à la généralité, la phase solide élastique est considéré isotrope. 1.2 Grandeurs utiles à la description L écriture des équations du mouvement nécessite la définition de grandeurs qui rendent compte des propriétés du matériau. Les définitions énoncées ici sont une simple extension de la théorie de Biot au cas d un matériau triphasique, et le choix des grandeurs est arbitraire. Il est en effet possible d utiliser d autre critères pour décrire un matériau poreux, mais l exposé n a pas pour but d être exhaustif et seules les grandeurs utiles à la compréhension sont introduites. Pour la définition d autres grandeurs se reporter à l annexe B. 3

1.2. Grandeurs utiles à la description 1. Matériau triphasique 1.2.1 Porosité et volume relatif La porosité d un matériau poreux est définie comme le rapport du volume vide sur le volume total du matériau. Pour étendre cette notion au cas d un matériau à trois phases, il suffit de considérer le volume relatif h i occupé par la phase i : h i = V i V total, (1.1) où V i est le volume occupé par la phase i et V total le volume total du matériau. Par construction, il vient : h 1 + h 2 + h 3 = 1, (1.2) Le volume relatif h eab occupé par la phase équivalente eab (réunion des phases A et B) est : h eab = h A + h B. 1.2.2 Masses volumiques Soient ρ 1, ρ 2, ρ 3 les masses volumiques des composants des différentes phases. Les masses volumiques apparentes sont données par : ρ i = h i ρ i (1.3) Ainsi, la masse volumique ρ du matériau poreux est : ρ = ρ 1 + ρ 2 + ρ 3. (1.4) Cette définition de la masse volumique simplifie beaucoup l expression des grandeurs suivantes. 1.2.3 Coefficients de compressibilité et souplesses Les coefficients de compressibilité des composants des différentes phases sont notés K i et les souplesses correspondantes sont notées C i, elles sont définies comme C i = 1 K i. Ces coefficients traduisent l augmentation volumique provoquée par une pression hydrostatique. Ainsi : div U i = pc i, (1.5) 4

1.2. Grandeurs utiles à la description 1. Matériau triphasique où p est la pression exercée. La phase solide élastique permet de définir un coefficient de compressibilité du squelette vide, noté K 1b. Souplesse et compressibilité équivalente L expression du coefficient de compressibilité K eab de la phase équivalente eab est une fonction des coefficients de compressibilité K A et K B. Dans la majorité des cas, celui-ci est difficile à exprimer. Cependant, de nombreux travaux ont été réalisés à ce sujet, et on pourra se référer par exemple à l ouvrage de S. Torquato [4] pour trouver une expression de K eab valable. 1.2.4 Facteur de structure On peut définir un angle moyen θ des pores par rapport à la direction de propagation, comme sur la figure 1.1. FIG. 1.1 Angle moyen de pores par rapport à la direction de propagation L énergie cinétique volumique de la partie fluide s écrit alors : E c = 1 2 (ρ e23) V x 2 cos 2 θ. (1.6) où V x est la composante de la vitesse du suivant la direction de propagation, et ρ e23 = ρ 2 + ρ 3 est la masse volumique de la partie fluide. D un autre coté, en posant ρ r la densité renormalisée de la partie fluide, l énergie cinétique s écrit aussi : E c = 1 2 ρ rv 2 x. (1.7) A partir de ces définitions de l énergie cinétique, en introduisant le facteur de structure k s 5

1.3. Équations du mouvement 1. Matériau triphasique tel que k s = 1 cos 2 θ, et en notant ρ r = ρ e23 + ρ a + ρ b, il vient les relations : ρ r = ρ e23 k s = (ρ 2 + ρ 3 )k s ρ a = ρ 2 (k s 1) ρ b = ρ 3 (k s 1) (1.8) Remarque : La renormalisation s applique sur le fluide équivalent, il y a donc un effet de la structure sur les fluides. Par contre, il n y a pas d effet de renormalisation entre les fluides. 1.2.5 Méthodes de mesure Les méthodes de mesures des différentes grandeurs définies ici ne sont pas explicitées, il faut retenir cependant que toutes ces grandeurs sont accessibles à la mesure dans le cadre de la théorie de Biot. L extension de cette théorie au cas d un milieu triphasique ne constitue pas un obstacle à la mesure puisqu il est possible de raisonner en fluide équivalent. 1.3 Équations du mouvement Les équations du mouvement sont établies en utilisant des hypothèses sur la forme finale des équations. L hypothèse la plus forte est que les équations du mouvement sont linéaires. Cela implique que le lagrangien du système s exprime en fonction des U, U, et ui,j de chaque phase. D autre part, le système est implicitement supposé conservatif puisqu on utilise le formalisme lagrangien. Enfin, pour plus de simplicité, le système est considéré isotrope. Par définition, le lagrangien est une combinaison linéaire de l ensemble des scalaires invariants par rotation et translation que l on peut former à partir des vecteurs précédents. Le lagrangien le plus général pour un système triphasique linéaire isotrope est tel que : 2L = ρ 11 ( U1 ) 2 + ρ 22 ( U2 ) 2 + ρ 11 ( U3 ) 2 + 2ρ 12 ( U1 )( U2 ) + 2ρ 13 ( U1 )( U3 ) + 2ρ 23 ( U2 )( U3 ) [λ 11 ( div U 1 ) 2 + λ 22 ( div U 2 ) 2 + λ 33 ( div U 3 ) 2 + 2λ 12 ( div U 1 )( div U 2 ) + 2λ 13 ( div U 1 )( div U 3 ) + 2λ 23 ( div U 2 )( div U 3 ) + µ 11 ( rot U 1 ) 2 + µ 22 ( rot U 2 ) 2 + µ 33 ( rot U 3 ) 2 + 2µ 12 ( rot U 1 )( rot U 2 ) + 2µ 13 ( rot U 1 )( rot U 3 ) + 2µ 23 ( rot U 2 )( rot U 3 ) (1.9) + γ 12 ( U 1 U 2 ) 2 + γ 13 ( U 1 U 3 ) 2 + γ 23 ( U 2 U 3 ) 2 ] div A T 6

