Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Pricing d options Monte Carlo dans le modèle Black-Scholes» Etudiant : / Partie A : Prix de Call et Put Européens Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction Variance Partie C : Pricing d une option asiatique Rapport de Projet
Rapport de Projet Pricing d options Monte Carlo Dans le modèle Black-Scholes Introduction Partie A : Prix du Call et Put Européens 1) Prix d un Call dans le modèle de Black-Scholes 2) Prix d un Put en utilisant la relation de parité Call-Put 3) Variation du prix des options en fonction de 4 paramètres (Vol, Strike, Spot, Time To Maturity, taux r) 4) Delta et Gamma d une option Vanille Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction de variance 1) Estimation du prix d une option Européenne par Monte Carlo 2) Graphique de convergence du prix d un Call 3) Deux méthodes de réduction de variance a) Méthode des variables de contrôle b) Fonction de pricing Monte Carlo utilisant la méthode importance sampling Partie C : Pricing d une option Asiatique 1) Trajectoire du prix du sous-jacent en discrétisant l intervalle [0,T] 2) Prix du Call asiatique 3) Prix du Put asiatique
Introduction Le but de ce projet est de bien assimiler les mécanismes des différentes méthodes de pricing d options à savoir Black-Scholes et Monte Carlo afin de prendre conscience des avantages et inconvénients de chacune d elles. Pour ce faire, nous commencerons dans la première partie en donnant le prix d un Call et d un Put Européen grâce à la méthode de B&S et à la parité Call-Put. Nous étudierons par la suite la variation du prix de ces options en fonction de quelques paramètres (strike, spot, volatilité, time to maturity, taux r). Enfin nous calculerons le Delta et le Gamma de ces deux options. La deuxième partie nous permettra d approcher une nouvelle méthode de pricing : Monte Carlo. Nous donnerons donc le prix d une option Européenne en utilisant cette méthode, et nous analyserons la convergence de ce prix pour une option Call avec un Strike égal à 100. L inconvénient de cet estimateur Monte Carlo est que la variance peut être trop grande pour les options hors de la monnaie (OTM). On s intéressera donc à deux méthodes pour réduire la variance. La troisième et dernière partie, va nous permettre de considérer une option exotique à savoir l option asiatique. Le prix d une option asiatique découle du prix moyen du sous-jacent dans un intervalle de temps déterminé.
Partie A : Prix du Call et Put Européens Pour l ensemble de nos réponses, on fixe les paramètres suivants : 1) Prix d un Call dans le modèle de Black-Scholes Pour calculer le prix d une option Call, il nous suffit d appliquer la formule de Black-Scholes. On rappelle que le prix s écrit sous la probabilité risque neutre : En utilisant la diffusion du sous-jacent, avec W un mouvement Brownien standard : La démonstration nous permet de retomber sur la formule B&S de l option Call : Avec N la fonction de répartition de la loi Normale et d1 et d2 donnés par : En incrémentant cette formule on obtient :
2) Prix d un Put en utilisant la relation de parité Call-Put Parité Call-Put : En peut donc exprimer le prix d une option Put en fonction d un Call, du sous-jacent et d un montant en cash K actualisé sur la période. On obtient ainsi le prix d une option Put : 3) Variation du prix des options en fonction de 5 paramètres Variation du prix des options en fonction de la volatilité :
Variation du prix des options en fonction du temps avant la maturité : Variation du prix des options en fonction du Spot :
Variation du prix des options en fonction du Strike : On remarque que le prix du Call et le prix du Put sont les mêmes quand le strike est a la monnaie forward soit K=St.exp(r(T-t)) Le résultat est facile à démontrer, il suffit d utiliser la parité Call Put. Variation du prix des options en fonction du taux sans risque :
4) Delta et Gamma d une option Vanille Pour trouver le Delta d une option Call ou Put, il suffit de dériver la formule B&S du prix de l option par rapport au sous-jacent. On obtient ainsi : Delta d un Call : Delta d un Put : Pour trouver le Gamma d une option Call ou put, il suffit de faire la dériver seconde du prix B&S par rapport au sous-jacent. Gamma D un Call égal au Gamma d un Put : Delta et Gamma du Call Delta et Gamma du Put
Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction de variance 1) Estimation du prix d une option Européenne par Monte Carlo La méthode de Monte Carlo permet de calculer le prix d une option en utilisant des procèdes aléatoires. Les différentes étapes pour le calcul du prix de l option : - Simulation d un alea Gaussien par la méthode de Box-Muller - Définition du payoff d un Call et d un Put - Simulation d un grand nombre de prix du sous-jacent - Calcul du prix de l option sous la probabilité risque neutre en utilisant comme prix du sousjacent la moyenne de l ensemble de nos simulations. En incrémentant la méthode avec 100 000 simulations, on obtient les résultats suivants : Prix et écart-type du Call Prix et écart-type du Put 2) Graphique de convergence du prix d un Call et d un Put Convergence du prix d un Call
Convergence du prix d un Put 3) Deux méthodes de réduction de variance L inconvénient de l estimateur Monte Carlo est que la variance peut être trop grande pour les options hors de la monnaie (OTM). Pour mieux comprendre ce phénomène, considérons une option Call de strike K=150 et comparons la variance de l estimateur Monte Carlo par rapport à celle du Call de strike 100.
a) Méthode des variables de contrôle : b) Importance sampling La réduction de variance avec la méthode dite d importance sampling est flagrante. En effet avec quatre fois moins de simulations, on obtient une variance réduite de 10 fois pour un même strike K=150.
Partie C : Pricing d une option asiatique Etape du Pricing d une option asiatique : - Discrétisation de l intervalle en N segments - Simulation d un prix sur chacun des segments - Calcul de l aire grâce à la méthode des trapèzes divisée par T - Calcul du payoff - Actualisation du payoff au taux sans risque En répétant ces étapes un grand nombre de fois, on obtient le prix de l option asiatique. L inconvénient est que le nombre de simulation est limité car il est multiplié par le nombre de discrétisation. 1) Simulation de deux trajectoires de prix du sous-jacent en discrétisant l intervalle [0,T] avec un pas de 0.01
2) Prix du Call asiatique 3) Prix du Put asiatique