Lycée Kerichen MPSI 2 2013-2014 Mécanique C6 Loi du moment cinétique appliquée au solide Dans le chapitre précédent, nous avons utilisé un nouvel outil bien pratique pour décrire le mouvement des systèmes matériels constitués d'un point en rotation par rapport à un axe fixe. Dans ce chapitre, nous allons étendre l'utilisation de la loi du moment cinétique aux solides. I- Moment cinétique d'un solide dans un référentiel galiléen : 1. Introduction à la notion de moment d'inertie : Soit un axe fixe Δ coïncidant avec l'axe dirigé par u z. Exprimons les coordonnées d'un point M en coordonnées cylindriques : 2. Moment cinétique d'un solide ou d'un système de points : a) Système déformable : On considère un système constitué de plusieurs points matériels M 1 de masse m i et de moment cinétique par rapport à l'axe orienté Δ : σ Δ (M i ) Remarque : Coordonnées cylindriques b) Cas d'un solide en rotation par rapport à un axe : α) Moment d'inertie d'un solide : Rappel : Un solide est...... Un solide est dit en «rotation autour d'un axe fixe» lorsque...... 1
β) Moment cinétique d'un solide par rapport à un axe orienté : γ) Moments d'inertie de quelques solides homogènes : Barre de longueur L Cylindre plein de rayon R Boule homogène de rayon R Cylindre vide de rayon R 1 1 2 12 ml2 2 mr2 MR2 mr2 5 On remarque que : δ) Importance de la répartition des masses sur la valeur du moment d'inertie : II- Loi du moment cinétique pour un solide en rotation : Soit un solide en rotation autour d'un axe orienté Δ (Oz) fixe dans un référentiel galiléen soumis aux forces extérieures F i de moment par rapport à l'axe Δ : M Δ ( F i ) Le moment d'inertie de ce solide par rapport à Δ est noté J Δ. Son mouvement est caractérisé par sa vitesse angulaire θ et son moment cinétique par rapport à Δ vaut σ Δ =J Δ θ. 1. Loi scalaire du moment cinétique pour un solide : 2
2. Cas de conservation du moment cinétique : 3. Notion de couple : Soient deux forces F 1 et F 2 opposées s'appliquant en A 1 et A 2 forment un couple de forces : leur résultante est : Le moment du couple de force par rapport à l'axe Δ est : Par abus de langage, on désigne souvent par «couple» le moment du couple par rapport à Δ et on le note Γ : Remarques : Le moment du couple Γ : 1. Ne dépend pas de la position de l'axe de rotation. 2. Est algébrique. Son signe dépend du sens dans lequel le moment du couple tend à faire tourner le système autour de l'axe Δ : si ce sens est direct : si ce sens est indirect : Exemple : 3
III- Liaison pivot : 1. Définition : Une liaison pivot d'axe Δ restreint les possibilités de mouvement du rotor (dispositif en rotation) a une rotation d'axe Δ par rapport au stator (dispositif fixe) Remarque : Comment réaliser une liaison pivot la plus «parfaite» possible? On emboîte deux cylindres de même axe et on réalise des buttées pour empêcher les cylindres de coulisser le long de leur axe commun. Les frottements résultant du contact entre solides peuvent être limités par des roulements à billes. 2. Action de liaison et liaison pivot idéale d'axe Δ : L'action de liaison résulte des forces exercées par le stator sur le rotor. Elle n'est pas déterminée a priori. Si on peut négliger les frottements, ces actions de contact sont normales aux surfaces de contact. Dans ce cas, le moment par rapport à Δ de chacune de ces forces est... et le moment par rapport à Δ de la liaison est... Attention!!! Seul le moment de l'action de liaison est nul!!! Sa résultante ne l'est pas puisque c'est elle qui assure le guidage en rotation autour de Δ. IV- Pendule pesant : 1. Présentation du système: Soit une tige homogène attachée en un point O et pouvant osciller librement dans le plan (Oxy). La tige (masse m et longueur L) est donc un pivot parfait autour de l'axe Oz.. Sa position est repérée par l'angle θ par rapport à la verticale. La tige est lâchée sans vitesse initiale avec un angle θ 0. Elle va donc effectuer des oscillations autour de la position θ=0 2. Détermination de l'équation du mouvement : Utilisons la loi du moment cinétique. 4
3. Intégrale première du mouvement, étude qualitative et portrait de phase : V- Énergie d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : 1. Énergie cinétique d'un solide en rotation : On modélise un solide en rotation autour d'un axe Δ orienté par u Δ par un ensemble de points matériels M i de masse m i repérés en coordonnées cylindriques. Le moment d'inertie de ce système de points vaut : 5
Un solide de moment d'inertie J Δ en rotation autour d'un axe fixe Δ à la vitesse angulaire θ possède l'énergie cinétique : E c = 1 2 J Δ θ 2 2. Puissance d'une force appliquée sur un solide en rotation : Les points M i sont soumis à F i. 3. Théorème de l'énergie cinétique pour un solide indéformable : Pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen R, on d E c a : = d dt dt ( 2) 1 2 J Δ θ = Or, le théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l'axe fixe Δ stipule : d E c dt n = i =1 n P( F i )= M Δ ( F i ) θ i=1 6