1.3. Équations du mouvement 1. Matériau triphasique Le terme div A T contribue seulement en terme d intégrale de surface, et en pratique le domaine d intégration est choisi pour que l action de ce terme soit toujours nulle. En effet, pour obtenir les équations du mouvement à partir de l expression du lagrangien, il faut appliquer le principe variationnel à l action, c est à dire rendre stationnaire l intégrale du lagrangien. Cela revient à appliquer les équations d Euler-Lagrange 1.10 : L L (u i ) a t ( u i ) a 3 j=1 x j L ( j (u i ) a ) = 0 (1.10) les équations obtenues alors ne prennent pas en compte les effets de viscosité (le système est conservatif). Les pertes sont ajoutées sous la forme de termes de perturbation proportionnels aux différences de vitesse entre les phases. Ainsi, les équations du mouvement linéaires d un système triphasique sont : ρ 11 ttu1 + ρ 12 ttu2 + ρ 13 ttu3 = λ 11 grad ( div U1 ) + λ 12 grad ( div U2 ) + λ 13 grad ( div U2 ) µ 11 rot ( rot U 1 ) µ 12 rot ( rot U 2 ) µ 13 rot ( rot U 3 ) ρ 12 ttu1 + ρ 22 ttu2 + ρ 23 ttu3 = λ 12 grad ( div U1 ) + λ 22 grad ( div U2 ) + λ 23 grad ( div U2 ) µ 12 rot ( rot U 1 ) µ 22 γ 12 ( U 1 U 2 ) γ 23 ( U 2 U 3 ) rot ( rot U 2 ) µ 23 b 12 ( t U1 t U2 ) b 23 ( t U2 t U3 ) rot ( rot U 3 ) ρ 13 ttu1 + ρ 23 ttu2 + ρ 33 ttu3 = λ 13 grad ( div U1 ) + λ 23 grad ( div U2 ) + λ 33 grad ( div U2 ) µ 13 rot ( rot U 1 ) µ 23 γ 13 ( U 1 U 3 ) γ 23 ( U 2 U 3 ) rot ( rot U 2 ) µ 33 b 13 ( t U1 t U3 ) b 23 ( t U2 t U3 ) rot ( rot U 3 ) (1.11) Ces équations sont celles qui pourraient être établies par analogie avec le modèle à 2 phases proposé par C. Depollier [2]. Le système d équation (1.11) s écrit aussi sous forme matricielle : ρ ij tt Uj = λ ij grad ( div Uj ) µ ij rot ( rot U j ) γ ij Uj b ij tuj. (1.12) 7

1.4. L opérateur B 1. Matériau triphasique Avec : ρ 11 ρ 12 ρ 13 λ 11 λ 12 λ 13 µ 11 µ 12 µ 13 (ρ ij ) = ρ 12 ρ 22 ρ 23 (λ ij ) = λ 12 λ 22 λ 23 (µ ij ) = µ 12 µ 22 µ 23 ρ 13 ρ 23 ρ 33 γ 12 + γ 13 γ 12 γ 13 (γ ij ) = γ 12 γ 12 + γ 23 γ 23 λ 13 λ 23 λ 33 µ 13 µ 23 µ 33 b 12 + b 13 b 12 b 13 (b ij ) = b 12 b 12 + b 23 b 23 (1.13) γ 13 γ 23 γ 13 + γ 23 b 13 b 23 b 13 + b 23 A partir de l équation (1.12), un opérateur matriciel apparait : B ij = ρ ij tt λ ij grad div + µ ij rot rot + γ ij + b ij t (1.14) Le problème s écrit alors (en utilisant la convention de sommation sur l indice répété) : B ij Uj = 0 (1.15) L opérateur B est donc l inconnue du problème puisqu il est caractéristique du milieu de propagation. C est cet opérateur qu il faut simplifier et interpréter pour pouvoir résoudre. Il faut noter que ces équations sont très générales puisque peu d hypothèses ont été faites sur les caractéristiques des milieux. Par ailleurs, les coefficients qui interviennent dans ces relations dépendent des caractéristiques intrinsèques du milieu poreux et doivent être déterminées expérimentalement. Leur signification physique n a pas encore été explicitée. 1.4 L opérateur B L opérateur mis en évidence lors de l écriture des équations du mouvement n est pas encore lié à des grandeurs mesurables caractéristiques du matériau. Il s agit donc d interpréter et expliciter chacun des termes des équations. 1.4.1 Interprétation des termes, premières simplifications Chacun des termes de l équation matricielle 1.12 doit être interprété pour être exprimé en fonction de grandeurs physiques caractéristiques du matériau. 1. Le terme ρ ij tt Uj fait intervenir le vecteur accélération, il correspond donc aux forces d inertie, et les coefficients ρ ij sont liés aux masses volumiques ρ i des différentes phases. 2. Le terme λ ij grad ( div U j ) porte sur la partie divergente des vecteurs positions, il correspond donc aux contraintes hydrostatiques, c est à dire aux efforts des forces de pression. Les coefficients λ ij sont donc liés aux coefficients de souplesse C i des différentes phases. 8

