I - Ecriture algébrique des nombres complexes 1) Définition Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES Définition 1 : On admet qu il existe un ensemble de nombres, noté C, vérifiant les propriétés suivantes : - C contient un nombre noté i tel que i²= 1 ; - Tous les éléments de C s écrivent de manière unique sous la forme +i où et sont des nombres réels ; - C est muni de l addition et de la multiplication avec les mêmes propriétés que dans l ensemble des réels ; Cet ensemble C est appelé l ensemble des nombres complexes. Vocabulaire : L écriture sous la forme = +i où et sont des nombres réels est appelée écriture algébrique du nombre complexe. Le nombre s appelle la partie réelle de et on note = ( ). Le nombre s appelle la partie imaginaire de et on note = ( ). Remarques : 1) Les réels sont des complexes particuliers (complexes dont la partie imaginaire est nulle) : R C 2) Les complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés imaginaires purs, on note R leur ensemble. L unicité de l écriture algébrique conduit au résultat suivant : Propriété 1 : Pour tous réels,, et 1) +i = +i = et = 2) +i =0 =0 et =0 On définit l addition et la multiplication des complexes de la façon suivante : Propriété 2 : Notons = +i et = +i deux nombres complexes. 1) + = +i + +i = + +i + 2) = +i +i = +i +i + = +i + On retrouve également dans C la propriété suivante : =0 =0 ou =0 Propriété 3 : Le nombre complexe = +i avec ; 0;0 admet pour inverse le nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par : 1 = i ²+ ² = ²+ ² +i ²+ ² 1
2) Complexe conjugué Définition 2 : On appelle conjugué du nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par = +i, le nombre complexe noté dont l écriture algébrique est donnée par = i. Exemples : 5+3i =5 3i ; 2i= 2i ou encore 3= 3 Propriété 4 : Soient et deux nombres complexes et N. = = + = + Si de plus et sont non nuls : = = 1 =1 = Conséquence pratique pour étudier la nature d un nombre : 1) est un nombre réel = 2) est un imaginaire pur = + =0 =( + )( +i )=( +i )( i )= ² (i ) = + ² Le produit d un complexe par son conjugué est donc un réel positif. 3) Module d un nombre complexe Définition 3 : On appelle module du nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par = +i, le nombre réel positif noté égal à + ². Exemple : 3 2i = 3²+ = 13 Propriété 5 : Soient et deux nombres complexes et N. ²= = = = = + + (inégalité triangulaire) Si de plus est non nul : = 2
II - Équations du second degré dans C Théorème 1 : Soient, et trois réels avec 0. Notons = ² 4 le discriminant de l équation ²+ + =0. Trois cas se présentent : Si >0, l équation admet deux solutions réelles distinctes : = + et = Si =0, l équation admet une solution réelle double : = Si <0, l équation admet deux solutions complexes conjuguées : = +i et = i = Exemple : Résoudre dans C l équation ² +4=0 III - Représentation géométrique Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ( ;, ). On parle de plan complexe. 1) Affixe d un point Affixe d un vecteur Définition 4 : Soit = +i un nombre complexe avec et réels. Le point de coordonnées ; dans le repère ;, est appelé image du nombre complexe. Le nombre complexe est appelé affixe du point. À tout point du plan est associé un unique nombre complexe et réciproquement. Conséquences graphiques : Les points et d affixes respectives et sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Les points et d affixes respectives et sont symétriques par rapport à l origine du repère. Définition 5 : Soit = +i un nombre complexe avec et réels. Le vecteur de coordonnées ; dans le repère ;, (autrement dit : = + ) est appelé vecteur image du nombre complexe. Il en est de même pour tout représentant de. Le nombre complexe est appelé affixe du vecteur (et de tout représentant de ). 3
Propriété 6 : 1) Si un nombre complexe est l affixe du point alors il est aussi l affixe du vecteur. 2) L affixe du vecteur nul est 0. 3) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s ils ont la même affixe. 4) Soient et deux vecteurs d affixes respectives et. a) Le vecteur + a pour affixe +. b) Pour tout réel, le vecteur a pour affixe 5) Soient et deux points d affixes respectives et. a) Le vecteur a pour affixe. b) Le milieu du segment [ ] a pour affixe = ( + ) 2) Argument, module et forme trigonométrique Définition 6 : Soit = +i un nombre complexe non nul avec et réels. Soit l image de dans le plan complexe. On appelle argument de une mesure de l angle ;. On notera arg = = ; []. Remarques : 1) On a vu que le module du nombre complexe = +i est égal à = + ². Si est l image de dans le plan complexe, alors = 2) Les coordonnées = et =arg [] sont appelées coordonnées polaires de. Théorème - définition 1 : Soit = +i un nombre complexe non nul avec et réels. Un argument de est un angle exprimé en radian, noté arg tel que : cos = et sin = ²+ ² ²+ ² Le nombre complexe z s écrit alors sous la forme : = ²+ ² +i = cos +isin ²+ ² ²+ ² Cette dernière écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complexe. Exemple : Soit =1+i. Exprimer la forme trigonométrique de. = 3 cos 4 +isin 4 n est pas la forme trigonométrique de car 3 est négatif! 4
Propriété 7 : Pour tous nombres complexes et non nuls : = 1) = arg =arg + avec Z 2) arg = arg [] 3) arg =arg + [] 4) arg =arg +arg [] 5) Pour tout N, arg = arg [] 6 arg 1 = arg [] 7 arg =arg arg [] 3) Notation exponentielle Soit la fonction définie sur R (et à valeurs dans C) par : =cos + sin La fonction vérifie la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle : + = ainsi que 0 =1. On peut rajouter : = 1 = Pour tout entier naturel, = Notation : Pour tout réel, on note e =cos +isin Définition 7 : Soit un nombre complexe de module et d argument, alors l écriture = e est appelée notation exponentielle du nombre complexe. Exemples : 1=e ; i=e ; 1+i= 2e Propriété 8 : Pour tous réels et : 1) e =1 et arg e = [] e e =e 3 e =e = 1 e 4 e e =e 5) Formule de MOIVRE : Pour tout entier naturel, e =e Les formules d EULER : Pour tout réel : cos = e +e 2 et sin = e e 5
4) Applications des nombres complexes en géométrie Théorème 1 : Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ;,., et sont quatre points du plan distincts deux à deux d affixes respectives,, et. 1) =, =arg [] 3 = 4, =arg [] Exercice : Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ;,. Soient, et quatre points du plan d affixes respectives,, et définies par : = 2i, = 3+i, = 3+i et = 3 i 1) Montrer que, et sont situés sur un même cercle de centre. 2) Montrer de deux façons que le triangle est équilatéral. 3) Déterminer l ensemble (E) des points d affixe tels que +2i = + 3 i. Le point appartient-il à (E)? 6