Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1. Règles de calcul sur le produit scalaire................................. 1.3 Produit scalaire et orthogonalité.................................... 1.4 Relations métriques dans un triangle quelconque........................... 1.5 Vecteur normal à une droite - Droites perpendiculaires........................ 3 Produit scalaire de l Espace 3.1 Extension de la définition à l Espace.................................. 3. Expression analytique du produit scalaire............................... 3 3 Orthogonalité dans l Espace 4 3.1 Vecteurs orthogonaux.......................................... 4 3. Projection orthogonale sur un plan................................... 4 3.3 Vecteur normal à un plan Applications................................ 6 4 Équation cartésienne d un plan 7 4.1 Équation cartésienne d un plan dans un repère orthonormé..................... 7 4. Intersection d une droite et d un plan.................................. 8 4.3 Intersection de deux plans........................................ 9 Table des figures 1 Notations Relations métriques dans un triangle quelconque.................... Projection orthogonale sur un plan................................... 5 3 Produit scalaire et projection orthogonale sur un plan........................ 5 4 Droite perpendiculaire à un plan.................................... 6 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/.0/fr/ 1
1 PRODUIT SCALAIRE DU PLAN 1 Rappels sur le produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire Forme triangulaire : v = 1 [ u + v u v ] Expression trigonométrique : Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors v = u. v. cos ( u, v ) Expression dans un repère orthonormé : Si ( ) x u et ( ) x v y y alors v = xx + yy Expression à l aide de projections :Si C D est le projeté orthogonal de CD sur (AB) alors AB. CD = AB. C D 1. Règles de calcul sur le produit scalaire Commutativité : v = v. u Bilinéarité : 1. ( u + v ). w = w + v. w et ( v + w ) = v + w. (k u ). v = k ( v ) et u. (k v ) = k ( v ) Carré scalaire : u = u = u Identités remarquables : 1. u + v = ( u + v ) = u + v + v = u + v + v. u v = ( u v ) = u v + v = u v + v 3. ( u + v ). ( u v ) = u v = u v 1.3 Produit scalaire et orthogonalité Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si v = 0. Soit (O ; ı ; j ) un repère orthonormé avec ( ) x u et ( ) x v y y. u et v sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0. 1.4 Relations métriques dans un triangle quelconque Soit ABC un triangle quelconque. On note : a = BC ; b = AC ; c = AB et  = BAC ; B = ÂBC et Ĉ = BCA (voir figure 1). Figure 1 Notations Relations métriques dans un triangle quelconque Formule des cosinus : a = b + c bc cos  b = a + c ac cos B c = a + b ab cos Ĉ
PRODUIT SCALAIRE DE L ESPACE 1.5 Vecteur normal à une droite - Droites perpendiculaires 1.5 Vecteur normal à une droite - Droites perpendiculaires On dit que le vecteur n est un vecteur normal à D si la direction de n est orthogonale à D. Soit D la droite d équation ax + by + c = 0 dans un repère orthonormé. Alors, le vecteur ( ) a n est un vecteur normal à la droite D. b Soit D la droite d équation ax + by + c = 0 et D la droite d équation a x + b y + c = 0 dans un repère orthonormé. Les droites D et D sont perpendiculaires si et seulement si aa + bb = 0. Exercices : 1,, 3, 4, 5, 6 page 319 1 [TransMath] Produit scalaire de l Espace.1 Extension de la définition à l Espace Définition : Soient u et v deux vecteurs de l Espace. Il existe trois points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Il existe toujours un plan P contenant A, B et C. On appelle produit scalaire des vecteurs u et v de l Espace le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan P. Remarques : 1. On a alors : 1 v = [ u + v u v ] Cette égalité est bien indépendante du plan P choisi.. Quitte à se placer dans le plan P, les différentes expressions du produit scalaire (sauf l expression dans un repère du plan) du 1 restent valables. 