1.4. L opérateur B 1. Matériau triphasique 3. Le terme µ ij rot ( rot U j ) porte sur la partie rotationnelle des vecteurs positions, il correspond donc aux forces de cisaillement. Les coefficients µ ij sont donc liés aux modules de cisaillement N i des différentes phases. 4. Le terme γ ij Uj s interprète comme des forces exercées mutuellement entre les phases. 5. Le terme b ij t Uj a été établi pour prendre en compte des pertes fonction des différences de vitesse entre les phases, donc les coefficients b ij sont des coefficients de frottement. Toutes ces remarques conduisent à l interprétation suivante : ρ ij tt Uj }{{} forces d inertie = λ ij grad ( div U j ) µ ij }{{} pression rot ( rot U j ) }{{} cisaillement b ij t Uj }{{} pertes visqueuses. (1.16) Ces interprétations permettent, avec la prise en compte des hypothèses de comportement, de simplifier l opérateur B. La première hypothèse est que les fluides ne pénètrent pas les uns dans les autres (En d autre termes, la puissance des efforts internes de liaison entre les phases est nulle), donc les γ ij sont nuls. La seconde hypothèse est que les forces de cisaillement sont nulles dans les fluides et aux interactions fluide-solide (il n y a pas d effort de cisaillement généré par les interactions fluide-solide). Cette hypothèse implique que toutes les composantes de la matrice [µ ij ] sont nulles, sauf la composante µ 11. Au terme de ces interprétations, l opérateur B s écrit B ij = ρ ij tt λ ij grad div + µ ij rot rot + b ij t (1.17) Désormais, la forme de l opérateur B est fixée, il reste à expliciter tous les coefficients. 1.4.2 Matrice de masse ρ ij L energie cinétique d un milieu triphasique s exprime comme : 2E c = ρ 11 ( U1 ) 2 + ρ 22 ( U2 ) 2 + ρ 33 ( U3 ) 2 + 2ρ 12 ( U1 )( U2 ) + 2ρ 13 ( U1 )( U3 ) + 2ρ 23 ( U2 )( U3 ) (1.18) La masse volumique totale ρ du matériau s écrit de deux manières différentes : ρ = ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 = ρ 11 + ρ 22 + ρ 33 + 2ρ 12 + 2ρ 13 + 2ρ 23 (1.19) Biot a montré [2] qu il est possible d identifier ρ 11, ρ 22 et ρ 33 sous la forme : ρ 11 = ρ 1 ρ 12 ρ 13 ρ 22 = ρ 2 ρ 12 ρ 23 (1.20) ρ 33 = ρ 3 ρ 13 ρ 23 9

1.4. L opérateur B 1. Matériau triphasique Les termes ρ 12 et ρ 13 sont les contributions dûes aux interactions fluide-solide et sont directement liées au facteur de structure k s introduit en 1.2.4 par les relations ρ 12 = ρ a et ρ 13 = ρ b. Le terme ρ 23 apparaît comme la contribution par l un des fluides à la valeur de la masse volumique de l autre. On a vu en 1.2.4 que cette contribution était nulle, par conséquent, ρ 23 = 0 (Les fluides sont "guidés" par les parois de la phase solide, mais pas "guidés" l un par l autre). Finalement, les coefficients de la matrice des masses s écrivent : ρ 11 = ρ 1 ρ 2 (1 k s ) ρ 3 (1 k s ) ρ 12 = ρ 2 (1 k s ) ρ 22 = ρ 2 k s ρ 13 = ρ 3 (1 k s ) ρ 33 = ρ 3 k s ρ 23 = 0 (1.21) 1.4.3 Matrices d élasticité : λ ij et µ 11 Expliciter les coefficients des matrices d élasticité n est pas trivial dans le cas d un matériau triphasique. En effet, si pour un milieu poreux classique les expériences pensées de Biot et Willis produisent suffisamment d équations pour exprimer les coefficients des équations du mouvement, ce n est pas le cas pour un milieu poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Pour résoudre, on utilise la notion de phase équivalente : le matériau équivalent est sensé réagir de la même façon que le matériau triphasique dans le cas d une contrainte statique. Il y a trois manières de réaliser le matériau équivalent, le diagramme suivant montre les différentes possibilités : 1 + 2 + 3 e12 + 3 e13 + 2 e23 + 1 En pratique, les trois configurations sont utilisées, et les expériences pensées leurs sont appliquées. Tous les coefficients des formulations équivalentes sont alors connus puisqu on retrouve le modèle de Biot pour lequel il n y a qu une phase solide (notée s) et une phase fluide (notée f). La dernière expérience de Biot et Willis appliquée au matériau triphasique permet de lier les coefficients de la matrice des coefficients de compressibilité à ceux des configurations équivalentes. Par construction, le lagrangien est une fonction quadratique du déplacement. Les composantes du tenseur des contraintes de la phase a s obtiennent alors simplement par la relation [2] : (σ ij ) a = L (u i,j ) a (1.22) 10

1.4. L opérateur B 1. Matériau triphasique Les relations contraintes-déformations de chaque phase sont donc : (σ ij ) 1 = {(λ 11 2µ 11 ) div U 1 + λ 12 div U 2 + λ 13 div U 3 }δ ij +µ 11 ((u i,j ) 1 + (u j,i ) 1 ) (σ ij ) 2 = (λ 12 div U 1 + λ 22 div U 2 + λ 23 div U 3 )δ ij (1.23) (σ ij ) 3 = (λ 13 div U 1 + λ 23 div U 2 + λ 33 div U 3 )δ ij Les expériences pensées de Biot et Willis [2] permettent de relier les coefficients introduits dans les équations du mouvement aux caractéristiques du milieu. Il s agit de trois expériences pour lesquelles on exprime les contraintes dans chacune des phases, lorsque le matériau est soumis à des efforts particuliers. Première expérience : cisaillement pur. Lorsque le matériau est soumis à une contrainte de cisaillement pur il ne change pas de volume, donc div U i = 0 (pour i = 1, 2, 3). L expression du tenseur des contraintes de chaque phase se simplifie pour donner : (σ ij ) 1 = µ 11 ((u i,j ) 1 + (u j,i ) 1 ) (σ ij ) 2 = 0 (σ ij ) 3 = 0. (1.24) µ 11 est donc le module de cisaillement du matériau. Seconde expérience : pression hydrostatique p s sur la structure. Cette expérience n est pas utilisée explicitement pour le cas du matériau triphasique, elle permet juste d exprimer les coefficients introduits dans la notation équivalente. Le matériau est sollicité de telle sorte que les efforts de cisaillement soient nuls et que la pression hydrostatique soit nulle dans les fluides, comme sur la figure 1.2. FIG. 1.2 Pression hydrostatique sur la structure. Dans ce cas, les contraintes s écrivent : p s = (λ ss 4 3 µ 11) div U s + λ sf div U f 0 = λ sf div U s + λ ff div U f (1.25) 11