3. Les règles de calcul sur le produit scalaire (bilinéarité, carré scalaire, identités remarquables) restent les mêmes que dans le plan. Exercices : 44, 45, 47 page 338 43 page 338 3 [TransMath]. Expression analytique du produit scalaire Propriété : On se place dans un repère Soient x u y et v. Alors : z x y z ( O ; ı ; j ; ) k orthonormé de l Espace. v = xx + yy + zz Démonstration : On a : 1 v = [ u + v u v ] = 1 [(x + x ) + (y + y ) + (z + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z )] = 1 [ x + xx + x + y + yy + y + z + zz + z x y z x y z ] = 1 [xx + yy + zz ] = xx + yy + zz 1. Vrai/Faux.. Calculs de produits scalaires dans l Espace. 3. Utilisation des règles de calcul du produit scalaire. 3
3 ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE Remarque : On retrouve en particulier les deux résultats suivants, valables dans un repère orthonormé de l Espace : Si x u y alors u = u = x + y + z. z Si A (x A ; y A ; z A ) et B (x B ; y B ; z B ) alors : AB = AB = AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ) Exercices : 1, page 35 et 41 page 338 4 8 page 33 5 [TransMath] 3 Orthogonalité dans l Espace 3.1 Vecteurs orthogonaux Définition : u et v sont deux vecteurs non nuls de l Espace. Soient A, B et C trois points tels que u = AB et v = AC. On dit que u et v sont orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Remarque : On conviendra que le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les autres vecteurs de l Espace. Propriété : u et v sont deux vecteurs de l Espace. u et v sont orthogonaux si et seulement si v = 0. En particulier, si x u y et x v y dans un repère z z u et v sont orthogonaux si et seulement si xx + yy + zz = 0. ( O ; ı ; j ; ) k orthonormé de l Espace : Remarque : Ce n est qu une utilisation de la forme trigonométrique du produit scalaire dans un plan P contenant les points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Exercices : 49, 50, 5, 53 page 339 6 [TransMath] 3. Projection orthogonale sur un plan Définition : Soit P un plan et M un point de l Espace. On appelle projeté orthogonal de M sur le plan P le point M, intersection de P et de la droite perpendiculaire à P passant par M (voir figure ). Propriété : Soient A, B et C trois points et P un plan contenant A et B. On note C le projeté orthogonal de C sur P (voir figure 3). On a alors : AB. AC = AB. AC Démonstration : AB. AC = ( AB. AC + ) C C = AB. AC + AB. C C Or, les vecteurs C C et AB sont orthogonaux donc AB. C C = 0 et AB. AC = AB. AC. Exercice : 51 page 339 7 [TransMath] 4. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé. 5. Valeur maximale d un angle. 6. Vecteurs orthogonaux. 7. Projeté orthogonal. 4
3 ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE 3. Projection orthogonale sur un plan Figure Projection orthogonale sur un plan Figure 3 Produit scalaire et projection orthogonale sur un plan 5