1.4. L opérateur B 1. Matériau triphasique Au cours de cette expérience, la phase solide subit un changement d échelle fonction de son coefficient de souplesse global C 1b (en souplesse) ; c est à dire : div U s = p s C 1b. (1.26) Troisième expérience : pression hydrostatique p f sur le fluide. Le matériau est sollicité en pression hydrostatique, comme sur la figure 1.3. FIG. 1.3 Pression hydrostatique sur le fluide. Dans ce cas, les pressions appliquées sur chacune des phases sont : h 1 p f = (λ 11 4 3 µ 11) div U 1 b + λ 12 div U 2 b + λ 13 div U 3 b h 2 p f = λ 12 div U 1 b + λ 22 div U 2 b + λ 23 div U 3 b (1.27) C i : h 3 p f = λ 13 div U 1 b + λ 23 div U 2 b + λ 33 div U 3 b Au cours de cette expérience, chaque phase i subit un changement d échelle fonction de sa souplesse div U 1 b = p f C 1 div U b 2 = p f C 2 div U b 3 = p f C 3. (1.28) De la même façon, avec une notation équivalente, ces équations s écrivent : h s p f = (λ ss 4 3 µ 11) div U s + λ sf div U f h f p f = λ sf div U s + λ ff div U f (1.29) Chaque phase équivalente subit un changement d échelle fonction de sa souplesse : div U s = p f C s div U f = p f C f (1.30) 12

1.5. Conclusion 1. Matériau triphasique Ces expériences permettent d obtenir tous les coefficients de λ ij (pour le calcul complet, se reporter à l annexe C) : λ 11 = h 1K 1 (h 1 K 1b K )+h K e23 K 1 1b 1 K e23 h 1 K 1b K +h 1 + 4 K e23 3 µ 11 1 K e23 h λ 22 = 2 2 K e13 1 h 2 K 1b K +h e13 K 2 e13 K 2 h 2 3 K e12 λ 33 = 1 h 3 K 1b K +h e12 K 3 e12 K 3 λ 12 = 1 2C 1 C 2 (C 1 λ e23 C e23 + C 2 λ e13 C e13 C 3 λ e12 C e12 ) λ 13 = 1 2C 1 C 3 (C 1 λ e23 C e23 C 2 λ e13 C e13 + C 3 λ e12 C e12 ) λ 23 = 1 2C 2 C 3 ( C 1 λ e23 C e23 + C 2 λ e13 C e13 + C 3 λ e12 C e12 ) (1.31) Les expressions des λ eab sont établies à partir des expériences pensées de Biot et Willis appliquées aux systèmes équivalents : 1.5 Conclusion λ e12 = (1 h 3 K 1b K e12 )h 3 K e12 1 h 3 K (1.32) 1b K K e12 + h e12 3 K 3 λ e13 = (1 h 2 K 1b K e13 )h 2 K e13 1 h 2 K (1.33) 1b K K e13 + h e13 2 K 2 λ e23 = (h 1 K 1b K 1 )(h 2 + h 3 )K 1 h 1 K 1b K 1 + (h 2 + h 3 ) K. (1.34) 1 K e23 La méthode employée pour déterminer les coefficients est très efficace. En effet, le raisonnement en phase équivalente est simple et nécessite une seule hypothèse, à savoir que les grandeurs statiques sont les mêmes que les grandeurs dynamiques. Or, cette hypothèse est déjà utilisée dans la théorie de Biot qui est éprouvée. Cela permet d avoir une bonne confiance dans le modèle. De plus, les souplesses et coefficients de compressibilité équivalents sont utilisés et définis ici de manière très générale. Pour les calculer, il faudra se reporter à des ouvrages traitant des notions de phase équivalente [4], ou éventuellement se placer dans des configurations particulières pour lesquelles leur expression est simplifiée. 13

2 Résolution des équations La première partie a permis d établir les équations du mouvement d un milieu poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Il s agit à présent de résoudre ces équations afin d étudier les caractéristiques de la propagation. Les vitesses des différentes ondes sont particulièrement intéressantes. D autre part, on souhaite connaître l effet de la variation de fraction volumique de la phase solide sur ces vitesses. Selon Euler, tout vecteur est la somme d un vecteur irrotationnel et d un vecteur tournant : U = grad φ + rot V. (2.1) La recherche des solutions du problème est donc réalisée en étudiant d abord les ondes de compression, puis les ondes de cisaillement. 2.1 Ondes de compression La solution est posée sous la forme U a = grad φ a. Alors, B ij ( grad φ j ) = 0 (2.2) L opérateur B se simplifie et devient : B ij = ρ ij tt λ ij + b ij t (2.3) où le symbole désigne l opérateur laplacien. En posant φ j ( r, t) = φ j ( r)e jωt (c est à dire en passant en régime harmonique), cet opérateur se 14

2.2. Ondes de cisaillement 2. Résolution des équations simplifie encore et devient : B ij = ω 2 ρ ij λ ij jωb ij t (2.4) Enfin, en posant : ϱ ij = ρ ij jb ij ω, l équation s écrit : ω 2 ϱ ij φ j = λ ij φ j (2.5) Il suffit donc d inverser la matrice λ ij pour pouvoir diagonaliser le système. On a alors autant d équations de Helmholtz découplées que de phases dans le milieu. Formellement, on peut écrire : ω 2 δj 2 φ j = φ j (2.6) où φ j sont les vecteurs propres de la matrice [λ 1 ϱ], et δj 2 sont les valeurs propres associées. les vitesse c j des trois ondes de compression sont données par : c j = 1 δ j (2.7) Le calcul analytique de ces vitesses n a pas été réalisé car les expressions obtenues seraient trop compliquées pour être exploitables. On retiendra qu il existe trois ondes de compression dont les vitesses sont calculables numériquement lorsque les caractéristiques du milieu sont connues. 2.2 Ondes de cisaillement Cette fois, la solution est posée sous la forme U a = rot V a. Alors : B ij ( rot V j ) = 0 (2.8) L opérateur B se simplifie et devient : B ij = ρ ij tt λ ij + b ij t. (2.9) En posant V j ( r, t) = V j ( r) exp jωt (régime harmonique), cet opérateur se simplifie encore : D où, en reprenant la notation précédente ϱ ij = ρ ij jb ij ω : B ij = ω 2 ρ ij + µ ij jωb ij t (2.10) ω 2 ϱ ij Vj = µ ij V j (2.11) Cette fois, une seule onde est obtenue, en effet seul µ 11 est non nul. L unique équation d onde 15

2.3. Étude d un cas particulier 2. Résolution des équations obtenue à partir de 2.11 s écrit sous la forme : ω 2 (ρ 11 + ρ2 12 ρ 33 ρ 12 ρ 13 ρ 23 ρ 2 23 ρ 22ρ 33 + ρ2 13 ρ 22 ρ 12 ρ 13 ρ 23 ρ 2 23 ρ 22ρ 33 ) V 1 = µ 11 V 1 (2.12) d où on déduit la vitesse c 4 des ondes de cisaillement : c 2 4 = µ 11 ρ 11 + ρ2 12 ρ 33 ρ 12 ρ 13 ρ 23 ρ 2 23 ρ 22ρ 33 + ρ2 13 ρ 22 ρ 12 ρ 13 ρ 23 ρ 2 23 ρ 22ρ 33 (2.13) Les autres équations expriment la proportionnalité des déplacements des fluides et du solide. Finalement, il y a autant d ondes de compression que de phases dans le milieu, et autant d ondes de cisaillement que de phases solides. Pour le cas du matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles, il y a donc quatre ondes. 2.3 Étude d un cas particulier L étude d un cas particulier de propagation est réalisée ici à titre d exemple, elle n a pas de valeur de validation du modèle. Il s agit simplement de montrer que les vitesses des différentes ondes sont calculables aisément lorsque les coefficients de compressibilité équivalents sont connus. Pour pouvoir exprimer simplement les coefficients de compressibilité équivalents, on se place dans une configuration simple pour laquelle ceux-ci s ajoutent pondérés par les porosités. Cette configuration est représentée figure 2.1. FIG. 2.1 Exemple de configuration pour laquelle les coefficients de compressibilité s ajoutent. L onde se propage suivant l axe des pores. Alors, les coefficients de compressibilité équivalents s écrivent : K eab = 1 h A + h B (h A K A + h B K B ) (2.14) Le facteur de structure k s est tel que k s = 1 puisque l onde se propage dans le sens des pores. 16

2.3. Étude d un cas particulier 2. Résolution des équations Dans cette configuration, on souhaite connaître l effet de la variation de la fraction volumique h 1 de la partie solide sur les différentes vitesses. Pour cela, un programme qui calcule ces vitesses en fonction de h 1 à été réalisé sous Octave (logiciel libre similaire à Matlab). Ce programme est disponible en annexe D. Il s agit d une implémentation simple de l ensemble des équations, avec des valeurs numériques qui se rapprochent de celles de l os trabéculaire [3]. FIG. 2.2 Célérité des ondes de compression en fonction de la fraction volumique h 1 de la phase solide. L augmentation de la fraction volumique de la partie solide semble augmenter l écart entre les ondes lentes et l onde rapide de manière significative (figure 2.2). De la même façon, la célérité de l onde de cisaillement diminue fortement lorsque h 1 augmente (voir figure 2.3). FIG. 2.3 Célérité de l onde de cisaillement en fonction de la fraction volumique h 1 de la phase solide. Ces figures montrent qu on obtient bien plusieurs ondes dont les vitesses sont différentes et dépendent fortement des paramètres. Cependant, pour pouvoir juger de la qualité et de la pertinence des résultats, il faut nécessairement faire la comparaison avec le modèle de Biot classique. Cela n a pas été possible dans cette étude, mais la prochaine étape consistera certainement à mettre en évidence la pertinence ou non d utiliser ce modèle plutôt que le modèle de Biot classique. 17

Conclusion Dans le cadre de la recherche de procédés de mesure de l ostéoporose, l étude consistait à formuler les équations du mouvement d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. En effet, l os est un matériau poreux rempli de moelle et de sang. La formulation a été effectuée comme une extension de la théorie de Biot au cas d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Les coefficients introduits dans les équations du mouvement ont été explicités par le biais d un raisonnement en phase équivalente. Ce raisonnement, qui est la clé de voûte de l étude, permet d être optimiste quant à la validité du modèle puisqu il ajoute peu d hypothèses au modèle de Biot qui est maintenant éprouvé. D autre part, un petit programme de calcul des célérités a été réalisé en application de la formulation établie et afin d illustrer la résolution des équations qui a fait apparaître quatre ondes de vitesses de propagation différentes. L ensemble de la problématique reste très ouverte, en effet, la pertinence d utiliser un modèle à trois phases pour la modélisation de la propagation dans l os trabéculaire n est pas évidente, d autant plus que ce modèle est beaucoup plus compliqué que le modèle de Biot classique. Une étude comparative du modèle de Biot et du modèle à trois phases mérite d être menée. Par ailleurs, il reste à expliciter les coefficients de compressibilité équivalents pour des cas généraux ; mais cela ne devrait pas poser de problème puisque de nombreux ouvrages traitent de ces problèmes d équivalence [4]. 18

Annexe A Lagrangiens A.1 Lagrangien d un système triphasique Le lagrangien le plus général d un système triphasique linéaire conservatif est la combinaison linéaire des scalaires invariants par rotation et translation que l on peut former à partir des grandeurs U, U, et u i,j. Ce lagrangien s écrit : 2L = ρ 11 ( U1 ) 2 + ρ 22 ( U2 ) 2 + ρ 33 ( U3 ) 2 + 2ρ 12 ( U1 ) ( U2 ) + 2ρ 13 ( U1 ) ( U3 ) + 2ρ 23 ( U2 ) ( U3 ) [ λ 11 (ε ii ) 1 (ε jj ) 1 + λ 22 (ε ii ) 2 (ε jj ) 2 + λ 33 (ε ii ) 3 (ε jj ) 3 + 2λ 12 (ε ii ) 1 (ε jj ) 2 + 2λ 13 (ε ii ) 1 (ε jj ) 3 + 2λ 23 (ε ii ) 2 (ε jj ) 3 + µ 11 (ε ij ) 1 (ε ij ) 1 + µ 22 (ε ij ) 2 (ε ij ) 2 + µ 33 (ε ij ) 3 (ε ij ) 3 (A.1) + 2µ 12 (ε ij ) 1 (ε ij ) 2 + 2µ 13 (ε ij ) 1 (ε ij ) 3 + 2µ 23 (ε ij ) 2 (ε ij ) 3 + ξ 12 ((ω ij ) 1 (ω ij ) 2 ) 2 + ξ 13 ((ω ij ) 1 (ω ij ) 3 ) 2 + ξ 23 ((ω ij ) 2 (ω ij ) 3 ) 2 + γ 12 ( U 1 U 2 ) 2 + γ 13 ( U 1 U 3 ) 2 + γ 23 ( U 2 U 3 ) 2 ] Or, le calcul montre que : (ε ii ) a (ε jj ) b = ( div U a ) ( div U b ), (A.2) (ω ij ) a (ω ij ) b = ( rot U a ) ( rot U b ), (ε ij ) a (ε ij ) b = ( div U a ) ( div U b ) + 1 2 ( rot U a ) ( rot U b ) + div A ab ; (A.3) (A.4) où : A ab = 1 2 [( U a ) U b U a ( U b ). + ( U b ) U a U b ( U a )]. (A.5) 19