3.3 Vecteur normal à un plan Applications 3 ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE 3.3 Vecteur normal à un plan Applications Définition : On dit que le vecteur n non nul est normal au plan P si sa direction est orthogonale au plan P. Remarque : Tout vecteur non nul colinéaire à n est aussi un vecteur normal au plan P. On admettra que tout plan admet des vecteurs normaux. On va maintenant pouvoir prouver le théorème de la porte, vue dans le chapitre «Droites et plans de l Espace». Théorème : (aussi appelé «théorème de la porte») Si une droite est perpendiculaire en A à deux droites sécantes d un plan P, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan (voir figure 4). Figure 4 Droite perpendiculaire à un plan Démonstration (exigible) : On note n un vecteur directeur de et u 1, u des vecteurs directeurs respectifs des droites d 1 et d. Comme est perpendiculaire à d 1 et à d, on a n. u 1 = 0 et n. u = 0. Comme d 1 et d sont sécantes, les vecteurs u 1 et u ne sont pas colinéaires. Soit d une droite du plan P, de vecteur directeur w. Les vecteurs w, u 1 et u sont donc coplanaires et comme u 1 et u ne sont pas colinéaires, il existe deux nombres a et b tels que w = a u 1 + b u. On a alors : n. w = n. (a u1 + b u ) = n. (a u 1 ) + n. (b u ) = a n. u 1 + b n. u = 0 Corollaire : Pour montrer qu un vecteur n non nul est normal à un plan P, il suffit de montrer qu il est orthogonal à deux vecteurs du plan P non colinéaires. Remarques : Pour montrer qu une droite (AB) est perpendiculaire à un plan P, il suffit de montrer que AB est un vecteur normal au plan P. Pour montrer que deux plans P et P sont perpendiculaires, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Pour montrer que deux plans P et P sont parallèles, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Propriété : Caractérisation d un plan Soit P un plan de vecteur normal n passant par un point A. M appartient au plan P si et seulement si AM. n = 0. 6
4 ÉQUATION CARTÉSIENNE D UN PLAN Démonstration : Si M P, alors (AM) est une droite de P donc AM et n sont orthogonaux. On a alors AM. n = 0. Réciproquement, si AM. n = 0, on note H le projeté orthogonal de A sur P. On a donc, d après 3., AM. n = HM. n. Par suite, on a HM. n = 0. De plus, comme H est le projeté orthogonal de M sur P, les vecteurs HM et n sont colinéaires. On a donc HM. n = ±HM n. Comme n 0, on a HM = 0. Les points H et M sont donc confondus. Le point M est donc dans le plan P. Exercices : 3, 4, 5 page 36 8 54, 55, 56 page 339 9 96 page 346 10 [TransMath] 4 Équation cartésienne d un plan Applications 4.1 Équation cartésienne d un plan dans un repère orthonormé Propriété : Équation cartésienne d un plan ( On se place dans un repère O ; ı ; j ; ) k orthonormé de l Espace. 1. Tout plan P de vecteur normal a n b admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d = c 0 où d R.. Réciproquement, l ensemble des points M (x ; y ; z) vérifiant l équation ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c non tous nuls est un plan de vecteur normal a n b. c Démonstration : Soit P un plan passant par A (x A ; y A ; z A ) et de vecteur normal n M (x ; y ; z) P AM. n = 0 a b c. a (x x A ) + b (y y A ) + c (z z A ) = 0 ax + by + cz ax A by A cz A = 0 ce qui est bien de la forme voulue en posant d = ax A by A cz A. Réciproquement, soit M (x ; y ; z) vérifiant ax + by + cz + d = 0. On peut supposer que a 0. Le point A ( d a ; 0 ; 0) vérifie alors aussi ax + by + cz + d = 0 11. On pose n a b c. AM. ( n = a x + d ) + by + cz = ax + by + cz + d = 0 a Par suite : M (x ; y ; z) vérifiant ax + by + cz + d = 0 équivaut à AM. n = 0, c est-a-dire à M appartenant au plan passant par A et de vecteur normal n. Remarques : 8. Vecteur normal à un plan. 9. Droite perpendiculaire à un plan. 10. Tétraèdre trirectangle 11. Si a = 0, il est aisé de trouver un autre point A vérifiant la relation car soit b 0, soit c 0. 7