A.2. Cas de n phases quelconques Annexe A. Lagrangiens Ainsi, on peut récrire le lagrangien sous la forme : 2L = ρ 11 ( U1 ) 2 + ρ 22 ( U2 ) 2 + ρ 11 ( U3 ) 2 + 2ρ 12 ( U1 )( U2 ) + 2ρ 13 ( U1 )( U3 ) + 2ρ 23 ( U2 )( U3 ) [λ 11 ( div U 1 ) 2 + λ 22 ( div U 2 ) 2 + λ 33 ( div U 3 ) 2 + 2λ 12 ( div U 1 )( div U 2 ) + 2λ 13 ( div U 1 )( div U 3 ) + 2λ 23 ( div U 2 )( div U 3 ) + µ 11 ( rot U 1 ) 2 + µ 22 ( rot U 2 ) 2 + µ 33 ( rot U 3 ) 2 + 2µ 12 ( rot U 1 )( rot U 2 ) + 2µ 13 ( rot U 1 )( rot U 3 ) + 2µ 23 ( rot U 2 )( rot U 3 ) (A.6) + div A T + γ 12 ( U 1 U 2 ) 2 + γ 13 ( U 1 U 3 ) 2 + γ 23 ( U 2 U 3 ) 2 ] Le terme div A T ne contribue qu à l intégrale de surface, et en pratique on peut choisir un domaine d intégration pour lequel l action de ce terme est nulle. A.2 Cas de n phases quelconques Pour un système constitué de n phases quelconques, le lagrangien du système linéaire conservatif le plus général s écrit (en utilisant la convention de sommation sur l indice répété) : 2L = ρ ij ( Ui ) ( Uj ) [λ ij ( div U i ) ( div U i ) +µ ij ( rot U i ) ( rot U i ) + div A T i<j + γ ij ( U i U j ) 2, i j (A.7) où les scalaires introduits sont tels que : ρ ij = ρ ji λ ij = λ ji µ ij = µ ji (A.8) γ ij = γ ji 20

Annexe B Grandeurs utiles à la description B.1 Perméabilité La perméabilité à été définie par Darcy dans le cas particulier de l eau. Darcy a montré que le débit du fluide est proportionnel à la perte de charge et à la perméabilité du milieu poreux, c est à dire, sous forme locale [2] : ω = π η grad p. (B.1) Où ω est le vitesse de filtration du fluide, π la perméabilité, η la viscosité, et p la pression. Donc, à partir d une mesure de débit de fluide traversant un matériau soumis à une différence de pression entre ses deux faces, on peut en déduire la perméabilité. Dans le cas d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles, la viscosité "apparente" des fluides doit être redéfinie sous la forme d une viscosité équivalente η e23 fonction des viscosités des deux fluides : η e23 = f(η 2, η 3 ). s écrit : Pour un milieu où le fluide occupe des bulles sphériques, la relation entre porosité et perméabilité où R est le rayon des bulles. π = h e23r 2. (B.2) 8 Pour un matériau poreux quelconque, on défini le rayon effectif R eff et la tortuosité λ comme le diamètre moyen des pores et la longueur moyenne des pores entre deux faces de l échantillon (respectivement). Alors la relation entre la porosité et la perméabilité devient : π = A hr2 eff λ. Pour un matériau saturé par deux fluides non-miscibles La perméabilité n apparaît qu à partir d un certain seuil de porosité. 21

B.2. Tortuosité et rayon effectif Annexe B. Grandeurs utiles à la description B.2 Tortuosité et rayon effectif La tortuosité est une autre grandeur utile pour caractériser un milieu poreux. En effet, les milieux poreux n ont pas, en général des pores cylindriques et parallèles. Pour contourner ces problèmes, on définit : - R eff le rayon effectif des pores, qui prend en compte les variations du rayon des pores. - λ la tortuosité qui correspond à la longueur développée moyenne des pores joignant deux faces de l échantillon. Alors, la relation B.2 devient : π = A hr2 eff λ, (B.3) où A est un facteur de proportionnalité, et h est la porosité (h = h 2 + h 3 ). 22

Annexe C Coefficients de compressibilité λ ij C.1 Phases équivalentes C.1.1 Phases 1 et 2 réunies Pression hydrostatique p s sur la structure. Les contraintes s écrivent : p s = (λ ee12 4 3 µ 11) div U e12 + λ e12 div U 3 0 = λ e12 div U e 12 + λ 33 div U 3 (C.1) Au cours de cette expérience, la phase solide subit un changement d échelle fonction de son coefficient de souplesse global C 1b (en souplesse) ; c est à dire : div U e12 = p s C 1b. (C.2) Pression hydrostatique p f sur le fluide. Les pressions appliquées sur chacune des phases sont : (h 1 + h 2 )p f = (λ ee12 4 3 µ 11) div U e12 + λ e12 div U 3 h 3 p f = λ e12 div U e12 + λ 33 div U 3 (C.3) Chaque phase subit un changement d échelle fonction de sa souplesse : div U e12 = p f C e12 div U 3 = p f C 3 (C.4) 23

C.1. Phases équivalentes Annexe C. Coefficients de compressibilité λ ij On en déduit : λ e12 = (1 h 3 K 1b K e12 )h 3 K e12 λ 33 = 1 h 3 K 1b K +h e12 K 3 e12 K 3 h 2 3 K e12 1 h 3 K 1b K e12 +h 3 K e12 K 3 (C.5) C.1.2 Phases 1 et 3 réunies Pression hydrostatique p s sur la structure. Les contraintes s écrivent : p s = (λ ee13 4 3 µ 11) div U e13 + λ e13 div U 2 0 = λ e13 div U e 13 + λ 22 div U 2 (C.6) Au cours de cette expérience, la phase solide subit un changement d échelle fonction de son coefficient de souplesse global C 1b (en souplesse) ; c est à dire : div U e13 = p s C 1b. (C.7) Pression hydrostatique p f sur le fluide. Les pressions appliquées sur chacune des phases sont : (h 1 + h 3 )p f = (λ ee13 4 3 µ 11) div U e13 + λ e13 div U 2 h 2 p f = λ e13 div U e13 + λ 22 div U 2 (C.8) Chaque phase subit un changement d échelle fonction de sa souplesse : div U e13 = p f C e13 div U 2 = p f C 2 (C.9) On en déduit : λ e13 = (1 h 2 K 1b K e13 )h 2 K e13 λ 22 = 1 h 2 K 1b K +h e13 K 2 e13 K 2 h 2 2 K e13 1 h 2 K 1b K e13 +h 2 K e13 K 2 (C.10) C.1.3 Phases 2 et 3 réunies Pression hydrostatique p s sur la structure. Les contraintes s écrivent : p s = (λ 11 4 3 µ 11) div U 1 + λ e23 div U e23 0 = λ e23 div U 1 + λ ee23 div U e23 (C.11) 24

C.2. Matériau triphasique Annexe C. Coefficients de compressibilité λ ij Au cours de cette expérience, la phase solide subit un changement d échelle fonction de son coefficient de souplesse global C 1b (en souplesse) ; c est à dire : div U 1 = p s C 1b. (C.12) Pression hydrostatique p f sur le fluide. Les pressions appliquées sur chacune des phases sont : h 1 p f = (λ 11 4 3 µ 11) div U 1 + λ e23 div U e23 (h 2 + h 3 )p f = λ e23 div U 1 + λ ee23 div U e23 (C.13) Chaque phase subit un changement d échelle fonction de sa souplesse : div U 1 = p f C 1 div U e23 = p f C e23 (C.14) On en déduit : λ e23 = (h 1 K 1b K 1 )(h 2 +h 3 )K 1 h 1 K 1b K 1 +(h 2 +h 3 ) K 1 K e23 λ 11 = h 1K 1 (h 1 K 1b K )+h K 1 ek 1 1b K e23 h 1 K 1b K +h 1 + 4 K e 3 µ 11 1 K e23 (C.15) C.2 Matériau triphasique Les pressions appliquées sur chacune des phases sont : h 1 p f = (λ 11 4 3 µ 11) div U 1 b + λ 12 div U 2 b + λ 13 div U 3 b h 2 p f = λ 12 div U 1 b + λ 22 div U 2 b + λ 23 div U 3 b (C.16) C i : h 3 p f = λ 13 div U 1 b + λ 23 div U 2 b + λ 33 div U 3 b Au cours de cette expérience, chaque phase i subit un changement d échelle fonction de sa souplesse div U 1 b = p f C 1 div U b 2 = p f C 2 div U b 3 = p f C 3. (C.17) L équivalence avec les équations obtenues par la méthode des phases équivalente permet d écrire les 25

C.2. Matériau triphasique Annexe C. Coefficients de compressibilité λ ij derniers coefficients λ ij : λ 12 = 1 2C 1 C 2 (C 1 λ e23 C e23 + C 2 λ e13 C e13 C 3 λ e12 C e12 ) λ 13 = 1 2C 1 C 3 (C 1 λ e23 C e23 C 2 λ e13 C e13 + C 3 λ e12 C e12 ) λ 23 = 1 2C 2 C 3 ( C 1 λ e23 C e23 + C 2 λ e13 C e13 + C 3 λ e12 C e12 ) (C.18) 26

Annexe D Programme Octave % Programme de démonstration du projet Biot à deux fluides saturants clear all; close all; %--------------------------------------------------------------------------------------------- % Facteur de structure %--------------------------------------------------------------------------------------------- theta_s = 0; ks = 1/(cos(theta_s)^2); N = 100; for i=0:n %--------------------------------------------------------------------------------------------- % Masses et porosités %--------------------------------------------------------------------------------------------- rho1_real = 1990; % masse volumique du matériau constituant la phase solide 1 rho2_real = 500; % masse volumique du fluide constituant la phase fluide 2 rho3_real = 450; % masse volumique du fluide constituant la phase fluide 3 h1 = 0.2+i*0.2/N; % volume relatif de la phase 1 h2 = (1-h1)/2; % volume relatif de la phase 2 h3 = (1-h1)/2; % volume relatif de la phase 3 rho1 = h1*rho1_real; % masse volumique apparente de la phase 1 rho2 = h2*rho2_real; % masse volumique apparente de la phase 2 rho3 = h3*rho3_real; % masse volumique apparente de la phase 3 rho = rho1 + rho2 + rho3; % masse volumique du matériau % matrice des masses rho11 = rho1 - rho2*(1-ks) -rho3*(1-ks); rho22 = rho2*ks; rho33 = rho3*ks; rho12 = rho2*(1-ks); rho13 = rho2*(1-ks); rho23 = 0; m_rho = [rho11,rho12,rho13 ; rho12,rho22,rho23 ; rho13,rho23,rho33 ]; %--------------------------------------------------------------------------------------------- 27