4. Intersection d une droite et d un plan 4 ÉQUATION CARTÉSIENNE D UN PLAN 1. Pour trouver l équation cartésienne d un plan (dans un repère orthonormé) dont on connaît un point A et un vecteur normal n, il suffit donc d exprimer l égalité AM. n = 0 à l aide des coordonnées de A et de n.. En particulier, l équation du plan (xoy) est z = 0, celle du plan (xoz) est y = 0 et celle du plan (yoz) est x = 0. Exercices : 7, 8, 9, 10 page 37 ; 57, 58, 59, 60page 339 et 65, 69 page 340 1 11, 13 page 38 et 64, 67, 68 page 340 13 9 page 33 et 9 page 345 14 100 page 347 15 [TransMath] 4. Intersection d une droite et d un plan Les résultats concernant les positions relatives d une droite et d un plan de l Espace sont résumés dans le tableau 1. Remarque : D est une droite de vecteur directeur u et P un plan de vecteur normal n. Si n. u 0 alors P et D sont sécants un un point. Si n. u = 0 et si A est un point quelconque de D : Si A P alors la droite D est incluse dans le plan P ; Si A / P alors la droite D est strictement parallèle au plan P. Exercice résolu : Déterminer l intersection éventuelle du plan P d équation x y + 3z = 0 et de la droite D de représentation paramétrique : x = + t y = 1 + t t R Un vecteur normal de P est n 1 3 et un vecteur directeur de D est u n. u = 1 + ( 1) 1 + 3 = 7 0 donc P et D sont bien sécants un un point. Ce point vérifie : On a donc : x = + t y = 1 + t x y + 3z = 0 ( + t) (1 + t) + 3 t = 0 4 + t 1 t + 6t = 0 7t = 7 t = 1 1 1. et, par suite : x = + 1 = 1 y = 1 + 1 = z = 1 = Le point d intersection de P et D est A ( 1 ; ; ). Exercices : 15, 16, 17, 18 page 39 ; 71, 7, 73 et 74, 76 page 341 page 340 16 93, 95 page 345 17 [TransMath] 1. Détermination d équations de plans. 13. Plan défini par trois points. 14. Plans perpendiculaires. 15. Distance d un point à un plan. 16. Intersection d une droite et d un plan. 17. Type BAC. 8
RÉFÉRENCES 4.3 Intersection de deux plans 4.3 Intersection de deux plans Les résultats concernant les positions relatives de deux plans de l Espace sont résumés dans le tableau. Remarque : P un plan de vecteur normal n et P un plan de vecteur normal n. Si n et n sont colinéaires et si A et un point quelconque de P : Si A P, les plans P et P sont confondus ; Si A / P, les plans P et P sont strictement parallèles. Si n et n ne sont pas colinéaires, les plans P et P sont sécants suivant une droite D. Exercice résolu : Soit P le plan d équation x y z 1 = 0 et P le plan d équation x+4y+z 3 = 0. Étudier l intersection éventuelle des plans P et P. Un vecteur normal à P est n 1 et un vecteur normal à P est n Les vecteurs n et n ne sont pas colinéaires donc plans P et P sont sécants suivant une droite D. Pour déterminer une représentation paramétrique de D, on va considérer une des inconnues (ici z) comme le paramètre : x y z 1 = 0 x + 4y + z 3 = 0 x y = t + 1 x + 4y = t + 3 y = x t 1 x + 4 (x t 1) = t + 3 7x = 7t + 7 y = x t 1 x = t + 1 y = (t + 1) t 1 x = t + 1 y = 1 Exercices : 0, 1, 3 page 330 ; 78, 79, 80 page 341 et 83 page 34 18 94 page 345 19 [TransMath] Module : TP 33 page 336 et exercices 101, 10 page 347 0 [TransMath] 1 4 1. Références [TransMath] transmath Term S, programme 01 (Nathan) 3, 4, 7, 8, 9 18. Intersection de deux plans. 19. Type BAC. 0. Positions relatives de trois plans. 9
RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES sécants Positions relatives de D et P parallèles D et P ont un seul point commun D et P n ont aucun point commun D est incluse dans le plan P. Table 1 Positions relatives d une droite et d un plan sécants Positions relatives des plans P 1 et P parallèles strictement parallèles ou confondus disjoints leur intersection est la droite D leur intersection est un plan leur intersection est vide Table Positions relatives de deux plans 10