Annexe D. Programme Octave % Souplesses et compressibilités %--------------------------------------------------------------------------------------------- N1 = 2e9; % module de cisaillement de la phase 1 K1 = 10e9/(3*(1-2*0.3)); % module de compressibilité du constituant de la phase 1 K1b = 3e9/(3*(1-2*0.2)); % module de compressibilité apparent de la phase 1 poreuse K2 = 2.6e9; % module de compressibilité du constituant de la phase 2 K3 = 2.2e9; % module de compressibilité du constituant de la phase 3 C1 = 1/K1; % souplesse du constituant de la phase 1 C1b = 1/K1b; % souplesse apparente de la phase 1 poreuse C2 = 1/K2; % souplesse du constituant de la phase 2 C3 = 1/K3; % souplesse du constituant de la phase 3 controle_en_souplesse=0; if(controle_en_souplesse==1) Ce12 = (h1*c1+h2*c2)/(h1+h2); Ce13 = (h1*c1+h3*c3)/(h1+h3); Ce23 = (h2*c2+h3*c3)/(h2+h3); Ke12 = 1/Ce12; Ke13 = 1/Ce13; Ke23 = 1/Ce23; elseif(controle_en_souplesse==0) Ke12 = (h1*k1+h2*k2)/(h1+h2); Ke13 = (h1*k1+h3*k3)/(h1+h3); Ke23 = (h2*k2+h3*k3)/(h2+h3); Ce12 = 1/Ke12; Ce13 = 1/Ke13; Ce23 = 1/Ke23; endif; % Coefficients de compressibilité équivalents lambdae12 = (1-h3 -K1b/Ke12) *h3*ke12/ (1 -h3 - K1b/Ke12 + h3*ke12/k3); lambdae13 = (1 -h2 -K1b/Ke13)*h2*Ke13/(1 -h2 - K1b/Ke13 + h2*ke13/k2); lambdae23 = (h1 -K1b/K1)*(h2+h3)*K1/(h1 - K1b/K1 + (h2+h3)*k1/ke23); % matrice des coefficients de compressibilité lambda11 = (h1*k1*(h1-k1b/k1)+ (h2+h3)*k1b*k1/ke23)/(h1-k1b/k1+(h2+h3)*k1/ke23) + 4*N1/3; lambda22 = (h2*h2*ke13)/(1-h2-k1b/ke13+h2*ke13/k2); lambda33 = (h3*h3*ke12)/(1-h3-k1b/ke12+h3*ke12/k3); lambda12 = (C1*lambdae23*Ce23 + C2*lambdae13*Ce13 - C3*lambdae12*Ce12)/(2*C1*C2); lambda13 = (C1*lambdae23*Ce23 - C2*lambdae13*Ce13 + C3*lambdae12*Ce12)/(2*C1*C3); lambda23 = (-C1*lambdae23*Ce23 + C2*lambdae13*Ce13 + C3*lambdae12*Ce12)/(2*C2*C3); m_lambda =[lambda11,lambda12,lambda13;lambda12,lambda22,lambda23;lambda13,lambda23,lambda33]; % matrice des raideurs mu11 = N1; %--------------------------------------------------------------------------------------------- % Calcul des célérités %--------------------------------------------------------------------------------------------- % Ondes de compression inv_m_lambda = inv(m_lambda); [V_comp,inv_c_comp] = eig(inv_m_lambda*m_rho); 28

Annexe D. Programme Octave c_comp = [inv_c_comp(1,1),inv_c_comp(2,2),inv_c_comp(3,3)]; c_comp = sqrt(1./c_comp); c_comp = sort(c_comp, descend ); if(i==0) C_comp = c_comp; elseif(i!=0) C_comp=[C_comp;c_comp]; endif; % Onde de cisaillement D = rho11; D = D + (rho12*rho12*rho33 - rho12*rho13*rho23)/(rho23*rho23 - rho22*rho33); D = D + (rho13*rho13*rho22 - rho12*rho13*rho23)/(rho23*rho23 - rho22*rho33); c_cis = sqrt(mu11/d); if(i==0) C_cis = c_cis; elseif(i!=0) C_cis=[C_cis;c_cis]; endif; endfor; %--------------------------------------------------------------------------------------------- % Tracé des courbes %--------------------------------------------------------------------------------------------- h = linspace(0.2,0.4,101); fig1 = figure; plot(h,c_comp); # title("célérité des ondes de compression en fonction de la porosité du solide."); xlabel("h1"); ylabel("célérité en m/s"); fig2 = figure; plot(h,c_cis); xlabel("h1"); ylabel("célérité en m/s"); return 29

Bibliographie [1] JF. Allard. Propagation of sound in porous media. Elsevier applied science, 1993. [2] C. Depollier. Théorie de Biot et prédication des propriétés acoustiques des matériaux poreux. Thèse, Université du Maine, 1989. [3] N. Sebaa. Application de la théorie de biot sur un tissu biologique. In 17ème congrès français de mécanique, 2005. [4] S.Torquato. Random heterogeneous materials. Spinger, 2001. 30

Résumé L accès à une grandeur caractérisant l ostéoporose est un enjeu important pour la prévention des risques liés à cette maladie. Afin de répondre à cette demande, plusieurs modèles acoustiques basés sur le modèle de Biot ont été développés ; l objectif étant l évaluation de l ostéoporose par méthode ultrasonore. Ce travail consiste à formuler les équations du mouvement d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. La formulation est effectuée comme une extension de la théorie de Biot au cas d un matériau poreux saturé par deux fluides non-miscibles. Les nombreux coefficients introduits dans les équations du mouvement sont explicités par le biais d un raisonnement en phase équivalente. Ce raisonnement, qui est la clé de voûte de l étude, permet d être optimiste quant à la validité du modèle puisqu il ajoute peu d hypothèses au modèle de Biot qui est maintenant éprouvé. D autre part, un petit programme de calcul des célérités est réalisé en application de la formulation établie et afin d illustrer la résolution des équations qui fait apparaître quatre ondes de vitesses de propagation différentes. L ensemble de la problématique reste très ouverte, puisque la pertinence d utiliser un modèle à trois phases pour la modélisation de la propagation dans l os trabéculaire n a pas été montrée. Ce travail permet de mettre sommairement en évidence l influence de la variation de porosité de l os sur les vitesses des ondes. Il reste à savoir si cette modélisation est valable, c est à dire si elle apporte réellement quelque chose en plus par rapport à la théorie de Biot classique.